በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት: "Extrema የተግባር ነጥቦችን ማግኘት. ምሳሌዎች"
ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.
ለ 10 ኛ ክፍል ከ 1C በ Integral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ ያሉ ማኑዋሎች እና ማስመሰያዎች
በጂኦሜትሪ ውስጥ ችግሮችን እንፈታለን. ለ 7-10 ኛ ክፍል በይነተገናኝ የግንባታ ስራዎች
የሶፍትዌር አካባቢ "1C: የሂሳብ ገንቢ 6.1"
የምናጠናው፡-
1 መግቢያ.
2. ዝቅተኛ እና ከፍተኛ ነጥቦች.
4. አክራሪነትን እንዴት ማስላት ይቻላል?
5. ምሳሌዎች.
ወደ ተግባር Extrema መግቢያ
ሰዎች፣ የአንድ የተወሰነ ተግባር ግራፍ እንመልከት፡-
የኛ ተግባር y=f (x) ባህሪ በአብዛኛው የሚወሰነው በሁለት ነጥቦች x1 እና x2 እንደሆነ ልብ ይበሉ። በእነዚህ ነጥቦች ላይ እና በዙሪያው ያለውን የተግባር ግራፍ ጠለቅ ብለን እንመርምር። እስከ ነጥብ x2 ድረስ ተግባሩ ይጨምራል፣ ነጥብ x2 ላይ ኢንፍሌክሽን አለ፣ እና ከዚህ ነጥብ በኋላ ወዲያውኑ ተግባሩ ወደ x1 ይቀንሳል። ነጥብ x1 ላይ ተግባሩ እንደገና ይጣመማል, እና ከዚያ በኋላ እንደገና ይጨምራል. ለአሁን፣ ነጥቦችን x1 እና x2 ን እንጠራዋለን። በነዚህ ነጥቦች ላይ ታንጀሮችን እንሳል፡-
በነጥቦቻችን ላይ ያሉት ታንጀኖች ከ x-ዘንግ ጋር ትይዩ ናቸው, ይህም ማለት የታንጀኑ ቁልቁል ዜሮ ነው ማለት ነው. ይህ ማለት በነዚህ ነጥቦች ላይ የተግባራችን አመጣጥ ከዜሮ ጋር እኩል ነው.
የዚህን ተግባር ግራፍ እንመልከት፡-
በነጥብ x2 እና x1 ላይ የታንጀንት መስመሮችን ለመሳል የማይቻል ነው. ይህ ማለት ተዋጽኦው በእነዚህ ነጥቦች ላይ የለም ማለት ነው። አሁን በሁለቱ ግራፎች ላይ ነጥቦቻችንን እንደገና እንመልከታቸው። ነጥብ x2 ተግባሩ በአንዳንድ ክልሎች (በ x2 አቅራቢያ) ከፍተኛውን እሴት ላይ የሚደርስበት ነጥብ ነው። ነጥብ x1 ተግባሩ በአንዳንድ ክልሎች (በ x1 አቅራቢያ) በትንሹ እሴቱ ላይ የሚደርስበት ነጥብ ነው።
ዝቅተኛ እና ከፍተኛ ነጥቦች
ፍቺ፡- ነጥቡ x= x0 የተግባሩ ዝቅተኛው ነጥብ y=f(x) ተብሎ የሚጠራው የ x0 ነጥቡ ሠፈር ካለ f(x) ≥ f(x0) ነው።
ፍቺ፡- ነጥቡ x=x0 የተግባሩ ከፍተኛው ነጥብ y=f(x) ተብሎ የሚጠራው የ x0 ነጥቡ ሠፈር ካለ f(x) ≤ f(x0) ነው።
ጓዶች፣ ሰፈር ምንድን ነው?
ፍቺ፡ የነጥብ ሰፈር ነጥባችንን እና ወደ እሱ ቅርብ የሆኑትን የያዙ ነጥቦች ስብስብ ነው።
አካባቢውን በራሳችን ማዘጋጀት እንችላለን. ለምሳሌ፣ ለአንድ ነጥብ x=2፣ አንድን አካባቢ በነጥብ 1 እና 3 መልክ መግለፅ እንችላለን።
ወደ ግራፎቻችን እንመለስ፣ ነጥብ x2ን እንይ፣ ከተወሰነ ሰፈር ከሚገኙት ነጥቦች ሁሉ ይበልጣል፣ ከዚያም በትርጉሙ ከፍተኛው ነጥብ ነው። አሁን ነጥብ x1ን እንይ፣ ከተወሰነ ሰፈር ከሚገኙት ሁሉም ነጥቦች ያነሰ ነው፣ ከዚያም በትርጉሙ ዝቅተኛው ነጥብ ነው።
ጓዶች፣ ማስታወሻውን እናስተዋውቃቸው፡-
Y ደቂቃ - ዝቅተኛው ነጥብ,
y ከፍተኛ - ከፍተኛ ነጥብ.
