Вопросы к главе VI Цилиндр, конус и шар.

Вопросы математического диктанта:


  1. Формула площади боковой поверхности цилиндра.

  2. Чему равна площадь полной поверхности цилиндра?

  3. Какая фигура является разверткой боковой поверхности цилиндра?

  4. Чему равен радиус основания , если осевым сечением цилиндра является квадрат 25 м 2 ?

  5. Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?

  6. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью , перпендикулярной его образующей?
Фронтальный опрос:

  • Формулу площади круга.

  • Формулу длины окружности.

  • Что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра?

  • Формулу площади боковой поверхности цилиндра.

  • Формулу площади полной поверхности цилиндра
Самостоятельная работа.

I вариант

II вариант


  1. Развертка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8 см , а угол между диагоналями – 30 о . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  2. Сечение цилиндра плоскостью , параллельной его оси есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90 о . Радиус цилиндра равен 4 см . Найдите площадь сечения.
Ответы:

I вариант: 1. 50 см 2 ; 2. 30 см 2 ;

II вариант: 1. 16 см 2 ; 2. 32 см 2 .

По теме: «Конус»

Вопросы математического диктанта.

I Вариант


  1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса?

  2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью , проходящей перпендикулярно оси цилиндра?

  3. Чему равна площадь осевого сечения цилиндра , если его высота в 2 раза больше радиуса основания и равна 5см ?

  4. Что представляет собой сечение конуса плоскостью , проходящей через вершину конуса?

  5. Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной а . Чему равна высота конуса?
II Вариант

  1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса?

  2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью , проходящей через ось цилиндра?

  3. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, а радиус основания конуса 3 см ?

  4. Что представляет собой сечение конуса плоскостью , параллельной двум образующим конуса?
    Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна а . Найти высоту цилиндра.
Опрос:

Задачи (устно).

  1. Найти длину дуги в 30 о , если R = 10 см .

  1. Найти площадь сектора в предыдущей задаче.

Самостоятельная работа на 30 мин . Выполняется в домашних тетрадях.

Вариант I

Вариант II

Найдите:

    Полукруг свернут в коническую поверхность. Найти угол между образующей и высотой конуса.

  1. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 7 . образующая 5 . Найти площадь осевого сечения.
Ответы: Вариант I: 1. ; 2. 216 о ; 3.20 . Вариант II: 1. ; 2. 30 о ; 3. 30 .

По теме: «Сфера и Шар»

Математический диктант.

Вариант I


(x-2) 2 +(y + 3) 2 +z 2 = 25.

  1. R = 7 с центром в точке A(2; 0; -1).

  2. Лежит ли точка А(-2; 1; 4) на сфере , заданной уравнением
(x+2) 2 +(y-1) 2 +(z-3) 2 =1 .

Вариант II

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением (x+3) 2 +y 2 +(z - 1) 2 =16.

  2. Напишите уравнение сферы радиуса R = 4 с центром п точке А (-2:1:0) .

  3. Лежит ли точка А(5:-1;4 ) на сфере , заданной уравнением
(х-3) 2 +(у+1) 2 +(z-4) 2 =4.
Ответы проверяются.

Карточка I

Радиус шара равен 12 . Точка находится на касательной плоскости и на расстоянии 16 от точки касания. Найти ее кратчайшее расстояние от поверхности шара.

Ответ: 2 см 2 .

Карточка II

Все стороны ромба стороной 6 см касаются сферы радиусом 5 см . Расстояние от плоскости ромба до центра сферы 4 см . Найти площадь ромба.

Ответ: 36 см 2 .

Вопросы:


  • Что называется сферой? Центром сферы? Радиусом сферы? Как может быть получена сфера?





  • Какая плоскость называется касательной к сфере?

Карточка I

Стороны треугольника 13, 14, 15 . Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара , касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 .

(Ответ: 3 )

Карточка II

Диагонали ромба 15 и 20 . Его стороны касаются шара, радиус которого 10 . Найти расстояние от центра до плоскости ромба.

(Ответ: 8 )

Вопросы:


  • Что называется сферой? Центром сферы? Радиусом сферы? Диаметром сферы? Как может быть получена сфера?

  • Что называется шаром? Как может быть получен шар?
    Что называется уравнением поверхности?

  • Какой вид имеет уравнение сферы?

  • Каково взаимное расположение сферы и плоскости?

  • Что является сечением сферы? шара?

  • Площадь круга. Длина окружности.

  • Свойство касательной плоскости к сфере.

  • Площадь сферы.

  • Какой угол называется вписанным в окружность? Величина вписанного угла. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?
Самостоятельная работа. «Да и нет не говорите , лучше сразу напишите». сеч = *3 9,42.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Негосударственное образовательное учреждение

«Владивостокский морской техникум»

Контрольная работа по математике

раздел Геометрия

Тема: Цилиндр, конус и шар

Подготовила:

Преподаватель математики 1 квалификационной категории

Вариант 1

1. Ответить на вопрос:

Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(2,4,5), R=5

А(3,5,6), N(2,3,6)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 8см.

Вариант 2

1. Ответить на вопрос:

Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(-5,-1,0), R=4

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(-2,4,1), N(2,-3,4)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 11см.

____________________________________________________________________________

Вариант 3

1. Ответить на вопрос:

Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(-1,2,0), R=7

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(-4,0,1), N(2,0,-4)

____________________________________________________________________________

Вариант 4

1. Ответить на вопрос:

Равны ли друг другу углы между образующими конуса и его осью?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(8,-1,0), R=5

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(-2,3,4), N(2,0,-4)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6см.

____________________________________________________________________________

Вариант 5

1. Ответить на вопрос:

Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(3,-1,0), R=3

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(2,0,4), N(2,1,-1)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2см.

