Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привела к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье-Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения - ее «стандартность» - дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций.
Впервые идея метода конечных интегральных преобразований типа
была предложена Н.С. Кошляковым. Наиболее полно теория таких интегральных преобразований была разработана Г.А. Гринбергом, который дал обобщение этих методов на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование. Детальная разработка интегральных преобразований с конечными пределами была проведена Снеддоном, Трантером, Дейчем и др.
Если граница интегрирования заключается между 0 и l , ядра конечных синус- и косинус-преобразований Фурье, а также преобразования Хенкеля соответственно имеют вид :
(при граничных условиях первого и второго родов, а при граничных условиях третьего рода являются корнями уравнения);
где - корень уравнения (граничные условия первого рода), при граничных условиях третьего рода определяется из уравнения
Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма - Луивилля. Поэтому решения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами.
В целях преодоления упомянутых выше трудностей были разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований, в которых прямое преобразование и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам. Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или правильнее, конечных интегральных преобразований Грина. Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее.
Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана-Меллина. Эта формула позволяеь получать решения в интересующей нас форме. Идея метода состоит в том, чтобы выбор ядра интегрального преобразования осуществлялся в соответствии дифференциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f(x) получается с помощью интегрального преобразования
а обратное преобразование по формуле (2.24), где вместо следует подставить.
Такой способ интегрального преобразования имеет свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером процесса и формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями. В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое преобразование в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций (дифференциальное уравнение, условия однозначности) к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной задачи. Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма существенное преимущество перед классическими методами, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия.
Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последовательных операций. Например, для одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо:
1) на основе анализа дифференциального уравнения и краевых условий выбрать подходящее интегральное преобразование или группу интегральных преобразований;
2) умножить дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро преобразования и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исключению; в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображений функций;
3) решить обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованных функций;
4) уточнить выражения произвольных постоянных, содержащихся в решении уравнения, для чего используются краевые условия;
5) найти оригиналы преобразованных функций, а следовательно, и окончательное решение задачи.
Преобразование, которым функции вещественных переменных сопоставляется функция
Вещественных переменных, и переменной 7, вообще говоря комплексной, называют интегральным преобразованием по переменной Переменную называют переменной преобразования. Ради большей наглядности ниже переменную преобразования будем обозначать символом Интегральное преобразование (1) определяется пределами преобразования , ядром и весовой функцией Пределы могут быть и бесконечными; свойства функций будут установлены ниже. Функцию называют интегральным преобразованием, а также интегральной трансформацией, изображением или образом функции Ниже будет применяться преимущественно первый из этих равнозначащих терминов. Функцию часто называют оригиналом или прообразом функции
Возможны интегральные преобразования сразу по нескольким или по всем переменным. Обобщение на этот случай данного выше
определения очевидно. Ниже будут рассматриваться преобразования только по одной переменной. Последовательное применение таких преобразований, однако, эквивалентно некоторому преобразованию по нескольким переменным.
Преобразованные функции будем обозначать теми же символами, что и до преобразования, но с каким-либо значком над символом: чертой, волнистой чертой и По какой переменной осуществлено преобразование, будет ясно из того, от каких аргументов зависит преобразованная функция. Например, интегральное преобразование функции по переменной Аргументы в тех случаях, когда это не может повести к недоразумениям, явно выписывать не будем.
Преобразование, которым функция снова преобразуется в функцию называют обратным интегральному преобразованию (1) или просто обратным преобразованием. При этом само преобразование (1) называют прямым.
Интегральное преобразование определено, когда интеграл в правой части (1) существует. Для практического применения интегральных преобразований, однако, важно, чтобы существовали также обратные преобразования, которые, совместно с (1), устанавливали бы взаимно однозначное соответствие между двумя классами функций: исходным классом функций и классом функций являющихся их интегральными преобразованиями. При этом условии можно установить соответствие также между операциями на обоих классах функций и решение задачи, заданной для функций одного класса, привести к задаче для функций другого класса, которая может быть проще. Решив эту последнюю, с помощью обратного преобразования находят решение первоначальной задачи. Хорошо известным читателю примером является операционное исчисление, основанное на использовании интегрального преобразования Лапласа. Здесь дифференцированию функций исходного класса функций соответствует умножение на независимую переменную функций, являющихся преобразованиями Лапласа. Благодаря этому задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводятся к алгебраическим задачам для преобразованных функций.
Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной. Основным отличием от операционного исчисления в применении интегральных преобразований к уравнениям с
частными производными является использование более широкого набора интегральных преобразований, что важно, когда коэффициенты уравнений переменны.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, функциональное преобразование вида
где С - конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К(х, t) - ядро интегрального преобразования. Наиболее часто рассматриваются интегральные преобразования, для которых К(х, t)=К(xt) и С - действительная ось или её часть (а, b). Если - ∞ < а, b < ∞, то интегральное преобразование называется конечным. При К(х, t) = К(х - t) интегральное преобразование называется интегральным преобразованием типа свёртки. Если х и t - точки n-мерного пространства, а интегрирование ведётся по области этого пространства, то интегральное преобразование называется многомерным. Используются также дискретные интегральные преобразования вида
где n = 0, 1, 2,..., а {Gn(t)} - некоторая система функций, например Якоби многочлены. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t) по известной функции F(х), называются формулами обращения. Интегральные преобразования определены также для обобщённых функций (распределений).
Интегральные преобразования широко используются в математике и её приложениях, в частности при решении дифференциальных и интегральных уравнений математической физики. Наиболее важными для теории и приложений являются Фурье преобразование, Лапласа преобразование, преобразование Меллина.
Примерами интегрального преобразования являются преобразование Стилтьеса
где c v (α, β) = J ν (α) Y v (ß) - Υ ν (α)J ν (β), J v (x), Y v (x) - цилиндрические функции 1-го и 2-го рода. Формула обращения для преобразования Вебера имеет вид
При а → 0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля
При v = ± 1/2 это преобразование сводится к синус и косинус-преобразованиям Фурье.
Примером преобразования свёртки является преобразование Вейерштрасса
Операционные методы.
Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла.
Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены М.Вищенко-Захарченко и Хевисвйдом. Наибольшее распространение они получили в электротехнике благодаря работам Хевисайда.
Операционный метод Хевисвйда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.
Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение).
Интегральное преобразование
функции
определяется формулой
(40)
Здесь Sможет быть комплексным числом; но при этом вещ-я часть больше 0.
-
оригинал;
- изображение функции. Чтобы изображение
существовало необходимо, интеграл (51)
должен сходиться.
Если задача решена в изображениях, то оригинал определяется по изображению (обр-е преобр-е) с помощью формулы обращения
(41)
Вместо формулы (52) для определения оригинала функции по её изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения
(41.а)
Эта формула даёт возможность получить оригинал функции лишь при помощи операция дифференцирования и перехода к пределу.
Если изображение представляет собой функцию
(42)
которая является частичным случаем двух целых трансцендентных функций, то по теореме разложения имеем
(43)
где
- простые корни функции
;
при этом знаменатель не содержит
свободных членов и
2. Если изображение
представляет собой отношение двух
номиналов (дробно-рациональная функция),
причём степень номинала
меньше
степени номинала
,
и номинал
имеет корни кратностиKв точках
,
то
где сумма берётся по всем корням
.
Если все корни простые, т.е. все К равны
единице, то формула (5) переходит в (43)
Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, трудности возникают при решении задач, где условия заданы в виде функции пространственных координат, или решении многомерных задач.
В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.
Если преобразование берётся по
пространственной координате х, то
интегральное преобразование функции
может быть представлено так:
(44)
Если ядро преобразования K(p,x)
берётся в виде
или
,
то это интегральное преобразование
называется соответственно синус- или
косинус- преобразованием Фурье.
Если же ядром преобразования выбрана
функция Бесселя
,
то оно называется преобразованием
Ханкеля.
Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяжённости, синус- преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение формулами, т.е. при ГУ!, а косинус – преобразование Фурье, когда решается диф. уравнения переноса при ГУ2. Преобразования Ханкеля применимы в том случае, когда тело имеет осевую симметрично. Практическое применение названных интегральных преобразований при наличии подробных таблиц изображения не вызывают особых затруднений.
Переход от изображений к оригиналам можно осуществить по формулам обращения для:
Комплексное преобразование Фурье
(45)
Синус-преобразование Фурье
(46)
Косинус-преобразование Фурье
(47)
Преобразование Ханкеля
(48)
Рассмотренные интегральные преобразования применимы для тел полуограниченной протяженности.
Конечные интегральные преобразования
Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Они более предпочтительны даже для задач, решаемых классическими методами.
Идея метода конечных интегральных преобразований предложена Н.С. Коммековым
(49)
Дальнейшая проработка вопросов метода конечных интегральных преобразований нашла отражение в трудах Гриабарга Г.А., Следдона, Трантера, Дёга (Дейг) и др.
Если граница интегрирования заключается между 0 и е, ядро конечных синус - и косинус - преобразований Фурье, а также преобразования Ханкеля соответственно имеют вид:
(50)
(51)
При ГУ1 и ГУ2
,
а при ГУ3
является корнями уравнения
(52)