Вот такой вот вопрос: "Параллелепипед. Объясните, где у него шесть граней?". Если математики не сумели вам внятно объяснить конструкцию параллелепипеда, тогда я попытаюсь это сделать. Говорить будем только о гранях параллелепипеда, не вникая в другие конструктивные детали данной математический модели, ведь мы не в автосалоне, а я не менеджер, пытающийся продать вам устаревшую модель параллелепипеда.
И так, представьте, что вы, как ни в чем не бывало, уснули в своей прямоугольной (это уточнение очень важно) комнате. И вот среди ночи вы просыпаетесь внутри действующей модели параллелепипеда в натуральную величину! Не надо впадать в панику. Спокойно начинаем считать грани этого математического чуда. Стена с окном - это первая грань. Стена напротив окна - это вторая грань. Стены слева и справа от окна - это третья и четвертая грани. Пол - это пятая грань. Потолок - это шестая, и последняя, грань. Великое математическое откровение: количество граней не зависит от порядка их пересчета, главное - ничего не пропустить.
Если вы до этого момента ещё не уснули, следующий вопрос: что делать дальше? Мысленно разворачиваем математический папирус под названием "Теория множеств", ищем главу "Бесконечное математическое множество баранов" и начинаем считать. Люди говорят, данная математическая процедура очень хорошо помогает от бессонницы.
Сразу хочу честно признаться, что я вам немного соврал. Не прямоугольная комната является действующей моделью прямоугольного параллелепипеда, а совсем наоборот - является математической моделью комнаты. Особенно хорошо это видно во время . Площадь стен будет являться площадью поверхности боковых граней прямоугольного параллелепипеда. Площадь пола или потолка определяется также, как площадь основания в параллелепипеде. Конечно, строители внесли свои нюансы в математические правила определения площадей, но мы их сейчас уточнять не будем.
Кстати, и прямоугольность комнаты целиком зависит от качества строительства. Это только в древней Греции математика была настолько развита, что знаменитое здание Парфенона в Афинах построено почти без прямых углов и прямых линий. Там в основу архитектуры здания была заложены не математическая безупречность, а оптические иллюзии. Боюсь, современным математикам подобная задача уже не по плечу - слишком высоко в облаках они витают. Но мы несколько отвлеклись от граней параллелепипеда.
Если пересчитать грани параллелепипеда вам приспичило днем, а не ночью, тогда достаем из гардероба прямоугольную коробку с туфлями. Донышко коробки - это одна грань, она же нижнее основание параллелепипеда. Крышка коробки - это вторая грань, она же верхнее основание. Четыре стенки обувной коробки - это грани с третьей по шестую.
Выше мы рассматривали шесть граней прямоугольного параллелепипеда. А если углы не прямые, а кривые? В этом случае мы имеем дело с обычным параллелепипедом, не прямоугольным. На количество граней это никак не влияет. Ну подумаешь, чуть-чуть помяли параллелепипед. Кстати, как математики искривляют прямоугольные параллелепипеды или выравнивают обычные? Мне на алгебру процесса интересно посмотреть. Впрочем, у математиков всё просто: произнесли священное заклинание "Пусть нам дан параллелепипед" и вот он уже белеет мелом на доске. В жизни все сложнее. Существует множество способов искривления и выпрямления параллелепипедов - от увесистой кувалды, до кокетливого "Ну, пожалуйста!". Про алгебру этих способов можно даже не спрашивать.
Если говорить серьезно, то алгебра и у прямоугольного, и у обычного параллелепипедов совершенно одинакова. Искривляется и выравнивается параллелепипед при помощи синусов углов между ребрами. У прямоугольных параллелепипедов все углы прямые и их синусы равны единице. Ленивые математики просто не пишут эти синусы в формулах. В обычных параллелепипедах синусы углов меньше единицы, так что волей-неволей их математикам приходится в формулах писать.
В заключение, как любят говорить учителя, закрепим пройденный материал. В качестве закрепителя используем простую детскую раскраску, на которой закрасим все шесть граней параллелепипеда.
Рис. 1
То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А1 В1 С1 D1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА1 , ВВ1 , DD1 , СС1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.
Свойства параллелепипеда.
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
Например:
АВСD = А1 В1 С1 D1 (равные параллелограммы по определению),
АА1 В1 В = DD1 С1 С (так как АА1 В1 В и DD1 С1 С – противоположные грани параллелепипеда),
АА1 D1 D = ВВ1 С1 С (так как АА1 D1 D и ВВ1 С1 С – противоположные грани параллелепипеда).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали АС1 , В1 D, А1 С, D1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).
Рис. 2
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А1 В1 , D1 C1 , DC, 2 – AD, A1 D1 , B1 C1 , BC, 3 – АА1 , ВВ1 , СС1 , DD1 .
Определение . Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.
Рис. 3
Определение . Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.
Параллелепипед АВСDА1 В1 С1 D1 – прямоугольный (рис. 4), если:
1. АА1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).
2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.
Рис. 4
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А1 В1 С1 D1 – прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.
АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1 , а точка D в другой – в плоскости А1 В1 С1 D1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1 АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1 АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.