Омнибус N 9-10 2007 год.
Морская душа маршрутных огней.
Загадочная вещь традиция. Сначала её тщательно блюдут, стараясь выдерживать все нюансы, доводят до суеверия, потом вдруг обнаруживают, что она не оправдывает возлагаемых на неё ожиданий, не отвечает логике, не имеет научного обоснования - и с традицией порывают, а впоследствии с грустью замечают, что с её утратой ушло что-то красивое и нужное. . .
Ещё совсем в недавнее время существовала традиция давать трамвайным маршрутам не только цифровое, но и цветовое обозначение - маршрутные огни зажигались по обе стороны от номера маршрута, спереди и сзади вагона. Улицы с трамвайным движением отличались особой, праздничной нарядностью, по маршрутным огням ориентировались в трамвайном потоке водители, пассажиры, путевые рабочие, диспетчеры и стрелочники, многие не представляли себе трамвая без цветных огней. Московская система маршрутных огней был построена на однозначном соответствии цифры и цвета. "1" - всегда красный цвет, "2" - зелёный, "5" - оливковый, "7" - голубой и так далее. А вот в Ленинграде огни "говорили" на другом языке,
и их чтение "по-московски" чаще всего приводило к бессмыслице, так как огней было не 10, как в Москве, а только пять. Они хорошо различались, а их сочетания выглядели всегда очень красиво. Однако из пяти огней возможны 25 разных сочетаний по два, в то время как маршрутов в Петербурге-Ленинграде со временем стало около 70, поэтому знаки маршрутов могли повторяться. Например, два белых - 9, 43; красный и жёлтый - 1, 51, 64; синий и красный - 33, 52, 54; два красных - 5, 36, 39, 45, 47. И только маршрут N 20 обозначался по московской и питерской системе одинаково: зелёный и белый.
Бывало, что маршрутные огни в Петербурге менялись. Если случалось так, что после изменения одного из маршрутов он работал на достаточно протяжённом участке с другим маршрутом, имеющим такие же цвета, то у одного из этих маршрутов приходилось изменять состав огней.
Маршрут N 4 раньше ходил от острова Декабристов до Волкова кладбища и обозначался двумя жёлтыми (оранжевыми) огнями. Потом маршрут закрыли и под тем же номером открыли в другом месте с другими огнями: синий + синий, поскольку он имел общий участок с 35-м трамваем (два жёлтых).
Маршрут N 43 изначально имел огни: красный + белый. При продлении в порт в 1985 году огни изменились: белый + белый, так как маршрут стал иметь общий участок с трамваем N 28 (красный + белый). 3-й маршрут обозначался зелёным и белым цветами. При восстановлении огней в 2007 году сочетание заменено на жёлтый + зеленый. Тогда же изменились сочетания и на ряде других маршрутов: 48 (было: белый + белый, стало: синий + синий); 61 (было: белый + белый, стало: белый + желтый) и т.п.
Петербургская система маршрутных огней, такая простая внешне и такая запутанная, связана с традицией прежде всего европейских трамвайных городов. Так, уже в 1907 году в письме в газету "Новое время" содержится просьба от "обывателей Васильевского острова" ввести на трамваях цветные фонари, "как за границей, в частности во Франкфурте-на-Майне". В настоящее время сохранились остатки былых систем в виде цветной подсветки по диагонали на маршрутных указателях трамваев в Амстердаме. Эта традиция, в свою очередь, вероятно, восходит к огням морской навигации. Почему именно к морским, а не, скажем, к железнодорожным? Да потому, что маршрутные огни, как и морские, никому ничего не запрещают, не заставляют, а просто помогают сориентироваться в тёмное время суток.
Огни морской навигации расшифровываются в специальных морских книгах - лоциях морей. Так же и маршрутные огни описываются в городских путеводителях. Первым из них был "Передвижной путеводитель санкт-петербургских трамваев", выпущенный издательством Э.И. Маркуса (1910).
