Образовательная область: естествознание.
Раздел: «Математика»
Исследовательская работа на тему:
«Признаки делимости натуральных чисел »
Руководитель: Лапко И.В.
учитель математики
Введение:
1. Факты из истории математики.
2. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5 ,6,8, 9, 10.
3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.
4.Решение задач с использованием признаков делимости.
6.Список использованной литературы (источников).
Актуальность:
Все мы в школе учили признаки делимости, которые по сей день помогают нам без лишней потери времени, быстро и безошибочно разделить то или иное число. Не так давно вспомнив эту тем, мне стало интересно, а существуют ли еще другие признаки делимости на натуральные числа. И именно эта мысль, подтолкнула меня на написание исследовательской работы.
Гипотеза:
если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования:
делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.
Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.
Задачи:
1.Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
2. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность поднятого вопроса о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
3.Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.
4. Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11,12,13,14.
5.Сделать вывод.
Новизна:
в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.
Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
1. Факты из истории математики
1. При́знак дели́мости
— алгоритм , позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 - простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
2. Признаки делимости
Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?
Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.
Признак делимости чисел на 2
На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.
Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Признак делимости чисел на 3
На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Примеры.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.
Признак делимости чисел на 4
На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признак делимости чисел на 5
Признак делимости чисел на 6
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Признак делимости чисел на 8
На 8 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 Пример
Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8
Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.
Пр изнак делимости чисел на 9
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9
Признак делимости чисел на 10
Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.
3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.
Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:
1) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2) Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3) Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4) Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5) Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6) Четырехзначное натуральное число вида bаа, где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11
.
1) Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2) Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3) Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Признак делимости на 12
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Примеры:
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
Признаки делимости на 13
1) Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Примеры:
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 - 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 - 184 = 72, 72 не делится на 13.
2) Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.
Примеры:
988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Примеры:
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
Примеры:
1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Признак делимости на 25 и 50
на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 25 или на 50.
Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится, и на 25, и на 50.
Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.
4.Решение задач с использованием признаков делимости.
Продавец в магазине.
Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 34,5 рубля, коробку творога, стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?
Решение: Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов цена кратна 3-м, а для остальных - кол-во купленных товаров кратно 3-м).Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 296 на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.
Яблоки в ящи ке.
Число яблок в ящике меньше 200. Их можно разделить поровну между 2,3,4,5 и 6 детьми. Какое максимальное количество яблок может быть в ящике?
Решение.
НОК(2,3,4,5,6) = 60.
60х < 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180
Ответ: 180 яблок.
5. Вывод:
Выполняя работу, я познакомилась с историей развития признаков делимости, сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25,50 и нашла подтверждение этого из дополнительной литературы. А так же убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
Список использованной литературы (источников):
1. Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
3. Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. - С. 4-6.
4. Пельман Я.И. Математика - это интересно! - М.: ТЕРРА - Книжный клуб, 2006
5. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1989. - С. 352.
6. Ресурсы- Internet.
Называют числа, используемые для счета. Каждому количеству предметов счета соответствует некоторое натуральное число. Если предметов для счета нет, то используется число 0, но при счете предметов мы никогда не начинают с 0, и соответственно число 0 нельзя отнести к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральное число является единица. Наибольшего натурального числа не существует, потому что каким бы большим не было число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число.
Разберем простейший пример деления: разделим число 30 на число 5 (остаток при делении числа 30 на число 5 равен 0), по- сколку 30 = 5 . 6. Значит число 30 делится нацело на число 5. Число 5 - делитель числа 30, а число 30 — кратно числу 5.
Натуральное число k n , если найдётся такое натуральное число m , для которого справедливо равенство k = n . m .
Или другими словами, чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое трете число, которое при умножении на второе дает первое
Если натуральное число k делится нацело на натуральное число n , то число k называют кратным числа ,
число n — делителем числа k .
Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.
Выполнив действия по делению говорят: «Число k делится нацело на число n », «Число n является делителем числа k », «Число k кратно числу n », «Число k является кратным числа n ».
Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все числа, кратные числу 6? Числа 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 и т. д. кратны числу 6. Получаем, что чисел, кратных числу 6, — бесконечно много. Поэтому перечислить их все невозможно.
Вообще, для любого натурального числа k каждое из чисел
k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...
является кратным числа k .
Наименьшим делителем любого натурального чис-ла k является число 1, а наибольшим делителем — само число k .
Среди чисел, кратных числу k , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число k .
Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на число 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на число 3. Вообще, если каждое из чисел k и n делится нацело на число m , то и сумма k + n также делится нацело на число m .
Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на число 3, а их сумма, число 12, делится нацело на число 3. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на число 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на число 5. Вообще, если ни число k , ни число n не делятся нацело на число m , то сумма k + n может делиться, а может и не делиться нацело на число m.
Число 35 делится без остатка на число 7, а число 17 на число 7 нацело не делится. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число k делится нацело на число m и число n не делится нацело на число m , то сумма k + n не делится нацело на число m.
Отношение делимости. Если при делении с остатком натурального числа а на натуральное число b остаток равен 0, то говорят что а делится на b. В этом случае а называют кратным числа b, b называют делителем числа а.
Обозначение а:b
Запись символами (а,bN) (а:b)(сN) (а=вс).
Простое число. Натуральное число называют простым, если оно делится только на себя и на единицу, т.е если у него только два делителя.
Составное число. Натуральное число называют составным, если у него более двух делителей.
- 1 не является ни простым, ни составным числом, т.к имеет только один делитель - себя.
- 2 - единственное четное простое число.
Свойства отношения делимости:
- 1. если а делится на b, то а?b.
- 2. рефлексивность, т.е. каждое натуральное число делится само на себя.
- 3. антисимметричность, т.е. если два числа не равны, и первое из них делится на второе, то второе не делится на первое.
- 4. транзитивность, т.е. если первое число делится на второе число, второе число делится на третье число, то первое число делится на третье число.
Отношение делимости на N - это отношение частичного нестрогого порядка. Порядок частичный, т.к. есть такие пары разных натуральных чисел, ни одно из которых не делится на другое.
Признак делимости суммы на число. Если каждое слагаемое суммы делится на число, то вся сумма делится на это число (для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если каждое слагаемое не делится на число, то вся сумма может делиться на это число.
Признак делимости разности на число. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число и уменьшаемое больше вычитаемого, то разность делится на это число (для того чтобы разность делилась на число, достаточно, чтобы уменьшаемое и вычитаемое делились на это число, при условии, что эта разность положительна). Этот признак не является необходимым, т.е. уменьшаемое и вычитаемое могут не делиться на число, а их разность может делиться на это число.
Признак неделимости суммы на число. Если все слагаемые суммы, кроме одного, делятся на число, то сумма не делится на это число.
Признак делимости произведения на число. Если хотя бы один множитель в произведении делится на число, то произведение делится на это число (для того чтобы произведение делилось на число, достаточно, чтобы один множитель в произведении делился на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если ни один множитель в произведении не делится на число, то произведение может делиться на это число.
Признак делимости произведения на произведение. Если число а делится на число b, число с делится на число d, то произведение чисел а и с делится на произведение чисел b и d. Этот признак не является необходимым.
Признак делимости натуральных чисел на 2. Чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8.
Признак делимости натуральных чисел на 5. Чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 0 или на 5.
Признак делимости натуральных чисел на 4. Чтобы натуральное число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 00 или две последние цифры в десятичной записи этого числа образовывали двузначное число, кратное 4.
Признак делимости натуральных чисел на 3. Чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 3.
Признак делимости натуральных чисел на 9. Чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 9.
Общий делитель натуральных чисел а и в - это натуральное число, которое является делителем каждого из этих чисел.
Наибольший общий делитель натуральных чисел а и в- это наибольшее натуральное число из всех общих делителей этих чисел.
Обозначение НОД (а, в)
Свойства НОД (а, в):
- 1. всегда существует и только один.
- 2. не превосходит меньшего из а и в.
- 3. делится на любой общий делитель а и в.
Общее кратное натуральных чисел а и в - это натуральное число, кратное каждому из этих чисел.
Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и в - это наименьшее натуральное число из всех общих кратных этих чисел.
Обозначение НОК (а, в)
Свойства НОК (а, в):
- 1. всегда существует и только одно.
- 2. не меньше большего из а и в.
- 3. любое общее кратное а и в делится на него.
Взаимно простые числа. Натуральные числа а и в называют взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1, т.е. НОД (а, в)=1.
Признак делимости на составное число. Чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы число а делилось на каждое из них.
- 1. Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.
- 2. Чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9.
Разложение числа на простые множители- это представление этого числа в виде произведения простых множителей.
Основная теорема арифметики. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
Алгоритм нахождения НОД:
Записать произведение общих для данных чисел простых множителей, причем каждый множитель записать с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения.