አስፈላጊ!ወንዶች፣ ከፍተኛውን እና ዝቅተኛውን ነጥብ ከትንሹ እና ትልቁ የተግባር እሴት ጋር አያምታቱ። ዝቅተኛው እና ከፍተኛው እሴቶች የሚፈለጉት በአንድ የተወሰነ ተግባር ፍቺ አጠቃላይ ጎራ ላይ ነው፣ እና ትንሹ እና ከፍተኛው ነጥቦች በተወሰነ ሰፈር ውስጥ ይፈለጋሉ።
የተግባሩ ጽንፍ
ለዝቅተኛ እና ከፍተኛ ነጥቦች አንድ የተለመደ ቃል አለ - አክራሪ ነጥቦች።
እጅግ በጣም (ላቲ. ጽንፍ - ጽንፍ) - በአንድ የተወሰነ ስብስብ ላይ የአንድ ተግባር ከፍተኛው ወይም ዝቅተኛ ዋጋ. ጽንፈኛው የሚደርስበት ነጥብ ከፍተኛ ነጥብ ይባላል.
በዚህ መሠረት ዝቅተኛው ደረጃ ላይ ከደረሰ, የመጨረሻው ጫፍ ዝቅተኛ ነጥብ ይባላል, እና ከፍተኛው ከተደረሰ, ከፍተኛው ነጥብ ይባላል.
የአንድ ተግባር ጽንፍ እንዴት መፈለግ እንደሚቻል?
ወደ ገበታዎቻችን እንመለስ። በእኛ ነጥቦች ላይ, ተዋጽኦው ይጠፋል (በመጀመሪያው ግራፍ ላይ) ወይም የለም (በሁለተኛው ግራፍ ላይ).
ከዚያም አንድ ጠቃሚ መግለጫ ልንሰጥ እንችላለን፡ ተግባር y= f(x) በ x=x0 ነጥብ ላይ ጽንፍ ካለው፣ በዚህ ጊዜ የተግባሩ መነሻው ዜሮ ነው ወይም የለም።
ተዋጽኦው ከዜሮ ጋር እኩል የሆነባቸው ነጥቦች ተጠርተዋል። የማይንቀሳቀስ.
የአንድ ተግባር ተወላጅ ያልሆኑባቸው ነጥቦች ተጠርተዋል። ወሳኝ።
ጽንፎችን እንዴት ማስላት ይቻላል?
ሰዎች፣ ወደ ተግባሩ የመጀመሪያ ግራፍ እንመለስ፡-
ይህንን ግራፍ ስንመረምር፡- እስከ ነጥብ x2 ድረስ ተግባሩ ይጨምራል፣ በ x2 ነጥብ ላይ ኢንፍሌክሽን ይከሰታል፣ እና ከዚህ ነጥብ በኋላ ተግባሩ ወደ x1 ይቀንሳል። በ x1 ላይ ተግባሩ እንደገና ይታጠባል, እና ከዚያ በኋላ ተግባሩ እንደገና ይጨምራል.
በእንደዚህ ዓይነት አመክንዮዎች ላይ በመመስረት, በጽንፈኛ ነጥቦች ላይ ያለው ተግባር የነጠላነት ባህሪን ይለውጣል ብለን መደምደም እንችላለን, ስለዚህም የመነጩ ተግባር ምልክትን ይለውጣል. አስታውስ፡ አንድ ተግባር ከቀነሰ ተዋጽኦው ከዜሮ ያነሰ ወይም እኩል ነው፣ እና ተግባሩ ከጨመረ፣ ውፅኢቱ ከዜሮ ይበልጣል ወይም እኩል ነው።
ያገኘነውን እውቀት በሚከተለው መግለጫ እናጠቃልል።
ቲዎሪ፡ ለጽንፈኛ በቂ ሁኔታ፡ ተግባሩ y=f(x) በተወሰነ የጊዜ ክፍተት X ላይ ቀጣይነት ያለው እና ቋሚ ወይም ወሳኝ ነጥብ x= x0 በመካከሉ ውስጥ ይኑር። ከዚያም፡-
ችግሮችን ለመፍታት, እነዚህን ደንቦች ያስታውሱ: የመነሻ ምልክቶች ከተገለጹ ታዲያ፡-
ተከታታይነት ያለው ተግባር ለማጥናት ስልተ ቀመር y=f(x) ለነጠላነት እና ለአክራሪነት፡
- የ y' ተዋጽኦን ያግኙ።
- የማይንቀሳቀሱ ነጥቦችን ያግኙ (መነጩ ዜሮ ነው) እና ወሳኝ ነጥቦችን (መነጩ የለም)።
- ቋሚ እና ወሳኝ ነጥቦችን በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ እና በተፈጠረው ክፍተቶች ላይ የመነጩ ምልክቶችን ይወስኑ።
- ከላይ በተጠቀሱት መግለጫዎች ላይ በመመርኮዝ ስለ ጽንፈኛ ነጥቦቹ ተፈጥሮ መደምደሚያ ይሳሉ.
