1 ВОПРОС: Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ - принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ - содержится).
Определение 1 (определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x A следует x B и обратно, из x B следует x A.
Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:
(А=В ):= x ((x A ) (x B )),
это означает, что для любого объекта x соотношения x A и x B равносильны.
Здесь – квантор всеобщности ( x читается как "для каждого x ").
Подмножество
Определение: Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит множеству Y. Это еще называется нестрогим включением .Некоторые свойства подмножества:
1. ХХ - рефлективность
2. X Y & YZ X Z - транзитивность
3. X т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.Универсальное множествоОпределение: Универсальное множество - это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е.
1. Если М I , то М I
2. Если М I , то Ώ(М) I , где под Ώ(М) - понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М.
Универсальное множество обычно обозначается I .
Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зависимости от рассматриваемого множества, и решаемых задач.
Способы задания множеств:
1. путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества.
2. путем описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называетсяхарактеристическим свойством , а такой способ задания множества описанием . Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт может быть совсем не очевиден.
Тема 2.3 Операции над множествами.
Теперь определим операции над множествами.
1. Пересечение множеств.
Определение: Пересечением множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат и множеству Х и множеству У.
Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} пересечением {2,4}
Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству.
Например : непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих.
Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих одновременно всем множествам.
Свойства пересечения:
1. X∩Y = Y∩X - коммутативности
2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - ассоциативности
3. X∩ =
4. X∩I = Х
2. Объединение множеств
Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.
Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}
Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
Свойства объединения:
1. XUY= YUY- коммутативности
2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - ассоциативности
4. XUI = I
Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел.
3. Разность множеств
Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.
Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}
Как мы уже видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств
4. Дополнение множества
Дополнением множества Х называется разность I и Х.
Свойства дополнения:
1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов
2.Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению.
2 ВОПРОС Множества чисел
Натуральные числа − числа, используемые при счете (перечислении) предметов: N={1,2,3,…}
Натуральные числа с включенным нулем − числа, используемые для обозначения количества предметов: N0={0,1,2,3,…}
Целые числа − включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным(т.е. с отрицательным знаком) и ноль. Целые положительные числа : Z+=N={1,2,3,…} Целые отрицательные числа : Z−={…,−3,−2,−1} Z=Z−∪{0}∪Z+={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
Рациональные числа − числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b − целые числа и b≠0. Q={x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0} При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.
Иррациональные числа − числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Действительные (вещественные) числа − объединение рациональных и иррациональных чисел: R
Комплексные числа C={x+iy∣x∈Rиy∈R}, где i − мнимая единица.
Модуль действительного числа и свойства
Модуль действительного числа - это абсолютная величина этого числа.
Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.
Модуль числа a обозначается |a| . Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0 .
|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45
Цель: Ввести понятие «пересечение» множеств и соответствующие им графические модели в виде кругов Эйлера. Ввести обозначение пересечения множеств.Повторение, проверка д/з:
Что обозначает слово «множество»?
Что мы называем элементом множества?
Что бывает элементами множества?
Как различают множества по числу элементов?
Какими способами можно задать множество? (перечисление элементов, характеристическое свойство)
Какое свойство называется характеристическим свойством?
Какие множества называются равными?
Какие математические «иероглифы» мы используем для сокращенной записи?
Что такое подмножество?
Что такое круги Эйлера? Зачем они? (Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления)
Что такое объединение множеств? Знак объединения.
Решить упражнение 1, 2, 3. Проверить упражнения 1, 2 из д/з.
Проверить упражнение 3 из д/з (все предложенные варианты решений)
Проверить упражнения из домашнего задания:
Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11} и С = {5; 11}.
Найти: а) А ∪ В; б) А ∪ С; в) С ∪ В.
А – множество четных натуральных чисел, В – множество двузначных чисел. Составьте характеристическое свойство объединения этих множеств. Приведите примеры элементов этого множества.
Решение: А ∪ В - множество четных натуральных чисел или двузначные числа. Примеры 4, 8, 11, 32, 51 и т.д.
В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?
Решение:Сначала заметим, что из 30 человек (на 1 рисунке – множество В) не умеют петь 30 – 17 (на 1 рисунке – множество А) = 13 человек (на 1 рисунке – заштрихованное множество).
Таким образом, 13 человек не умеют петь. Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек (на 2 рисунке – множество В) , из них 13 (на 2 рисунке – множество А) не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек (на 2 рисунке – заштрихованное множество) .
Упражнение 1: Составить задачу по рисунку:
Упражнение 2: Даны множества: А = {1; 2; 5; 7} и В = {3; 5; 7}. Найти объединение этих множеств.