Найти значение полученного произведения. Это и будет НОД данных чисел.
Алгоритм нахождения НОК:
Разложить каждое число на простые множители.
Записать произведение всех простых множителей из разложений, причем каждый из них записать с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения.
Найти значение полученного произведения. Это и будет НОК данных чисел.
Множество положительных рациональных чисел
Дробь. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е , который состоит из n отрезков, равных e .
Если отрезок а состоит из m отрезков, равных e . то его длина может быть представлена в виде
Символ называют дробью ; m, n - натуральные числа; m - числитель дроби, n - знаменатель дроби. n показывает, на сколько равных частей разделена единица измерения; m показывает, сколько таких частей содержится в отрезке a.
Равные дроби. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка в одной единице измерения, называют равными.
Признак равенства дробей.
Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Сокращение дроби - это замена данной дроби другой, равной ей, но с меньшим числителем и знаменателем.
Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, т.е. их НОД равен единице.
Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей другими, равными им с равными знаменателями.
Положительное рациональное число - это бесконечное множество разных по написанию, но равных между собой дробей; каждая дробь этого множества есть форма записи этого положительного рационального числа.
Равные положительные рациональные числа - это числа, которые могут быть записаны равными дробями.
Сумма положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a b представлено дробью, то их суммой с , представленное дробью.
Переместительное свойство сложения. От перемены мест слагаемых, значение суммы не меняется.
Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
Существование суммы и её единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их сумма всегда существует и причем единственна.
Правильная дробь - дробь. числитель которой меньше знаменателя.
Неправильная дробь - дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему.
Неправильную дробь можно записать в виде натурального числа или в виде смешанной дроби.
Смешанная дробь - это сумма натурального числа и правильной дроби (принято записывать без знака сложения).
Отношение «меньше» на Q . Положительное рациональное число b меньше положительного рационального числа a, если существует положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .
Свойства отношения «меньше».
- 1. Антирефлексивность. Ни одно число не может быть меньше самого себя.
- 2. Антисимметричность. Если первое число меньше второго, то второе не может быть меньше первого.
- 3. Транзитивность. Если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое число меньше третьего.
- 4. Связанность. Если два числа не равны, то либо первое меньше второго, либо второе меньше первого.
Отношение «меньше» на Q - это отношение строгого линейного порядка.
Разность положительных рациональных чисел. Разностью положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .
Существование разности. Разность чисел a и b существует тогда и только тогда, когда b меньше a .
Если разность существует, то она единственная.
Произведение положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a представлено дробью, положительное рациональное число b представлено дробью, то их произведением называется положительное рациональное число с , представленное дробью.
Существование произведения и его единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их произведение всегда существует и причем единственно.
Переместительное свойство умножения. От перемены мест сомножителей значение произведения не меняется.
Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.
Частное положительных рациональных чисел. Частным положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c, которое при умножении на b дает a .
Существование частного. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b , их частное всегда существует и причем единственное.
Множество Q и его свойства.
- 1. Q линейно упорядоченно с помощью отношения «меньше».
- 2. В Q нет наименьшего числа.
- 3. В Q нет наибольшего числа.
- 4. Q бесконечное множество.
- 5. Q плотно в себе, т.е. меду любыми двумя разными положительными рациональными числами заключено бесконечное множество положительных рациональных чисел.
Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
Десятичная дробь - это дробь вида m/n , где m и n - натуральные числа.
Виды десятичных дробей. Конечные, бесконечные, периодические (чисто периодические и смешанно периодические), непериодические.
Конечная десятичная дробь - это дробь. в которой после запятой стоит конечное число цифр.
Бесконечная периодическая десятичная дробь - это дробь, которая получается бесконечным повторением одной и той же группой цифр, начиная с некоторого номера, а повторяющаяся группа цифр называется её периодом.
Чисто периодические и смешанно периодические дроби. Если период дроби начинается сразу после запятой, то эта дробь называется чисто периодической. Если между запятой и началом периода есть несколько цифр, то дробь называется смешано периодической.
Теорема. Любое положительное рациональное число может быть представлено либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической десятичной дроби.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Для перевода надо числитель делить на знаменатель в столбик. При делении получится либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая.
Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную. Отбросить запятую, полученное число записать в числитель, а в знаменатель записать столько нулей после единицы, сколько цифр было после запятой.