ጽንፈኛ ነጥቦችን የማግኘት ምሳሌዎች
1) የተግባሩ ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ: y= 7+ 12 * x - x 3
መፍትሄ፡ ተግባራችን ቀጣይነት ያለው ነው፣ ከዚያ የእኛን አልጎሪዝም እንጠቀማለን፡-
ሀ) y"= 12 - 3x 2፣
ለ) y"= 0፣ በ x= ±2፣ 
ነጥብ x= -2 የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው፣ ነጥብ x= 2 የተግባሩ ከፍተኛው ነጥብ ነው።
መልስ፡- x= -2 የተግባሩ ዝቅተኛው ነጥብ፣ x= 2 የተግባሩ ከፍተኛው ነጥብ ነው።
2) የተግባሩ ዋና ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ።
መፍትሄ፡ ተግባራችን ቀጣይ ነው። የእኛን አልጎሪዝም እንጠቀም፡- ሀ)
ለ) በ x= 2 መነጩ የለም፣ ምክንያቱም በዜሮ መከፋፈል አይችሉም 
የተግባሩ ፍቺ ጎራ:, በዚህ ነጥብ ላይ ምንም ጽንፍ የለም, ምክንያቱም የነጥቡ አከባቢ አልተገለጸም. ተዋጽኦው ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበትን ዋጋ እንፈልግ፡- 
ሐ) ቋሚ ነጥቦችን በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ እና የመነጩ ምልክቶችን ይወስኑ፡- 
መ) ጽንፈኝነትን ለመወሰን ደንቦቹን የሚያሳየው የእኛን ምስል ይመልከቱ. ነጥብ x= 3 የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው።
መልስ፡ x= 3 የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው።
3) የተግባሩን ጽንፍ ነጥብ y= x - 2cos(x) ፈልግ እና ተፈጥሮአቸውን ለይ -π ≤ x ≤ π.
መፍትሄ፡ ተግባራችን ቀጣይ ነው፣ ስልተ ቀመራችንን እንጠቀም፡-
ሀ) y"= 1 + 2ሲን(x)
ለ) ተዋጽኦው ከዜሮ ጋር እኩል የሆነባቸውን እሴቶች ፈልግ፡ 1 + 2sin(x)= 0፣ sin(x)= -1/2፣
ምክንያቱም -π ≤ x ≤ π፣ ከዚያ፡- x= -π/6፣ -5π/6፣
ሐ) ቋሚ ነጥቦችን በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ እና የመነጩ ምልክቶችን ይወስኑ 
መ) ጽንፈኝነትን ለመወሰን ደንቦቹን የሚያሳየው የእኛን ምስል ይመልከቱ.
ነጥብ x= -5π/6 የተግባሩ ከፍተኛው ነጥብ ነው።
ነጥብ x= -π/6 የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው።
መልስ፡- x= -5π/6 የተግባሩ ከፍተኛው ነጥብ ነው፣ x= -π/6 የተግባሩ ዝቅተኛው ነጥብ ነው።
4) የተግባሩ ዋና ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ።
መፍትሄ፡ ተግባራችን በአንድ ነጥብ x= 0 ላይ ብቻ መቋረጥ አለበት፡ አልጎሪዝምን እንጠቀም፡- ሀ)
ለ) ተዋጽኦው ከዜሮ ጋር እኩል የሆነባቸውን እሴቶች ያግኙ፡ y"= 0 በ x= ±2፣ ሐ) ቋሚ ነጥቦችን በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ እና የመነጩ ምልክቶችን ይወስኑ
መ) ጽንፈኝነትን ለመወሰን ደንቦቹን የሚያሳየው የእኛን ምስል ይመልከቱ.
ነጥብ x= -2 የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው።
ነጥብ x= 2 የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው።
ነጥብ x=0 ላይ ተግባሩ የለም።
መልስ: x= ± 2 - የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥቦች.
በተናጥል ለመፍታት ችግሮች
ሀ) የተግባሩ ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ፡ y= 5x 3 - 15x - 5።ለ) የተግባሩ ዋና ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ።
ሐ) የተግባሩ ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ: y= 2sin(x) - x ለ π ≤ x ≤ 3π. መ) የተግባሩ ዋና ዋና ነጥቦችን ይፈልጉ እና ተፈጥሮአቸውን ይወስኑ።
ተግባራት, ስለ መጀመሪያው እና የሁለተኛው ተዋጽኦዎች መገኘት እና አካላዊ ትርጉማቸውን ለመረዳት በጭራሽ አስፈላጊ አይደለም. በመጀመሪያ የሚከተሉትን መረዳት ያስፈልግዎታል:
- የተግባሩ ጽንፍ ከፍ ያደርገዋል ወይም በተቃራኒው በዘፈቀደ ትንሽ ሰፈር ውስጥ ያለውን ተግባር ዋጋ ይቀንሳል;
- በከፍተኛው ቦታ ላይ ያለው ተግባር መቋረጥ የለበትም.
