Согласно определению, многочлен это алгебраическое выражение представляющее собой сумму одночленов.
Для примера: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлены, а выражение z/(x - x*y^2 + 4) не является многочленом потому, что оно не является суммой одночленов. Многочлен еще иногда называют полиномом, а одночлены которые входят в состав многочлена членами многочлена или мономами.
Комплексное понятие многочлена
Если многочлен состоит из двух слагаемых, то его называют двучлен, если из трех - трехчлен. Названия четырехчлен, пятичлен и другие не используются, а в таких случаях говорят просто, многочлен. Такие названия, в зависимости от количества слагаемых, ставят все на свои места.
И термин одночлен становится интуитивно понятным. С точки зрения математики, одночлен является частным случаем многочлена. Одночлен это многочлен, который состоит из одного слагаемого.
Так же как и у одночлена, у многочлена есть свой стандартный вид. Стандартным видом многочлена называется такая запись многочлена, при которой все входящие в него в качестве слагаемых одночлены, записаны в стандартном виде и приведены подобные члены.
Стандартный вид многочлена
Процедура приведения многочлена к стандартному виду состоит в том, чтобы привести каждый из одночленов к стандартному виду, а потом все подобные одночлены между собой сложить. Сложение подобных членов многочлена называют приведением подобных.
Например, приведем подобные слагаемые в многочлене 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Подобными здесь являются слагаемые 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3. Суммой этих слагаемых будет одночлен 10*a*b^2*c^3. Следовательно, исходный многочлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можно переписать в виде 10*a*b^2*c^3 - a*b. Эта запись и будет стандартным видом многочлена.
Из того, что любой одночлен можно привести к стандартному виду, следует также и тот факт, что любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Когда многочлен приведен к стандартному виду, можно говорить о таком понятии как степень многочлена. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в данный многочлен.
Так, например, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - многочлен пятой степени, так как максимальная степень одночлена входящего в многочлен (5*x^3*y^2) пятая.
Или, строго, - конечная формальная сумма вида
∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle \sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} , гдеВ частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m {\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}} , гдеС помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение » и «алгебраическая функция ».
Изучение и применение [ | ]
Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».
С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля , отрицательных , а затем и комплексных чисел , а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.
Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе .
Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии , объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.
Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре , теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.
Связанные определения [ | ]
- Многочлен вида c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется одночленом или мономом мультииндекса I = (i 1 , … , i n) {\displaystyle I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})} .
- Одночлен, соответствующий мультииндексу I = (0 , … , 0) {\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)} называется свободным членом .
- Полной степенью (ненулевого) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется целое число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n {\displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}} .
- Множество мультииндексов I , для которых коэффициенты c I {\displaystyle c_{I}} ненулевые, называется носителем многочлена , а его выпуклая оболочка - многогранником Ньютона .
- Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением − ∞ {\displaystyle -\infty } .
- Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом ,
- Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом .
- Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R {\displaystyle R} (чаще всего поля , например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R {\displaystyle R} без делителей нуля) которое обозначается R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . {\displaystyle R.}
- Для многочлена p (x) {\displaystyle p(x)} одной переменной, решение уравнения p (x) = 0 {\displaystyle p(x)=0} называется его корнем .
Полиномиальные функции [ | ]
Пусть A {\displaystyle A} есть алгебра над кольцом R {\displaystyle R} . Произвольный многочлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle p(x)\in R} определяет полиномиальную функцию
p R: A → A {\displaystyle p_{R}:A\to A} .Чаще всего рассматривают случай A = R {\displaystyle A=R} .
В случае, если R {\displaystyle R} есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f p: R n → R {\displaystyle f_{p}:R^{n}\to R} полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p 1 (x) ≡ x {\displaystyle p_{1}(x)\equiv x} и p 2 (x) ≡ x 2 {\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}} из Z 2 [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]} определяют тождественно равные функции Z 2 → Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}} .
Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией .
Виды многочленов [ | ]
Свойства [ | ]
Делимость [ | ]
Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел . Например, верна теорема: если произведение многочленов p q {\displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на λ {\displaystyle \lambda } . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен x 4 − 2 {\displaystyle x^{4}-2} , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного x {\displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 {\displaystyle n>2} существуют многочлены от n {\displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа
Определение интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени.
Чтобы разложить приведенный многочлен пятой степени на множители необходимо выполнение равенства: f(x)=φ(x)·g(x). При этом степень многочленов φ(x) и g(x) должна быть не выше пятой.
Для определения целого многочлена не выше пятой степени с заданной таблицей значений существует формула интерполяционного многочлена Лагранжа (ИМЛ ):
φ(x) = F(x)· , где F(x)=(x-x 1)·(x-x 2)·(x-x 3)·(x-x 4)·(x-x 5)(x-x 6), Fʹ(x k) значения производной функции F(x) в точках x k .
Где необходимо задать на плоскости координаты шести точек.
Для определения множителей φ(x) и g(x) выберем произвольно шесть целых значений x= x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ; x 6 и станем подставлять их в равенство f(x)= φ(x)·g(x). Получим:
f(x 1)= φ(x 1)·g(x 1) ; f(x 2)= φ(x 2)·g(x 2); f(x 3)= φ(x 3)·g(x 3);
f(x 4)= φ(x 4)·g(x 4) ; f(x 5)=φ(x 5)·g(x 5); f(x 6)= φ(x 6)· g(x 6).
Эти равенства показывают, что каждое значение φ(x k) искомого множителя φ(x) является делителем числа f(x k).
Для построения множителя φ(x) воспользуемся ИМЛ и в качестве f(x k) будем подставлять произвольные целые числа А k , а значения x k выберем в виде последовательных целых чисел близких к нулю, т.е.
x 1 = -3; x 2 = -2; x 3 = -1; x 4 =0; x 5 =1; x 6 =2.
В развернутом виде ИМЛ φ(x) выглядит так:
φ(x) = F(x) , где F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2).
Для построения множителя φ(x) с помощью ИМЛ необходимо задать числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 .
Определение: числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 взятые из формулы ИМЛ записанные в ряд называются Лагранжевым рядом.
Разложение многочлена на линейные множителис помощью ИМЛ.
Теорема 1 (Обобщение схемы Горнера)
Многочлен φ(x) является линейным, если числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 образуют возрастающую последовательность целых чисел.
Доказательство: приведем многочлен (2) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x), получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 . Для того что бы многочлен (2) был линейным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой, третьей и второй степени, а коэффициент при «х» первой степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из пяти уравнений с шестью переменными:
5·А 2 +80·А 3 -150·А 4 +80·А 4 -5·А 6 =0
4·А 1 +30·А 2 -120·А 3 +40·А 4 +60·А 5 -6·А 6 =120.
Если зафиксировать число А 6 то все остальные выразятся следующими формулами: А 1 =А 6 -5; А 2 =А 6 -4; А 3 =А 6 -3; А 4 =А 6 -2; А 5 =А 6 -1.
Мы получили возрастающую последовательность целых чисел.
Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид: φ(x)=x+А 4 (3).
Определение : последовательность чисел заданных данными соотношениями А 1 =А 6 -5; А 2 =А 6 -4; А 3 =А 6 -3; А 4 =А 6 -2; А 5 =А 6 -1; А 6 называют линейным Лагранжевым рядом.
Определение : линейный Лагранжевый ряд называется «кандидатом » если все его числа А k являются делителями соответствующих значений функции f(x k), где k=1;2;3;4;5;6.
Для всех кандидатов строим линейный множитель φ(x) по формуле (3) и проверяем его на делимость с f(x).
Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид φ(x)=x+А 4 ,
где А 4 является делителем свободного члена т.е. f(0). Аналогично определяется линейный множитель приведенного многочлена по схеме Горнера.
Пример: f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8. По схеме Горнера найдем значение многочлена при х= -3; -2; -1; 0;1;2. Для этого составим таблицу 1:
Последний столбец таблицы 1 перепишем первой строкой таблицы 2. Выберем в этой строке число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число -8. Запишем в столбик все его делители. Каждому делителю числа -8 запишем в строчку линейный Лагранжевый ряд. Из получившихся Лагранжевых рядов выберем «кандидатов». Построим с помощью «кандидатов» многочлен φ(x) по формуле (3) и проверим их на делимость с данным многочленом f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8.