Перевод чисто периодической дроби в обыкновенную. Период дроби записать в числитель, а в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде.
Перевод смешанно периодической дроби в обыкновенную. В числитель записать разность между числом, стоящим между запятой и второй скобкой, и числом, стоящим между запятой и первой скобкой; в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей после них, сколько цифр между запятой и первой скобкой.
Теорема. Чтобы несократимую дробь можно было записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 и 5.
- Одна из важнейших тем Алгебры. Изучается она, в основном, в 5-6 классах школы и в дальнейшем к ее изучению практически не возвращаются. В то же время на эту тему существует Значительное количество самых разнообразных задач, Которые часто встречаются на олимпиадах, при поступлении в физико-математические школы и институты. Школьники (и даже старших классов), как правило, большинство задач этой темы, к сожалению, решить не могут. Поэтому остановимся на этом разделе Достаточно подробно И рассмотрим те задачи, которые по силам учащимся 8-х классов.
Цели: Напомнить основные сведения о множестве натуральных чисел и рассмотреть типичные задачи по теме.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Изучение нового материала (основные понятия)
Числа, которые используются Для счета предметов, Называются Натуральными: 1, 2, 3, 4, ... Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак Е . Например, утверждение, что число 5 является натуральным (или что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел УУ), можно записать так: 5 е N. Число 2,3 не является натуральным. Это можно записать с помощью знака ё, т. е. 2,3 ? N.
Все натуральные числа (исключая число 1) разделяются на Простые Числа и Составные Числа.
Число называется Составным, Если оно имеет хотя бы один Делитель, Который Не равен самому числу или единице. Например, число 18 имеет такие делители: 2, 3, 6, 9. Поэтому число 18 является составным. (Разумеется, кроме перечисленных делителей у числа 18 есть еще два делителя: 1 и 18).
Число называется Простым, Если оно Не имеет других делителей кроме Самого себя и единицы (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...).
Число 1 не является ни простым, ни составным.
Напомним Основные признаки делимости Натуральных чисел.
1. Число делится (без остатка или нацело) На число 2, Если Его последняя Цифра четная или 0. (Напомним, что число 0 не является ни четным, ни нечетным). Например, число 35 634 делится на 2, а число 35 635 - не делится.
2. Ч исл о делится На Число 3, если Сумма его цифр делится На 3. Например, число 33 606 делится на 3, т. к. сумма цифр этого числа 3 + 3 + 6 + 0 + 6= 18
Делится на 3. Число 32 606 имеет сумму цифр 3 + 2 + 6 + 0 + 6= 17, которая на 3 не делится. Поэтому число 32 606 также на 3 не делится.
3. Число делится На число 4, Если Две его последние цифры образуют число, Которое делится на 4, или являются нулями. Например, число 35 Щ делится
на 4, т. к. число, образованное двумя последними цифрами (число 12),
делится на 4.
Обратите внимание на этот признак делимости. Оченьчасто школьники ошибочно «сокращают» этот признак делимости до такого: число делится на число 4, если две его последние цифры делятся на 4. Разумеется, данный «признак делимости» является грубой ошибкой. В рассмотренном примере число 35112 делилось на 4, хотя ни одна из его двух последних цифр (1 и 2) на 4 не делится.
Число 35 Щ на число 4 не делится, т. к. число 18 (образованное двумя последними цифрами) на 4 не делится.
4. Число делится На число 5, если Его последняя цифра 0 или 5. Например, числа 35 110 и 35 115 делятся на 5, а число 37 513 на 5 не делится.
5. Число делится На число 8, Если Три его последние цифры образуют число, Которое делится на 8, или являются нулями. Например, число 37 408 делится на 8, т. к. число 408 делится на 8. Число 37 4J4 не делится на 8, т. к. число 414 не делится на 8.
6. Число делится На число 9, Если Сумма его цифр Делится На 9. Например, число 71 505 делится на 9, т. к. сумма цифр этого числа 7+ 1 +5 + 0 + 5= 18 делится на 9. Число 70 505 имеет сумму цифр 7 + 0 + 5 + 0 + 5= 17, которая на 9 не делится. Следовательно, и само число не делится на 9.
7. Число делится На число 10, Если его Последняя цифра нуль. Например, число 37 510 делится на 10, а число 37 515 не делится на 10.
Признаки делимости позволяют решать и более сложные задачи.
Пример 1
Определите: на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 делится без остатка число 357 120.
