Цели урока:

Образовательная : создать условия для формирования у обучающихся целостного представления о корне n-ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач.

Развивающая : создать условия для развития алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные : способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Ход урока

1. Организационный момент.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подравнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

Что есть больше всего на свете? - Пространство.

Что быстрее всего? - Ум.

Что мудрее всего? - Время.

Что приятнее всего? - Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

3. Актуализация знаний.

1. Назовите взаимообратные алгебраические операции над числами. (Сложение и вычитание, умножение и деление)

2. Всегда ли можно выполнить такую алгебраическую операцию, как деление? (Нет, делить на нуль нельзя)

3. Какую еще операцию вы можете выполнять с числами? (Возведение в степень)

4. Какая операция будет ей обратной? (Извлечение корня)

5. Корень какой степени вы можете извлекать? (Корень второй степени)

6. Какие свойства квадратного корня вы знаете? (Извлечение квадратного корня из произведения, из частного, из корня, возведение в степень)

7. Найдите значения выражений:

Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

4. Изучение нового материала.

Очевидно, что в соответствии с основными свой-ствами степеней с натуральными показателями, из любого положительного числа существует два проти-воположных значения корня четной степени, напри-мер, числа 4 и -4 являются корнями квадратными из 16, так как (-4)2 = 42 = 16, а числа 3 и -3 являют-ся корнями четвертой степени из 81, так как (-3)4 = З4 = 81.

Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку четная степень любого действительного числа неотрицательна . Что же касается корня нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один ко-рень нечетной степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З3 = 27, а -2 есть корень пятой степени из -32, так как (-2)5 = 32.

В связи с существованием двух корней четной сте-пени из положительного числа, введем понятие ариф-метического корня, чтобы устранить эту двузначность корня.

Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.

Обозначение: - корень n-й степени.

Число n называется степенью арифметического корня. Если n = 2, то степень корня не указывается и пишется. Корень второй степени принято называть квадратным, а корень третьей степени - кубическим.

B, b2 = а, а ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = а, п - четное а ≥ 0, b ≥ 0

п - нечетное а, b - любые

Свойства

1. , а ≥ 0, b ≥ 0

2. , а ≥ 0, b >0

3. , а ≥ 0

4. , m, n, k - натуральные числа

5. Закрепление нового материала.

Устная работа

а) Какие выражения имеют смысл?

б) При каких значениях переменной а имеет смысл выражение?

Решить № 3, 4, 7, 9, 11.

6. Физкультминутка.

Во всех делах умеренность нужна,

Пусть будет главным правилом она.

Гимнастикой займись, коль мыслил долго,

Гимнастика не изнуряет тела,

Но очищает организм всецело!

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте - вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

7. Самостоятельная работа.

Работа в парах с. 178 №1, №2.

8. Д/з. Выучить п.10 (с.160-161), решить № 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Итоги урока. Рефлексия деятельности.

Достиг ли урок своей цели?

Чему вы научились?

Сценарий урока в 11 классе по теме:

« Корень n-й степени из действительного числа. »

Цель урока: Формирование у учащихся целостного представления о корне n -ой степени и арифметического корень n-ой степени, формирование вычислительных навыков, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач, содержащих радикал. Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы.

Предметные: создать содержательные и организационные условия для усвоения материала по теме « Числовые и буквенные выражения» на уровне восприятия осмысления и первичного запоминания; формировать умения применять данные сведения при вычислении корня n-й степени из действительного числа;

Метопредметные: способствовать развитию вычислительных навыков; умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

Личностные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать ответы других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Планируемый результат.

Предметные: уметь в процессе реальной ситуации применять свойства корня n-й степени из действительного числа при вычислении корней, решении уравнений.

Личностные: формировать внимательность и аккуратность в вычислениях, требовательное отношение к себе и к своей работе, воспитывать чувство взаимопомощи.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Мотивация к учебной деятельности:

Восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.

Наш урок пройдёт под девизом: «Покорим любую вершину, если будем к ней стремиться». Нам с вами в течение урока нужно успеть преодолеть несколько вершин, и каждый из вас должен вложить все свои усилия, чтобы покорить эти вершины.

«Сегодня у нас урок, на котором мы должны познакомиться с новым понятием: « Корень n-й степени» и научиться применять это понятие к преобразованию различных выражений.

Ваша цель – на основе различных форм работы активизировать имеющиеся знания, внести свой вклад в изучение материала и получить хорошие оценки»
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида y =x 2 . Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства?
а) индивидуальный опрос:

что это за выражение

что называется квадратным корнем

что называется арифметическим квадратным корнем

перечислите свойства квадратного корня

б) работа в парах: вычислите.

