для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х 1 =0, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
х 1 =2, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:
Пример 1). 2x 2 -7x-15.
Решение. 2x 2 -7x-15=0.
a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.
Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).
Пример 2). 3x 2 +2x-8 .
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .
Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .
Пример 3) . 5x 2 -3x-2.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.
Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).
Пример 4). 6x 2 +x-5.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .
Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .
Пример 5). x 2 -13x+12.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.
a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.
D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:
x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).
Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .
Пример 6). x 2 -4x-6.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .
Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:
Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.
Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.
Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.
На практике это делается так:
1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.
2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.
3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).
4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).
Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.
Решение уравнений с модулями
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .
Отсюда получаем .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Из уравнения следует, что .
Поэтому , , , и уравнение принимает вид или .
Так как , то исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .
Полученное уравнение относится к уравнениям типа .
Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем или .
Ответ: .
Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением .
Пример 4 . Решить уравнение: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|
Находим нули подмодульных выражений:
х 2 + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х 2 + 2х положительна на промежутках (–∞; –2) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0) она отрицательна (см. рисунок).
х 2 ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х 2 ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).
2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).
Теперь решаем уравнения на промежутках:
1) х ≤ ‒2: х = 1/2
2) –2 ≤ x <0: ‒(х 2 + 2х) – (2 – х) = х 2 ‒ х, ‒х 2 ‒ 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, ‒2 х 2 = 2, х 2 = ‒1 , решений нет.
3) 0 ≤ x <1:
х 2 + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х 2 ‒ х), х 2 + 2х ‒ 2 + х = ‒х 2 + х, 2х 2 + 2х – 2 = 0, х 2 + х – 1 = 0, √D = √5,
х 1 = (‒1 ‒ √5)/2 и х 2 = (‒1 + √5)/2.
Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.
4) 1 ≤ x <2: х 2 + 2х – (2 – х) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)
5) х ≥ 2: х 2 + 2х –(‒(2 – х)) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х + 2 ‒ х = х 2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).
Ответ: (‒1 + √5)/2 .
Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.
А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.
Пример 5 . Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1
Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:
3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1
Решаем каждое уравнение отдельно.
1)
3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х 1 = 6, х 2 = ‒2
.
2)
3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,
х 3 = 4 , х 4 = 0.
Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Цели:
- Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
- Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
- Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.
Тип урока : комбинированный.
Оборудование: графопроектор.
Наглядность: таблица «Теорема Виета».
Ход урока
1. Устный счет
а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?
б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?
в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?
г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2
2. Самостоятельная работа (в группах)
Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»
1 группа
Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Составить уравнение:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
е=1(-2)(-3)6=36
х 4 - 2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера
р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36
р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2
р 2 (x) = х 2 -3х -18=0
х 3 =-3, х 4 =6
Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)
2 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5
Составить уравнение:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
е=2(-1)2*5=-20;е=-20
8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20
р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5
Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)
3 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3
Составить уравнение:
В=-1+1-2+3=1;в=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
е=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3 - 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.
р = ±1;±2;±3;±6
р 4 (1)=1-1-7+1+6=0
р 3 (x) = х 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3
Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)
4 группа
Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3
Составить уравнение:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36
х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36
р = ±1;±2;±3…
р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0
р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0
р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3
Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)
5 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4
Составить уравнение
х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.
р = ±1;±2;±3
р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О
р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)
6 группа
Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Составить уравнение
B=1+1-3+8=7;b=-7
с=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
х 4 - 7х 3 - 13х 2 + 43 x - 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.
р 4 (1)=1-7-13+43-24=0
р 3 (1)=1-6-19+24=0
р 2 (x)= х 2 -5x - 24 = 0
х 3 =-3, х 4 =8
Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)
3. Решение уравнений с параметром
1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх - 15 = 0; если один из корней равен (-1)
Ответ записать в порядке возрастания
R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0
х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0
По условию х 1 = - 1; Д=1+15=16
Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0
х 2 =-1-4 = -5;
х 3 =-1 + 4 = 3;
Ответ:- 1;-5; 3
В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)
2. Найти все корни многочлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.
Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)
Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а
Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а
x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(х-3)(х 2 -6) = 0
3) а=0, х 2 -0*х 2 +0 = 0; х 2 =0; х 4 =0
а=0; х=0; х=1
а>0; х=1; х=а ± √а
2. Составить уравнение
1 группа . Корни: -4; -2; 1; 7;
2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;
3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;
4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;
5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;
6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.