Корень 3 степени из x график. Разложение в степенной ряд

Которого равен $a.$ Другими словами, это решение уравнения $x^3\; =\; a$ (обычно подразумеваются вещественные решения).

Вещественный корень

Показательная форма

Корень из комплексных чисел можно определить так:

$x^\{1/3\}\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln\{x\})$

Если представить $x$ как

$x\; =\; r\; \backslash exp(i\; \backslash theta)$

то формула кубического числа такова:

$\backslash sqrt\{x\}\; =\; \backslash sqrt\{r\}\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

Это геометрически означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень радиуса и делим полярный угол на три, для того, чтобы определить кубический корень. Значит, если $x$ комплексное, то $\backslash sqrt\{-8\}$ будет обозначать не $-2$, а будет $1\; +\; i\backslash sqrt\{3\}.$

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26 %) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

Способы вычисления

Столбиком

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть - справа налево, дробную - слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Алгоритм таков:

1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание . Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой $a$. Вычислите по формуле $$ такое число $x$, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное $x$ справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле $300\backslash times\; a^2\backslash times\; x+30\backslash times\; a\backslash times\; x^2+x^3$ и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

См. также

Напишите отзыв о статье "Кубический корень"

Литература

• Корн Г. , Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. - 4-е издание. - М .: Наука, 1978. - С. 32-33.

Отрывок, характеризующий Кубический корень

К девяти часам утра, когда войска уже двинулись через Москву, никто больше не приходил спрашивать распоряжений графа. Все, кто мог ехать, ехали сами собой; те, кто оставались, решали сами с собой, что им надо было делать.
Граф велел подавать лошадей, чтобы ехать в Сокольники, и, нахмуренный, желтый и молчаливый, сложив руки, сидел в своем кабинете.
Каждому администратору в спокойное, не бурное время кажется, что только его усилиями движется всо ему подведомственное народонаселение, и в этом сознании своей необходимости каждый администратор чувствует главную награду за свои труды и усилия. Понятно, что до тех пор, пока историческое море спокойно, правителю администратору, с своей утлой лодочкой упирающемуся шестом в корабль народа и самому двигающемуся, должно казаться, что его усилиями двигается корабль, в который он упирается. Но стоит подняться буре, взволноваться морю и двинуться самому кораблю, и тогда уж заблуждение невозможно. Корабль идет своим громадным, независимым ходом, шест не достает до двинувшегося корабля, и правитель вдруг из положения властителя, источника силы, переходит в ничтожного, бесполезного и слабого человека.
Растопчин чувствовал это, и это то раздражало его. Полицеймейстер, которого остановила толпа, вместе с адъютантом, который пришел доложить, что лошади готовы, вошли к графу. Оба были бледны, и полицеймейстер, передав об исполнении своего поручения, сообщил, что на дворе графа стояла огромная толпа народа, желавшая его видеть.
Растопчин, ни слова не отвечая, встал и быстрыми шагами направился в свою роскошную светлую гостиную, подошел к двери балкона, взялся за ручку, оставил ее и перешел к окну, из которого виднее была вся толпа. Высокий малый стоял в передних рядах и с строгим лицом, размахивая рукой, говорил что то. Окровавленный кузнец с мрачным видом стоял подле него. Сквозь закрытые окна слышен был гул голосов.
– Готов экипаж? – сказал Растопчин, отходя от окна.
– Готов, ваше сиятельство, – сказал адъютант.
Растопчин опять подошел к двери балкона.
– Да чего они хотят? – спросил он у полицеймейстера.
– Ваше сиятельство, они говорят, что собрались идти на французов по вашему приказанью, про измену что то кричали. Но буйная толпа, ваше сиятельство. Я насилу уехал. Ваше сиятельство, осмелюсь предложить…
– Извольте идти, я без вас знаю, что делать, – сердито крикнул Растопчин. Он стоял у двери балкона, глядя на толпу. «Вот что они сделали с Россией! Вот что они сделали со мной!» – думал Растопчин, чувствуя поднимающийся в своей душе неудержимый гнев против кого то того, кому можно было приписать причину всего случившегося. Как это часто бывает с горячими людьми, гнев уже владел им, но он искал еще для него предмета. «La voila la populace, la lie du peuple, – думал он, глядя на толпу, – la plebe qu"ils ont soulevee par leur sottise. Il leur faut une victime, [„Вот он, народец, эти подонки народонаселения, плебеи, которых они подняли своею глупостью! Им нужна жертва“.] – пришло ему в голову, глядя на размахивающего рукой высокого малого. И по тому самому это пришло ему в голову, что ему самому нужна была эта жертва, этот предмет для своего гнева.
– Готов экипаж? – в другой раз спросил он.
– Готов, ваше сиятельство. Что прикажете насчет Верещагина? Он ждет у крыльца, – отвечал адъютант.
– А! – вскрикнул Растопчин, как пораженный каким то неожиданным воспоминанием.
И, быстро отворив дверь, он вышел решительными шагами на балкон. Говор вдруг умолк, шапки и картузы снялись, и все глаза поднялись к вышедшему графу.
– Здравствуйте, ребята! – сказал граф быстро и громко. – Спасибо, что пришли. Я сейчас выйду к вам, но прежде всего нам надо управиться с злодеем. Нам надо наказать злодея, от которого погибла Москва. Подождите меня! – И граф так же быстро вернулся в покои, крепко хлопнув дверью.
По толпе пробежал одобрительный ропот удовольствия. «Он, значит, злодеев управит усех! А ты говоришь француз… он тебе всю дистанцию развяжет!» – говорили люди, как будто упрекая друг друга в своем маловерии.

