Друзья! В состав ЕГЭ по математике входят текстовые задачи, основанные на реальных примерах, которые приходится решать в повседневной жизни. После вычисления требуется округлить ответ до целого числа в большую или меньшую сторону. Задачи классифицируют на два типа «округление с недостатком» и «округление с избытком».
Можно было бы дать такой совет: если в задаче ЕГЭ речь идёт о сырках, шоколадках, тюльпанах, книгах в шкафу то ответ округляйте в меньшую сторону, если речь идёт о пассажирах, бумаге в пачках, лекарствах, маринаде и прочем, то округляйте в большую сторону.
Но я предлагаю вам удалить из головы такие сами выражения «недостаток» и «избыток», чтобы не запутать себя и лучше руководствоваться простым здравым смыслом. Задачи на самом экзамене могут быть совсем о других предметах, и запоминание подобной информации будет просто бессмысленно и нецелесообразно.
Рассмотрим задачи:
Сырок стоит 6 рублей 60 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?
Рассмотрим первый способ:
Понятно, что 80 рублей нужно разделить на 6р60коп, и мы получим количество сырков, которое можно купить на 80 рублей:
Получили двенадцать целых восемь шестьдесят шестых сырка. Понятно, что часть сырка в магазине не продадут, поэтому ответ округляем в меньшую сторону. Значит, наибольшее количество сырков, которое можно купить это 12.
Другой способ:
Подобные задачи можно решать путём перебора. По сумме 80 рублей и стоимости сырка видно, что 10 сырков можно купить точно, значит начнем с десяти:
Из данного решения следует, что 80 рублей хватит только на 12 сырков.
Ответ: 12
Шоколадка стоит 20 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 310 рублей в воскресенье?
Определим, сколько шоколадок можно приобрести на 310 рублей:
Округляем в меньшую сторону, так как половина шоколадки не продаётся. То есть на 310 рублей можно купить 15 шоколадок (310=15∙20+10, 10 рублей это сдача). В воскресенье за каждые две купленные дарят третью.
Предлагаю вам в подобных задачах для наглядности расписать сумму подобным образом:
15=2+2+2+2+2+2+2+1
Видно, что подарят 7 шоколадок (по одной на каждую пару). Значит всего можно приобрести 15+7=22 штуки.
Ответ: 22
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
Определим максимальное количество тюльпанов, которое может купить Ваня:
Ваня может купить максимум 6 тюльпанов, округляем в меньшую сторону, так как четыре шестых тюльпана ему не продадут. Но полагается дарить нечётное число цветов, поэтому наибольшее число тюльпанов, которое он может подарить – это 5 штук.
Ответ: 5
В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 410 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
Сначала определим, сколько учебников помещается в одном шкафу:
8∙20 = 160 штук
Определяем, сколько всего завезли учебников. Т ри курса по 410 учебников на каждый, это
3∙410=1230 учебников.
Теперь необходимо найти сколько шкафов будет заполнено, разделим общее число учебников на количество учебников, которое помещается в один шкаф:
Значит, полностью учебниками заполнится 7 шкафов и ещё часть восьмого шкафа.
Ответ: 7
На уроке вводится понятие приближенного числа, его практическое применение, рассматриваются приближённые значения с избытком и недостатком и оценка различных величин, даётся определение округлённого значения числа и правило округления, рассматриваются различные задания по этой теме.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок и урок
Тема: Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей
Урок: Приближённые значения чисел. Округление чисел
В практической деятельности человека встречается два вида чисел: точные и приближённые. У треугольника три стороны, число 3 является точным. Но на практике мы не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точно они ни были настроены, не могут показать абсолютно точный вес. Любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой. Наш глаз не в состоянии прочитать правильность показания приборов, поэтому вместо того, чтобы иметь дело с точным значением величины, мы вынуждены оперировать с их приближённым значением. Но иногда знание о приближённом числе даёт понимание о сути дела, и к тому же не всегда точное значение возможно найти и не всегда оно нужно.
Например, про арбуз, который весит 7,150 кг, мы можем сказать, что его вес примерно равен 7 кг. Это приближенное значение с недостатком.