እና አሁን ተመሳሳይ ነገር, በቀላል ቋንቋ ብቻ. የኳስ ነጥብ ብዕሩን ጫፍ ተመልከት. ብዕሩ በአቀባዊ ከተቀመጠ ፣ አፃፃፉ እስከ መጨረሻ ድረስ ፣ ከዚያ የኳሱ መሃል በጣም ከፍተኛ - ከፍተኛው ነጥብ ይሆናል። በዚህ ጉዳይ ላይ ስለ ከፍተኛው እንነጋገራለን. አሁን፣ የጽህፈት ቤቱን ጫፍ ወደ ታች ብዕሩን ካዞሩ፣ ከዚያ በኳሱ መሃል ላይ አስቀድሞ ዝቅተኛ ተግባር ይኖራል። እዚህ የተሰጠውን ስእል በመጠቀም ለጽህፈት መሳሪያ እርሳስ የተዘረዘሩትን ዘዴዎች መገመት ትችላለህ። ስለዚህ የአንድ ተግባር ጽንፍ ሁል ጊዜ ወሳኝ ነጥቦች ናቸው፡ ከፍተኛው ወይም ዝቅተኛው። የግራፉ አጠገብ ያለው ክፍል እንደ ሹል ወይም ለስላሳ ሊሆን ይችላል, ነገር ግን በሁለቱም በኩል ሊኖር ይገባል, በዚህ ሁኔታ ውስጥ ብቻ ነጥቡ ጽንፍ ነው. ግራፉ በአንድ በኩል ብቻ የሚገኝ ከሆነ, ይህ ነጥብ በአንድ በኩል የተሟሉ ሁኔታዎች ቢሟሉም, ይህ ነጥብ ጽንፍ አይሆንም. አሁን የተግባሩን ጽንፍ ከሳይንሳዊ እይታ አንፃር እናጠናው። አንድ ነጥብ እንደ አክራሪነት ለመቆጠር፣ አስፈላጊ እና በቂ ነው፡-
- የመጀመሪያው ተዋጽኦ ዜሮ ነበር ወይም ነጥቡ ላይ አልነበረም;
- የመጀመሪያው ተዋጽኦ በዚህ ነጥብ ላይ ምልክቱን ለውጦታል.
ሁኔታው ከከፍተኛ የሥርዓት ተዋጽኦዎች እይታ ትንሽ ለየት ባለ መልኩ ይተረጎማል፡ በአንድ ነጥብ ላይ ልዩነት ላለው ተግባር ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ያልተለመደ ቅደም ተከተል መኖሩ በቂ ነው, ሁሉም ዝቅተኛ ቅደም ተከተሎች መኖር አለባቸው. እና ከዜሮ ጋር እኩል ይሁኑ. ይህ ከመማሪያ መጽሃፍቶች ውስጥ የቲዎሬሞችን በጣም ቀላሉ ትርጓሜ ነው.ነገር ግን በጣም ተራ ለሆኑ ሰዎች, ይህንን ነጥብ በምሳሌ ማስረዳት ተገቢ ነው. መሰረቱ ተራ ፓራቦላ ነው. ወዲያውኑ ቦታ ማስያዝ እንጀምር፡ በዜሮ ነጥብ ዝቅተኛው ነው። ትንሽ ሂሳብ፡-
- የመጀመሪያ ተዋጽኦ (X 2) | = 2X, ለዜሮ ነጥብ 2X = 0;
- ሁለተኛ ተዋጽኦ (2X) | = 2፣ ለዜሮ ነጥብ 2 = 2።
በዚህ ቀላል መንገድ ለሁለቱም የመጀመሪያ ደረጃ እና ከፍተኛ-ደረጃ ተዋጽኦዎች የተግባርን ጽንፍ የሚወስኑ ሁኔታዎች ተገልጸዋል. በዚህ ላይ የሁለተኛው ተዋጽኦ በትክክል ከላይ የተብራራው ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የአንድ ጎዶሎ ቅደም ተከተል አንድ አይነት መሆኑን ልንጨምር እንችላለን። የሁለት ተለዋዋጮች ተግባር ጽንፍ ሲመጣ፣ ለሁለቱም ክርክሮች ቅድመ ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው። አጠቃላይ ሁኔታ ሲከሰት, ከፊል ተዋጽኦዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ. ያም ማለት በአንድ ነጥብ ላይ አንድ ጽንፍ መኖሩን, ሁለቱም የመጀመሪያ ደረጃ ተዋጽኦዎች ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለባቸው, ወይም ቢያንስ አንዱ ከነሱ ውስጥ የለም. የአክራሪነት መኖር በቂ መሆኑን ለማረጋገጥ, በሁለተኛው-ትዕዛዝ ተዋጽኦዎች ምርት እና በተግባሩ ድብልቅ ሁለተኛ-ደረጃ ተዋጽኦዎች መካከል ያለው ልዩነት ያለው አገላለጽ ይመረመራል. ይህ አገላለጽ ከዜሮ በላይ ከሆነ ጽንፍ አለ ነገር ግን ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ጥያቄው ክፍት ሆኖ ይቆያል እና ተጨማሪ ምርምር መደረግ አለበት.
የተከታታይ ተግባርን ግራፍ አስቡበት y=f(x)በሥዕሉ ላይ የሚታየው.
የተግባር እሴት በአንድ ነጥብ x 1 በግራ እና በቀኝ በሁሉም አጎራባች ነጥቦች ላይ ከተግባር እሴቶች ይበልጣል x 111 1 . በዚህ ጉዳይ ላይ ተግባሩ ነጥቡ ላይ እንዳለው እንናገራለን x 1 ከፍተኛ ነጥብ ላይ xተግባር 3 በግልጽም ከፍተኛው አለው። ነጥቡን ካጤንን። x 2, ከዚያ በውስጡ ያለው የተግባር እሴት ከሁሉም አጎራባች እሴቶች ያነሰ ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ ተግባሩ ነጥቡ ላይ እንዳለው እንናገራለን x 2 ዝቅተኛ. ለነጥቡም እንዲሁ x 4 .
