Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде
где a (x ) и b (x ) − непрерывные функции. Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки
Новое дифференциальное уравнение для функции z (x ) имеет вид
и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
МЕТОД БЕРНУЛИ.
Рассматриваемое уравнение можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: где u, v - функции от x . Дифференцируем: Подставляем в исходное уравнение (1): (2) В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения: (3) Уравнение (3) - это уравнение с разделяющимися переменными. После того, как мы нашли его частное решение v = v(x) , подставляем его в (2). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (3), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем: Это также уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .
64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменныхивыполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
поэтому , гдепока неопределенная функция.
Интегрируя, получаем . Частная производнаянайденной функциидолжна равняться, что даетоткудатак чтоТаким образом,.
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
65. Обыкновенные дифференциальные линейные уравнения высших порядков: однородные и неодно-родные. Линейный дифференциальный оператор, его свойства (с доказательством).
Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a , b ) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор L n (y ), который отображает функцию y (x ), имеющую производных, в функцию, имеющуюk - n производных.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
где p(x) и q(x) - заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) - новая неизвестная функция от x .
Пример 1. Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2} .
Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0 , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2} .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2} , где C(x) - неизвестная функция от x . Подставляя, получаем C"(x)=2x , откуда C(x)=x^2+C . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2} , где C - постоянная интегрирования.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y . Нормальный вид такого уравнения
\frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).
Пример 2. Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y} .
Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y :
\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const} .
Общее решение уравнения ищем в виде , где C(y) - неизвестная функция от y . Подставляя, получаем
C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
\begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}
C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.
Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}} , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:
x=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем
y=u(x)v(x),
где u(x) и v(x) - неизвестные функции от x , одна из которых, например v(x) , может быть выбрана произвольно.
Подставляя y=u(x)v(x) в , после преобразования получаем
vu"+(pv+v")u=q(x).
Определяя v(x) из условия v"+pv=0 , найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x) функцию u(x) , а следовательно, и решение y=uv уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) . В качестве v(x) можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0 .
Пример 3. Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4 .
Решение. Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x) ; имеем y"=u"v+uv" . Подставляя выражение для y и y" в исходное уравнение, будем иметь
x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
Функцию v=v(x) находим из условия x(x-1)v"+v=0 . Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1} , и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1 , из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C . Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) будет
y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1}, или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.
Используя начальное условие y|_{x=2}=4 , получаем для нахождения C уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2 , откуда C=0 ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2 .
Пример 4. Известно, что между силой тока i и электродвижущей силой E в цепи, имеющей сопротивление R и самоиндукцию L , существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt} , где R и L - постоянные. Если считать E функцией времени t , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i :
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.
Найти силу тока i(t) для случая, когда E=E_0=\text{const} и i(0)=I_0 .
Решение. Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0 . Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t} . Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R} , так что искомое решение будет
i(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .
Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x) .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид
\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta - текущие координаты точки касательной.
По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем
\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках (x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).
Исключая в системе аргумент x , получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0 .
Пример 6. Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x} , удовлетворяющее условию: y ограничено при y\to+\infty .
Решение. Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x} . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0 , будет неограниченно, так как при x\to+\infty функция \sin{x} ограничена, а e^x\to+\infty . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x} , ограниченное при x\to+\infty , которое получается из общего решения при C=0 .
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n , где n\ne0;1 (при n=0 и n=1 это уравнение является линейным).
С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}} уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 7. Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3 .
Решение. Делим обе части уравнения на y^3 :
\frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x
Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z" , откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2} . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение
-\frac{z"}{2}-xz=-x или z"+2xz=2x , общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.
Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения
\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2} или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.
Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x) .
Пример 8. Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}. .
Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0 имеет вид y=\frac{C}{x} . Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x} , где C(x) - новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь
C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.
Для нахождения функции C(x) получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем
\frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.
Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}} .
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.
Пример 9. Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0 .
Решение. Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0. .
Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2} , получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0 .
Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}} приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x , общее решение которого z=1-x+Ce^{-x} .
Заменяя z его выражением через y , получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x} .
В некоторых уравнениях искомая функция y(x) может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0 .
Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по x , получаем
\int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x) или \int\limits_{0}^{x}y(t)\,dx=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x^2y(x).
Дифференцируя еще раз по x , будем иметь линейное однородное уравнение относительно y(x)\colon
y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) или x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем y=\frac{C}{x^3}e^{-1/x} . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
где p(x) и q(x) - заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
Y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
Y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) - новая неизвестная функция от x .
Пример 1. Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2} .
Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0 , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2} .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2} , где C(x) - неизвестная функция от x . Подставляя, получаем C"(x)=2x , откуда C(x)=x^2+C . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2} , где C - постоянная интегрирования.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y . Нормальный вид такого уравнения
\frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).
Пример 2. Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y} .
Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y :
\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const} .
Общее решение уравнения ищем в виде x=C(y)e^{\sin{y}} , где C(y) - неизвестная функция от y . Подставляя, получаем
C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
\begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}
Итак,
C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.
Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}} , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:
X=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем
Y=u(x)v(x),
где u(x) и v(x) - неизвестные функции от x , одна из которых, например v(x) , может быть выбрана произвольно.
Подставляя y=u(x)v(x) в , после преобразования получаем
Vu"+(pv+v")u=q(x).