На вопрос в 13 ч 58 мин: «Сколько времени?» Мы можем ответить: «Около 14 часов (или около 2 часов)». Это значение времени с избытком.
Если длина отрезка равна 10 см 3 мм, то 10 см - это приближенное значение длины отрезка с недостатком, а 11 см - это приближенное значение длины отрезка с избытком.
Если число а < х < в, тогда а является приближенным значением числа х с недостатком, в является приближенным значением числа х с избытком.
1. Из набора чисел 6,78; 5,41; 3,785; 2,86; 4,29; 3,173; 4,0281; 3,1591; 4,51; 3,76; 4,738; 4,15 нужно выбрать те, для которых 3,29 является приближенным значением числа с недостатком, а 4,5 является приближенным значением числа с избытком.
В таком случае мы можем сказать, что некоторое число х должно быть больше чем 3,29, но меньше чем 4,5.
3,29 < x < 4,5
Данному условию удовлетворяют следующие числа: 3,785; 4,29; 4,0281; 3,76; 4,15
2. Между какими соседними натуральными числами расположена каждая из дробей: 3,41; 96,89; 137,4?
3 < 3,41 < 4. К числу 3 число 3,41 ближе
96 < 96,89 < 97. К числу 97 число 96,89 ближе
137 < 137,4 < 138. К числу 137 число 137,4 ближе
То натуральное число, к которому дробь ближе, называют округленным значением этого числа.
Под округлением числа понимают отбрасывание одной или двух цифр в десятичном представлении числа. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых. Ближайшим является то расстояние в единичных отрезках, которое будет наименьшим. Если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.
Округлять числа можно и до других разрядов, например, до десятых, сотых, тысячных и т.д. При округлении числа пользуются следующим правилом: При округлении до какого-нибудь разряда все последующие цифры заменяются нулями. Если они стоят после запятой, то они отбрасываются.
Если следующая за остающимся разрядом 5; 6; 7; 8 или 9, то остающийся разряд увеличивают на 1. Если следующая цифра за остающимся разрядом 0; 1; 2; 3 или 4, то остающийся разряд не изменяют.
1. а) Округлите до десятых число 16,743. После десятых стоит цифра 4. Значит, остающийся разряд не изменится.
2. Определите, до какого разряда выполнено округление, и верно ли оно выполнено.
а) 62,187 62,2
Округление произведено до разряда десятых и оно выполнено верно.
б) 0,8081 0,82
Округлили до сотых, но округление выполнено неверно. Ответ должен быть 0,81.
Округление выполнено до сотых, и выполнено оно верно.
г) 2,54287 2,542
Округление произведено до разряда тысячных и выполнено оно неверно. Должен был получиться ответ 2,543
Округлили до разряда единиц. Округление выполнено верно.
Округлили до десятков. Округление выполнено неверно, должно было получиться 60.
3. Решите уравнения и результат округлите до десятых.
а) 8,78 + х = 11,6764
х = 11,6764 - 8,78
Ответ: х = 2,9
б) х - 2,68 = 8,368
х = 8,368 + 2,68
- Н.Я. Виленкин. Математика: учеб. для 5 кл. общеобр. учр. - Изд. 17-е. - М.: Мнемозина, 2005.
- Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5 - 6. - М.: Илекса, 2011. - 106 с.
- Ершова А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5 - 6. - М.: Илекса, 2006. - 432 с.
- Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5 - 9 классы. - М.: Илекса, 2011. - 248 с.
- Математика онлайн ().
- Youtube.com ().
- Xvatit.com ().
- Учебник математики. 5 класс. Н.Я. Виленкин. №1270, №1271, №1274, № 1275, №1298
§ 1 Понятие о приближенном значении чисел
В жизни человека встречается два вида чисел: точные и приближённые.
Например, у квадрата четыре стороны, число 4 является точным.
Другая ситуация, на вопрос, сколько вам лет вы отвечаете 12, это приближенная величина, мы ведь не говорим 12 лет 7 месяцев 26 дней.
