Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
2
слайд
Описание слайда:
Содержание Теория Тип 1. Самая простая задача Тип 2. Задачи с бросанием монет Тип 3. Задачи с игральным кубиком Тип 4. Задачи на перекладывание монет Тип 5. Задачи с экзаменационными билетами Тип 6. Задачи с кофейным аппаратом Тип 7. Задачи о стрельбе по мишеням Тип 8. О выступлениях с докладами Тип 9. С процентами Тип10. Разделение на группы Разные задачи Самостоятельная работа
3
слайд
Описание слайда:
Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий P(A + B) = P(A) + P(B) (для независимых событий) 2) P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) (для зависимых событий) 3) P(AB) = P(A)∙P(B)
4
слайд
Описание слайда:
Вспомним Формула классической вероятности случайных событий: P = N(A) : N, где N – число всех возможных вариантов N(A) – число благоприятных вариантов
5
слайд
Описание слайда:
Запомним Если идёт объединение (U), т.е. союз или, то надо вероятности «+» Если идёт пересечение (∩), т.е. союз и, то надо вероятности «·»
6
слайд
Описание слайда:
В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные - из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. Решение. Из Кореи выступают 64 – (20 + 28) = 16 спортсменок. 2) По формуле классической вероятности получим: P = = 16:64 = 1:4 = 0, 25. Ответ: 0,25
7
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины. Решение. Ответ: 0,05
8
слайд
Описание слайда:
Тип 2. Задача с бросанием монет В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение. Способ I. Метод перебора комбинаций. Способ II. Специальная формула вероятности, адаптированная для решения задач с монетами. P = Сn по k: 2ⁿ , где 2ⁿ – число всех возможных исходов, Сnпоk - число сочетаний из n элементов по k, которое вычисляется по формуле Сnk = n! / k!(n- k)! Т.к. n=2; k=1, то ответ: 0,25
9
слайд
Описание слайда:
Задание В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение (Способ II): С3по0 = 3!/0!(3-0)! = 1 P = С3по0: 2³ = 1:8 = 0,125 Ответ: 0,125
10
слайд
Описание слайда:
Тип 3. Задача с игральным кубиком Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпадет не менее 4 очков? Решение. Бросаем игральный кубик один раз => 6 исходов. Значит, у данного действия (бросание одного игрального кубика 1 раз) всего имеется n = 6 возможных исходов. Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6 Значит, k = 3 – число благоприятных исходов. По формуле классической вероятности имеем: P = 3: 6 = 0,5. Ответ: 0,5
11
слайд
Описание слайда:
Задание В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Кубик бросаем 2 раза, значит всего имеется N = 6² = 36 возможных исходов. Выписываем все благоприятные исходы в виде пар чисел: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1). Значит, N(A) = 4 – число благоприятных исходов. По формуле классической вероятности имеем: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111…. Ответ: 0,11
12
слайд
Описание слайда:
Задание В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. Решение. У данного действия (бросание трех игральных костей) всего имеется N = 6³ = 216 возможных исходов. Выписываем все благоприятные исходы в виде троек чисел: (6;6;3), (6;3;6), (3;6;6), (5;5;5), (6;5;4), (5;4;6), (4;6;5). Значит, N(A) = 7 – число благоприятных исходов. По формуле классической вероятности имеем: P =7: 216 ≈ 0,032…. Ответ: 0,03
13
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение. Ответ: 0,07
14
слайд
Описание слайда:
Тип 4. Задача с перекладыванием монет В кармане у Андрея было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Решение. Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет. 3 (переложенные) монеты можно выбрать из 6 (имеющихся) монет: С6 3 =6!/3!·(6-3)!=20 (способами). Т.е. N = 20. 2 монеты по 5 рублей выбираем из двух пятирублевых монет: 2! = 2 (способами).
15
слайд
Описание слайда:
3 монеты из 4-х монет по 2рубля выбираем: С4по3 =4!/3!(4-3)! = 4(способами). По формуле классической вероятности и правилу произведения получим: P = 2·4 / 20 = 0,4. Ответ: 0,4
16
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В кармане у Ольги было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых. Решение. Ответ: 0,43
17
слайд
Описание слайда:
Тип 5. Задача с экзаменационными билетами На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Если А - вопрос на тему «Вписанная окружность», В - вопрос на тему «Тригонометрия», и события А и В – несовместны. Тогда Р(А+В)= Р(А)+Р(В) = = 0,1 + 0,35 = 0,45
18
слайд
Описание слайда:
Задание Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбираются случайным образом. Отличная оценка ставится, если студент правильно ответил на оба вопроса. Какова вероятность получения «5»? Ответ округлить до сотых. Решение.
19
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Ответ: 0,35
20
слайд
Описание слайда:
Тип 6. Задача с кофейными автоматами В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. А = {кофе закончится в первом автомате} В = {кофе закончится во втором автомате} С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном автомате} По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16 По смыслу задачи события А и В являются совместными. По формуле сложения вероятностей совместных событий имеем: Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) = = 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24. Р(A U B) = 1 – 0,24 = 0,76. Ответ: 0,76
21
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Ответ: 0,5
22
слайд
Описание слайда:
Тип 7. Задача о стрельбе по мишеням Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Вероятность попадания = 0,85. Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15. А = {попадание, попадание, промах, промах} События независимые. По формуле умножения вероятностей: Р(А) = 0,85·0,85·0,15·0,15 = =0,7225·0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02. Ответ: 0,02
23
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) Биатлонист 8 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 5 раз попал в мишень, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Ответ:
24
слайд
Описание слайда:
Тип 8. Задача о выступлениях Конкурс исполнителей проводится 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному из каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями, Порядок выступлений определяет жеребьевка. Какова вероятность, что выступление представителя из России состоится в третий день конкурса. Решение. N = 50 N(A)=(50-26) : 4 = 6 => Р(А)= 6: 50=3/25 Ответ: 3/25=0,12
25
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) Конкурс исполнителей проводится 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. Исполнитель из России тоже участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что исполнитель из России будет выступать в третий день конкурса? Решение. Ответ: 0,225
26
слайд
Описание слайда:
Тип 9. С процентами Две фабрики выпускают одинаковые стёкла. Первая фабрика выпускает 30% этих стёкол, а вторая-70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, а вторая -4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется качественным. Решение. 30%= 0,3 70%= 0,7 Качес. Качес. Брак Брак 3%= 0,03 4%= 0,04 0,97 0,96 События независимые => Р(А)=Р1+Р2= 0,3·0,97+0,7·0,96 = = 0,291 + 0,672 = 0,963 1 2
27
слайд
Описание слайда:
Задание В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 30%. Найдите вероятность того, что в случайный момент все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга) Решение. + - 30%=0,3 => 70%=0,7 Независимые события => Р = Р(А+В+С)= = Р(А)+Р(В)+Р(С)= = 0,3+0,3+0,3=0,9
28
слайд
Описание слайда:
Задание Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а во втором хозяйстве – 30% яиц высшей категории. Всего высшей категории получается 54% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из второго хозяйства. (1-х) Р=(х) 1 2 агрофирма В В н/в н/в 60%=0,6 30%=0,3 54%=0,54 Составим уравнение: 0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54 Ответ: 0,2 <=
29
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а во втором хозяйстве – 20% яиц высшей категории. Всего высшей категории получается 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства Решение. Ответ: 0,75
30
слайд
Описание слайда:
Тип 10. Деление на группы В классе 21 человек. Среди них два друга Андрей и Дима. Класс случайным образов делится на 7 групп, по 3 человека в каждой группе. Какова вероятность того, что Андрей и Дима окажутся в одной группе. Решение. Если взять А., то N=21-1=20. Т.к. группа из 3-х человек, то для Д. остаётся только 2 места, т.е. N(А)=2. Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1
31
слайд
Описание слайда:
Задание В чемпионате по бадминтону участвуют 26 спортсменов, среди которых 10 – из России и в том числе Руслан Орлов. Перед началом первого тура чемпионата участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Какова вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с кем-нибудь из России. Решение. N = 26 -1=25 N(A)(т.е. из России)= 10-1=9 Р(А)= 9: 25 =9/25=0,36 Ответ: 0,36
32
слайд
Описание слайда:
Задание В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши? Ответ округлить до сотых. Решение. Всего 20 человек
33
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В классе 33 ученика, среди них две подруги – Галя и Таня. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Какова вероятность того, что подруги окажутся в одной группе. Решение.
