Производные обратных тригонометрических функций примеры решений. Вывод производных обратных тригонометрических функций

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса - sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
(sin x)′ = cos x .

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Свойство пределов:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x .

Пример 1

Найти производную от sin 2x .

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 · 1 = 2.
Применяем .
.
Здесь .

Ответ

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Представлены производные обратных тригонометрических функций и вывод их формул. Также даны выражения производных высших порядков. Ссылки на страницы с более подробным изложением вывода формул.

Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть
y = arcsin x .
Поскольку арксинус есть функция, обратная к синусу, то
.
Здесь y - функция от x . Дифференцируем по переменной x :
.
Применяем :
.
Итак, мы нашли:
.

Поскольку , то . Тогда
.
И предыдущая формула принимает вид:
. Отсюда
.

Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции :
.
Тогда
.

Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса ”. Там дается вывод производных двумя способами - рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.

Вывод производных арктангенса и арккотангенса

Таким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса.

Пусть
y = arctg x .
Арктангенс есть функция, обратная к тангенсу:
.
Дифференцируем по переменной x :
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Итак, мы нашли:
.

Производная арккотангенса:
.

Производные арксинуса

Пусть
.
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
.
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Ее также можно записать в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
.

Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.

Производная арксинуса n-го порядка

Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
,
где - многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:
.

Производная арккосинуса n-го порядка

Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:
.
Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:
.

Производные арктангенса

Пусть . Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:
.

Разложим дробь на простейшие:

.
Здесь - мнимая единица, .

Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:

.

Подставляя , получим:
.

Производная арктангенса n-го порядка

Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:
;
.

Производные арккотангенса

Пусть теперь . Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:
.

Подставив , найдем:
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.