Как делить квадратные корни.

Деление квадратных корней приводит к упрощению дроби. Наличие квадратных корней немного усложняет процесс решения, но некоторые правила позволяют работать с дробями относительно легко. Главное помнить, что множители делятся на множители, а подкоренные выражения на подкоренные выражения. Также квадратный корень может стоять в знаменателе.

Шаги

Деление подкоренных выражений

1. Запишите дробь. Если выражение представлено не в виде дроби, перепишите его в таком виде. Так легче следовать процессу деления квадратных корней. Помните, что горизонтальная черта представляет собой знак деления.

   • 144 ÷ 36 {\displaystyle {\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}} , перепишите его так: .

2. Используйте один знак корня. Если и в числителе, и в знаменателе дроби находятся квадратные корни, запишите их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы упростить процесс решения. Подкоренное выражение – это выражение (или просто число), которое находится под знаком корня.

   • Например, дробь 144 36 {\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}} можно записать так: 144 36 {\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}} .

3. Разделите подкоренные выражение. Разделите одно число на другое (как обычно), а результат запишите под знаком корня.

   • Например, 144 36 = 4 {\displaystyle {\frac {144}{36}}=4} , поэтому: 144 36 = 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}} .

4. Упростите подкоренное выражение (если нужно). Если подкоренное выражение или один из его множителей является полным квадратом, упростите такое выражение. Полный квадрат – это число, которое является квадратом некоторого целого числа. Например, 25 – это полный квадрат, потому что 5 × 5 = 25 {\displaystyle 5\times 5=25} .

   • Например, 4 – это полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=4} . Таким образом:
     4 {\displaystyle {\sqrt {4}}}
     = 2 × 2 {\displaystyle ={\sqrt {2\times 2}}}
     = 2 {\displaystyle =2}
     Итак: 144 36 = 4 = 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2} .

   Разложение подкоренного выражения на множители

   1. Запишите дробь. Если выражение представлено не в виде дроби, перепишите его в таком виде. Так легче следовать процессу деления квадратных корней, особенно при разложении подкоренного выражения на множители. Помните, что горизонтальная черта представляет собой знак деления.

      • Например, если дано выражение 8 ÷ 36 {\displaystyle {\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}} , перепишите его так: 8 36 {\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}} .

   2. Разложите на множители каждое подкоренное выражение. Число, стоящее под знаком корня, раскладывается на множители как любое целое число. Множители запишите под знаком корня.

      • Например:
        8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6 {\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}}

   3. Упростите числитель и знаменатель дроби. Для этого из под знака корня вынесите множители, которые представляют собой полные квадраты. Полный квадрат – это число, которое является квадратом некоторого целого числа. Множитель подкоренного выражения превратится в множитель перед знаком корня.

      • Например:
        2 × 2 × 2 6 × 6 {\displaystyle {\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}}
        
        Таким образом, 8 36 = 2 2 6 {\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}}

   4. Избавьтесь от корня в знаменателе (рационализируйте знаменатель). В математике не принято оставлять корень в знаменателе. Если в знаменателе дроби есть квадратный корень, избавьтесь от него. Для этого умножьте и числитель, и знаменатель на квадратный корень, от которого нужно избавиться.

      • Например, если дана дробь 6 2 3 {\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
        6 2 3 × 3 3 {\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}}
        = 6 2 × 3 3 × 3 {\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}}
        = 6 6 9 {\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}}
        = 6 6 3 {\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}} .

   5. Упростите полученное выражение (если нужно). Иногда в числителе и знаменателе дроби находятся числа, которые можно упростить (сократить). Упростите целые числа, стоящие в числителе и знаменателе, как упрощаете любую дробь.

      • Например, 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} упрощается до 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ; таким образом 2 2 6 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}} упрощается до 1 2 3 {\displaystyle {\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}} = 2 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}} .

   Деление квадратных корней с множителями

   1. Упростите множители. Множитель – это число, которое стоит перед знаком корня. Чтобы упростить множители, разделите или сократите их (подкоренные выражения не трогайте).

      • Например, если дано выражение 4 32 6 16 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}} , сначала упростите 4 6 {\displaystyle {\frac {4}{6}}} . Числитель и знаменатель можно разделить на 2. Таким образом, множители можно сократить: 4 6 = 2 3 {\displaystyle {\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}} .

   2. Упростите квадратные корни. Если числитель делится на знаменатель нацело, сделайте это; в противном случае упростите подкоренное выражение как любое другое выражение.

      • Например, 32 нацело делится на 16, поэтому: 32 16 = 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}}

   3. Умножьте упрощенные множители на упрощенные корни. Помните, что лучше не оставлять корень в знаменателе, поэтому умножьте на этот корень и числитель, и знаменатель дроби.

      • Например, 2 3 × 2 = 2 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}} .

   4. Если нужно, избавьтесь от корня в знаменателе (рационализируйте знаменатель). В математике не принято оставлять корень в знаменателе. Поэтому умножьте и числитель, и знаменатель на квадратный корень, от которого нужно избавиться.

      • Например, если дана дробь 4 3 2 7 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}} , умножьте числитель и знаменатель на 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} , чтобы избавиться от корня в знаменателе:
        4 3 7 × 7 7 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}}
        = 4 3 × 7 7 × 7 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}}
        = 4 21 49 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}}
        = 4 21 7 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}}

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове - подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 - полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

Пример 5

8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе - признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

Пример 10

4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

Пример 11

32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Пример 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Пример 13

4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

1 5 + 2 - в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5 + 2 и 5 - 2 - сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Пример 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 - 2 23 .

Советы:

1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
2. Отличие сложения и вычитания от деления - подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем - необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В разделе на вопрос Корень из двух поделить на два. Можно ли поделить корень их двух просто на обычную цифру 2? заданный автором Невролог лучший ответ это не поверишь - можно поделить даже на цифру 3...
ответ - один, деленное на корень из 2...

Ответ от Азаt [новичек]
епануться можно..)) детский сад)

Ответ от Олег Тимошин [гуру]

Ответ от Косорукий [гуру]
Делить нельзя только на ноль. Нав все остальные числа можно поделить любое число.

Ответ от Простирать [гуру]
не путай число и цифру.

Ответ от Mikhail Levin [гуру]
не путай число и цифру.
Число задает величину, оно не зависит от способа записи. "4"(десятичное) , "100"(двоичное) или "IV"(римское) - одно и то же число в разных способах записи.
а цифра - это такая буковка, которой можно записать число в наше десятичной записи.
Делить можно на число, но не на цифру (то есть - на значок!) .
Так что тупо набирай корень и дели.
Кстати, пора бы в школе забыть про этот маразм - вытаскивание корней в числитель, давно никто столбиком не делит, а компу или калькулятору проще и точнее считать без лишних действий.

Ответ от Олег Тимошин [гуру]
Пример - 2/2=1, корень второй степени из 2=1,44, далее 3/2=1,5, а корень из 3=1,7321 и так далее.