Как решать рациональные уравнения с дробями. Видеоурок «Рациональные уравнения

Цели урока:

Обучающая:

формирование понятия дробных рационального уравнения;
рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
развитие критического мышления;
развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.


(х 2 -2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)
(х 2 -2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0			х 2 -2х-5=х+5
х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0			х 2 -2х-5-х-5=0
х(х-5)(х 2 -3х-10)=0
х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0
х 1 =0 х 2 =5 D=49
х 3 =5 х 4 =-2			х 3 =5 х 4 =-2
Ответ : 0;5;-2.			Ответ : 5;-2.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)
Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть.
Привести дроби к общему знаменателю.
Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Решить уравнение.
Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Решить в тетрадях № 600(а,г,д); №601(г,з).
Попробовать решить №696(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
«4» - 75%-89%
«3» - 50%-74%
«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.

Иногда НОЗ – очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).

Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).

Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).

Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить 2 дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.

Смирнова Анастасия Юрьевна

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма организации учебной деятельности : фронтальная, индивидуальная.

Цель урока: познакомить с новым видом уравнений - дробными рациональными уравнениями, дать представление об алгоритме решения дробных рациональных уравнений.

Задачи урока.

Обучающая:

формирование понятия дробно рационального уравнения;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

создать условия для формирования навыков применения полученных знаний;
способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;
развитие у учащихся умения анализировать, сопоставлять и делать выводы;
развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля, внимания, памяти, устной и письменной речи, самостоятельности.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

Учебник «Алгебра 8». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение». 2010г.

На данную тему отводится пять часов. Данный урок является первым. Основное - изучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений и отработать этот алгоритм на упражнениях.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мне хотелось бы начать наш урок с четверостишия:
Что бы легче всем жилось,
Что б решалось, что б моглось,
Улыбнись, удачи всем,
Что бы не было проблем,
Улыбнулись друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.

На доске написаны уравнения, посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам )
Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Решение уравнений типа уравнения №7 мы рассмотрим на следующих уроках.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом - два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-6 - выражения с переменной .)
Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть.
Привести дроби к общему знаменателю.
Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Решить уравнение.
Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
Записать ответ.

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в); № 601(а,д). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 - посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 - посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

5. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Решить в тетрадях № 600(г,д); №601(г,з).

6. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. Независимо от способа решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Презентация и урок на тему: "Рациональные уравнения. Алгоритм и примеры решения рациональных уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н. Пособие к учебнику Мордковича А.Г.

Знакомство с иррациональными уравнениями

Ребята, мы научились решать квадратные уравнения. Но математика только ими не ограничивается. Сегодня мы научимся решать рациональные уравнения. Понятие рациональных уравнений во многом схоже с понятием рациональных чисел. Только помимо чисел теперь у нас введена некоторая переменная $х$. И таким образом мы получаем выражение, в котором присутствуют операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Пусть $r(x)$ – это рациональное выражение . Такое выражение может представлять из себя простой многочлен от переменной $х$ или отношение многочленов (вводится операция деления, как для рациональных чисел).
Уравнение $r(x)=0$ называется рациональным уравнением .
Любое уравнение вида $p(x)=q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ – рациональные выражения, также будет являться рациональным уравнением .

Рассмотрим примеры решения рациональных уравнений.

Пример 1.
Решить уравнение: $\frac{5x-3}{x-3}=\frac{2x-3}{x}$.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть: $\frac{5x-3}{x-3}-\frac{2x-3}{x}=0$.
Если бы в левой части уравнения были представлены обычные числа, то мы бы привели две дроби к общему знаменателю.
Давайте так и поступим: $\frac{(5x-3)*x}{(x-3)*x}-\frac{(2x-3)*(x-3)}{(x-3)*x}=\frac{5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9)}{(x-3)*x}=\frac{3x^2+6x-9}{(x-3)*x}=\frac{3(x^2+2x-3)}{(x-3)*x}$.
Получили уравнение: $\frac{3(x^2+2x-3)}{(x-3)*x}=0$.

Дробь равна нулю, тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда отдельно приравняем числитель к нулю и найдем корни числителя.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-3)}}{2}=\frac{-2±4}{2}=1;-3$.
Теперь проверим знаменатель дроби: $(x-3)*x≠0$.
Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Тогда: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корни, полученные в числителе и знаменателе, не совпадают. Значит в ответ записываем оба корня числителя.
Ответ: $х=1$ или $х=-3$.

Если вдруг, один из корней числителя совпал с корнем знаменателя, то его следует исключить. Такие корни называются посторонними!

Алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Все выражения, содержащиеся в уравнении, перенести в левую сторону от знака равно.
2. Преобразовать эту часть уравнения к алгебраической дроби: $\frac{p(x)}{q(x)}=0$.
3. Приравнять полученный числитель к нулю, то есть решить уравнение $p(x)=0$.
4. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Если корни знаменателя совпали с корнями числителя, то их следует исключить из ответа.

Пример 2.
Решите уравнение: $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}$.

Решение.
Решим согласно пунктам алгоритма.
1. $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=0$.
2. $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{(x-1)(x+1)}= \frac{3x(x+1)+4(x-1)-6}{(x-1)(x+1)}=$ $=\frac{3x^2+3x+4x-4-6}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2+7x-10}{(x-1)(x+1)}$.
$\frac{3x^2+7x-10}{(x-1)(x+1)}=0$.
3. Приравняем числитель к нулю: $3x^2+7x-10=0$.
$x_{1,2}=\frac{-7±\sqrt{49-4*3*(-10)}}{6}=\frac{-7±13}{6}=-3\frac{1}{3};1$.
4. Приравняем знаменатель к нулю:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Один из корней $х=1$ совпал с корнем из числителя, тогда мы его в ответ не записываем.
Ответ: $х=-1$.

Решать рациональные уравнения удобно с помощью метода замены переменных. Давайте это продемонстрируем.

Пример 3.
Решить уравнение: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Введем замену: $t=x^2$.
Тогда наше уравнение примет вид:
$t^2+12t-64=0$ - обычное квадратное уравнение.
$t_{1,2}=\frac{-12±\sqrt{12^2-4*(-64)}}{2}=\frac{-12±20}{2}=-16; 4$.
Введем обратную замену: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корнями первого уравнения является пара чисел $х=±2$. Второе - не имеет корней.
Ответ: $х=±2$.

Пример 4.
Решить уравнение: $x^2+x+1=\frac{15}{x^2+x+3}$.
Решение.
Введем новую переменную: $t=x^2+x+1$.
Тогда уравнение примет вид: $t=\frac{15}{t+2}$.
Дальше будем действовать по алгоритму.
1. $t-\frac{15}{t+2}=0$.
2. $\frac{t^2+2t-15}{t+2}=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-15)}}{2}=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}=\frac{-2±8}{2}=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - корни не совпадают.
Введем обратную замену.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Решим каждое уравнение по отдельности:
$x^2+x+6=0$.
$x_{1,2}=\frac{-1±\sqrt{1-4*(-6)}}{2}=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2}$ - нет корней.
И второе уравнение: $x^2+x-2=0$.
Корнями данного уравнения будут числа $х=-2$ и $х=1$.
Ответ: $х=-2$ и $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $x^2+\frac{1}{x^2} +x+\frac{1}{x}=4$.

Решение.
Введем замену: $t=x+\frac{1}{x}$.
Тогда:
$t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ или $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$.
Получили уравнение: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корнями данного уравнения является пара:
$t=-3$ и $t=2$.
Введем обратную замену:
$x+\frac{1}{x}=-3$.
$x+\frac{1}{x}=2$.
Решим по отдельности.
$x+\frac{1}{x}+3=0$.
$\frac{x^2+3x+1}{x}=0$.
$x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$.
Решим второе уравнение:
$x+\frac{1}{x}-2=0$.
$\frac{x^2-2x+1}{x}=0$.
$\frac{(x-1)^2}{x}=0$.
Корнем этого уравнения является число $х=1$.
Ответ: $x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$, $x=1$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. $\frac{3x+2}{x}=\frac{2x+3}{x+2}$.

2. $\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac{8}{2x^2+x+4}$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

"Решение дробных рациональных уравнений"

Цели урока:

Обучающая:

формирование понятия дробных рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю; обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; развитие критического мышления; развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)

2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).

3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)

4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)

5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)

6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6

х2-6х-х2-5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

D=1›0, х1=3, х2=4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.


(х2-2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)
(х2-2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0
х(х-5)(х2-2х-5-(х+5))=0			х2-2х-5-х-5=0
х(х-5)(х2-3х-10)=0
х=0 х-5=0 х2-3х-10=0
х1=0 х2=5 D=49

Ответ : 0;5;-2.			Ответ : 5;-2.

В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство

Сделать проверку

х2-3х-10=0 , D=49 , х1=5 , х2=-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

4. Решить уравнение.

5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

6. Записать ответ.

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8»,2007: № 000(б, в,и); № 000(а, д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

3. Решить в тетрадях № 000(а, г,д); № 000(г, з).

4. Попробовать решить № 000(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания. «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания. Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно; 2 – интересно, но не понятно; 3 – не интересно, но понятно; 4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Всем спасибо, урок окончен.