Ребята, мы продолжаем изучать степенные функции. Темой сегодняшнего урока будет функция - корень кубический из х. А что же такое корень кубический? Число y называется корнем кубическим из x (корнем третьей степени) если выполняется равенство Обозначают:, где х - подкоренное число, 3- показатель степени.

Как мы видим, корень кубический можно извлекать и из отрицательных чисел. Получается, что наш корень существует для всех чисел. Корень третьей степени из отрицательного числа равен отрицательному числу. При возведении в нечетную степень знак сохраняется, третья степень является нечетной. Проверим равенство: Пусть. Возведем оба выражения в третью степень Тогда или В обозначениях корней получаем искомое тождество.

Ребята, давайте теперь построим график нашей функции. 1) Область определения множество действительных чисел. 2) Функция нечетная, так как Далее рассмотрим нашу функцию при х 0, после отразим график относительно начала координат. 3) Функция возрастает при х 0. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и значит возрастание. 4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента. 5) При х 0 наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.

Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная. Свойства функции: 1) D(y)=(-;+) 2) Нечетная функция. 3) Возрастает на (-;+) 4) Неограниченна. 5) Наименьшего и наибольшего значения нет. 6) Функция непрерывна на всей числовой прямой. 7) Е(у)= (-;+). 8) Выпукла вниз на (-;0), выпукла вверх на (0;+).

Пример. Построить график функции и прочитать его. Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При х-1 строим график корня кубического, при х-1 график линейной функции. 1) D(y)=(-;+) 2) Функция не является ни четной, ни нечетной. 3) Убывает на (-;-1), возрастает на (-1;+) 4) Неограниченна сверху, ограничена снизу. 5) Наибольшего значения нет. Наименьшее значение равно минус один. 6) Функция непрерывна на всей числовой прямой. 7) Е(у)= (-1;+)

Вместо введения

Использование на уроках современных технологий (КСО) и средств обучения (мультимедийной доски) помогают учителю планировать и проводить эффективные уроки, создавать условия ученикам для осознанного понимания, запоминания и отработки навыков.

Урок получается динамичным и интересным, если во время учебного занятия сочетать различные формы обучения.

В современной дидактике выделяют четыре общие организационные формы обучения:

• индивидуально-опосредованная;
• парная;
• групповая;

коллективная (в парах сменного состава). (Дьяченко В.К. Современная дидактика. – М.: Народное образование, 2005).

На традиционном уроке, как правило, используются только первые три, перечисленные выше, организационные формы обучения. Коллективная форма обучения (работа в парах сменного состава) практически не используется учителем. Однако эта организационная форма обучения дает возможность коллективу обучать каждого и каждому активно участвовать в обучении других. Коллективная форма обучения является ведущей в технологии КСО.

Одной из самых распространенных методик технологии коллективного способа обучения является методика “Взаимный тренаж”.

Эта “волшебная” методика хороша на любом предмете и на любом уроке. Целевое предназначение – тренировка.