ተግባር y=f(x)ነጥብ ላይ x 0 ያለው ከፍተኛ, በዚህ ነጥብ ላይ ያለው የተግባር ዋጋ ከዋጋዎቹ የሚበልጥ ከሆነ ነጥቡን በያዘው የጊዜ ክፍተት በሁሉም ነጥቦች ላይ x 0፣ ማለትም እንደዚህ ያለ የነጥብ ሰፈር ካለ x 0, ይህም ለሁሉም ነው x≠x 0 , የዚህ ሰፈር ንብረት, አለመመጣጠን ይይዛል ረ(x)<ረ(x 0 ) .
ተግባር y=f(x)አለው ዝቅተኛነጥብ ላይ x 0 , እንደዚህ ያለ የነጥብ ሰፈር ካለ x 0 , ያ ለሁሉም ነው። x≠x 0 የዚህ ሰፈር ንብረት የሆነ፣ አለመመጣጠን አለ። ረ(x)>ረ (x 0.
ተግባሩ ከፍተኛው እና ዝቅተኛው ላይ የሚደርስባቸው ነጥቦች ጽንፈኛ ነጥቦች ተብለው ይጠራሉ ፣ እና በእነዚህ ነጥቦች ላይ ያለው የተግባር እሴት የተግባሩ ጽንፍ ይባላሉ።
በአንድ ክፍል ላይ የተገለጸው ተግባር ከፍተኛውን እና ዝቅተኛውን ሊደርስ የሚችለው ግምት ውስጥ ባለው ክፍል ውስጥ በተካተቱት ነጥቦች ላይ ብቻ ትኩረት እንስጥ.
አንድ ተግባር በአንድ ነጥብ ላይ ከፍተኛ ከሆነ፣ ይህ ማለት በዛን ጊዜ ተግባሩ በጠቅላላው የፍቺ ጎራ ውስጥ ከፍተኛው እሴት አለው ማለት እንዳልሆነ ልብ ይበሉ። ከላይ በተገለፀው ስእል, በነጥቡ ላይ ያለው ተግባር x 1 ከፍተኛው አለው ፣ ምንም እንኳን የተግባር እሴቶቹ ከነጥቡ የሚበልጡባቸው ነጥቦች ቢኖሩም x 1 . በተለየ ሁኔታ, ረ(x 1) < ረ(x 4) ማለትም እ.ኤ.አ. የአንድ ተግባር ዝቅተኛው ከከፍተኛው ይበልጣል. ከከፍተኛው ፍቺ አንጻር ሲታይ ይህ ከከፍተኛው ነጥብ ጋር በበቂ ሁኔታ በሚጠጉ ነጥቦች ላይ ትልቁ የተግባር እሴት መሆኑን ብቻ ይከተላል።
ቲዎረም 1. (የጽንፈኝነት መኖር አስፈላጊ ሁኔታ.)የሚለየው ተግባር ከሆነ y=f(x)ነጥብ ላይ አለው። x=x 0 extremum፣ ከዚያ የእሱ መነሻ በዚህ ነጥብ ላይ ዜሮ ይሆናል።
ማረጋገጫ. ለነገሩ፣ በነጥቡ ላይ ይሁን x 0 ተግባር ከፍተኛው አለው። ከዚያም, በበቂ ሁኔታ አነስተኛ ጭማሪዎች Δ xእና አለነ ረ(x 0 + Δ x)
በእነዚህ እኩልነቶች ውስጥ በ Δ ገደብ ውስጥ ማለፍ x→ 0 እና ያንን ተዋጽኦ ግምት ውስጥ በማስገባት ረ "(x 0) አለ, እና ስለዚህ በግራ በኩል ያለው ገደብ እንዴት Δ ላይ የተመካ አይደለም x→ 0፣ እናገኛለን፡ በ Δ x → 0 – 0 ረ"(x 0) ≥ 0 a በ Δ x → 0 + 0 ረ"(x 0) ≤ 0. ጀምሮ ረ"(x 0) ቁጥርን ይገልፃል ፣ ከዚያ እነዚህ ሁለቱ አለመመጣጠን የሚስማሙት ከሆነ ብቻ ነው። ረ"(x 0) = 0.
የተረጋገጠው ቲዎሬም ከፍተኛው እና ዝቅተኛው ነጥቦች ተዋጽኦው ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ ከነዚያ የክርክር እሴቶች መካከል ብቻ ሊሆኑ እንደሚችሉ ይናገራል።
ጉዳዩን የተመለከትነው አንድ ተግባር በአንድ የተወሰነ ክፍል በሁሉም ነጥቦች ላይ መነሻ ሲኖረው ነው። ተዋጽኦው በማይኖርበት ጊዜ ሁኔታው ምንድን ነው? ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌዎች.
- y=|x|.
ተግባሩ ነጥቡ ላይ ምንም መነሻ የለውም x=0 (በዚህ ነጥብ ላይ የተግባሩ ግራፍ የተወሰነ ታንጀንት የለውም) ነገር ግን በዚህ ጊዜ ተግባሩ አነስተኛ ነው, ምክንያቱም y(0)=0 እና ለሁሉም x≠ 0y > 0.