Определяя v(x) из условия v"+pv=0 , найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x) функцию u(x) , а следовательно, и решение y=uv уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) . В качестве v(x) можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0 .
Пример 3. Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4 .
Решение. Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x) ; имеем y"=u"v+uv" . Подставляя выражение для y и y" в исходное уравнение, будем иметь
X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
Функцию v=v(x) находим из условия x(x-1)v"+v=0 . Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1} , и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1 , из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C . Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) будет
Y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1}, или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.
Используя начальное условие y|_{x=2}=4 , получаем для нахождения C уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2 , откуда C=0 ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2 .
Пример 4. Известно, что между силой тока i и электродвижущей силой E в цепи, имеющей сопротивление R и самоиндукцию L , существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt} , где R и L - постоянные. Если считать E функцией времени t , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i :
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.
Найти силу тока i(t) для случая, когда E=E_0=\text{const} и i(0)=I_0 .
Решение. Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0 . Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t} . Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R} , так что искомое решение будет
I(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .
Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x) .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид
\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta - текущие координаты точки касательной.
По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем
\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках ( x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).
Исключая в системе аргумент x , получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0 .
Пример 6. Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x} , удовлетворяющее условию: y ограничено при y\to+\infty .
Решение. Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x} . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0 , будет неограниченно, так как при x\to+\infty функция \sin{x} ограничена, а e^x\to+\infty . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x} , ограниченное при x\to+\infty , которое получается из общего решения при C=0 .
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n , где n\ne0;1 (при n=0 и n=1 это уравнение является линейным).
С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}} уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 7. Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3 .
Решение. Делим обе части уравнения на y^3 :
\frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x
Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z" , откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2} . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение
-\frac{z"}{2}-xz=-x или z"+2xz=2x , общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.
Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения
\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2} или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.
Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x) .
Пример 8. Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}. .
Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0 имеет вид y=\frac{C}{x} . Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x} , где C(x) - новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь
C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.
Для нахождения функции C(x) получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем
\frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.
Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}} .
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.
Пример 9. Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0 .
Решение. Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0. .
Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2} , получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0 .
Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}} приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x , общее решение которого z=1-x+Ce^{-x} .
Заменяя z его выражением через y , получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x} .
В некоторых уравнениях искомая функция y(x) может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0 .
Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по x , получаем
\int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x) или Источник информации
Характеристика уравнения Бернулли
Определение 1
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^{n}$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ - непрерывные функции, а $n$ - некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли.
При этом на число $n$ накладываются ограничения:
- $n\ne 0$, так как при $n = 0$ дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
- $n\ne 1$, так как если мы имеем в качестве $n$ единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.
Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$.
Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.
Замечание 1
Даниил Бернулли - физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике.
Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному
Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие:
- Умножаем уравнение на число $y^{-n} $ и получаем $y^{-n} \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^{1-n} =Q\left(x\right)$.
- Применяем замену $z=y^{1-n} $ и дифференцируем это равенство как сложную степенную функцию; получаем $z"=\left(1-n\right)\cdot y^{-n} \cdot y"$, откуда $\frac{z"}{1-n} =y^{-n} \cdot y"$.
- Подставляем значения $y^{1-n} $ и $y^{-n} \cdot y"$ в данное дифференциальное уравнение и получаем $\frac{z"}{1-n} +P\left(x\right)\cdot z=Q\left(x\right)$ или $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)$.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем следующим образом:
- Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
- Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
- Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
- Возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $, и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=1$ при $x=1$.
В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде.
При этом $n=2$, $P\left(x\right)=\frac{1}{x} $, $Q\left(x\right)=4-x^{2} $.
Представляем его в форме относительно замены $z$:
$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^{2} \right)$ или $z"-\frac{1}{x} \cdot z=-\left(4-x^{2} \right)$.
Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем описанным выше методом.
Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.
Имеем $I_{1} =\int \left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.
Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.
Выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.
Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $.
Записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$, то есть $u\left(x,C\right)=\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.
Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции $z$ в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $z=\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Теперь возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $:
$y^{1-2} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме.
Для поиска частного решения используем данное начальное условие $y=1$ при $x=1$:
Следовательно, частное решение имеет вид: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac{x}{2} $.
Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки
Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $y"+\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$ методом подстановки.
Применяем подстановку $y=u\cdot v$.
После дифференцирования получаем:
Функцию $v\left(x\right)$ находим из уравнения $v"+\frac{v}{x} =0$, для этого переносим второе слагаемое в правую часть.
Получаем:
$\frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} $;
разделяем переменные $\frac{dv}{v} =-\frac{dx}{x} $;
интегрируем $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откуда $v=\frac{1}{x} $.
Функцию $u\left(x\right)$ находим из уравнения $u"\cdot \frac{1}{x} =u^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} } \cdot \left(4-x^{2} \right)$, в котором учтено $v=\frac{1}{x} $ и $v"+\frac{v}{x} =0$.
После простых преобразований получаем: $u"=u^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)$.
Разделяем переменные: $\frac{du}{u^{2} } =\frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)\cdot dx$.
Интегрируем: $-\frac{1}{u} =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac{x^{2} }{2} +C$ или $\frac{1}{u} =\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.
Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac{1}{x} $, откуда $u=x\cdot y$.
Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.