Состав цветов, применяемых в петербургских маршрутных огнях (белый, красный, оранжевый или жёлтый, зеленый, синий), мало отличается от цветов морских огней (белый, красный, оранжевый, зеленый, синий, фиолетовый).
Присмотревшись, можно найти и другие черты сходства, но гораздо важнее понять, почему в расчётливом Петербурге прижилась такая нестрогая система маршрутных огней, требующая постоянной корректировки. Ответ прост: ведь Петербург - приморский город, и ему в равной степени свойственны и строгость архитектурных форм и легкомыслие карнавала, а значит, и весёлое разноцветье маршрутных огней.
В 2007 году традиция вышла на новый виток. Теперь на вагонах устанавливают светодиодные лампы для маршрутных огней. Они будут светить не только в вечерних сумерках, но и при свете дня.
Оренбург 250 300 200 300 600
Заказ 600 500 200 100
с1 = 250; с2 = 200; с3 = 150.
б)
Таблица 22
Филиалы
Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки
Поставщик
Гданьск 200 300 250 150 550
Краснодар 300 400 300 250 650
Оренбург 150 250 200 200 800
Заказ 450 700 300 300
с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150.
в)
Таблица 23
Филиалы
Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки
Поставщик
Гданьск 200 300 250 150 650
Краснодар 250 400 300 250 750
Оренбург 150 250 200 200 600
Заказ 500 750 400 300
с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150.
Задача 2. Четыре магазина «Лига-плюс», «Умка», «Гурман» и «Улей» торгуют молочной продукцией, ко-
торую поставляют три молокозавода. Первый завод имеет соглашение с фирменным магазином "Гурман" о
фиксированной поставке ему своей продукции. Тарифы на доставку молочной продукции и объем фиксирован-
ной поставки (в ящиках) даны в таблицах по вариантам. Найдите оптимальный план поставок молочной про-
дукции.
а)
Таблица 24
Магазин
«Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки
Завод
1 5 8 6 10 700
200
2 9 6 7 5 800
3 6 7 5 8 500
800 400 600 200
б) Таблица 25
Магазин
«Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки
Завод
1 5 10 7
400
300 5
2 6 8 5 8 600
3 7 9 6 4 900
500 700 200 500
К РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Задание 3
Таблица 26
Вариант № Задания
I а) Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены ко-
миссии могут распределить между собой обязанности? б) Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, про-
водится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество
встреч следует провести. в) Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая
может взять другую. Сколько существует таких расположений?
II а) Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек? б) Замок открывается толь-
ко в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад
три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток.
Сколько попыток предшествовало удачной? в) Порядок выступления восьми участников конкурса определя-
ется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
III а) Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосоче-
тание может содержать от трех до десяти звуков? б) Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эста-
феты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты? в) На
книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и вто-
рой тома не стояли рядом?
IV а) В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик
одного цвета? б) Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют
еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды? в)
Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распре-
делиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
Продолжение табл. 26
Вариант Задания
V а) Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество раз-
личных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов? б) Сколькими способами
можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладъя мо-
жет взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски).
в) Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не
должно содержать одинаковых цифр?
К РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»:
Задание 4
Таблица 27
Вариант Задания
а) Классическое и статистическое определение вероятности
I Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
очков на выпавших гранях четная, причем на грани одной из костей
появится шестерка
II При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная и 10
нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем не известно
какая. Наудачу извлеченная (после перевозки ящика) деталь оказа-
лась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а)
стандартная деталь; б) нестандартная деталь
III Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одина-
кового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероят-
ность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: а) одну окрашенную
грань; б) две окрашенные грани; в) три окрашенные грани
IV В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность
того, что среди них окажется нужная
V В коробке пять одинаковых деталей, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди
двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие;
б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие
б) Теоремы сложения и умножения вероятностей
I На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15
учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь наудачу вы-
бирает три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из
взятых учебников окажется в переплете
Продолжение табл. 27
Вариант Задания
II В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того,
что хотя бы одна из взятых деталей окрашена
III Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность
того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, а вероятность того, что при аварии
сработает второй сигнализатор, равна 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только
один сигнализатор
IV Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле для первого
стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при первом залпе в мишень попадет
только один из стрелков
V Из партии товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие
окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только
два изделия высшего сорта
в) Вероятность появления хотя бы одного события
I В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от дру-
гого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны p1 = 0,1; p2 =
0,15; p3 = 0,2, найти вероятность того, что тока в цепи не будет
II Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответ-
ственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если достаточно, чтобы отказал хотя
бы один элемент
III Для разрушения моста достаточно попадании одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что
мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответ-
ственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 07
IV Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти
вероятность попадания при одном выстреле
V Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спорт-
смены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший
упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами
г) Формула полной вероятности
I В урну, содержащую два шара, спущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Най-
ти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные
предположения о первоначальном составе шаров (по цвету)
Продолжение табл. 27
Окончание таб
Вариант Задания
II В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что
стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95 для винтовки
без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что будет поражена, если
стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки
III В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из ка-
ждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров был наудачу взят один шар.
Найти вероятность того, что взят белый шар
IV В каждой из трех урн содержится б черных с 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один
шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен одни шар и переложен
в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется бе-
лым
V В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе 1, 20 деталей, изготовленных на заводе 2 и
18 деталей, изготовленных на заводе 3. Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе 1 отлич-
ного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах 2 и 3 эти вероятности соответственно
равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества
д) Основные формулы теории вероятностей
I В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок
сразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без опти-
ческого прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что
вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
II В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием А, 30 % – с за-
болеванием Б, 20 % – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; для бо-
лезней Б и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был
выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием А
III Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух
или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из
пяти? Ничьи во внимание не принимаются
IV В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух
мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рожде-
ния мальчика принять равной 0,51
V Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет: а) менее двух раз; б) не менее
двух раз
Задание 5
Таблица 28
Вариант Задание
а) Дискретные случайные величины, числовые характеристики дискретных
случайных величин
I 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,1 0,3 0,6 0,8
P 0,2 0,1 0,4 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того,
что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероят-
ность того, что тираж содержит пять бракованных книг.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,2
II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,10 0,15 0,20 0,25
P 0,1 0,3 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно три элемента.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,7
III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,4 0,5 0,6
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что
среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,6 0,9 1,2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя
бы одно.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6
V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,3 0,4 0,7 0,10
P 0,4 0,1 0,2 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, то бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности
того, что магазин получит разбитых бутылок:
а) ровно 2; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1. вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,1
б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв-
ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины.
I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2;
1, x > Π/2.
Найти плотность распределения f(x).
1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x
на интервале (0; 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию величины X.
1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =
0,5x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные
и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по-
рядков.
1.4 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случай-
ной величины X, распределенной равномерно в интервале (2; 8)
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
II 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X) = sin 2x, 0 < x ≤ Π /4;
1, x > Π/4.
Найти плотность распределения f(x).
1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =
(1/2)x на интервале (0; 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти матема-
тическое ожидание и дисперсию величины X.
1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =
2x в интервале (0; 1), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и
центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого поряд-
ков.
1.4 Случайные величины X и Y независимы и распределены равно-
мерно: X в интервале (a, b), Y – в интервале (c, d). Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию произведения XY
III 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x≤0;
F(X) = cos 2x, 0
Раньше номера трамваев обозначали двумя цветными фонариками. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, используя фонари восьми различных цветов?
Ответы:
формула будет такая: 8²=64 64 различных маршрутов.
Похожие вопросы
- Вспомните архитектурные постройки и скульптуры Возрождения, имеющие нечто сходное с собором Возрождения, и статуей Вероккио. Запишите их названия.
