Радиус - это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.
Известные величины
Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:
- длину окружности (C);
- диаметр (D) - отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
- площадь (S) - пространство, которое ограничено данной фигурой.
По длине окружности
Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.
По диаметру
Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр - это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус - 5 метров.
По площади круга
Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное - дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга - это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.
Как найти радиус описанной окружности
Предположим, что a, b, c - это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.
Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон - 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.
Как найти радиус вписанной окружности
Предположим, что a, b, c - длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.
Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.
Окружность и ее свойства
У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:
- Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем - секущей.
- Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
- Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
- Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.
МКОУ «Волчихинская СШ №2»
Учитель Бакута Е.П.
9 класс
Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников"
Цели урока:
Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран
Ход урок:
Чтобы спорилось нужное дело,
А девизом нашего урока буду такие слова:
Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
Какая фигура называется многоугольником?
Какой многоугольник называется правильным?
Какое другое название правильного треугольника?
Какое другое название правильного четырехугольника?
Формула суммы углов выпуклого многоугольника.
Формула угла правильного многоугольника.
4. Изучение нового материала. (слайды)
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.
Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):
a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника
Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):
a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника.
Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
5. Закрепление нового материала.
Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.
6. Физминутка . Раз – потянуться Два – нагнуться
Три – оглянуться Четыре – присест
Пять – руки вверх Шесть – вперед
Семь – опустили Восемь – сели
Девять – встали Десять – снова сели
7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)
Решить № 1093.
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).
п.105-108 повторить;
выучить формулы;
№ 1090, 1091, 1087(3)
Есть у математики молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, геометрия, даёшь
Для победы важную закалку.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
Примечание Презентация содержит разделы:
Повторение теоретического материала
Проверка домашнего задания
Вывод основных формул, т.е. новый материал
Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно
Просмотр содержимого презентации
«9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2»
- Чтобы спорилось нужное дело,
- Чтобы в жизни не знать неудач,
- В математики мир отправимся смело,
- В мир примеров и разных задач.
ДЕВИЗ УРОКА
Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
И открытия нас ждут обязательно!
Повторение.
- Какая геометрическая фигура
изображена на рисунке?
D
Е
2.Какой многоугольник называется
правильным?
О
3.Какая окружность называется
вписанной в многоугольник?
F
С
4.Какая окружность называется
описанной около многоугольника?
5.Назовите радиус вписанной окружности.
А
В
Н
6.Назовите радиус описанной окружности.
7.Как найти центр вписанной в правильный
многоугольник окружности?
8.Как найти центр окружности описанной около
правильного многоугольника?
Проверка выполнения
домашнего задания ..
№ 1084.
β – угол, соответствующий
дуге, которую стягивает
сторона многоугольника .
О
А п
А 2
β
Ответы:
а) 6;
б) 12;
А
А 1
в) 4;
г) 8;
г) 10
д) 20;
е) 7.
е) 5.
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Сумма углов правильного n -угольника
Угол правильного n - угольника
Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
окружности.
Вписанная и описанная окружность
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.
Пусть r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,
п – количество сторон и углов многоугольника.
Рассмотрим правильный п-угольник.
Пусть а – сторона п-угольника,
α – угол.
Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.
ОС – высота ∆АОВ.
∟ С = 90 º - (по построению),
Рассмотрим ∆АОС:
∟ ОАС = α /2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника),
АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),
∟ АОВ = 360 º: п,
пусть ∟АОС = β .
тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ
0,5 ∙ (360 º: п)
2 sin (180 º: п)
2 tg (180 º: п)
Площадь правильного многоугольника
Сторона правильного многоугольника
Радиус вписанной окружности
Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а
Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а
п = 3
п = 4
п = 6
2 tg (180 º: п)
2 sin (180 º: п)
тогда 180 º: п
У правильного треугольника п = 3,
откуда 2 sin 60 º =
тогда 180 º: п
У правильного четырехугольника п = 4,
откуда 2 sin 45 º =
У правильного шестиугольника п = 6,
тогда 180 º: п
откуда 2 sin 30 º =
Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:
2 R ∙ sin (180 º: п)
2 r ∙ tg (180 º: п)
треугольник
шестиугольник
Пп. 105 – 108;
№ 1087;
№ 1088 – подготовить таблицу.
n = 4
R
r
a 4
P
2
6
4
S
28
16
3
3√2
24
32
2√2
4
16
16
16√2
32
4√2
2√2
7
3,5√2
3,5
49
4
2√2
16
2
№ 1087(5)
Дано: S=16 , n =4
Найти: a, r, R, P
Мы знаем формулы:
№ 1088( 5 )
Дано: P=6 , n = 3
Найти: R, a, r, S
Мы знаем формулы:
№ 108 9
Дано:
Найти:
Подведем итог
Мы знаем формулы:
- п.105-108 повторить;
- выучить формулы;
- № 1090, 1091, 1087(3)