-

2. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации: Решите уравнение x 4 =1 . Как мы его можем решить? (Аналитически и графически). Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х 4 прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках: А (-1;1) и B(1;1). Абсциссы точек А и B, т.е. х 1 = -1,

х 2 = 1, являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16: А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не можем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.

х 2 = - (читается: «корень четвертой степени из пяти»).

Мы говорили об уравнении х 4 = а, где а 0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, где а 0, а n - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень х 1 , который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа х 1 введем обозначение .

Определение 1. Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят "«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.

Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в курсе алгебры 9-го класса.

Итак, если а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Вообще, =b и b n =а - одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b, но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.

Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6) 6 =36 - верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению - положительное число, значит = 6 (а не -6). Точно так же, хотя и 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать = 2 (и в то же время ≠-2).

Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix - «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» - это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ - это стилизованная буква r.

Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2) 5 = -32 можно переписать в эквивалентной форме как =-2. При этом используется следующее определение.

Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак, если а , n=,5,7,…,то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.

5. Первичное закрепление знаний:

1. Вычислить: № № 33.5; 33.6; 33.74 33.8 устно а) ; б) ; в) ; г) .

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2 4 =16 (это меньше, чем 17), а З 4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:
2. Найти значения следующих выражений.

Поставить около примера соответствующую букву.

Небольшая информация о великом учёном. Рене Декарт (1596-1650) французский дворянин, математик, философ, физиолог, мыслитель. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел буквенные обозначения x 2 , y 3 . Всем известны декартовы координаты, определяющие функцию переменной величины.

3 . Решить уравнения: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Решение: а) Если = -2, то y = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим: 3х+4= - 8; 3х= -12; х = -4. б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим: х=1.

в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
Вашему вниманию предложено несколько заданий. Когда вы выполните эти задания, вы узнаете имя и фамилию великого учёного-математика. Этот учёный в 1637 г первым ввел знак корня.

6. Давайте немного отдохнём.

Поднимает руки класс - это «раз».

Повернулась голова – это «два».

Руки вниз, вперёд смотри – это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,

С силой их к рукам прижать –это «пять».

Всем ребятам надо сесть –это «шесть».

7. Самостоятельная работа:

вариант: 2 вариант:

б) 3-. б)12 -6 .

2. Решите уравнение: а) х 4 = -16; б) 0,02х 6 -1,28=0; а) х 8 = -3; б)0,3х 9 – 2,4=0;

в) = -2; в)= 2

8. Повторение: Найдите корень уравнения = - х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ впишите меньший из корней.

9. Рефлексия: Чему вы научились на уроке? Что было интересным? Что было трудным?

Корнем степени n из действительного числа a , где n - натуральное число, называется такое действительное число x , n -ая степень которого равна a .

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n -ой степени из числа a называется извлечением корня. Число а называется подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n -ой степени для любого действительного числа a . При четном n существует корень n -ой степени только для неотрицательного числаa . Чтобы устранить двузначность корня n -ой степени из числа a , вводится понятие арифметического корня n -ой степени из числа a .

Понятие арифметического корня степени N

Если и n - натуральное число, большее 1 , то существует, и только одно, неотрицательное число х , такое, что выполняется равенство . Это число х называется арифметическим корнем n -й степени из неотрицательного числа а и обозначается . Число а называется подкоренным числом, n - показателем корня.

Итак, согласно определению запись , где , означает, во-первых, что и, во-вторых, что , т.е. .

Понятие степени с рациональным показателем

Степень с натуральным показателем: пусть а - действительное число, а n - натуральное число, большее единицы, n -й степенью числа а называют произведение n множителей, каждый из которых равен а , т.е. . Число а - основание степени, n - показатель степени. Степень с нулевым показателем: полагают по определению, если , то . Нулевая степень числа 0 не имеет смысла. Степень с отрицательным целым показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, то . Степень с дробным показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, m - целое число, то .

Операции с корнями.

Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:

Теперь формула a m: a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m: a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

Где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

Любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует, что x – любое число; но принимая во внимание, что внашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения. Таким образом, x > 0.

Начальный уровень

Корень и его свойства. Подробная теория с примерами (2019)

Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

А почему же число должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен. Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не. Может, ? Опять же, проверяем: . Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать - потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!
Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ». Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом, ответ было и, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, не равносильно выражению.

Из следует, что, то есть или. (Читай тему « »)

А из следует, что.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как, так и.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат .

А теперь попробуй решить такое уравнение. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит? Начнем с самого начала - с нуля: - не подходит, двигаемся дальше - меньше трех, тоже отметаем, а что если. Проверим: - тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и, а также между и. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции и отметим на нем решения.

