Правило вычисления произведения многочленов.
Для того чтобы рассмотреть произведение многочленов, для начала вспомним, как умножить одночлен на многочлен.
Произведение одночлена и многочлена находится следующим образом:
- составляется произведение одночлена и многочлена.
- раскрываются скобки.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Рассмотрим теперь умножение двух многочленов на примере:
Пример 1
Умножим многочлен $x-y+z$ на многочлен $\ {xy}^5+y^6-{xz}^5$.
Вначале запишем произведение многочленов:
\[\left(x-y+z\right)({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]
Сделаем следующую замену. Пусть $x-y+z=t$, получим:
Получили произведение одночлена на многочлен. Найдем его по выше изложенному правилу.
Раскроем скобки:
Сделаем обратную замену:
\[{\left(x-y+z\right)xy}^5+{\left(x-y+z\right)y}^6-{\left(x-y+z\right)xz}^5\]
В данном выражении мы видим присутствие трех произведений одночленов на многочлен. Найдем их по отдельности по выше изложенному правилу:
\[{\left(x-y+z\right)xy}^5=x{xy}^5-y{xy}^5+z{xy}^5={x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5\] \[{\left(x-y+z\right)y}^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7+zy^6\] \[{\left(x-y+z\right)xz}^5=x{xz}^5-y{xz}^5+z{xz}^5=x^2z^5-xyz^5+{xz}^6\]
Перепишем наше выражение:
\[\left({x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^2z^5-xyz^5+{xz}^6)\]
Раскроем скобки. Напомним, что если перед скобками стоит знак плюс, то знаки в скобках остаются неизменными, а если перед скобками стоит знак минус, то знаки в скобках изменятся на противоположные. Получим
\[{x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-{xz}^6\]
Получили многочлен. Осталось только привести его к стандартному виду. Итого, в ответе, получим:
\[{x^2y}^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-{xz}^6\]
Присмотревшись к полученному результату, мы получим следующее правило умножения многочлена на многочлен:
Правило: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
Пример 2
Выполнить умножение $2x+y$ и $x^2+2y+3$.
Запишем произведение:
\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]
\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]
Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, значит умножение закончено.
Примеры задач на произведение многочленов
Пример 3
Выполнить умножение многочлена на многочлен:
а) $(2z+1)\ и\ (z^2-7z-3)$
б) $(1-4x^2)\ и\ (5y^2-3x-2)$
Решение:
а) $(2z+1)\ и\ (z^2-7z-3)$
Составим произведение:
\[(2z+1)\cdot (z^2-7z-3)\]
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
б) $(1-4x^2)\ и\ (5y^2-3x-2)$
Составим произведение:
\[(1-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, следовательно:
Ответ: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.
в) $(2n-5n^3)\ и\ (3n^2-n^3+n)$
Составим произведение:
\[(2n-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)\]
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Приведем данный многочлен к стандартному виду:
г) $(a^2+a+1)\ и\ (a^2-24a+6)$
Составим произведение:
\[(a^2+a+1)\cdot (a^2-24a+6)\]
Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
Приведем данный многочлен к стандартному виду.
Добрый вечер.
Этот пост посвящён быстрому преобразованию Фурье. Будут рассмотрены прямое и обратное преобразования (в комплексных числах). В следующей части я планирую рассмотреть их применения в некоторых задачах олимпиадного программирования (в частности, одна задача про «похожесть» строк), а также рассказать про реализацию преобразования в целых числах.
БПФ - это алгоритм, вычисляющий значения многочлена степени n
=2
k
в некоторых n
точках за время O
(n
⋅logn
) («наивный» метод выполняет ту же задачу за время O
(n
2
)). За то же время можно выполнить и обратное преобразование. Так как складывать, вычитать и умножать массивы чисел гораздо легче, чем многочлены (особенно умножать), БПФ часто применяется для ускорения вычислений с многочленами и длинными числами.
