Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Стереометрия Расстояние между скрещивающимися прямыми
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. a b A B Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
№ 1 В единичном кубе найдите
№ 2 В единичном кубе найдите
№ 3 В единичном кубе найдите
№ 4 В единичном кубе найдите
Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и есть отрезок, соединяющий середины отрезков и Е – середина F – середина
№ 5 В единичном кубе найдите ~
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.
№ 5 В единичном кубе найдите O – проекция прямой АС на плоскость
№ 6 Дана правильная пирамида PABC c боковым ребром PA = 3 и стороной основания 2 . Найдите
Прямоугольный - прямоугольный - прямоугольный
№ 7 В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Угол между скрещивающимися прямыми
Презентация для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике по теме "Угол между скрещивающимися прямыми"...
Разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по данной теме....
В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:
- Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
- Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.
Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.
Расстояние между прямыми в пространстве
Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .
Рис. 1. Чертеж к задаче
Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).
Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости
Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).
Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке
Находим уравнение плоскости MNB
1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M
, N
и B
1: 
Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:
Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:
Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.
Приведем без доказательств сведения из стереометрии, необходимые для решения названной задачи.
1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок,
концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен к ним.
2. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единствен.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние между прямыми (рис. 8.7).
Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае может быть следующим:
1) вводится новая система плоскостей проекций
П 1 , П 4 , таким образом, что П 4 // АВ, т.е. на КЧ
строится ось х 1 // А 1 В 1 ;
2) на П 4 строятся новые проекции А 4 В 4 (НВ отрезка АВ) и C 4 D 4 ;
3) вводится новая система плоскостей П 4 , П 5 с
осью х 2 ^ А 4 В 4 такая, что П 5 ^ AB;
4) на П 5 строятся новые проекции – отрезок C 5 D 5 и точка А 5 = В 5 ;
5) строится перпендикуляр E 5 F 5 ^ C 5 D 5 из точки
Е 5 (= А 5 = В 5);
В итоге, по смыслу построений в методе замены плоскостей проекций и приведенному понятию расстояния между скрещивающимися прямыми, получаем, что r(E 5 , C 5 D 5) = r(AB, CD). Для полноты решения задачи необходимо вернуть отрезок EF длиной r(AB, CD) на исходные плоскости проекций:
1) строим E 4 F 4 // x 2 ;
2) строим E 1 F 1 по проекциям E 5 F 5 , E 4 F 4 ; E 2 F 2 по проекциям E 4 F 4 , E 1 F 1 .
Отрезки E 2 F 2 , E 1 F 1 представляют собой основные проекции отрезка EF.
В стереометрии известно еще одно определение рассматриваемого расстояния: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.
Такое определение расстояния позволяет предложить более короткий путь решения рассматриваемой задачи. Пусть AB и CD – скрещивающиеся прямые (рис. 8.8). Переместим в пространстве прямую АВ параллельно самой себе в положение А 1 В 1 до пересечения с CD. Если взять теперь на прямой АВ любую точку Е и опустить из этой точки перпендикуляр ЕЕ 1 на образовавшуюся плоскость Σ(CD, A 1 B 1), то длина этого перпендикуляра будет искомым расстоянием r(AB,CD). Рассмотрим проекционное решение задачи.
Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 8.9). Определить расстояние между ними.
Решение задачи может быть следующим.
1. Перенесем прямую АВ параллельно самой себе до пересечения с CD. Таких
переносов может быть бесконечное множество. Один из переносов, например
А 1 В 1 ® А 1 1 В 1 1 , А 2 В 2 = А 2 1 В 2 1 – наиболее простой для данного КЧ вариант.
2. Получаем новые условия задачи: задана плоскость Σ (А 1 В 1 , CD), где А 1 В 1 Ç CD и точка А; требуется определить расстояние r(А, Σ). Решение задачи выполняется методом замены плоскостей проекций по ранее изложенной схеме проекционного решения.