Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
«Величие человека в его способности мыслить».
Блез Паскаль.
Цели урока:
1) Обучающие – познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений.
2) Развивающие – развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры.
3) Воспитательные – воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
- Перфокарты для шести учащихся.
- Карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся.
- Стенды «Решение тригонометрических уравнений», «Числовая единичная окружность».
- Электрифицированные таблицы по тригонометрии.
- Презентация к уроку (Приложение 1) .
Ход урока
1. Организационный этап (2 минуты)
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.
Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2) и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
2. Повторение теоретического материала (15 минут)
Задания на перфокартах (6 человек). Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)
Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография.
(слайд 5)
Фронтальный опрос.
- Какие уравнения называются тригонометрическими?
- Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
- Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
- Какие уравнения называются квадратными тригонометрическими?
- Сформулировать определение арксинуса числа а.
- Сформулировать определение арккосинуса числа а.
- Сформулировать определение арктангенса числа а.
- Сформулировать определение арккотангенса числа а.
Игра «Отгадайте зашифрованное слово»
Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)
2) arc tg (-√3)
4) tg (arc cos (1/2))
5) tg (arc ctg √3)
Ответ: «Изгиб»
Игра «Рассеянный математик »
На экран проектируются задания для устной работы:
Проверьте правильность решения уравнений. (правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)
Ответы с ошибками |
Правильные ответы |
|
х = ±π/6 +2πn |
х = ±π/3 +2πn |
|
х = π/3 +πn |
х = (-1) nπ/3 +πn |
|
tg x = π/4 |
х = 1 +πn |
tg x =1, х = π/4+πn |
х = ±π/6+π n |
х = ±π/6 +2π n |
|
х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn |
х = (-1)n arcsin1/3+ πn |
|
х = ±π/6 +2πn |
х = ±5π/6 +2πn |
|
cos x = π/3 |
х = ±1/2 +2πn |
cos x = 1/2, х = ±π/3 +2πn |
Проверка домашнего задания.
Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений.
1 уравнение. Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3 ;
2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.
2х= π/6 +πn, n ∈Z.
х= π/12 + π/2 n, n ∈Z .
2 уравнение . Решение з аписывается учащимся на доске.
2 sin 2 x + 3 cosx = 0.
3. Актуализация новых знаний (3 минуты)
Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат. Ответы появляются на слайде. (слайд 7) .
Введение новой переменной:
№1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.
Пусть sinx = t, тогда:
2t 2 – 7t + 3 = 0.
Разложение на множители:
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;
сos4x(3sinx – 1) = 0;
cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; …
№3. 2 sinx – 3 cosx = 0,
№4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Преподаватель: Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями. Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать.
4. Объяснение нового материала (25 минут)
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения.
Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. (слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.
а sinx + b cosx = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
– Может ли получиться такая ситуация?
– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).
Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
tgx = 3/2;
х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.
Определение. Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени. (слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.
a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos 2 x:
а tg 2 x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.
Вывод: О днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2 x).
Например: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Т.к. cos 2 x ≠ 0, то
3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).
Замена: tgx = у. 3у 2 – 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y 1 = 1 или y 2 = 1/3
tgx = 1 или tgx = 1/3
x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.
х = arctg1 + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)
Выберите лишнее уравнение:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;
4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.
(слайд 9)
6. Закрепление нового материала (24 мин).
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)
1) √3sinx + cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
√3tgx + 1 = 0;
tgx = –1/√3;
х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.
х = –π/6 + πn, n ∈Z.
2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.
Т.к. cos 2 x ≠ 0, то tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0
Замена: tgx = у.
у 2 – 10 у + 21 = 0
у 1 = 7 или у 2 = 3
tgx = 7 или tgx = 3
х = arctg7 + πn, n ∈Z
х = arctg3 + πn, n ∈Z
3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.
Т.к. cos 2 2x ≠ 0, то 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0
Замена: tg2x = у.
3у 2 – 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
у 1 = 5 или у 2 = 1
tg2x = 5 или tg2x = 1
2х = arctg5 + πn, n ∈Z
х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctg1 + πn, n ∈Z
х = π/8 + π/2 n, n ∈Z
4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.
5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.
Т.к. cos 2 x ≠0, то 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0
Замена: tg x = у.
5у 2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
у 1 = 1/5 или у 2 = –1
tg x = 1/5 или tg x = –1
х = arctg1/5 + πn, n ∈Z
х = arctg(–1) + πn, n ∈Z
х = –π/4 + πn, n ∈Z
Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения:
2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.
Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев
х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер
Правильный ответ: Леонард Эйлер.
7. Дифференцированная самостоятельная работа (8 мин.)
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ-ОТЕЛЬ». (слайд 11)
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)
8. Запись домашнего задания (1 мин)
Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)
9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.
Учащиеся отвечают на вопросы:
- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
- Как решаются эти уравнения?
Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.
Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики:
- в нем должно быть несколько слагаемых;
- все слагаемые должны иметь одинаковую степень;
- все функции, входящие в однородное тригонометрическое тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент.
