Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .

Отсюда получаем .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Из уравнения следует, что .

Поэтому , , , и уравнение принимает вид или .

Так как , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем или .

Ответ: .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением .

Пример 4 . Решить уравнение: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х 2 + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х 2 + 2х положительна на промежутках (–∞; –2) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0) она отрицательна (см. рисунок).

х 2 ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х 2 ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1) х ≤ ‒2: х = 1/2

2) –2 ≤ x <0: ‒(х 2 + 2х) – (2 – х) = х 2 ‒ х, ‒х 2 ‒ 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, ‒2 х 2 = 2, х 2 = ‒1 , решений нет.

3) 0 ≤ x <1: х 2 + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х 2 ‒ х), х 2 + 2х ‒ 2 + х = ‒х 2 + х, 2х 2 + 2х – 2 = 0, х 2 + х – 1 = 0, √D = √5,
х 1 = (‒1 ‒ √5)/2 и х 2 = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4) 1 ≤ x <2: х 2 + 2х – (2 – х) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5) х ≥ 2: х 2 + 2х –(‒(2 – х)) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х + 2 ‒ х = х 2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2 .

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5 . Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1) 3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х 1 = 6, х 2 = ‒2 .

2) 3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,
х 3 = 4 , х 4 = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Инструкция

Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.

Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!

Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.

Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Видео по теме

Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.

Вам понадобится

• - линейное уравнение с двумя переменными;
• - второе уравнение или дополнительные условия.

Инструкция

Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.

Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.

Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

• - система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

• решений уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.

Инструкция

Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.

Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.

Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.

В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.

Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.

Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.

Видео по теме

Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.

Инструкция

Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.

Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.

Видео по теме

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.

Инструкция

Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.

Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение общего вида

где x - свободная переменная,

a, b, c, - коэффициенты, причём

Выражение называют квадратным трёхчленом.

Способы решения квадратных уравнений.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0 , то уравнение

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac < 0 , уравнение

ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.

Например,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р - четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

5. СПОСОБ: Решение уравнений графически.

Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0.

Построим график функции у = х2 - 2х - 3

1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы - прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = - 1, х2 - 3.

Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x 2 -7x-15.

Решение. 2x 2 -7x-15=0.

a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3x 2 +2x-8 .

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .

Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .

Пример 3) . 5x 2 -3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).

Пример 4). 6x 2 +x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .

Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .

Пример 5). x 2 -13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .

Пример 6). x 2 -4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.