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что. Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: . Таким образом, . Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что. Корень из двух приблизительно равен, но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до, а также уметь их распознать. К примеру, необходимо знать, что в квадрате равно, а также, наоборот, что - это в квадрате.

Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.

Примеры.

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Ответы:

Кубический корень

Ну что же, с понятием квадратного корня вроде разобрались, теперь постараемся разобраться, что такое кубический корень и в чем их отличие.

Кубический корень из некоторого числа - это число, куб которого равен. Заметили, тут все гораздо проще? Здесь нет никаких ограничений на возможные значения как значения под знаком кубического корня, так и извлекаемого числа. То есть кубический корень можно извлечь из любого числа: .

Уловили, что такое кубический корень и как его извлекать? Тогда вперед решать примеры.

Примеры.

Ответы:

Корень - ой степени

Ну что ж, мы разобрались с понятиями квадратного и кубического корня. Теперь обобщим полученные знания понятием корень -ой степени .

Корень -ой степени из числа — это число, -ая степень которого равна, т.е.

равносильно.

Если - чётно , то:

• при отрицательном , выражение не имеет смысла (корни четной -ой степени из отрицательных чисел извлечь нельзя !);
• при неотрицательном () выражение имеет один неотрицательный корень.

Если - нечётно, то выражение имеет единственный корень при любом.

Не пугайтесь, тут действуют такие же принципы, что и с квадратными и кубическими корнями. То есть принципы, которые мы применяли при рассмотрении квадратных корней, распространяем на все корни четной -ой степени.

А те свойства, которые применяли для кубического корня, распространяются на корни нечетной -ой степени.

Ну что, стало понятней? Давайте разбираться на примерах:

Тут все более ли менее понятно: сначала смотрим - ага, степень - четная, под корнем число положительное, значит наша задача - найти такое число, четвертая степень которого даст нам. Ну, есть предположения? Может, ? Точно, !

Так, степень равна - нечетная, под корнем число отрицательное. Наша задача - найти такое число, при возведении которого в степень получается. Сразу заметить корень довольно затруднительно. Однако можно сразу сузить область поиска, правда? Во-первых, определенно искомое число отрицательно, а во-вторых, можно заметить, что - нечетное, а значит и искомое число - нечетное. Попробуй подобрать корень. Конечно же, и можно смело отметать. Может, ?

Да, это то, что мы искали! Заметь, что для упрощения расчета мы воспользовались свойствами степеней: .

Основные свойства корней

Понятно? Если нет, то рассмотрев примеры, все должно встать на свои места.

Умножение корней

Как умножать корни? На этот вопрос помогает ответить самое простое и базовое свойство:

Начнем с простенького:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот вам такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак корня четной степени мы можем только положительные числа .

Посмотрим, где это еще может пригодиться. Например, в задаче требуют сравнить два числа:

Что больше:

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня? Тогда вперед:

Ну и, зная, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень! Т.е. если, значит, . Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а вот как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логики, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда вот такой пример:

Это подводные камни, о них всегда стоит помнить . Это фактически и есть отражение на примерах свойства:

при нечетных: при четных и:

Понятно? Закрепляй на примерах:

Ага, видим, корень в четной степени, отрицательное число под корнем тоже в четной степени. Ну и то же получается? А вот что:

Вот и все! Теперь вот такие примеры:

Уловил? Тогда вперед решать примеры.

Примеры.

Ответы.

Если получил ответы, то можно со спокойной душой двигаться дальше. Если нет, то давай разберемся в этих примерах:

Посмотрим на два других свойства корней:

Эти свойства обязательно надо разбирать в примерах. Ну что, займемся этим?

Разобрался? Давай закрепим.

Примеры.

Ответы.

КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: и. Это числа, квадрат которых равен.

Рассмотрим уравнение. Решим его графически. Нарисуем график функции и линию на уровне. Точки пересечения этих линий и будут решениями. Видим, что и у этого уравнения два решения - одно положительное, другое отрицательное:

Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен. При выражение не определено, т.к. нет такого числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Корень из квадрата: .

Например, . А из следует, что или.

Еще раз обращаю внимание, это очень важно: Квадратный корень - это всегда неотрицательное число: !

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа: . Как видим, он может принимать и отрицательные значения.

Корень -ой степени из числа — это число, -я степень которого равна, т.е.

Если — чётно, тогда:

• если, то корень -ой степени из a не определен.
• если, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается.

Если - нечётно, тогда уравнение имеет единственный корень при любом.

Ты заметил, что слева сверху от знака корня мы пишем его степень? Но только не для квадратного корня! Если видишь корень без степени, значит он квадратный (степени).

Примеры.

Основные свойства корней

КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен

Свойства корней: