Поэтому говорят, что
На координатном луче равные дроби соответствуют одной и той же точке (рис. 117).
Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число. Дробные числа можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. Для краткости обычно говорят о сравнении, сложении, вычитании, умножении и делении дробей.
Пирог разрезали на 5 долей и 2 доли положили на одну тарелку, а 3 доли - на другую (рис. 118). Две доли составляют пирога, а три доли - пирога. Так как 2 доли меньше, чем 3 такие же доли, то
Из двух дробей
с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
Точка на координатном луче, имеющая меньшую координату, лежит слева от точки, имеющей большую координату.
Приведите пример двух равных дробей с различными числителями.
Как изображаются равные дроби на координатном луче?
Какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше, а какая больше?
Какая из точек лежит на координатном луче левее - с меньшей или с большей координатой?
940. Объясните с помощью рисунка, почему
941. Начертите в тетради отрезок длиной в 18 клеток. С помощью этого отрезка объясните, почему:
942. Единичный отрезок равен 12 клеткам. Отметьте на координатном луче точки 
. Объясните результат.
943. Отметьте на координатном луче точки, координаты которых равны:
944. Единичный отрезок равен длине 6 клеток тетради. Отметьте на координатном луче точки с координатами 
. Какая из этих точек левее всех расположена на луче, а какая правее всех?
945. Расставьте в порядке возрастания дроби:
Расставьте эти дроби в порядке убывания.
946. Замените звездочку знаком < или > в записях:
947. Какая из дробей больше:
948. Какая из точек лежит левее на координатном луче :
949. Вычислите устно:
950. Прочитайте дроби:
Назовите числитель и знаменатель.
951. На координатном луче отмечены следующие точки:
Есть ли среди них совпадающие?
952. Какую часть на рисунке 120 составляет:
а) треугольник АВО от четырехугольника АВСО
б) треугольник АВО от четырехугольника ABCD
в) четырехугольник АВСО от четырехугольника ABCD
г) четырехугольник АВСО от шестиугольника ABCDEK?
953. Попробуйте найти самый короткий путь по поверхности куба от точки А к точке В (рис. 121). Сколько таких путей можно указать?
а) 5 на 2; б) 100 на 30; в) 29 на 9; г) 100 на 11.
955. Какую долю составляют:
а) сутки от года; в) дециметр от метра;
б) сутки от недели; г) 1 см 3 от литра?
Подумайте, почему 1 см 3 называют еще и миллилитром (1 мл).
956. Объем кувшина 5 л. В него налили а л воды. Какая часть объема кувшина занята водой? Дайте ответ при а - 1; 2; 3; 4.
967. Какую часть недели составляют:
а) пять суток;
б) шесть суток?
968. Масса тыквы 2 кг 800 г. Найдите массу:
969. Дом занимает всего садового участка. Найдите площадь участка, если площадь земли под домом 40 м 2 .
970. Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного мотоциклиста 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся, если сейчас между ними 348 км?
971. Масса пачки печенья 125 г, а масса пачки сухарей 380 г. Что тяжелее:
а) 9 пачек печенья или 4 пачки сухарей;
б) 22 пачки печенья или 7 пачек сухарей?
972. В литровой банке помещается 910 г пшена или 780 г гороха. Какая масса меньше:
а) 3 банок пшена или 4 банок гороха;
б) 7 банок пшена или 8 банок гороха?
973. От куска проволоки длиной а м в первый раз отрезали b м, а во второй раз - см. Какой смысл имеют следующие выражения:
a) b + с; б) а - (b + с); в) а - b; г) а - b - c
Какие из этих выражений принимают одинаковые значения при любых значениях букв a, b, c? Проверьте ваш ответ при а = 45, b = 7 и с = 12.
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика
5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Планирование по математике, учебники и книги онлайн , курсы и задачи по математике для 5 класса скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиС р а в н е н и е о б ы к н о в е н н ы х д р о б е й 5 класс (декабрь) Презентацию подготовила учитель математики Харкевич О.Г.
Цели урока: ввести правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми числителями; ввести правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями; ввести правила сравнения обыкновенных правильных и неправильных дробей.
Решите задачу В классе 30 учеников. Задачу по алгебре решили всех учащихся, задачу по геометрии - , а - обе задачи. Сколько учеников решили только задачу по алгебре, только по геометрии? Сколько учеников решили обе задачи? Сколько учеников не решили ни одной задачи?
Упражнение на внимание!
Упражнение на внимание!
Математический диктант Составьте и запишите дроби по рисункам.
7. 8. проверим правильность решения поочереди выходим к доске и из лепестков ромашки выбираем правильные ответы 9.
Сравнение. Тема урока: "Сравнение дробей".