Тренировка - наследница самоконтроля, она помогает ученику наладить его контакт с предметом изучения, облегчая поиск правильных шагов-действий. Через тренировку в приобретении, закреплении, перегруппировке, пересмотре, применении знаний происходит развитие познавательных способностей человека. (Яновицкая Е.В. Как учить и учиться на уроке так, чтобы хотелось учиться. Альбом-справочник. – СПб: Образовательные проекты, М.: Издатель А.М. Кушнир, 2009.-С.14;131)

Она поможет быстро повторить какое-либо правило, вспомнить ответы на изученные вопросы, закрепить необходимый навык. Оптимальное время для работы по методике 5-10 минут. Как правило, работа по тренажным карточкам проводится во время устного счета, то есть в начале урока, но по усмотрению учителя она может быть проведена на любом этапе урока, в зависимости от его целей и структуры. В тренажной карточке может быть от 5 до 10 несложных примеров (вопросов, заданий). Каждый ученик класса получает карточку. Карточки у всех разные или разные у всех в “сводном отряде” (дети, сидящие на одном ряду). Сводный отряд (группа) – это временная кооперация учащихся, образованная для выполнения определенной учебной задачи. (Яловец Т.В. Технология коллективного способа обучения в повышении квалификации учителя: Учебно-методическое пособие. – Новокузнецк: Изд-во ИПК, 2005. – С. 122)

Проект урока по теме “Функция у=, ее свойства и график”

В проекте урока, тема которого: “Функция у=, ее свойства и график” представлено использование методики взаимного тренажа в сочетании с применением традиционных и мультимедийных средств обучения.

Тема урока: “Функция у= , ее свойства и график ”

Цели:

• подготовка к контрольной работе;
• проверка знаний всех свойств функции и умений строить графики функций и читать их свойства.

Задачи: предметный уровень:

надпредметный уровень:

• учиться анализировать графическую информацию;
• отрабатывать умение вести диалог;
• развивать умение и навык работы с интерактивной доской на примере работы с графиками.

Структура урока	Время
1. Информационный ввод учителя (ИВУ)	5 мин.
2. Актуализация опорных знаний: работа в парах сменного состава по методике “Взаимный тренаж ”	8 мин.
3. Знакомство с темой “ Функция y=, ее свойства и график”: презентация учителя	8 мин.
4. Закрепление вновь изученного и уже пройденного материала по теме “Функция”: использование интерактивной доски	15 мин.
5. Самоконтроль: в форме теста	7 мин.
6. Подведение итогов, запись домашнего задания.	2 мин.

Раскроем подробнее содержание каждого этапа.

1. Информационный ввод учителя (ИВУ) включает в себя организационный момент; озвучивание темы, цели и плана урока; показ образца работы в паре по методике взаимного тренажа.

Демонстрация образца работы в паре учениками на этом этапе урока целесообразна для повторения алгоритма работы нужной нам методики, т.к. на следующем этапе урока по ней планируется работа всего классного коллектива. Заодно можно назвать ошибки работы по алгоритму (если они имелись), а так же оценить работу этих учащихся.

2. Актуализация опорных знаний ведется в парах сменного состава по методике взаимного тренажа.

Алгоритм методики включает в себя индивидуальную, парную (статические пары) и коллективную (пары сменного состава) организационные формы обучения.

Индивидуальная: каждый, получивший карточку, знакомится с ее содержанием (читает вопросы и ответы на оборотной стороне карточки).

• первый (в роли “тренируемого”) читает задание и отвечает на вопросы карточки партнера;
• второй (в роли “тренера”) – проверяет правильность ответов по оборотной стороне карточки;
• аналогично работают по другой карточке, меняясь ролями;
• делают отметку в индивидуальном листке и меняются карточками;
• переходят в новую пару.

Коллективная:

• в новой паре работают как в первой; переход в новую пару и т.д.

Количество переходов зависит от времени отведенного учителем на данный этап урока, от трудолюбия и скорости осмысления каждого учащегося и от партнеров по совместной работе.

После работы в парах учащиеся делают отметки в листках учета, учитель проводит количественный и качественный анализ работы.

Листок учета может выглядеть следующим образом:

Иванов Петя 7 “б” класс

Дата	Номер карточки	Количество ошибок	С кем работал
20.12.09	№7	0	Сидоров К.
	№3	2	Петрова М.
	№2	1	Самойлова З.

3. Знакомство с темой “ Функция y=, ее свойства и график” проводится учителем в форме презентации с использованием мультимедийных средств обучения (приложение 4). С одной стороны – это вариант наглядности, понятный современным ученикам, с другой стороны – экономия времени на объяснение нового материала.

4. Закрепление вновь изученного и уже пройденного материала по теме “Функция” организуется в двух вариантах, с использованием традиционных средств обучения (доска, учебник) и инновационных (интерактивная доска).

Сначала предлагается несколько заданий из учебника на закрепление вновь изученного материала. Используется тот учебник, по которому ведется обучение. Работа ведется одновременно со всем классом. При этом один ученик выполняет задание “а” – на традиционной доске; другой – задание “б” на интерактивной доске, остальные обучающиеся записывают решения этих же заданий в тетрадь и сверяют свое решение с решением, представленным на досках. Далее учитель оценивает работу учащихся у доски.

