Урок по теме
« Построение сечений параллелепипеда».
Цели урока:
1. Рассмотреть различные виды сечений параллелепипеда.
2. Установить взаимосвязь между видом сечения и расположением точек на ребрах параллелепипеда.
3. Выработать навыки построения сечений.
4. Развивать умение сравнивать, анализировать, делать выводы.
5. Воспитывать уважительное отношение учащихся друг к другу в процессе коллективной деятельности.
Структура урока:
Организационный момент 1 минута Вступительное слово учителя 1 минута Повторение изученного материала. 5-6 минут Поисковая деятельность. 10 минут Закрепление изученного материала. 10-12 минут Самостоятельная работа(2 варианта) 10-12 минут Домашнее задание 1 минута Итог урока 2 минуты
А1 Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
· Что значит построить сечение многогранника?
Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.
· Что такое секущая плоскость?
Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры.
· Как можно задать секущую плоскость
3 точками, прямой и не лежащей на ней точкой, 2 параллельными прямыми, 2 пересекающимися прямыми)
На самом деле при пересечении секущей плоскости и многогранника могут получаться различные фигуры: точка, отрезок, пустая фигура.
- Если при пересечении секущей плоскости и многогранника получается многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.
Проведем небольшое исследование. Цель исследования: установить, сколько сторон может иметь сечение различных многогранников?
Треугольная пирамида. n=3, 4.
Четырехугольная пирамида. n=3, 4, 5.
Поместите три точки сначала на ребра а) АА1, АВ, АД,
а затем на ребрах б) СС1, С1Д1, С1В1.
Какие фигуры получаются при построении сечения и какую можно увидеть закономерность? (Точки располагаются на ребрах, выходящих из одной вершины; треугольники)
А теперь давайте посмотрим, какая фигура или фигуры получаются, если точки поместить на параллельных ребрах параллелепипеда?
Выполнить задание 3.3 .Возьмите инструмент «стрелка» и подвигайте точку L вдоль ребра ВВ1.(четырехугольник или пятиугольник)
Какое свойство использовалось при построении данных сечений?
Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны.
Выполнить задание 3.4.
ИТОГ работы: заполненная таблица исследования.
Число граней многогранника. | Многогранник. | n – число сторон сечения. |
Треугольная пирамида. | ||
Четырехугольная пирамида. | ||
Параллелепипед. |
Вывод: на ибольшее число сторон многоугольника полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.
3.Тренировочные упражнения.
https://pandia.ru/text/78/548/images/image005_7.jpg" width="309" height="201 src=">
3. .Построить сечение параллелепипеда плоскостью Аı Сı
D
4. 
5. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через 3 точки.
6.Итоги урока:
· Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.
· Наибольшее число сторон многоугольника полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.
· Если секущая плоскость пересекает 2 противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то это отрезки параллельны.
7.Домашнее задание.
· Подготовить презентацию, о несуществующих объектах, объяснить, какие законы геометрии в них нарушены и почему.
· Построить сечения параллелепипеда, проходящие через точки
В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме « Задачи на построение сечений в параллелепипеде». Вначале мы повторим четыре основные опорные свойства параллелепипеда. Затем, используя их, решим некоторые типовые задачи на построение сечений в параллелепипеде и на определение площади сечения параллелепипеда.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде
В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде» .
Рассмотрим параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 1). Вспомним его свойства.
Рис. 1. Свойства параллелепипеда
1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.
Например, параллелограммы АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.
2) Длины параллельных ребер равны.
Например, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (рис. 2).
Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны
3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Например, диагонали параллелепипеда BD 1 и B 1 D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).
4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.
Задача на сечение параллелепипеда
Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 и точки M, N, K на ребрах AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA 1 D 1 и в секущей плоскости. Значит, MN - линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 13, 14, 15 стр. 50
2. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 . М и N - середины ребер DC и A 1 B 1 .
а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ 1 С 1 С.
б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ 1 С 1
3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через ВС 1 и середину М ребра DD 1 .
Практическое занятие: «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».
1. Цель практической работы : . Закрепить знания теоретического материала о многогранниках, навыки решения задач на построение сечений, умения анализировать чертеж.
2.Дидактическое оснащение практической работы : АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.
Время:2 часа
Задания к работе:
Задание 1
Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A 1 B 1, А D , DC
Образец и последовательность решения задачи:
1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.
4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.
5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.
6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.
Задание 2
Вариант1. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками M , N и P
1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА
2 Уровень. M лежит в грани AA1D1D, N лежит в грани АА1В1В, P лежит в грани СС1D1D.
3 Уровень. M лежит на диагонали B1D, N лежит на диагонали АС1, P лежит на ребре С1D1.
Вариант2. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом
1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС
2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.
3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D
Порядок выполнения работы:
1.Изучите теоретический материал по темам:
Параллелепипед.
Прямой параллелепипед.
Наклонный параллелепипед.
Противолежащие грани параллелепипеда.
Свойства диагоналей параллелепипеда.
П онятие секущей плоскости и правила её построения.
Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.
2. Постройте параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
3.Разберите решение задачи № 1
4.Последовательно постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.
5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней
Критерии оценивания :
Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2010г
Дидактический материал к заданию практического занятия
К задаче № 1:
Некоторые возможные сечения:
Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки
В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме « Задачи на построение сечений в параллелепипеде». Вначале мы повторим четыре основные опорные свойства параллелепипеда. Затем, используя их, решим некоторые типовые задачи на построение сечений в параллелепипеде и на определение площади сечения параллелепипеда.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде
В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде» .
Рассмотрим параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 1). Вспомним его свойства.
Рис. 1. Свойства параллелепипеда
1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.
Например, параллелограммы АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.
2) Длины параллельных ребер равны.
Например, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (рис. 2).
Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны
3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Например, диагонали параллелепипеда BD 1 и B 1 D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).
4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.
Задача на сечение параллелепипеда
Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 и точки M, N, K на ребрах AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA 1 D 1 и в секущей плоскости. Значит, MN - линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 13, 14, 15 стр. 50
2. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 . М и N - середины ребер DC и A 1 B 1 .
а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ 1 С 1 С.
б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ 1 С 1
3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через ВС 1 и середину М ребра DD 1 .