Алгоритм решения
Выделим слагаемые
И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Первое слагаемое в этом уравнении —3cosx 3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx \cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx 5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени.
Переходим ко второму выражению:
4sin 2 x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0
Первый член этой конструкции — 4sin 2 x 4{{\sin }^{2}}x.
Теперь мы можем записать следующее решение:
sin 2 x=sinx⋅sinx
{{\sin }^{2}}x=\sin x\cdot \sin x
Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x \sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум.
Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем:
˜ 3=3⋅1
А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде:
1=sin 2 x⋅cos 2 x
1={{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x
Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде:
3=3(sin 2 x⋅cos 2 x) =3sin 2 x+3cos 2 x
3=3\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x \right)=3{{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x
Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два.
С третьим выражением то же самое:
sin 3 x+sin 2 xcosx=2cos 3 x
Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin 3 x {{\sin }^{3}}x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin 2 xcosx {{\sin }^{2}}x\cos x.
sin 2 {{\sin }^{2}} — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx \cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2cos 3 x 2{{\cos }^{3}}x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени.
У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x 2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений.
Используем формулу основного тригонометрического тождества и записываем окончательное решение
С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага:
1) доказать, что
cosx≠0
\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества (sin 2 x⋅cos 2 x=1) \left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0 \cos x=0. Мы получим следующее выражение:
sin 2 x=1 sinx=±1
\begin{align}& {{\sin }^{2}}x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end{align}
Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx \cos x — ноль, а вместо sinx \sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что
cosx≠0
2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку
cosx≠0
\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cos n x {{\cos }^{n}}x, где n n — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
sinx cosx =tgx cosx cosx =1
\begin{align}& \frac{\sin x}{\cos x}=tgx \\& \frac{\cos x}{\cos x}=1 \\\end{align} \\{} \\\end{array}\]
Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению n n-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике.
Решаем реальные задачи
Задача №1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Предположим противное, что
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем:
3⋅0+5⋅(±1) =0 ±5=0
\begin{align}& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end{align}
На основании этого можно сказать, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx \cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим:
3(cosx cosx ) +5(sinx cosx ) =0 3+5tgx=0 tgx=−3 5
\begin{align}& 3\left(\frac{\cos x}{\cos x} \right)+5\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac{3}{5} \\\end{align}
Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурироватьarctgx arctgx:
x=arctg(−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z
Поскольку arctg arctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ:
x=−arctg3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z
Задача №2
4sin 2 x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0
Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования:
4sin 2 x+2sinxcosx−3(sin 2 x+cos 2 x) =0 4sin 2 x+2sinxcosx−3sin 2 x−3cos 2 x=0 sin 2 x+2sinxcosx−3cos 2 x=0
\begin{align}& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\& {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\\end{align}
Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin 2 {{\sin }^{2}}, т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx \sin x и cosx \cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos 2 x {{\cos }^{2}}x — аналогично первому значению.
Докажем, что cosx=0 \cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end{array}\]
Мы доказали, что cosx=0 \cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos 2 x {{\cos }^{2}}x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум:
sin 2 x cos 2 x +2sinxcosx cos 2 x −3=0 tg 2 x+2tgx−3=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}-3=0 \\& t{{g}^{2}}x+2tgx-3=0 \\\end{align}
Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно:
(tgx+3) (tgx−1) =0 tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Z tgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin{align}& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{align}
Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу.
Задача №3
sin 3 x+sin 2 xcosx=2cos 3 x
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x
Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2cos 3 x 2{{\cos }^{3}}x влево. Переписываем:
sin 3 x+sin 2 xcosx−2cos 3 x=0
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-2{{\cos }^{3}}x=0
Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, чтоcosx=0 \cos x=0 не является корнем:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end{array}\]
Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию:
(±1) 3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0 ±1=0
\begin{align}& {{\left(\pm 1 \right)}^{3}}+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end{align}
Следовательно, cosx=0 \cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos 3 x {{\cos }^{3}}x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:
sin 3 x cos 3 x +sin 2 xcosx cos 3 x −2=0 tg 3 x+tg 2 x−2=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}+\frac{{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{3}}x}-2=0 \\& t{{g}^{3}}x+t{{g}^{2}}x-2=0 \\\end{align}
Введем новую переменную:
tgx=t
Переписываем конструкцию:
t 3 +t 2 −2=0
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=0
Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена.
Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t 3 {{t}^{3}} будет больше по модулю, чем t 2 {{t}^{2}}. А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t 2 {{t}^{2}} — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1 t=-1 и t=−2 t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел:
˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text{ }1+1-2=0\to 0=0
Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1 t=1 является корнем.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0
t=2 t=2 не является корнем.
Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x 0 {{x}_{0}}, представим в виде:
Q(x)=(x=x 0 )P(x)
Q(x)=(x={{x}_{0}})P(x)
В нашем случае в роли x x выступает переменная t t, а в роли x 0 {{x}_{0}} — корень, равный 1. Получим:
t 3 +t 2 −2=(t−1)⋅P(t)
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=(t-1)\cdot P(t)
Как найти многочлен P(t) P\left(t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее:
P(t)=t 3 +t 2 −2 t−1
P(t)=\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2}{t-1}
Подставляем:
t 3 +t 2 +0⋅t−2 t−1 =t 2 +2t+2
\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+0\cdot t-2}{t-1}={{t}^{2}}+2t+2
Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде:
(t−1)(t 2 +2t+2)=0
(t-1)({{t}^{2}}+2t+2)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй:
t 2 +2t+2=0
{{t}^{2}}+2t+2=0
Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
t=\text{ }1 \\tgx=\text{ }1 \\x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{array}\]
В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче:
- всегда ли будет выполняться условие cosx≠0 \cos x\ne 0,и стоит ли вообще проводить эту проверку. Разумеется, не всегда. В тех случаях, когда cosx=0 \cos x=0 является решением нашего равенства, следует вынести его за скобки, и тогда в скобках останется полноценное однородное уравнение.
- что такое деление многочлена на многочлен. Действительно, в большинстве школ этого не изучают, и когда ученики впервые видят такую конструкцию, то испытывают легкий шок. Но, на самом деле, это простой и красивый прием, который существенно облегчает решение уравнений высших степеней. Разумеется, ему будет посвящен отдельный видеоурок, который я опубликую в ближайшее время.
Ключевые моменты
Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение.
Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же.
Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text{ cos }x=0 — тождество 1-й степени;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text{ sin}2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x \sin 2x — второй степени (т.к. можно представить
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет.
Общая схема решения
Схема решения всегда одна и та же:
Предположим, что cosx=0 \cos x=0. Тогда sinx=±1 \sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx \sin x и cosx \cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=0 5=0), переходим ко второму пункту;
Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x... — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tgx=t.
tgx=tНайденные корни будут ответом к исходному выражению.
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции
f (x , y ) = ax +by + c ,
где a , b , c – заданные числа.
Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.
Пример 1 . Решить уравнение
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Ответ : (6 ; 3)
Пример 2 . Решить уравнение
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
(1 + y ; y ) ,
где y – любое число.
линейное
Определение 4 . Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид
g (x , y )
Пример 4 . Решить систему уравнений
Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
Решая уравнение
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Следовательно,
y
1 = 8 - x
1 = 9 ,
y
2 = 8 - x
2 = - 1 .
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .
Пример 6 . Решить систему уравнений
Решение . Решим однородное уравнение
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
5y 2 = - 20 ,
которое корней не имеет.
В случае, когда
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)
Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы.
Тип урока: обяснение нового материала. Работа проходит в группах. В каждой группе есть эксперт, который контролирует и направляет работу учащихся. Помогает слабым учащимся поверить в свои силы при решении данных уравнений.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок по теме
" Однородные тригонометрические уравнения"
(10-й класс)
Цель:
- ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
- сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
- научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
- развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
- стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.
Тип урока : урок формирования новых знаний.
Форма проведения : работа в группах.
Оборудование: компьютер, мультимедийная установка
Ход урока
I. Организационный момент
На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией. Приложение 1.
Оценочный лист№
п\п | Фамилия имя | Домашнее задание | Познавательная активность | Решение уравнений | Самостоятельная работа | Оценка |
II. Актуализация опорных знаний..
Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Вспомним основные виды простейших тригонометрических уравнений. Поставьте с помощью стрелок соответствии между выражениями.
III. Мотивация обучения.
Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.
Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.
Кроссворд.
Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.
1.Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
2.Единица измерения углов? (Радиан)
3.Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
4.Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
5.Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
6.Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
7.Как называется верное равенство? (Тождество)
8.Равенство с переменной? (Уравнение)
9.Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
10.Множество корней уравнения? (Решение)
IV. Объяснение нового материала.
Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”. (Презентация)
Примеры:
- sin x + cos x = 0
- √3cos x + sin x = 0
- sin 4x = cos 4x
- 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
- 4 sin 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
- sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
- 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
- 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
- sin 2x + 2cos 2x = 1
V. Самостоятельная работа
Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.
Учащимся предлагается выполнить письменную работу на 10 минут.
Учащиеся выполняют на чистых листочках под копировку. По истечении времени собираются вершки самостоятельной работы, а решения под копировку остаются у учащихся.
Проверка самостоятельной работы (3 мин) проводится взаимопроверкой.
. Учащиеся цветной ручкой проверяют письменные работы своего соседа и записывают фамилию проверяющего. Затем сдают листочки.
Потом сдают независимому эксперту.
1 вариант: 1) sin x = √3cos x
2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
3) 3sin x – 2sin x cos x = 1
4) sin 2x⁄sin x =0
2 вариант: 1) cosx + √3sin x = 0
2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0
3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x
4) cos 2x ⁄ cos x = 0
VI. Подведение итогов урока
VII. Задание на дом:
Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
Решение уравнений 1 балл
Самостоятельная работа – 4 балла