- ፍቀድ x< x
0 . ከዚያም ሐ< x
0 እና ረ"(ሐ)> 0.
ለዛ ነው ረ"(ሐ)(x- x 0)<
0 እና ስለዚህ
ረ(x) - ረ(x 0 )< 0፣ ማለትም ረ(x)< f(x 0 ).
- ፍቀድ x > x 0 . ከዚያም ሐ > x 0 እና ረ"(ሐ)< 0. ማለት ነው። ረ"(ሐ)(x- x 0)< 0. ለዛ ነው ረ(x) - ረ(x 0 ) <0,т.е.ረ(x)< ረ(x 0 ) .
- የአንድ ተግባር ጎራ ይፈልጉ ረ(x)።
- የመጀመሪያውን የተግባር መነሻ ያግኙ ረ"(x).
- ለዚህ አስፈላጊ ነጥቦችን ይወስኑ-
- የእኩልታውን ትክክለኛ ሥሮች ያግኙ ረ"(x)=0;
- ሁሉንም ዋጋዎች ያግኙ xለየትኛው ተዋጽኦው ረ"(x)አልተገኘም.
- ከወሳኙ ነጥብ ግራ እና ቀኝ የመነጩን ምልክት ይወስኑ። የመነጩ ምልክቱ በሁለት ወሳኝ ነጥቦች መካከል ቋሚ ሆኖ የሚቆይ በመሆኑ በአንድ ነጥብ ወደ ግራ እና አንድ ነጥብ በስተቀኝ ላይ ያለውን ምልክት መወሰን በቂ ነው.
- በጽንፈኛ ነጥቦች ላይ የተግባሩን ዋጋ አስሉ.
- በክፍተቱ ውስጥ ሁሉንም የተግባር ወሳኝ ነጥቦችን ያግኙ ( ሀ፣ ለ) እና በእነዚህ ነጥቦች ላይ የተግባሩን እሴቶች ያሰሉ.
- መቼ በክፍሉ መጨረሻ ላይ የተግባርን ዋጋዎች ያሰሉ x = a, x = b.
- ከተገኙት እሴቶች ሁሉ ትልቁን እና ትንሹን ይምረጡ።
ተግባሩ ምንም መነሻ የለውም x=0፣ ወደ ማይታወቅ በ x=0. ነገር ግን በዚህ ጊዜ ተግባሩ ከፍተኛ ነው.
ተግባሩ ምንም መነሻ የለውም x=0፣ ጀምሮ 
በ x→0. በዚህ ጊዜ ተግባሩ ከፍተኛ እና ዝቅተኛ የለውም. በእውነት፣ ረ(x)=0 እና በ x<0ረ(x)<0, а при x>0ረ(x)>0.
ስለዚህ, ከተሰጡት ምሳሌዎች እና ከተቀረጹት ቲዎሬም, አንድ ተግባር በሁለት ጉዳዮች ላይ ብቻ ጽንፍ ሊኖረው እንደሚችል ግልጽ ነው: 1) ተዋጽኦው ባለበት እና ከዜሮ ጋር እኩል በሆነባቸው ቦታዎች ላይ; 2) ተዋጽኦው በማይኖርበት ቦታ ላይ.
ሆኖም ግን, በተወሰነ ደረጃ ላይ ከሆነ x 0 እናውቃለን ረ"(x 0 ) =0, ከዚያም አንድ ሰው ከዚህ በመነሳት ነጥቡ ላይ መደምደም አይችልም x 0 ተግባሩ ጽንፍ አለው።
ለምሳሌ. 
.
ግን ጊዜ x= 0 በጣም አስፈላጊ ነጥብ አይደለም, ምክንያቱም ከዚህ ነጥብ በስተግራ በኩል የተግባር እሴቶቹ ከዘንግ በታች ይገኛሉ. ኦክስ, እና ከላይ በቀኝ በኩል.
የተግባሩ አመጣጥ የሚጠፋበት ወይም ከሌለበት የተግባር ጎራ የመከራከሪያ እሴቶች ተጠርተዋል ወሳኝ ነጥቦች.
ከላይ ከተጠቀሱት ሁሉ ውስጥ የተግባር ጽንፈኛ ነጥቦች ወሳኝ ከሆኑት ነጥቦች መካከል ናቸው, ሆኖም ግን, እያንዳንዱ ወሳኝ ነጥብ ጽንፈኛ ነጥብ አይደለም. ስለዚህ የአንድን ተግባር ጽንፍ ለማግኘት ሁሉንም የተግባሩ ወሳኝ ነጥቦችን ማግኘት እና ከዚያም እያንዳንዳቸውን ለከፍተኛ እና ለዝቅተኛው በተናጠል መመርመር ያስፈልግዎታል። የሚከተለው ቲዎሪ ለዚህ ዓላማ ያገለግላል.