А) Число делится на 2, т. к. его последняя цифра нуль.
Б) Число делится на 3, т. к. сумма цифр данного числа равна 3 + 5 + 7 +
1 +2 + 0- 18 и делится на 3.
В) Число делится на 4, т. к. две его последние цифры образуют число 20,
которое делится на 4.
Г) Число делится на 5, т. к. его последняя цифра нуль.
Д) Число делится на 6, т. к. 6 = 2 3 и из пунктов а, б следует, что число
делится на 2 и 3 одновременно.
Е) Число делится на 8, т. к. три его последние цифры образуют число
120, которое делится на 8.
Ж) Число делится на 9, т. к. сумма его цифр 18 (пункт б) делится на 9.
З) Число делится на 10, т. к. его последняя цифра нуль.
И) Число делится на 15, т. к. оно одновременно делится на 3 и 5 (пункты б, г).
К) Число делится на 18, т. к. из пунктов а, ж следует, что оно делится на 2 и 9.
Л) Число делится на 20, т. к. оно одновременно делится на 4 и 5 (пункты в, г).
Заметим, что при рассмотрении делимости числа 357 120 на 6, 15,18,20 мы каждое из этих чисел раскладывали на произведение взаимно простых чисел. Напомним, что Взаимно простыми Числами называются числа, которые Не имеют общих делителей. Причем числа могут и не являться простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, т. к. не имеют общих множителей. Однако каждое из этих чисел 8 и 15 - составное.
Например, в пункте к число 18 было представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел 2 и 9. Затем использовались признаки делимости на эти числа. Если раскладывать число-делитель на произведение не взаимно простых чисел, то решение усложняется, и могут быть допущены Ошибки. Например, число 30 не делится на 20 без остатка. Но если представить число 20 в виде 2 10, то 30 делится и на 2 и на 10. Однако числа 2 и 10 - не взаимно простые.
Пример 2
Определите, является ли число 98 706 540 321 простым или составным?
Используя признаки делимости, сразу определяем, что данное число на 2,4, 5, 8, 10 не делится. Теперь разберемся, делится ли это число на 3 и на 9. Найдем сумму цифр этого числа: 9 + 8 + 7 + 0 + 6 + 5+4 + 0 + 3 + 2+1= 45. Так как число 45 делится на 3 и на 9, то данное число также делится на 3 и на 9. Так как данное число имеет делители (3 и 9), которые неравны ни единице, ни самому числу, то (по определению) оно является составным.
Нужно заметить, что далеко Не всегда Одно натуральное число Делится На другое Без остатка. Например, при делении числа 29 на 3 получаем в частном 9 и в остатке 2. Эту операцию можно записать в виде: 29 - 3-9 + 2 или Делимое (29) = Делитель (3) Частное (9) + Остаток (2). При Этом Остаток Должен быть Натуральным числом Или Нулем И Меньше, чем делитель.
Пример 3
А) Число 29 можно также записать и в виде: 29 = 3 - 8 + 5. Но в этом
частное 8 и остаток 5, т. к. остаток не может быть больше или равным
делителю.
Б) Число 29 можно записать и в другом виде: 29 = 3 10 + (-1). Но и
получается частное 10 и остаток (- 1), т. к. остаток должен быть натуральным
Таким образом, в общем случае деление с остатком записывается в виде: П = P" K + R. Здесь натуральное число П - Делимое, Натуральное число Р - Делитель, Натуральное число К - частное, Неотрицательное целое число Г - Остаток (0 < г < Р). Если Г = 0, то число П Нацело (без остатка) делится на число/? и л ~ р - к.
Такая форма записи деления числа с остатком позволяет решать различные задачи.
Пример 4
Число П Дает при делении на 13 остаток 5. Какой остаток при делении на 13 дает число вшестеро больше данного?
Если число П Дает при делении на 13 остаток 5, то его можно записать в виде: я = 13? + 5, где К - получающееся при этом частное. Тогда число вшестеро большее, т. е. 6л = 6-(13-&+5)=78-&+30. Выделим из числа 6/7 наибольшее натуральное число, которое без остатка делится на 13, т. е. представим число 6л в виде: 6я=(78А; + 26)+4=13-(6А: + 2)+4. Из этой записи видно, что число 6п При делении на 13 дает в частном число (вк + 2) и остаток 4.
Пример 5
Два числа при делении на 18 дают остаток 9. Доказать, что разность и сумма этих чисел без остатка делятся на 18.