___________________________________________________________________________

Вариант 6

1. Ответить на вопрос:

Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(4,4,4), R=4

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(-1,3,1), N(2,0,-2)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 1см.

____________________________________________________________________________

Вариант 7

1. Ответить на вопрос:

Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(1,-1,5), R=3

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(-2,0,0), N(2,0,-4)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 9см.

____________________________________________________________________________

Вариант 8

1. Ответить на вопрос:

Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: А(6,-5,7), R=5

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку, если

А(0,3,6), N(2,3,5)

4. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 4см.

____________________________________________________________________________

1 вариант

(x-2)2+(y-4)2+(z-5)2=25

(x-3)2+(y-5)2+(z-6)2=5

2 вариант

(x+5)2+(y+1)2+z2=16

(x+2)2+(y-5)2+(z-6)2=74

Цели:

  1. Вывести формулы для вычисления площади поверхности цилиндра и показать их применение в процессе решения задач.
  2. Совершенствовать навыки решения задач.
  3. Развитие пространственного мышления, устной и письменной математической речи, навыков самостоятельной работы.
  4. Воспитание познавательных интересов, уверенности в общении, раскованности.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели.

II. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос:

Что такое цилиндр? Как его можно получить?

Что такое сечение? Какие сечения могут быть у цилиндра?

Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?

Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Проверка домашнего задания: № 524. Осевые сечения двух цилиндров равны (рис. 1). Равны ли высоты этих цилиндров?

Ответ: нет, не равны.

III. Изучение новой темы.

Дано: Прямой цилиндр (рис. 2).

Найти: площадь поверхности цилиндра.

Учитель: Разрежем мысленно цилиндр по образующей АВ и h развернем поверхность цилиндра, получим развертку цилиндра (рис. 3).

Как вы думаете, как можно найти площадь поверхности цилиндра? Заслушать варианты решений, выбрать из предложенных наиболее удачный, и решение записать в тетрадях и на доске.

1. Площадь основания окружности

2. Площадь боковой поверхности .

3. Число Архимеда.

Площадь полной поверхности цилиндра (рис. 3)

IV. Закрепление изученного материала.

1. Практическое задание (учащиеся работают в парах).

Учитель раздает учащимся развертки цилиндров различных размеров. Выполнить необходимые измерения и вычислить:

А) площадь основания;

Б) площадь боковой поверхности;

В) площадь полной поверхности;

После окончания работы учащиеся обмениваются тетрадями с товарищами с соседней парты для взаимопроверки. Оценки сообщают учителю.

2. Фронтальная работа.

Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в 2 раза больше высоты второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Задача обсуждается, намечается план решения задачи. Слабые учащиеся выполняют одновременно с учеником, решающим задачу у доски. Сильные работают самостоятельно. Кто решит быстрее.

Дано: 2 цилиндра; h 1 =2h 2 , r 2 =2r 1 .

На какой цилиндр расходуется больше никеля?

S 1 =2Пr 1 (h 1 +r 1)=2Пr 1 (2h 2 +r 1)=4Пr 1 h 2 +2Пr 1 2

S 2 =2Пr 2 (h 2 +r 2)=2П·2r 1 (h 2 +2r 1)=4Пr 1 h 2 +8Пr 1 2

Сравним S 1 и S 2 видим, что S 2 > S 1 , следует, на второй цилиндр расходуется никеля.

Ответ: Больше никеля расходуется на второй цилиндр.

Учитель просит учащихся дать самооценку своей работе на уроке учитывая:

а) активность при теоретическом опросе;

б) выполнение домашнего задания;

в) помощь учителю при изучении новой темы;

г) правильность выполнения практической работы;

д) самостоятельность при выполнении последней задачи.

Учитель соглашается с самооценкой ученика или нет, объясняет почему, и выставляет оценки в журнал.

V. Итог урока.

Что нового мы узнали на уроке?

На каком этапе урока вы испытывали затруднения? Почему?

90 ° .

2. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Сечение - прямоугольник.

3. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

АВ и CD лежат в параллельных плоскостях.

Н - высота цилиндра.

4. Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Первая деталь Вторая деталь

2l , l - высота (образующая),

r/2, r - радиус основания,


Боковые поверхности равны, но площадь двух оснований второй детали больше площади двух оснований первой детали.

5. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?


а) да; б) да.

6. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Равнобедренный треугольник.

7. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?

8. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 √2 см лежать на сфере радиуса √5 см?

Вычислим гипотенузу прямоугольного треугольника:


Гипотенуза не помещается внутри сферы, тогда, хотя бы одна вершина лежит вне сферы.

9. Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Одна сфера всегда будет внутри другой, поэтому общую касательную плоскость провести невозможно.

10. Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

Это сфера, у которой данный отрезок является диаметром.

Цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (Рис.1).

Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими.

Так как основания совмещаются параллельным переносом, то они равны. И так как они лежат в параллельных плоскостях, то образующие цилиндра параллельны и равны.

Если образующие перпендикулярны основанию, то цилиндр называется прямым.

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. А высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Сечение цилиндра плоскостями

Если взять сечение цилиндра плоскостью, проходящей по его оси, то получится прямоугольник. (Рис.1) Такое сечение называется осевым. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также представляет собой прямоугольник. Две его стороны - образующие цилиндра, а две другие стороны - параллельные хорды оснований.

Теорема. Плоскость сечения цилиндра, параллельная его плоскости основания, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. (Рис.1.1)

Пусть плоскость α - секущая плоскость, параллельная основанию. Подвергнем плоскость α движению в верх вдоль оси цилиндра. Параллельным переносом совместим плоскость α с плоскостью верхнего основания цилиндра. Таким образом сечение боковой поверхности совпадет с окружностью верхнего основания. Теорема доказана.