Практическое задание. На координатном луче отмечены дроби: 1-й ряд: Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми знаменателями. 2-й ряд: Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми числителями. 3-й ряд: Запишите неравенства двух дробей, одна их которых правильная, а другая неправильная. 1 0
1 группа Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
2 группа Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше, и больше та, у которой знаменатель меньше.
3 группа Правильная дробь всегда меньше неправильной.
Физкультурная минутка - правильная дробь - несократимая дробь - несократимая дробь - правильная дробь - сократимая дробь «Да» - делаем наклоны вперед, руки на поясе. «Нет» - делаем повороты туловищем, руки за голову. - правильная дробь - сократимая дробь - неправильная дробь - правильная, несократимая дробь
Лабораторная работа Сравните и сделайте вывод. 1 вариант 2 вариант 1 1 и и и и и и > >
В ы в о д: 1 вариант 2 вариант При сравнении правильной и неправильной дробей удобно сравнивать их с 1 При сравнении двух правильных дробей удобно пользоваться сравнением этих дробей с 1 2
Первичное закрепление Сравните: 1. и и и 3. 2. - неправильная дробь - правильная дробь > Числители этих дробей одинаковые, знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй дроби >
4. и и 5. Знаменатели этих дробей одинаковые, числитель первой дроби больше, чем числитель второй дроби > Неприменимо ни одно из известных нам пока правил Какой способ сравнения применим в данном случае? Подведение итогов урока
Перефразируя Л.Н. Толстого, можно сказать, что человек подобен дроби, числитель – это хорошее, что о нём говорят и думают люди, а знаменатель – это то, что думает о себе сам. Известное правило – чем больше числитель, тем больше дробь, верно не только в математике, но и в жизни.
Задание на дом № 965 № 966 № 967 Повторить: 1) сокращение дробей; 2) приведение дробей к новому знаменателю.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.
Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8
частей, а другой на 5
частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?
Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4;
6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3
(12:
4=3
). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2
(12:
6=2
). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10)
, то и сама первая дробь меньше второй дроби.
Характеристика темы:
Данный урок в главе V “Дроби” п. 5.5. “Сравнение дробей”. /По учебнику С.А. Козлова, А.Г. Рубин. Математика. Учебник. 5 класс. Часть 2. Учебник для общеобразовательных учреждений. В 2 ч. – М.: БАЛАСС, 2011./ Учащиеся знают понятие дроби, основное свойство дроби, сравнивать дроби с одинаковыми числителями, с одинаковыми знаменателями, правильные и неправильные дроби, умеют приводить дроби к общему знаменателю. Урок длится 90 мин. согласно блочной системе, принятой в нашей школе.
Система целей к уроку.
Общие дидактическая цель: приобретение новых знаний с использованием ранее изученного материала, выработка умений и навыков их применения к решению задач.
Триединая дидактическая цель.
Образовательный аспект: Создать условия для актуализации и усвоения знаний осравнении разных дробей, формирования умений применять эти знания для сравнения дробей, с разными знаменателями и числителями.
Воспитательный аспект: Создать условия для формирования коммуникативной культуры - умения работать в группах, выслушивать и уважать мнения других. Способствовать формированию умения аккуратно вести рабочие записи.
Развивающий аспект: Создать условия для развития логического мышления, речи, интеллектуальных умений. Развивать потребность и навыки совместного поиска ответа на вопрос. Формирование исследовательских умений: способности анализировать условия задачи, результаты опыта, формулировать выводы, аргументировать собственную позицию, способствовать дальнейшему росту интереса к процессу познания.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Структура урока
2. Подготовка к основному этапу занятия. Обеспечение мотивации и принятие учащимися цели учебно-познавательной деятельности. Определение темы и задач в изучении нового материала, через создание проблемной ситуации и постановки проблемы исследования, выделение и проверка гипотезы.
3. Усвоение новых знаний. Дать учащимся конкретные представления об изу-чаемых фактах, явлениях через повторение ранее изученного; систематизация новых знаний; на основе приобретенных знаний выработка соответствующих умений и навыков.
4. Проверка понимания учащимися нового материала. Установить, усвоили или нет учащиеся связь между фактами, содержание новых понятий, закономерности; устранить обнаруженные пробелы.
5. Закрепление нового материала. Самостоятельная работа. Закрепить у учащихся знания и умения, которые необходимы для перехода учащихся на более высокий уровень (конструктивный и творческий). Проверить качество усвоения материала.
6. Тренировочные упражнения. Систематизировать и устранить пробелы в знаниях и умениях учащихся действий сложения и вычитания со смешанными числами.
7.Подведение итогов занятия. Дать оценку успешности достижения цели.
8. Информация о домашнем задании. Дать информацию о домашнем задании.
Дидактические задачи.
Подготовка учащихся к работе на уроке.
Формы организации познавательной деятельности: общеклассная; групповая; парная.
Методы обучения: Объяснительно-иллюстративные; частично-поисковые; проблемные.