ቲዎረም 2. (ለአክራሪነት መኖር በቂ ሁኔታ.)ወሳኙን ነጥብ በያዘው በተወሰነ ጊዜ ውስጥ ተግባሩ ቀጣይ ይሁን x 0, እና በዚህ የጊዜ ክፍተት በሁሉም ነጥቦች ላይ ልዩነት አለው (ከዚህ በስተቀር, ምናልባት, ነጥቡ ራሱ x 0) በዚህ ነጥብ ከግራ ወደ ቀኝ ሲዘዋወሩ ተዋጽኦው ከፕላስ ወደ ሲቀነስ ምልክት ከተቀየረ፣ ከዚያም ነጥቡ ላይ x = x 0 ተግባር ከፍተኛው አለው። ከሆነ, በሚያልፉበት ጊዜ x 0 ከግራ ወደ ቀኝ፣ የመነጩ ለውጦች ከተቀነሰ ወደ ፕላስ ይፈርማሉ፣ ከዚያ ተግባሩ በዚህ ነጥብ ላይ አነስተኛ ነው።
ስለዚህ, ከሆነ
ማረጋገጫ. በመጀመሪያ ስንያልፍ እንደዚያ እናስብ x 0 የመነጩ ለውጦች ምልክት ከፕላስ ወደ መቀነስ፣ ማለትም በሁሉም ሰው ፊት x፣ ወደ ነጥቡ ቅርብ x 0 ረ"(x)> 0 ለ x< x 0 , ረ"(x)< 0 ለ x> x 0 . የላግራንጅን ቲዎሪ በልዩነቱ ላይ እንተገብረው ረ(x) - ረ(x 0 ) = f "(ሐ) (x- x 0) የት ሐመካከል አለ xእና x 0 .
ስለዚህ, ለሁሉም እሴቶች xበቂ ቅርብ ወደ x 0 ረ(x)< ረ(x 0 ) . እና ይህ ማለት በነጥቡ ላይ ማለት ነው x 0 ተግባር ከፍተኛው አለው።
የዝቅተኛው ቲዎሪ ሁለተኛ ክፍል በተመሳሳይ መንገድ ተረጋግጧል.
በሥዕሉ ላይ የዚህን ንድፈ ሐሳብ ትርጉም እናሳይ። ፍቀድ ረ"(x 1 ) =0 እና ለማንኛውም x፣በቂ ቅርብ ወደ x 1, አለመመጣጠኑ ረክቷል
ረ"(x)< 0 በ x< x 1 , ረ"(x)> 0 በ x> x 1 .
ከዚያ ወደ ነጥቡ ግራ x 1 ተግባሩ ይጨምራል እና በቀኝ በኩል ይቀንሳል, ስለዚህ, መቼ x = x 1 ተግባር ከመጨመር ወደ እየቀነሰ ይሄዳል ፣ ማለትም ፣ ከፍተኛው አለው።
በተመሳሳይም ነጥቦችን ግምት ውስጥ ማስገባት እንችላለን x 2 እና x 3 .
ከላይ ያሉት ሁሉም በሥዕሉ ላይ በስዕል ሊገለጹ ይችላሉ-
ለጽንፈኛ ተግባር y=f(x) የማጥናት ህግ
ምሳሌዎች. ተግባራትን በትንሹ እና ከፍተኛውን ያስሱ።
በአንድ ክፍል ላይ ያለው ተግባር ከፍተኛ እና ትንሹ እሴቶች
ትልቁበአንድ ክፍተት ላይ ያለው ተግባር ዋጋ በዚህ ክፍተት ላይ ካሉት እሴቶቹ ሁሉ ትልቁ ነው ፣ እና በጣም ትንሹ- ከዋጋዎቹ ሁሉ ትንሹ።
ተግባሩን አስቡበት y=f(x)ክፍል ላይ ቀጣይነት ያለው [ ሀ፣ ለ]. እንደሚታወቀው, እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በክፍሉ ወሰን ላይ ወይም በውስጡም ከፍተኛውን እና ዝቅተኛ እሴቶቹን ይደርሳል. የአንድ ተግባር ትልቁ ወይም ትንሹ እሴት በክፍሉ ውስጣዊ ነጥብ ላይ ከተገኘ ይህ እሴት የተግባሩ ከፍተኛው ወይም ዝቅተኛ ነው ማለትም ወሳኝ በሆኑ ነጥቦች ላይ ይደርሳል።
ስለዚህ, የሚከተሉትን እናገኛለን በአንድ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት ደንብ[ ሀ፣ ለ] :
የተግባሩ ጽንፍ
ፍቺ 2
አንድ ነጥብ $x_0$ የአንድ ተግባር ከፍተኛው ነጥብ ይባላል $f(x)$ የዚህ ነጥብ ሰፈር ካለ ለሁሉም $x$ በዚህ ሰፈር $f(x)\le f(x_0) እኩልነት ማጣት $ ይይዛል።
ፍቺ 3
አንድ ነጥብ $x_0$ የአንድ ተግባር ከፍተኛው ነጥብ ይባላል $f(x)$ የዚህ ነጥብ ሰፈር ካለ ለሁሉም $x$ በዚህ ሰፈር ውስጥ ያለው እኩልነት $f(x)\ge f(x_0) $ ይይዛል።
የአንድ ተግባር ጽንፍ ጽንሰ-ሐሳብ ከአንድ ተግባር ወሳኝ ነጥብ ጽንሰ-ሐሳብ ጋር በቅርበት ይዛመዳል። ፍቺውን እናስተዋውቅ።
ፍቺ 4
$x_0$ የተግባሩ ወሳኝ ነጥብ ይባላል $f(x)$ ከሆነ፡-
1) $ x_0$ - የትርጉም ጎራ ውስጣዊ ነጥብ;
2) $f"\ግራ(x_0\right)=0$ ወይም የለም።
ለጽንፈ-ጽንሰ-ሃሳብ፣ ለህልውናው በቂ እና አስፈላጊ ሁኔታዎች ላይ ንድፈ ሃሳቦችን መቅረጽ እንችላለን።
ቲዎሪ 2
ለአክራሪነት በቂ ሁኔታ