Определения и способы применения
Для начала давайте определимся, что такое многочлен:P (x )=a 0 +x a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 +... +x n -1 a n -1
Комплексные числа
Если Вы знакомы с комплексными числами, то можете пропустить этот пункт, в противном случае, вот краткое определение:x =a +i b , где i 2 =-1
Здесь a называется вещественной (Real ) частью, а b - мнимой (Imaginary ). В этих числах, как нетрудно заметить, можно извлекать корень из отрицательных (да и вообще любых) чисел - это очень удобно при работе с многочленам - как следует из основной теоремы алгебры, у каждого многочлена степени n имеется ровно n комплексных корней (с учётом кратности).
Также их очень удобно представлять в виде точек на плоскости:
Еще одним замечательным свойством комплексных чисел является то, что их можно представить в виде x
=(cosα+i
sinα)r
, где α - полярный угол «числа» (называется аргументом
), а r
- расстояние от нуля до него (модуль
). А при умножении двух чисел:
a
=(cosα+i
⋅sinα)r
a
b
=(cosβ+i
⋅sinβ)r
b
a
b
=(cosα+i
⋅sinα)(cosβ+i
⋅sinβ)r
a
r
b
a
b
=(cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ+i
(sinα⋅cosβ+cosβ⋅sinα))r
a
r
b
a
b
=(cos(α+β)+i
⋅sin(α+β))r
a
r
b
Их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Комплексные корни из 1
Теперь давайте поймём, как выглядят комплексные корни n -ой степени из 1 . Пусть x n =1 , тогда его модуль, очевидно, равен единице, а n ⋅argx =2 πk , где k - целое. Это обозначает, что после n умножений числа на самого себя (т.е. возведения в n -ю степень) его аргумент станет «кратен» 2 π (360 градусам).Вспомним формулу числа, если известен аргумент и модуль, получаем:
α=2 π⋅x /n , где 0 x
ω i =cosα+i ⋅sinα
Т.е. если порисовать, то мы получим просто точки на окружности через равные промежутки:
Прошу заметить три вещи, которыми мы будем активно пользоваться (без них ничего не получится):
ω a ⋅ω b =ω (a +b )modn
ω 0 +ω 1 +ω 2 +... +ω n -1 =0
ω 0 n /2 =ω 2 n /2 =ω 4 n /2 =... =1 (при чётном n )
Из-за этих свойств именно в этих точках мы и будем считать значение многочлена. Разумеется, результаты необязательно будут вещественными, поэтому в программе потребуется работать с комплексными числами.
Почему сумма корней - ноль
Доказательство очень простое: пусть φ=ω 0 +ω 1 +... . Домножим обе части на ω 1 (!= 1). Т.к. ω i ⋅ω 1 =ω i +1 , то φ⋅ω 1 =ω 1 +ω 2 +... +ω n -1 +ω 0 . От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому φ=φ⋅ω 1 , соответственно φ⋅(ω 1 -1 )=0 . Т.к. ω 1 != 1, то φ=0 .Как работает
Будем считать, что наш многочлен имеет степень n =2 k . Если нет, дополним старшие коэффициенты нулями до ближайшей степени двойки.Основная идея БПФ очень проста:
Пусть:
A (x )=a 0 +x a 2 +x 2 a 4 +... +x n /2 -1 a n -2 (четные коэффициэнты P )
B (x )=a 1 +x a 3 +x 2 a 5 +... +x n /2 -1 a n -1 (нечётные коэффициенты P ).
Тогда P (x )=A (x 2 )+x ⋅B (x 2 ).
Теперь применим принцип «разделяй и властвуй»: чтобы посчитать значения P в n точках (ω 0 ,ω 1 ,... ), посчитаем значения A и B рекурсивно в n /2 точках (ω 0 ,ω 2 ,... ). Теперь значение P (ω i ) восстановить достаточно просто:
P (ω i )=A (ω 2 i )+ω i ⋅B (ω 2 i )
Если обозначить за ξ i =ω 2 i точки, в которых мы считаем значения многочлена степени n /2 , формула преобразится:
P (ω i )=A (ξ i )+ω i ⋅B (ξ i )
Её уже можно загонять в программу, не забыв что i принимает значения от 0 до n -1 , а ξ i определено лишь от 0 до n /2 -1 . Вывод - надо будет взять i по модулю n /2 .