Затем, для более быстрого закрепления изученного материала по теме “Функция”, предлагается фронтальная работа с интерактивной доской, которую можно организовать следующим образом:

• на интерактивной доске появляется задание и график;
• ученик, желающий ответить, выходит к доске, выполняет необходимые построения и озвучивает ответ;
• на доске появляется новое задание и новый график;
• отвечать выходит другой ученик.

Таким образом, за короткий промежуток времени, удается решить довольно много заданий, оценить ответы учащихся. Некоторые задания, представляющие интерес (аналогичные заданиям, из предстоящей контрольной работы), можно зафиксировать в тетрадь.

5. На этапе самоконтроля обучающимся предлагается тест с последующей самопроверкой (приложение 3).

Литература

1. Дьяченко, В.К. Современная дидактика [Текст] / В.К. Дьяченко – М.: Народное образование, 2005.
2. Яловец, Т.В. Технология коллективного способа обучения в повышении квалификации учителя: Учебно-методическое пособие [Текст] / Т.В. Яловец. – Новокузнецк: Изд-во ИПК, 2005.
3. Яновицкая, Е.В. Как учить и учиться на уроке так, чтобы хотелось учиться. Альбом-справочник [Текст] / Е.В.Яновицкая. – СПб: Образовательные проекты, М.: Издатель А.М. Кушнир, 2009.

Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Корень кубический. Свойства корня кубического"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Образовательный комплекс 1C: "Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы" Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"

Определение степенной функции - кубического корня

Ребята, мы продолжаем изучать степенные функции. Сегодня мы поговорим о функции "Корень кубический из х".
А что же такое корень кубический?
Число y называется корнем кубическим из x (корнем третьей степени), если выполняется равенство $y^3=x$.
Обозначают, как $\sqrt{x}$, где х - подкоренное число, 3 - показатель степени.
$\sqrt{27}=3$; $3^3=27$.
$\sqrt{(-8)}=-2$; $(-2)^3=-8$.
Как мы видим, корень кубический можно извлекать и из отрицательных чисел. Получается, что наш корень существует для всех чисел.
Корень третьей степени из отрицательного числа равен отрицательному числу. При возведении в нечетную степень знак сохраняется, третья степень является нечетной.

Проверим равенство: $\sqrt{(-x)}$=-$\sqrt{x}$.
Пусть $\sqrt{(-x)}=a$ и $\sqrt{x}=b$. Возведем оба выражения в третью степень. $–x=a^3$ и $x=b^3$. Тогда $a^3=-b^3$ или $a=-b$. В обозначениях корней получаем искомое тождество.

Свойства корней кубических

а) $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{6}$.
б) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Давайте докажем второе свойство. $(\sqrt{\frac{a}{b}})^3=\frac{\sqrt{a}^3}{\sqrt{b}^3}=\frac{a}{b}$.
Получили, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в кубе равно $\frac{a}{b}$ и тогда равно $\sqrt{\frac{a}{b}}$, что и требовалось доказать.

Ребята, давайте построим график нашей функции.
1) Область определения множество действительных чисел.
2) Функция нечетная, так как $\sqrt{(-x)}$=-$\sqrt{x}$. Далее рассмотрим нашу функцию при $х≥0$, после отразим график относительно начала координат.
3) Функция возрастает при $х≥0$. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и означает возрастание.
4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента.
5) При $х≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
Построим график функции по точкам при х≥0.

Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная.

Свойства функции:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетная функция.
3) Возрастает на (-∞;+∞).
4) Неограниченна.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.

7) Е(у)= (-∞;+∞).
8) Выпукла вниз на (-∞;0), выпукла вверх на (0;+∞).

Примеры решения степенных функций

Примеры
1. Решить уравнение $\sqrt{x}=x$.
Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt{x}$ и $y=x$.

Как видим наши графики пересекаются в трех точках.
Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Построить график функции. $y=\sqrt{(x-2)}-3$.
Решение. График нашей получается из графика функции $y=\sqrt{x}$, параллельным переносом на две единицы вправо и три единицы вниз.

3. Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt{x}, x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end{cases}$.
Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $х≥-1$ строим график корня кубического, при $х≤-1$ график линейной функции.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Убывает на (-∞;-1), возрастает на (-1;+∞).
4) Неограниченна сверху, ограничена снизу.
5) Наибольшего значения нет. Наименьшее значение равно минус один.
6) Функция непрерывна на всей числовой прямой.
7) Е(у)= (-1;+∞).

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнение $\sqrt{x}=2-x$.
2. Построить график функции $y=\sqrt{(x+1)}+1$.
3.Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt{x}, x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end{cases}$.