На практике мы часто не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы хорошо они ни были настроены, не могут показать абсолютно точный вес. Любой термометр показывает температуру с той или иной погрешностью. Наш глаз не в состоянии увидеть четко показания прибора, поэтому вместо того, чтобы иметь дело с точным значением величины, мы вынуждены оперировать с ее приближённым значением
Однако знание о приближённом числе уже даёт понимание о сути дела, и к тому же не всегда точное значение бывает необходимо.
Приближенные значения чисел в математике разделяют на:
1. приближенные значения с избытком;
2. приближенные значения с недостатком.
Например, про арбуз, который весит 9 кг 280 г, мы можем сказать, что его вес примерно равен 9 кг. Это приближенное значение с недостатком. А если бы его вес составлял 9 кг 980 грамм, мы бы сказали 10 кг - это приближенное значение с избытком.
Другой пример - если длина отрезка равна 25 см 3 мм, то 25 см - это приближенное значение длины отрезка с недостатком, а 26 см - это приближенное значение длины отрезка с избытком.
Итак, если число Х больше числа А, но меньше числа В, тогда А - является приближенным значением числа Х с недостатком, а число В - приближенным значением числа Х с избытком.
§ 2 Округление чисел
Давайте рассмотрим такие примеры:
1)число 58,79 больше чем 58, но меньше 59. Число 58,79 ближе расположено к натуральному числу 59;
2)число 181, 123 больше, чем 181, но меньше, чем 182. Число 181,123 расположено ближе к натуральному числу 181. То натуральное число, к которому дробь ближе называют округленным значением этого числа.
Округление чисел - это математическое действие, которое позволяет уменьшить количество цифр в числе, заменяя его приближенным значением.
Под округлением числа понимают отбрасывание одной или нескольких цифр в десятичном представлении числа. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.
Например, число 58,79 округляется до 59, так как число 59 расположено ближе, а число 181,123 округляется до 181.
§ 3 Правило округления чисел
А что делать, если расстояния до приближенного значения числа с недостатком и избытком равны, например, 23,5? Оказывается, округляют в большую сторону! Т.е. получится 24
Наверняка у вас возник вопрос: «А можно ли округлять не до целого?» Конечно! Округлять можно и до других разрядов, например, до десятых, сотых, тысячных или же до десятков, сотен, тысяч и так далее.
Существует четкое правило для округления чисел:
Чтобы округлить число до какого-либо разряда - подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой - отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.
Теперь стало понятно, почему число 23,5 округлили до 24.
Т.к. отбрасываемая цифра равна 5.
Округлим число 86,275 до десятых.
Подчеркнем цифру 2, отбрасываем цифры 7 и 5, которые следуют за разрядом десятых. За подчеркнутой цифрой 2 стоит цифра 7, поэтому цифру 2 увеличиваем на 1. Получаем 86,3. Записывают это так:
Округлим число 6,6739 до сотых.
Подчеркиваем цифру 7, отбрасываем цифры 3 и 9, которые следуют за разрядом сотых. За подчеркнутой цифрой 7 стоит цифра 3, поэтому цифру 7 оставляем без изменения. Получаем 6,67.
Записывают это так:
Таким образом, можно убедиться, что если десятичную дробь округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры отбрасывают.
Округлим число 8 154 до сотен.
Подчеркиваем цифру 1, за ней следует цифра 5, значит 1 заменяем цифрой 2, а все последующие цифры нулями, то есть получится 8200.
Записывают это так:
Делаем вывод, что при округлении натурального числа до некоторого разряда все цифры последующих разрядов заменяются нулями.
Итак, перед вами несложный алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа:
Первое: найти нужный разряд и подчеркнуть стоящую в нем цифру.
Второе: переписать все цифры, стоящие до нее.
Третье: заменить все цифры, стоящие после выделенной, нулями до конца целой части или отбросить все цифры, имеющиеся после выделенной, если они стоят после запятой.
Четвертое: увеличить выделенную цифру на единицу, если за этой цифрой стоит цифра 5,6,7,8,9 или переписать выделенную цифру без изменений, если за ней стоит цифра 0,1,2,3,4.
Таким образом, в ходе этого урока Вы узнали, что такое приближенные значения чисел с недостатком и избытком округление чисел, а также приобрели четкий алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа!
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009
7,265; 11,638; 0,23; 8,5; 300,499; 6,5108; 0,8.
1273. Старинная русская мера массы пуд равна 16,38 кг. Округлите это значение до целых, до десятых. Старинная русская мера длины верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков, до сотен. Старинная русская мера длины сажень равна 2,13 м. Округлите это значение до целых, до десятых.
1274. Округлите дроби:
а) 2,781; 3,1423; 203,962; 80,46 до десятых;
б) 0,07268; 1,35506; 10,081; 76,544; 4,455 до сотых;
в) 167,1; 2085,04; 444,4; 300,7; 137 до десятков.
1275. Одна деталь имеет массу 13,26 кг, вторая - 14,43 кг, третья - 1,66 кг, а четвертая - 15,875 кг. Найдите общую массу этих четырех деталей и округлите результат до десятых долей килограмма. Сравните ответ с результатом, полученным, если сначала округлить данные задачи до десятых долей, а потом ее решить.
1276. Трасса лыжных гонок состоит из 4 участков. Первый участок имеет длину 4,35 км, второй - 5,75 км, третий - 6,95 км и четвертый - 2,8 км. Найдите длину всей трассы и округлите ответ:
а) до десятых долей километра;
б) до целых километров.
1277. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 6,2 дм, CD больше АВ на 3,14 дм, но меньше ВС на 2,31 дм; AD больше ВС на 1,2 дм. Ответ округлите:
а) до десятых долей дециметра;
б) до целых дециметров.
1278. Вычислите устно:
1279. Восстановите цепочку вычислений:
1) В школу завезли 24 т угля. За зиму израсходовали привезенного угля. Сколько тонн угля осталось?
2) Маляры израсходовали - купленной краски для ремонта школы. Сколько краски осталось, если купили ее 300 кг?
1297. Округлите дроби:
а) 1,69; 1,198; 37,444; 37,5444; 802,3022 до целых;
б) 0,3691; 0,8218; 0,9702; 81,3501 до десятых.
1298. Для каждого из чисел найдите натуральные приближенные значения с недостатком и с избытком: 3,97; 21,609; 10,394; 1,057.
1299. Запишите число, которое:
а) меньше миллиона в 10 раз; на 10;
б) больше миллиона в 10 раз; на 10;
в) больше числа 709 в 100 раз; в 1000 раз;
г) меньше числа 623 100 000 в 10 раз; в 1000 раз; в 100 000 раз.
1300. Найдите значение выражения:
а) 8000 60 000; в) 250 000 600 40;
б) 1700 800 000; г) 19 000 20 000 50.
1301. Собственная скорость теплохода 21,6 км/ч. Скорость течения 4,9 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения.
1302. Теплоход шел по озеру 3 ч со скоростью 27 км/ч, а потом 4 ч по реке, впадающей в это озеро. Найдите весь путь, который прошел теплоход за эти 7 ч, если скорость течения реки 3 км/ч.
1303. В сокровищнице Кощея Бессмертного 32 000 ларцов, в каждом ларце 210 одинаковых по массе слитков золота и серебра. Какова масса запасов золота и серебра у Кощея, если масса десятка слитков 900 г?
1304. Поставьте вместо звездочек пропущенные цифры:
В науке ы промышленности, в сельском хозяйстве при расчетах десятичные дроби используются значительно чаще, чем обыкновенные.
Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами.
Правила вычислении с десятичными дробями описал знаменитый ученый Средневековья аль-Кашп Джемшйд Ибн Масуд, работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XV века.
Записывал аль-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой.
Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби были заново изобретены фламандским инженером и ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно.
Например, число 24,56 выглядело так: 
- вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3, ... помечалось положение остальных знаков.
Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVII века.
В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сирень наука числительная».
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Округление с недостатком и избытком
В предыдущем разделе в условии задачи была просьба округлить ответ до целого значения.