Время работы выражается рекуррентной формулой T (n )=O (n )+2 T (n /2 ). Это довольно известное соотношение и оно раскрывается в O (n ⋅log 2 n ) (грубо говоря, глубина рекурсии - log 2 n уровней, на каждом уровне суммарно по всем вызовам выполняется O (n ) операций).
Напишем что-нибудь
Вот пример неэффективной рекурсивной реализации БПФ:Slow FFT
#includeМожете добавить ввод-вывод и проверить правильность своей реализации. Для многочлена P (x )=4 +3 x +2 x 2 +x 3 +0 ⋅x 4 +0 ⋅x 5 +0 ⋅x 6 +0 ⋅x 7 значения должны получиться такими:
P (w 0 )=(1 0 .0 0 0 ,0 .0 0 0 )
P (w 1 )=(5 .4 1 4 ,4 .8 2 8 )
P (w 2 )=(2 .0 0 0 ,2 .0 0 0 )
P (w 3 )=(2 .5 8 6 ,0 .8 2 8 )
P (w 4 )=(2 .0 0 0 ,0 .0 0 0 )
P (w 5 )=(2 .5 8 6 ,-0 .8 2 8 )
P (w 6 )=(2 .0 0 0 ,-2 .0 0 0 )
P (w 7 )=(5 .4 1 4 ,-4 .8 2 8 )
Если это так - можете засекать время рекурсивного и наивного метода на больших тестах.
У меня на многочлене степени 2 12 эта реализация работает 62 мс, наивная - 1800 мс. Разница налицо.
Избавляемся от рекурсии
Для того, чтобы сделать процедуру нерекурсивной, придётся подумать. Легче всего, как мне кажется, провести аналогию с MergeSort (сортировка слиянием) и нарисовать картинку, на которой показаны все рекурсивные вызовы:
Как мы видим, можно сделать один массив, заполнить его изначально значениями fft(a 0 ), fft(a 4 ), fft(a 2 ), ... . Как несложно понять, номера a i - это «развёрнутые» в двоичном представлении числа 0 ,1 ,2 ,3 ,... . Например, 1 1 0 =0 0 1 2 ,4 1 0 =1 0 0 2 или 6 =1 1 0 2 ,3 =0 1 1 2 . Понять это можно следующим образом: при спуске на нижний уровень рекурсии у нас определяется еще один младший бит (с конца). А при «нормальной» нумерации бит определяется с начала. Поэтому нужно «развернуть» число. Это можно сделать «в лоб» за O (n ⋅log 2 n ), а можно динамическим программированием за O (n ) по следующему алгоритму:
- Пробежимся циклом от 0 до n -1
- Будем хранить и динамически пересчитывать номер старшего единичного бита числа. Он меняется, только когда текущее число - степень двойки: увеличивается на 1.
- Когда мы знаем старший бит числа, перевернуть всё число не составляет труда: «отрезаем» старший бит (XOR), переворачиваем остаток (уже посчитанное значение) и добавляем «отрезанную» единицу
Аргументами процедуры для слияния двух блоков будут два vector"а (естесственно, по ссылке, исходный и результат), номер стартового элемента первого блока (второй идёт сразу после) и длина блоков. Можно было бы конечно сделать и iterator"ами - для большей STL"ности, но мы ведь всё равно будем переносить эту процедуру внутрь основной для краткости.
Объединение блоков
void fft_merge(const vcd &src, vcd &dest, int start, int len) { int p1 = start; // Позиция в первом блоке int en1 = start + len; // Конец первого блока int p2 = start + len; // Позиция во втором блоке int en2 = star + len * 2; // Конец второго блока int pdest = start; // Текущая позиция в результатирующем массиве int nlen = len * 2; // Длина нового блока for (int i = 0; i < nlen; i++) { double alpha = 2 * M_PI * i / nlen; cd w = cd(cos(alpha), sin(alpha)); // Текущий корень dest = src + w * src; if (++p1 >= en1) p1 = start; if (++p2 >= en2) p2 = start + len; } }И основная процедура преобразования:
<< k) < n) k++; vi rev(n); rev = 0; int high1 = -1; for (int i = 1; i < n; i++) { if ((i & (i - 1)) == 0) // Проверка на степень двойки. Если i ей является, то i-1 будет состоять из кучи единиц. high1++; rev[i] = rev; // Переворачиваем остаток rev[i] |= (1 << (k - high1 - 1)); // Добавляем старший бит } vcd cur(n); for (int i = 0; i < n; i++) cur[i] = as]; for (int len = 1; len < n; len <<= 1) { vcd ncur(n); for (int i = 0; i < n; i += len * 2) fft_merge(cur, ncur, i, len); cur.swap(ncur); } return cur; }
Оптимизация
На многочлене степени 2 1 6 рекурсия работает 640 мс, без рекурсии - 500. Улучшение есть, но программу можно сделать еще быстрее. Воспользуемся тем свойством, что ω i =-ω i +n /2 . Значит, можно не считать два раза корень и a i ⋅ω j - синус, косинус и умножение комплексных чисел очень затратные операции.fft_merge()
for (int i = 0; i < len; i++) { double alpha = 2 * M_PI * i / nlen; cd w = cd(cos(alpha), sin(alpha)); // Текущий корень cd val = w * src; dest = src + val; dest = src - val; pdest++; if (++p1 >= en1) p1 = start; if (++p2 >= en2) p2 = start + len; }Перехо с такой оптимизацией называется «преобразованием бабочки». Программа стала работать 260 мс. Для закрепления успеха давайте предподсчитаем все корни из 1 и запишем их в массив:
fft_merge()
int rstep = roots.size() / nlen; // Шаг в массиве с корнями for (int i = 0; i < len; i++) { cd w = roots; cd val = w * src;fft()
roots = vcd(n); for (int i = 0; i < n; i++) { double alpha = 2 * M_PI * i / n; roots[i] = cd(cos(alpha), sin(alpha)); }Теперь скорость работы - 78 мс. Оптимизация в 8 раз по сравнению с первой реализацией!
Оптимизация по коду
На данный момент весь код преобразования занимает порядка 55 строк. Не сотню, но это достаточно много - можно короче. Дляначала избавимся от кучи лишних переменных и операций в fft_merge :void fft_merge(const vcd &src, vcd &dest, int start, int len) { int p1 = start; //int en1 = start + len; // Не используется, см. конец цикла int p2 = start + len; //int en2 = start + len * 2; // Аналогично int pdest = start; //int nlen = len * 2; // Используется только в следующей строчке //int rstep = roots.size() / nlen; int rstep = roots.size() / (len * 2); for (int i = 0; i < len; i++) { //cd w = roots; // Также используется только в следующей строчке //cd val = w * src; cd val = roots * src; dest = src + val; dest = src - val; pdest++, p1++, p2++; //if (++p1 >= en1) p1 = start; // Так как у нас теперь цикл не до 2len, а только до len, переполнения быть не может //if (++p2 >= en2) p2 = start + len; // Убираем } }
Теперь можно переместить цикл из fft_merge в основную процедуру (также можно убрать p2 , поскольку p2=p1+len - у меня это также дало небольшой выигрыш по времени. Что любопытно, если убрать p1=pdest , то у меня лично выигрыш по времени убивается):
fft()
for (int len = 1; len < n; len <<= 1) { vcd ncur(n); int rstep = roots.size() / (len * 2); for (int pdest = 0; pdest < n;) { int p1 = pdest; for (int i = 0; i < len; i++) { cd val = roots * cur; ncur = cur + val; ncur = cur - val; pdest++, p1++; } pdest += len; } cur.swap(ncur); }Как видите, само преобразование занимает не так много - 17 строк. Всё остальное - предподсчёт корней и разворот чисел. Если Вы готовы сэкономить код в обмен на время работы (O (n ⋅log 2 n ) вместо O (n )), можете заменить 13 строк разворота чисел на следующие шесть:
В начале процедуры fft()
vcd cur(n); for (int i = 0; i < n; i++) { int ri = 0; for (int i2 = 0; i2 < k; i2++) // Перебираем биты от младших к старшим ri = (ri << 1) | !!(i & (1 << i2)); // И приписываем в конец числа cur[i] = as; }В результате теперь код выглядит так:
vcd fft(const vcd &as) { int n = as.size(); int k = 0; // Длина n в битах while ((1 << k) < n) k++; vector
Обратное преобразование
Получить значения многочлена в точках - это, конечно, хорошо, но преобразование Фурье умеет больше - по этим значениям построить сам многочлен, причём за то же самое время! Оказывается, что если применить преобразование Фурье к массиву значений, как к коэффициентам многочлена, потом разделить результат на n и перевернуть отрезок с 1 до n -1 (нумерация с 0 ), то мы получим коэффициенты исходного многочлена.Код тут предельно простой - всё уже написано. Думаю, Вы справитесь.
Доказательство
Пусть мы применяем обратное преобразование к многочлену P (x ) с коэффициентами v i (исходный многочлен имел коэффициенты a i ):v i =a 0 +ω i a 1 +ω 2 i a 2 +ω 3 i a +...
Посмотрим на результат преобразования:
b i =v 0 +ω i v 1 +ω 2 i v 2 +ω 3 i v 3 +...
Подставим значения v j (помним, что ω a ω b =ω a +b m o d n :
Теперь давайте докажем один замечательный факт: при x ≠0 , ω 0 +ω x +ω 2 x +... +ω (n -1 )x =0 .
Доказывается аналогично тому, что сумма корней - ноль: обозначим за φ сумму, домножим обе части на ω x и посмотрим, что получилось.
Теперь применим этот факт к вычислению значения b i . Заметим, что все строки, кроме одной, в которой содержится a n -i , обнулятся.
Таким образом:
b i =a n -i ⋅(ω 0 +ω 0 +ω 0 +ω 0 +... )
b i =a n -i ⋅n
Что и требовалось доказать.
Применение
Вообще говоря, о применении я уже чуть-чуть говорил в начале статьи. В частности, теперь перемножение многочленов можно выполнять следующим образом:Быстрое перемножение многочленов
vcd a, b; // Многочлены // Чтение многочленов vcd a_vals = fft(a); vcd b_vals = fft(b); vcd c_vals(a_vals.size()); for (int i = 0; i < a_vals.size(); i++) c_vals[i] = a_vals[i] * b_vals[i]; vcd c = fft_rev(c_vals); // Вывод ответаЛегко заметить, что время работы этой программы - O (n ⋅log 2 n ) и самые трудоёмкие операции - преобразования Фурье. Также можно заметить, что если нам требуется вычислить более сложное выражение с двумя многочленами, то по-прежнему можно выполнять лишь три приобразования - сложение и вычитание также будут работать за линейное время. К сожалению, с делением не всё так просто, поскольку многочлен может случайно принять значение 0 в какой-нибудь из точек. UPD2: не забудьте, что степень произведения двух многочленов степени n будет равна 2n , поэтому при вводе следует добавить «лишние» нулевые старшие коэффициенты.
Если представить число в десятичной (или более) системе счисления, как многочлен с коэффициентами - цифрами, то умножение длинных чисел также можно выполнять очень быстро.
И, напоследок, задача, которую я разберу в следующем посте: у вас есть две строки одинаковой длины порядка 1 0 5 из букв A, T, G, C. Требуется найти такой циклический сдвиг одной из строк, чтобы совпало максимальное количество символов. Очевидно наивное решение за O (n 2 ), но есть решение при помощи БПФ.
