Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.
Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника
Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.
Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность
СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.
ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.
ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.
Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.
Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).
Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.
Задания с решениями
1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.
Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС
равна 2R
. То есть АС
=10
Ответ: 10.
2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.
Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
Проведем две высоты DM и CN .Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =
Тогда AN =6+1=7
Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС .
Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС .
Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.
Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам
Гдe h - высота и - основание треугольника
Где R- радиус описанной окружности.
Из этих выражений получаем уравнение . Откуда
Площадь круга будет равна
3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах
Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то
Получаем уравнение 
. Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда
. откуда получаем, что
4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Тогда средняя линия равна 
5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.
Тогда 
.
Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда
Тогда периметр
Получаем уравнение
6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .
Проведем высоту КН через точку О
Тогда 
, где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда 
По теореме Пифагора.
Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.
Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.
*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:
Свойства:
Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.
То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.
Рассмотрим задачи:
27870. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.
Треугольник B ОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:
Следовательно
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть
Другой способ:
Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла
Сумма смежных углов равна 180 0 , значит
Таким образом
Ответ: 35
27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен
Второй способ:
Построим ОВ и OD.
По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна
2∙58 0 = 116 0
Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна
360 0 – 116 0 = 244 0
По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .
Ответ: 122
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Построим радиусы АО, OD, OC:
Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .
По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть
Ответ: 108
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.
Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть
Ответ: 70
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.
Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота - 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.
1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 - х.
3. АО 2 = АК 2 + КО 2 ; ОВ 2 = ВН 2 + НО 2 ;
так как ОА 2 =ОВ 2 , получим:
АК 2 + КО 2 = ВН 2 + НО 2
90 + 64 - 16x = 0
ОВ 2 = ВН 2 + НО 2
Ответ: OB = 10,625
Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник
Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.
Дано: ромб, радиус вписанной окружности - R, BD r в 4 раза
1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R
Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10
1. AB = CD = 10 по условию
2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности
3. AD + BC = 10 + 10 = 20
4. FE = 2r = 2 · 4 = 8
Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.
1. Пусть AB = BC = AC = a.
2. Обозначим O 1 E = O 1 K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .
3. AO 1 - биссектриса угла A, следовательно, ? O 1 AE = 30? и в прямоугольном?AO 1 E имеем AO 1 = 2O 1 E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда.
Задача 10 : вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
1. Пусть?AOB = 2x, ?BOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°
Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.
1. 202 = 122 + 162
400 = 400 верно, следовательно, ? АВС - прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)
Ответ: ВН = 9,6
Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.
Дано: ? ABC - прямоугольный, AC = 15, CB = 10
1. ? ADE ~ ? ACB (? A - общий, ? ADE = ? ACB = 90°)
2. Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 - X
15 · X = 10(15 - X)
15 · X = 150 - 10 · X
4. S кв. = 6 · 6 = 36
Ответ: S кв. = 36
Задача 13: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны - 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.
1. HK = BC = 10 м
2. Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 - y
3. По теореме Пифагора:
x 2 + y 2 = 13 2
x 2 + (21 - y) 2 = 20 2
x 2 + 441 - 42y + y 2 = 400
4. По теореме Пифагора:
BH 2 = AB 2 - AH 2
BH 2 = 13 2 - 5 2
Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.
Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.
Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180° . Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n - количество углов (или сторон).
Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.
Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)
С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.
Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги - ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Таким образом получились следующие равенства:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Выразим сумму углов:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Вынесем ½ за скобку:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
Заменим сумму дуг их числовым значением:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.
То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность. Хотя на самом деле это так. Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность) .
Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности. Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°. Это следует из свойства вписанного четырехугольника.
Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.
Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .
Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.
∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 \(\breve{BCD}\).
∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 \(\breve{BAD}\).
Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.
Отсюда ∠А + ∠С = 360°: 2 = 180°.
Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.
Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).
Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?
Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.
Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:
∠В + ∠D’ = 2d .
Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме
∠B + ∠Е = 2d .
Из этих двух равенств следует:
∠D’ = 2d - ∠B;
∠E = 2d - ∠B;
но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.
Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (рис. 414).
Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Следствия.
1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.
2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.
Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.
Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:
Сложим почленно эти равенства. Получим:
АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,
т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.
Другие материалы