Решение: А ∪ В = {1; 2; 5; 7; 3}.
Упражнение 3: Даны множества: А = {3, 5, 0, 11, 12, 19}, В = {2, 4, 8, 12, 18, 0}. Найдите множество A U В.
Решение: А ∪ В = { 3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.
Открытие нового знания: ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Как получилось множество «фрукты» на рисунке? (объединение множеств «яблоки» и «груши»)
Как вы думаете, как получилось множество «желтые»? Что входит в это множество, какие элементы?
Верно, желтые груши и желтые яблоки – множество, образованное в результате пересечения множества «яблоки» и множества «груши».
Какие же элементы являются пересечением этих множеств? (общие, одинаковые)
Упражнение 1: Даны два множества А = {1; 2; 5; 7} и В = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Как вы думаете, какие элементы этих множеств будут их пересечением?
Рассмотрите еще один рисунок и попытайтесь составить определение пересечения двух множеств.
Пересечением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех общих (одинаковых) элементов множеств X и Y , т.е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству X , и множеству Y .
Как вы думаете, какое арифметическое действие соответствует пересечению? (умножение, произведение)
Обозначение: X ∩ Y .
Множества удобно изображать в виде кругов Эйлера.
На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.
Как мы будем составлять пересечение двух множеств?
Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству. Те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.
Упражнение 2: Найди пересечение множеств A и B , если A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B ={2,4,6,8,10}.
A ∩ B ={2,4,6,8}.
Упражнение 3: Найди пересечение множеств A и B , если A ={2,4,6} и B ={2,4,6,8,10}. Изобразите решение с помощью кругов Эйлера.
Решение: Найдём общие (одинаковые) элементы множеств.
A ∩ B ={2,4,6,} = А.
Упражнение 4: Найди пересечение множеств A и B , если A ={0,1,2,3,4,5} и B ={6,8,10}. Изобразите решение с помощью кругов Эйлера.
Решение: Найдём общие (одинаковые) элементы множеств. Их нет.
A ∩ B =.
6 –А
Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество.
Как мы можем найти пересечение трех множеств?
Изобразите при помощи кругов Эйлера объединение трех множеств: А, В и С.
В каком порядке вы их пересекали?
Действительно, результат пересечения множеств не зависит от порядка действий :
Свойства пересечения множеств:
1.Операция пересечения множеств коммутативна: А ∩ В = В ∩ А;
2.Операция пересечения множеств транзитивна: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С);
3. Универсальное множество X является нейтральным элементом операции пересечения множеств: А ∩ Х = А;
4. Операция пересечения множеств идемпотентна: А ∩ А = А;
5. Если - пустое множество, то: А ∩ = .
Подведение итогов урока, рефлексия
Мне больше всего удалось…
Для меня было открытием то, что …
За что ты можешь себя похвалить?
Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
Мои достижения на уроке.
Домашнее задание: конспект, упражнения:
Даны множества: А = {a ; b ; c ; d }, В = {c ; d ; e ; f } и С = {c ; e ; q ; k }.
Найти: (А ∪ В) ∪ С.
А – множество четных натуральных чисел, В – множество двузначных чисел. Составьте характеристическое свойство пересечения этих множеств. Приведите примеры элементов этого множества.
Решение: А ∩ В - множество четных натуральных чисел и двузначных чисел. Примеры 42, 86, 12, 32, 50 и т.д.
Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский - 27 учащихся, а два языка - 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?
Понятие теории множеств; пересечение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Пересечение множеств А и В обозначают А?В или АВ …
Понятие теории множеств; пересечение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Пересечение множеств А и В обозначают А∩В или АВ. * * * ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ … Энциклопедический словарь
Множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. П. м. A и B обозначают A∩B или AB; П. м. Ak, взятых в конечном или бесконечном числе, обозначают Ak. П. м. может быть пустым, то есть не… … Большая советская энциклопедия
Понятие теории множеств; П. м. множество, состоящее из всех тех элементов, к рые принадлежат одноврем. всем данным множествам. П. м …
Пересечение A и B Пересечение множеств в теории множеств это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Содержание 1 Определение 2 Замечание … Википедия
Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек … Большой Энциклопедический словарь
Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… … Энциклопедический словарь
Математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов … Словарь терминов логики
Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия
Раздел математики, в к ром изучаются общие свойства множеств, преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Книги
- Считаю до 20. Рабочая тетрадь для детей 6 - 7 лет. ФГОС ДО , Шевелев Константин Валерьевич. Рабочая тетрадь предназначена для работы с детьми 6 7 лет. Способствует достижению целей блока Познание путем формирования элементарных математических представлений. Даны методические…