Удачи!
UPD: Выложил код целиком на
Для умножения многочлена на многочлен существует очень легкое правило. Чтобы умножить два многочлена между собой, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. После это полученные произведения сложить и привести подобные.
На рисунке представлена общая схема перемножения.
Решим пример представленный на рисунке.
(4*x + 8*x*y) * (2*x + 3*y - 4) =
4*x*2*x + 4*x*3*y + 4*x*(-4) + 8*x*y*2*x + 8*x*y*3*y + 8*x*y*(-4) =
8*x^2 + 12*x*y - 16*x + 16*x^2*y + 24*x*y^2 - 32*x*y
Теперь приводим подобные слагаемые и получаем многочлен в стандартном виде.
8*x^2-20* x*y - 16*x + 16*x^2*y + 24*x*y^2
Если необходимо перемножить многочлены, у которых только одна переменная то можно умножение производить с помощью таблицы.
Рассмотрим пример:
Требуется перемножить два полинома x^5 +x^3 - 2*x^2 +3 и 2*x^4 - 3*x^3 + 4*x^2 - 1.
Для начала выпишем их коэффициенты. При чем в порядке убывания степеней неизвестных переменных, то есть от большей степени к меньшей. Если переменной в какой-то степени нет, то коэффициент взять равным нулю.
Таким образом, для полинома x^5 +x^3 - 2*x^2 +3 коэффициенты следующие 1; 0; 1; -2; 0; 3
Для полинома 2*x^4 - 3*x^3 + 4*x^2 - 1 коэффициенты 2; -3; 4; 0; -1.
Теперь записываем одни коэффициенты горизонтально, а другие вертикально. Теперь каждый из элемент из вертикального столбца умножаем на каждый элемент из горизонтального. И при каждом новом элементе сдвигаем на одну позицию вправо. Далее полученные ряды суммируем по столбцам. Как при умножении чисел в столбик, но только результат полученный после сложения не переносятся в следующий разряд.
Посмотрите на рисунке какая таблица должна получится.
Теперь остается записать ответ.
2*x^9 - 3*x^8 + 6*x^7 - 7*x^6 + 9*x^5 - 2*x^4 - 10*x^3 + 14*x^2 -3.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.
1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями . Пусть, напр., требуется a 3 ∙ a 5 . Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:
a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a
Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a 8 . Итак, a 3 ∙ a 5 = a 8 .
Пусть требуется b 42 ∙ b 28 . Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b 70 . Итак, b 42 ∙ b 28 = b 70 . Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются. Если имеем a 8 ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a 8 ∙ a = a 9 .
Примеры: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 и т. д.
Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр., xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:
Поясним некоторые из этих примеров: b n – 3 ∙ b 5 надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.
Еще пример: x n + 2 ∙ x n – 2 , – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.
Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:
a m ∙ a n = a m + n
2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d². Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.
3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².
Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².
Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.
Еще примеры:
3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр., +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или
(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,
т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).
Отсюда вытекает:
(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,
т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:
и т. п.
Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим 
. Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.
В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.
Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,
т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.
Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.
Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.
4. Умножение многочлена на многочлен . Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.
(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)
(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).
Ad + ae + bd + be + cd + ce
В этом результате можно изменить порядок членов.
(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,
т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.
В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.
От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x². Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.
Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.
Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:
Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³. Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a². Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.
Еще пример: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2 .
Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.
Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.
Вот примеры:
(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (пишем только результат)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 и т. п.
Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.
Особенно важен следующий случай умножения:
(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
или (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
или (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 и т. п.
Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате получается разность квадратов этих чисел.
Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выполнять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу написать результат.
Напр., (3a + 1) ∙ (3a – 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть 3a и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел; потому в результате должно получиться: квадрат первого числа (т. е. 3a ∙ 3a = 9a²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т. е.
(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.
Также 
(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 и т. п.
Итак, запомним
(a + b) (a – b) = a² – b²
т. е. произведение суммы из двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.