Чаще нам не предлагают округлить ответ, хотя это надо делать по смыслу задачи.
Это происходит, поскольку надо выполнить действие деления, которое часто дает в результате дробное число.
Но ведь не может количество предметов быть дробным.
И тогда мы округляем полученное дробное число до целого либо с недостатком, либо с избытком.
Когда же с недостатком, а когда с избытком?
Рассмотрим примеры.
Задача 1. Один метр ткани стоит 67 руб. какое наибольшее целое число метров ткани можно приобрести на 850 рублей?
850: 67 = 12,6865 (м) Целое число метров 12.
Здесь округлили с недостатком , так как ответ 12 <12, 6865.
Ответ: 12.
Задача 2 . В упаковке 480 кусков мела. За один учебный день школа расходует 300 кусков мела. Какое наименьшее число упаковок с мелом нужно купить в школу на 6 учебных дней?
300 · 6 = 1800 Кусков мела – расход на 6 дней
1 пачка – 480 кусков мела
х пачек – 1800 кусков мела
х = 1800: 480 = 3,75 упаковок Число целых упаковок на 6 дней нужно 4 шт.
Здесь округлили с избытком , так как ответ 4>3,75/
Подсказка:
Если в такого типа задаче требуется найти наибольшее значение, то ответ надо округлять с недостатком (брать меньшее целое число)
Если надо найти наименьшее значение , то ответ надо округлять с избытком (брать большее число).
Задачи с предварительным действием
Задача 3. В летнем лагере 172 ребенка и 24 воспитателя. В автобус помещается не более 30 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?
Всего 172 + 24 = 196 человек
196: 30 = 6,533 – целое число автобусов для перевозки всего 7
Ответ: 7.
Задача 4. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?
Решение:
Для приготовления 6 литров маринада потребуется 12*6=72 г лимонной кислоты. Разделим 72 на 10.
Значит, нужно будет купить 8 пакетиков.
Ответ: 8.
Четные и нечетные числа
Четное число = кратное двум (2,4,6,8,10,12,…), нечетное – не кратное двум (3,5,7,9,11,13,…).
Задача 5. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Ромашки стоят 25 рублей за штуку. У Вани есть 120 рублей. Из какого наибольшего числа ромашек он может купить букет Маше на день рождения?
1 ромашка – 25 р
Значит Ваня сможет купить 4 ромашки. Но надо, чтобы число ромашек было нечетным. Т.е. 3 ромашки.
Акции и бонусы (или усложненное условие)
Задача 6. В магазине акция: приобретая 3 коробки конфет, четвёртую коробку покупатель получает в подарок. Какое наибольшее число коробок конфет получит покупатель на 1200 руб., если коробка конфет стоит 160 руб.?
1кор. – 160руб.
х кор. – 1200руб.
х = 1200: 160 = 7,5 кор. Целое число кор. = 7
7: 3 = 2,333кор. Целое число коробок, полученных в подарок = 2
7 + 2 = 9 кор.
Ответ: 9.
Задача 7. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 7 кг яблок?
1 кг яблок – 1,2 кг сахара
7 кг яблок – х кг сахара
х = 7·1,2/1=8,4 кг сахара
Итак, необходимо для варенья 8,4 кг сахара.
В задаче спрашивается: сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить?
Чтобы сахара хватило на варенье, 8 упаковок будет недостаточно. Надо купить 9. Одна упаковка израсходуется не полностью.
В этой задаче мы округлили с избытком.
Задача 8. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по обществознанию для 2-3 курсов, по 110 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 6 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
110 книг ·2 курса = 220 книг
6 полок · 20 книг = 120 книг умещается в шкафу
Полностью этими книгами заполнится только один шкаф. Второй шкаф будет заполнен не до конца.
Здесь мы округлили с недостатком.
Задача 9. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?
Решение:
166·40=6640 г сахара,
6640·5=33200 г. - на 5 дней.
33200: 1000 = 33,2.
Округляем с избытком до целого значения.
Если у вас возникли вопросы или пожелания, пишите в комментариях.