34
слайд
Описание слайда:
Разные задачи (о сейфе) Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1,3,7,9, но не знает в каком порядке их набирать. Какова вероятность того, что преступник откроет сейф с первой попытки? Решение. N=P4=4!=24 N(A)= 1 P(A)= 1: 24 = 0,041…=0,04 Ответ: 0,04
35
слайд
По кнопке выше «Купить бумажную книгу» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.
По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес» , и потом ее скачать на сайте Литреса.
По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно искать похожие материалы на других сайтах.
On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.
Предлагаемая вниманию читателя книга является задачником-практикумом по курсу «Теория вероятностей». Она написана в соответствии с программой этого курса и предназначена для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов.
Задачник состоит из трех глав, которые в свою очередь разбиты на параграфы. В начале каждого параграфа предельно кратко приводятся основные теоретические сведения, затем даются подробно разобранные типовые примеры и, наконец, предлагаются задачи для самостоятельного решения, снабженные ответами и указаниями. Задачник содержит также тексты лабораторных работ, выполнение которых поможет студенту-заочнику лучше усвоить основные понятия математической статистики.
Примеры.
В каких из следующих примеров указаны все возможные исходы испытания:
а) выигрыш, проигрыш в шахматной партии;
б) выпадение (в указанном порядке) герба - герба, герба - цифры, цифры - цифры при двукратном подбрасывании монеты;
в) попадание, промах при одном выстреле;
г) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при однократном бросании кости?
Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 2) достоверными, 3) невозможными:
а) выигрыш по одному билету автомотолотереи;
б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находятся 3 синих и 5 красных шаров;
в) получение абитуриентом 25 баллов на вступительных экзаменах в институте при сдаче четырех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок;
г) извлечение «дубля» из полной игры в домино;
д) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика.
Какие из следующих пар событий являются несовместными:
а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10; делится на 11;
б) нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолета;
в) попадание; промах при одном выстреле;
г) выигрыш; проигрыш в шахматной партии;
д) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным; кратным трем?
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. События и их вероятности
§1. Первоначальные понятия теории вероятностей
§2. Классическое определение вероятности
§3. Алгебра событий. Основные понятия
§4. Вычисление вероятностей
§5. Правила суммы и произведения
§б. Формула включений и исключений
§7. Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки и сочетания без повторений
§8. Перестановки и сочетания с повторениями
§9. Применение формул комбинаторики к вычислению вероятностей
§10. Условные вероятности, формула полной вероятности, теорема Байеса
§11. Повторные независимые испытания с двумя исходами
§12. Теоремы Лапласа и Пуассона
Глава II. Случайные величины
§1. Распределение вероятностей дискретных случайных величин
§2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
§3. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины
§4. Плотность вероятности. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
§5. Равномерное распределение вероятностей
§6. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел
§7. Нормальное распределение вероятностей
Глава III. Элементы математической статистики
§1. Первоначальные понятия математической статистики
§2. Числовые характеристики вариационного ряда
§3. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал
§4. Оценка параметров в статистике
§5. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами
Указания к решению задач
Ответы
Приложения.
- Задачи вступительных экзаменов по математике, Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К.
- Задачи вступительных экзаменов по математике, Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К., 1980
- Старинные занимательные задачи, Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К., 2005
- Планиметрические задачи, Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., 1992
Следующие учебники и книги:
- Математика, 20 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ОГЭ в 9 классе, Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков С.Л., Ященко И.В., 2015
Данная книга предназначена для студентов, которые не выбрали математику в экономике своей основной специальностью, но готовы применять математические методы в профессиональной деятельности. В книге освещены основные идеи теории вероятностей и математической статистики, необходимые для полноценного освоения эконометрики и смежных экономико-математических дисциплин. В равной степени в учебнике обращено внимание на теорию и на методы решения задач. Изложение теории сопровождается решенными задачами на экономическую тематику и значительным числом содержательных экономико-статистических задач для самостоятельного решения, что может способствовать более легкому восприятию и глубокому усвоению учебного материала.
Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;
Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;
Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;
Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».
На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.
Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.
Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:
- Безналичный способ:
- Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
- Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения.
Просим корректно ввести данные во все поля.
Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта. - Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.