Формы реализации методов: беседа, рассказ, фронтальный эксперимент, самостоятельная работа.
Средства обучения: наглядные, дидактические материал.
Система контроля на уроке.
За достижением промежуточных и конечных результатов: сочетание контроля учителя, самоконтроля, взаимоконтроля.
Конспект урока.
1. Организация начала занятия.
2. Подготовка к основному этапу занятия.
Здравствуйте, ребята! О чем мы говорили на последних уроках? (Об основном свойстве дроби, о сокращении дробей, приведение дробей к общему знаменателю)
При этом дети называют правило, которое называют.
Устная фронтальная работа.
1. На слайде записаны две дроби: 2/13 и 5/9.
Что можно сказать об этих дробях? (Они несократимы. Имеют разные знаменатели и разные числители. Дробь 2/13 меньше половины доли 1/13, а дробь 5/9 больше половины доли 1/9).
На слайде 3 вам предложены дроби, которые нужно сгруппировать.
Работа в группах. Подумайте над заданием. От каждой группы выступающий аргументирует свое решение. Другие группы высказывают свое решение, не повторяясь. Сколько групп получилось и по какому признаку?
(1 гр. – одинаковые числители
2 гр. – одинаковые знаменатели
3 гр. – четные знаменатели
4 гр. – разные числители и разные знаменатели
5 гр. – нечетные знаменатели)
2. Сравните предложенные дроби. Ответ аргументируем. Слайд 3. (Если есть интерактивная доска, то дети выходят к доске и ставят знак сравнения).
Какой пример мы затрудняемся выполнить? Почему? (Последний, т.к. мы незнаем как сравнивать дроби с разными числителями и с разными знаменателями)
Значит нам надо это изучить. Какая тема сегодняшнего урока? (Сравнение дробей. Если обучающиеся предложат тему: “Сравнение дробей с разными числителями и с разными знаменателями”, то можно записать и её.)
Запишем тему урока в тетрадь и наметим план урока. (учитель записывает предложения учащихся на доске:
* научиться сравнивать любые дроби,
* подготовиться к проверочной работе на эту тему,
* узнать, где это применяется)
Как сравнить такие дроби? Ваши предложения? (Взять полоски бумаги, смоделировать доли и сравнить их)
А если, дроби будут даны с большими знаменателями? (Обратиться за помощью к учебнику)
Прочитаем правило в учебнике. Запишите в тетрадь.
Или: дети могут догадаться и предложить привести дроби к общему знаменателю. Тогда нужно все равно обратиться к правилу в учебнике, чтобы убедиться в правильности найденного решения.
3. Усвоение новых знаний.
Поработайте в группах и составьте алгоритм сравнения дробей.
Ребята работают в группах. После определенного времени, группы выступают с решениями. Остальные слушают и дополняют алгоритм. Можно предложить нарисовать (записать) полученный алгоритм на листе формата А-3, если позволяет время. Затем лучший вывесить на доску в кабинете. Сравним с алгоритмом, который предлагают математики. Слайд 4.
4. Проверка понимания учащимися нового материала.
Решение номеров из учебника №№ 1, 2, 3, 4, 5. Желающие выходят к доске, решают пример с комментируя свое решение и с дальнейшей самооценкой по схеме. Схема вывешена на доску или можно показать слайд 5.
5. Самостоятельная работа. Задание выполняется из учебника на стр. 73.
Работа предлагается на два варианта. Варианты разные по сложности. Первый вариант более легкий, второй вариант – более сложный. Дети сам выбирают сложность варианта.
После сдачи тетрадей можно обсудить задания, которые вызвали затруднения. Вопрос, который появился у обучающегося, обсуждается вместе со всеми.
6. Тренировочные упражнения.
Решение тренировочных заданий на стр. 73 учебника. (Задания написаны на доске). Дети могут работать в парах, помогая друг другу выполнять задания. Можно самостоятельно. За выполненную работу в конце урока учитель выставляет отметку, проверив правильность выполнения заданий.
7. Итог урока.
Подведем итоги урока. Обратимся к нашему плану урока, который мы с вами написали в самом начале. Выскажитесь, пожалуйста, по каждому пункту.
Обратите внимание на памятку по итогу урока (вывешена на доске или на слайде 6)
8. Информация о д/з. Обговариваем с ребятами, что выбираем по два номера из разных уровней сложности.
Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.
Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.
Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<).
Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.
Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.
Содержание урокаСравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.
Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:
Умножим дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:
Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.
После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:
Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:
2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.
Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.
При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.
Например, 10−8=2
10 — уменьшаемое
8 — вычитаемое
2 — разность
Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.
А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2
5 — уменьшаемое
7 — вычитаемое
−2 — разность
В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.
Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.
С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.
Например, решим пример .
Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем
поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:
Теперь решим такой пример
Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:
В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.
Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .
Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .
После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое
А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
Пример 3. Найти значение выражения
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю.