В кинематике для нахождения различных величин используются математические методы. В частности, чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно применить формулу из векторной алгебры. В ней фигурируют координаты точек начала и конца вектора, т.е. первоначального и итогового положения тела.
Инструкция
Во время движения материальное тело меняет свое положение в пространстве. Его траектория может быть прямой линией или произвольной, ее длина составляет путь тела, но не расстояние, на которое оно переместилось. Эти две величины совпадают только в случае прямолинейного движения.
Итак, пусть тело совершило некоторое перемещение из точки А (х0, у0) в точку В (х, у). Чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно вычислить длину вектора АВ. Начертите координатные оси и нанесите на них известные точки начального и конечного положения тела А и В.
Проведите отрезок из точки А в точку В, укажите направление. Опустите проекции его концов на оси и нанесите на графике параллельные и равные им отрезки, проходящие через рассматриваемые точки. Вы увидите, что на рисунке обозначился прямоугольный треугольник с катетами-проекциями и гипотенузой-перемещением.
По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы. Этот метод широко применяется в векторной алгебре и носит название правила треугольника. Для начала запишите длины катетов, они равны разностям между соответствующими абсциссами и ординатами точек А и В:
ABx = x – x0 – проекция вектора на ось Ох;
ABy = y – y0 – его проекция на ось Оу.
Определите перемещение |AB|:
|AB| = ?(ABx? + ABy?) = ((x – x0)? + (y – y0)?).
Для трехмерного пространства добавьте в формулу третью координату – аппликату z:
|AB| = ?(ABx? + ABy? + ABz?) = ((x – x0)? + (y – y0)? + (z – z0)?).
Полученную формулу можно применять для любой траектории и типа движения. При этом величина перемещения обладает важным свойством. Она всегда меньше либо равна длине пути, в общем случае ее линия не совпадает с кривой траектории. Проекции – величины математические, могут быть как больше, так и меньше нуля. Однако это не имеет значения, поскольку в расчете они участвуют в четной степени.
Во всех рассмотренных нами примерах и задачах по определению координат тела вектор перемещения был известен (т. е. были известны его модуль и направление).
А как найти вектор перемещения, если он не задан?
Проще всего получить формулу для определения вектора перемещения для тела, движущегося прямолинейно и равномерно (т. е. движущегося по прямолинейной траектории и проходящего за любые равные промежутки времени одинаковые пути).
Согласно определению,
- скорость равномерного прямолинейного движения - это постоянная векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка
Из формулы (1) можно найти перемещение для прямолинейного равномерного движения:
При решении большинства задач на нахождение векторных величин (перемещения, скорости, силы и др.) необходимо знать, как эти величины направлены по отношению друг к другу. Об этом можно судить, в частности, по уравнениям, записанным в векторной форме. Например, формулы (1) и (2) свидетельствуют о том, что при прямолинейном равномерном движении векторы скорости и перемещения направлены в одну и ту же сторону.
Но для расчёта перемещения применяют формулу, в которую входят проекции векторов на ось:
Напомним, что по знаку проекции можно судить о том, как направлен соответствующий ей вектор по отношению к выбранной оси. Но если при решении задачи на прямолинейное движение нас не интересует направление векторов перемещения и скорости, то можно воспользоваться формулой, в которую входят их модули:
Формула (4) вам давно знакома - вы часто использовали её при решении задач по физике и математике. Только под буквой s подразумевался пройденный телом путь. Почему же теперь мы говорим, что s - это модуль вектора перемещения?
Дело в том, что при движении в одном направлении модуль вектора перемещения, совершённого телом за некоторый промежуток времени, равен пути, пройденному этим телом за тот же промежуток времени.
Рис. 6. Определение модуля вектора перемещения равномерно движущегося тела
Справедливость этого утверждения наглядно иллюстрируется рисунком 3. Из этого рисунка видно, что в тех случаях, когда тело не меняет направления своего движения (т. е. при движении из точки О в точку Л и из точки О в точку С), модуль вектора перемещения равен пройденному пути. Если же направление движения тела меняется (т. е. при переходе из точки О в точку В и обратно и при движении из точки О в точку D по криволинейной траектории), то пройденный путь окажется больше модуля вектора перемещения.
На рисунке 6 представлен график зависимости модуля вектора скорости v от времени t при равномерном движении тела. С такими графиками вы уже встречались при изучении физики в 7 классе (тогда их называли графиками зависимости скорости от времени).
Модуль вектора перемещения s, совершённого телом за промежуток времени tlf в данном случае определяется по формуле:
Но произведение v 1 t 1 численно равно также и площади S закрашенного прямоугольника, так как отрезки v 1 и t 1 (или, что то же самое, Ov 1 и Ot 1) являются смежными сторонами этого прямоугольника.
Таким образом, при прямолинейном равномерном движении тела модуль вектора его перемещения численно равен площади прямоугольника, заключённого между графиком скорости, осью Ot и перпендикулярами к этой оси, восставленными из точек, соответствующих моментам начала и конца наблюдения (в данном случае из точек О и t 1). Часто эту площадь называют площадью под графиком скорости.
Рис. 7. Определение проекций перемещений двух тел
Поскольку при решении большинства задач придётся иметь дело не только с модулями, но и с проекциями векторов, рассмотрим график зависимости проекции вектора скорости от времени.
Для этого обратимся ещё раз к задаче с двумя катерами, идущими прямолинейно и равномерно в противоположных направлениях (см. § 3, рис. 4). Допустим, что промежуток времени t, за который катера совершили указанные перемещения, равен 2 ч. За 2 ч первый катер переместился на 60 км, а второй - на 50 км. Значит, модуль вектора скорости первого катера равен 30 км/ч, а второго - 25 км/ч.
Так как проекции векторов скорости и перемещения первого катера положительны, а второго - отрицательны, то v 1x = 30 км/ч, s 1x - 60 км, a v 2x = -25 км/ч, s 2x = -50 км.
Числовые значения проекций векторов скорости с соответствующими знаками, а также знаки проекций совершённых катерами перемещений, численно равных площадям под графиками, приведены на рисунке 7.
Вопросы
- Что называется скоростью равномерного прямолинейного движения?
- Как найти проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равномерно, если известны проекция вектора скорости и время движения?
- При каком условии модуль вектора перемещения, совершённого телом за некоторый промежуток времени, равен пути, пройденному телом за тот же промежуток времени?
- Какую информацию о движении двух тел можно получить по графикам, изображённым на рисунке 7?
Упражнение 4
- Может ли график зависимости модуля вектора скорости от времени располагаться под осью Ot (т. е. в области отрицательных значений оси скорости)?
- Постройте графики зависимости проекций векторов скорости от времени для трёх автомобилей, движущихся прямолинейно и равномерно, если два из них едут в одном направлении, а третий - навстречу им. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, второго - 80 км/ч, а третьего - 90 км/ч.