ነጥቡ $x_0$ ለ$y=f(x)$ ተግባር ወሳኝ ይሁን እና በ$(a,b)$ መካከል ይዋሽ። በእያንዳንዱ ክፍተት $\ግራ(a,x_0\ቀኝ)\ እና\(x_0,b)$ የመነጨው $f"(x)$ አለ እና ቋሚ ምልክት ያቆይ። ከዚያ፡-
1) በ$(a,x_0)$ ክፍተቱ ላይ መነጩ $f"\ግራ(x\ቀኝ)>0$ ከሆነ እና በ$(x_0፣b)$ ክፍተቱ $(x_0፣b)$ ውፅኢቱ $f"\ግራ ነው( x\ቀኝ)
2) በ$(a,x_0)$ መካከል ያለው መነሻ $f"\ግራ(x\ቀኝ)0$ ከሆነ፣ ነጥቡ $x_0$ ለዚህ ተግባር ዝቅተኛው ነጥብ ነው።
3) ሁለቱም በ$(a,x_0)$ እና በ$(x_0፣b)$ ክፍተቱ ላይ ካሉ $f"\ግራ(x\ቀኝ) >0$ ወይም የመነጩ $f"\ግራ(x) \ቀኝ)
ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በስእል 1 ውስጥ ተገልጿል.
ምስል 1. ለጽንፍ መኖር በቂ ሁኔታ
የጽንፍ ምሳሌዎች (ምስል 2).
ምስል 2. የጽንፍ ነጥቦች ምሳሌዎች
ለአክራሪነት ተግባርን ለማጥናት ደንብ
2) $f"(x)$ን ፈልጎ ማግኘት;
7) ቲዎረም 2ን በመጠቀም በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት ላይ ማክስማ እና ሚኒማ ስለመኖሩ መደምደሚያዎችን ይሳሉ።
ተግባርን መጨመር እና መቀነስ
በመጀመሪያ የመጨመር እና የመቀነስ ተግባራትን ትርጓሜዎች እናስተዋውቅ።
ፍቺ 5
በ$X$ የጊዜ ክፍተት ላይ የተገለጸው ተግባር $y=f(x)$ እየጨመረ ነው ይባላል ለማንኛውም ነጥብ $x_1፣x_2\in X$ በ$x_1
ትርጉም 6
በ$X$ የጊዜ ክፍተት ላይ የተገለጸው ተግባር $y=f(x)$ ለማንኛውም ነጥብ $x_1፣x_2\in X$ በ$x_1f(x_2)$ እየቀነሰ ነው ተብሏል።
የመጨመር እና የመቀነስ ተግባርን በማጥናት ላይ
ተዋጽኦውን በመጠቀም የመጨመር እና የመቀነስ ተግባራትን ማጥናት ይችላሉ።
የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን ለመፈተሽ የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:
1) የ$f(x)$ የተግባርን ፍቺ ጎራ ይፈልጉ።
2) $f"(x)$ን ፈልጎ ማግኘት;
3) $ f" \ ግራ(x \ ቀኝ) = 0$ እኩልነት ያላቸውን ነጥቦች ያግኙ;
4) $ f"(x)$ የሌለባቸውን ነጥቦች ያግኙ;
5) የተገኙትን ሁሉንም ነጥቦች እና የዚህን ተግባር ፍቺ ጎራ በማስተባበር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ;
6) በእያንዳንዱ የውጤት ክፍተት ላይ የ $ f"(x)$ የመነጩን ምልክት ይወስኑ;
7) መደምደሚያ ይሳሉ፡ $ f"\ግራ(x\ቀኝ) 0$ ተግባሩ በሚጨምርባቸው ክፍተቶች ላይ።
የመጨመር፣ የመቀነስ እና የጽንፈኛ ነጥቦች መገኘት ተግባራትን ለማጥናት የችግሮች ምሳሌዎች
ምሳሌ 1
የመጨመር እና የመቀነስ ተግባር፣ እና ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ነጥቦች እንዳሉ መርምር፡$f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
የመጀመሪያዎቹ 6 ነጥቦች አንድ ዓይነት ስለሆኑ አስቀድመን እናከናውናቸው.
1) የትርጉም ጎራ - ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች;
2) $f"\ግራ(x\ቀኝ)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\ግራ(x\ቀኝ)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ በሁሉም የትርጉም ጎራ ነጥቦች ላይ አለ።
5) የማስተባበር መስመር;
ምስል 3.
6) በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት ላይ የ$f"(x)$ የመነጩን ምልክት ይወስኑ፡-
\ \}