- Вставьте вместо пропусков порядковые номера соответствующих слов из предложенного списка. Слова даны в списвке в единственном числе, в именительном падеже. ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: в списке слов больще, чем пропусков в тексте! Большое распространение в _____ получила классификация, выделяющая в зависимости от оснований и условий приобретения ____ членства кадровые в ____ партии. Первые отличаются тем, что они формируются вокруг группы политических ___, а основой их стровения является комитет активистов. Кадровые партии формируются обычно "сверху" на базе различных ___ фракций, объединений партийной бюрократии. Такие партии обычно активизируют свою деятельность только на время ___. Другие партии представляют собой централизованные, хорошо дисциплинированные организации. Большое значение в них придается ___ единству членов партии. Такие партии чаще всего формируются "снизу", на основе профсоюзных и иных ___ движений, отражающих интересны различный соц. групп 1)Социология 10) выборы 2)общественный 11) норма 3фактор 12) партийный 4)избирательный 13) парламентский 5)национальный 14)консенсус 6) социум 15) идиологический 7) массовый 16) система 8) импичмент 17) лидер 9) политология
- №1 Решить: 28/5*4 №2 На координатной прямой отмечено число а _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) a; a -1;\frac{1}{a} 2) a;\frac{1}{a};a-1 3) a-1;\frac{1}{a};a 4)a-1;a;\frac{1}{a}
- является ли число 2008*2011*2012*2014+1 точным квадратом
- В новопостроенном доме 300квартир.В первый день заселили 120 квартир,во второй - третью часть остатка.Сколько квартир осталось заселить?
- Толик умножил пятизначное число на сумму его цифр. Потом Толик умножил результат на сумму его (результата) цифр. Удивительно, но получилось опять пятизначное число. Какое число Толик умножил в первый раз? (Найдите все возможные варианты ответа.)
Задачи по комбинаторике
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Задачи по комбинаторике |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
Ответ˸ 55 440.
2. Комиссия состоит из председателя, ᴇᴦο заместителя и ещё пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
Ответ˸ 42.
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
Ответ˸ 1 140.
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, в случае если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
Ответ˸ 968.
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
Ответ˸ 253.
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, в случае если использовать фонари восьми цветов?
Ответ˸ 64.
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
Ответ˸ 240.
8.
Замок открывается только в том случае, в случае если набран определенный трехзначный номер.
Размещено на реф.рф
Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр.
Размещено на реф.рф
Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
Ответ˸ 124.
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
Ответ˸ 32 760.
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют ещё 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
Ответ˸ 25!/20!.
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, в случае если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
Ответ˸ 3 126.
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
Ответ˸ 896.
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
Ответ˸ 8!.
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько должна быть различных составов групп?
Ответ˸ 30!/(10!) .
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, в случае если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
Ответ˸ 42.
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
Ответ˸ 9!.
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
Задачи по комбинаторике - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Задачи по комбинаторике" 2015, 2017-2018.
множеством векторов {b n } существует биекция (докажите это!). Следовательно,
C n m (n ) равно числу векторовb n . “ Длина вектора”b n равна числу 0 и 1, илиm + +n–
1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить наm +n 1 мест, а это будет C n m +m- 1 .
Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4
пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что
пирожных каждого вида 4). | ||||||
Число способов будет C 4 | 210. |
|||||
7+ 4- 1 | 4! 6! 1 2 3 4 |
|||||
Пример10 . ПустьV = {a ,b ,c }. Объем выборкиm = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.
1. Перестановки: { abc ,bac ,bca ,acb ,cab ,cba }.P 3 =3!=6.
2. Размещения : {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca )}.A 3 2 1 3 ! ! 6 .
3. Сочетания: {(ab ), (ac ), (bc )}.C 2 | ||||||||||
1! 2! | ||||||||||
4. Размещения с повторениями: {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca ), (aa ), (bb ), |
||||||||||
(cc )}. | (3)= 32 | |||||||||
Сочетания | с повторениями: | {(ab ), | (bc ), (ca ), (aa ), (bb ), (cc )}. |
|||||||
C 2 (3 ) C2 | ||||||||||
3+ 2- 1 | ||||||||||
1.2. Задачи по комбинаторике
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
Ответ: 55 440.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек.
Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20
Ответ: 1 140.
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
Ответ: 968.
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
Ответ: 253.
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е.
каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
Ответ: 240.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
Ответ: 124.
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты
800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
Ответ: 32 760.
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в
которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
Ответ: 25!/20!.
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую,
если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
Ответ: 3 126.
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
Ответ: 896.
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой.
Сколько может быть различных составов групп?
Ответ: 30!/(10!) 3 .
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
Ответ: 30! 2 29!.
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
Ответ: 2 520.
19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.
Ответ: 12!/(2!) 6 .
20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?
Ответ: 204.
21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?
Ответ: 2 9!.
22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).
Ответ: 2 027 025.
23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?
Ответ: 56 ; 6 45 .
24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими
способами они могут распределить работу? Ответ: 210 .
25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
Ответ: 16100 .
26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 80!(3! 75!).
28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 10!/48.
29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины
в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?
Ответ: 3 6 6!.
30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?
Ответ: 2304.
31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы,
если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?
Ответ: 15 368.
32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек.
Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
Ответ: 15!10/7!
33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?
Ответ: 28!/(7!}4 .
34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 15 015.
35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам.
Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 35 .
36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?
Ответ: 108 .
Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?
Ответ: 16!/(26 32 ).
38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 –
второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).
Ответ: 420.
39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в
которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
Ответ: 1800.
40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 105.
41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр.
Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Ответ: 9 106 .
43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?
45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы.
Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Ответ: 2(6!)2 .
46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?
Ответ: 2200 .
47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В
скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?
Ответ: 86 ; 86 –13 75 .
48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
Ответ: 2(11!)2 .
49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг.
Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
Ответ: C 5 10–x C 5 10+x(C 5 10) 2 .
50 . Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека.
Сколькими способами это может произойти?
Ответ: 10!/4.
51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком».
Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?
52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
A 10 6 .
Ответ: 28 8!.
53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?
Ответ: 6 8! 2!.
54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.
Ответ: а) 5 5 4 3=300; б) 5 6 = 1080; в) 34 ; г) 5 6 6 3 = 540.
55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?
56. На одной прямой взятоm точек, на параллельной ей прямойn точек.
Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?
Ответ: mC n 2 nC m 2 .
57 . Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.
Ответ: 9 10 10 = 900.
58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число
35 54 ?
59. В прямоугольной матрицеA = {a ij }m строк иn столбцов. Каждоеa n n = 2n –1.
61. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
Ответ: C 9 4 = 126.
62. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: C 10 4 = 210.
63. Имеетсяp белых иq черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2
черных шара не лежали рядом (q p + 1)?
Ответ: C q .p 1
64. Имеетсяp разных книг в красных переплетах иq разных книг в синих переплетах (q p + 1).
Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?
Ответ: C q p! q! .p 1
65. Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ...n } чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?
Ответ: (n – 2)!.
66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A.
Сколькими способами можно установить их очередность.
Ответ: 12 = 3! + 2 2 +2.
67. Сколькими способамиm +n +s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой –n , в третьей –s предметов.
Ответ: (m + n + s)!.
68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнениеx 1 +x 2 + ... +x m =n.
Ответ: C n .n m 1
69. Найти число векторов = (1 2 ...n ), координаты которых удовлетворяют условиям:
1) i {0, 1};
2) i {0, 1, ...k – 1}; 3)i {0, 1, ...k i – 1};
4) i {0, 1} и1 +2 + ... +n =r .
Ответ: 1) 2n ; 2)k n ; 3)k 1 k 2 ...k n ; 4)
70. Каково число матриц {a ij }, гдеa ij {0,1} и в которойm строк иn столбцов? 1) строки могут
повторяться; 2) строки попарно различны.
Ответ: 1) 2m n ; 2) .