Таблица 2:
|
«кандидат» |
В приведенной выше таблице 2 закрашены серым цветом прямоугольники, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). В данной таблице находится строка или Лагранжевый ряд все числа, которого являются делителями соответствующих значений функции f(x). Этот ряд является единственным кандидатом. В этом ряде А 4 = -8, подставляя в формулу φ(x)=x- А 4 , находим φ(x)=x- 8.
Проверка: x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8=(x-8)·(x 4 +2x 2 +1). Действительный кандидат выделим черным цветом.
Разложение многочленана квадратичные множители с помощью ИМЛ.
Теорема 2 . Множитель φ(x) является квадратичным если числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 связаны между собой следующими соотношениями:
А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6
А 2 =4·(А 5 +3)-3·А 6
А 3 =3·(А 5 +2)-2·А 6
А 4 =2·(А 5 +1)-1·А 6
Доказательство: Доказательство: приведем многочлен (1) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x),получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 . Для того что бы многочлен (1) был квадратичным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой и третьей степени, а коэффициент при «х» второй степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из четырех уравнений с шестью переменными:
А 1 +5·А 2 -10·А 3 +10·А 4 -5·А 5 +А 6 =0
5·А 2 -20·А 3 +30·А 4 -20·А 5 +5·А 6 =0
5·А 1 -35·А 2 +70·А 3 -50·А 4 +5·А 5 +5·А 6 =0
5·А 2 +80·А 3 -150·А 4 +80·А 5 -5·А 6 =120.
Если зафиксировать два числа А 5 и А 6 то все остальные выразятся следующими формулами:
А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6 ; А 2 =4·(А 5 +3)-3·А 6 ;
А 3 =3·(А 5 +2)-2·А 6 ; А 4 =2·(А 5 +1)-1·А 6 .
Из теоремы вытекает, что квадратичный множитель выразится формулой φ(x)=x 2 +(А 6 - А 5 -3) ·x+ А 4 . (4)
Определение: Последовательность целых чисел заданных следующими
соотношениями А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6 ; А 2 =4·(А 5 +3)-3·А 6 ; А 3 =3·(А 5 +2)-2·А 6 ; А 4 =2·(А 5 +1)-1·А 6 называется квадратичным Лагранжевым рядом
Определение : квадратичный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа А k являются делителями соответствующих значений функции f(x k), k=1;2;3;4;5;6.
Для всех кандидатов строим квадратичный множитель φ(x) по формуле (4) и проверяем его на делимость с f(x).
Упрощенный вид квадратичных Лагранжевых рядов.
Формулы квадратичного Лагранжевого ряда можно упростить. Для этого буквой «d» обозначим разность А 5 - А 6 , тогда числа квадратичного Лагранжевого ряда будут выглядеть более простыми формулами и удобными для их построения:
Пример: А 5 =7; А 6 =10 составить квадратичный Лагранжевый ряд.
Найдем d=7-10=-3, тогда по формулам таблицы найдем числа данного ряда:
Ответ: 15; 10; 7; 6; 7; 10.
Рассмотрим пример разложения приведенного многочлена пятой степени на множители: f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 .
Определим, имеет ли данный многочлен, линейные множители. Для этого в строчку таблицы №3 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число «2». Запишем в столбик все его целые делители. Для каждого делителя числа «2» в строчку запишем линейные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим на делимость с данным многочленом f(x).
По схеме Горнера найдем значения функции при х=-3; -2;-1; 0;1;2. Для этого составим таблицу:
Таблица №3:
В данной таблице №3 серым цветом отмечены клетки, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). Пустые клетки заполнять нет необходимости, так как построенный квадратичный Лагранжевый ряд с числом в серой клетке заведомо не является «кандидатом». Из данной №3 таблицы видно, что «кандидатов» нет. Это значит что данный многочлен f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 на линейные множители не раскладывается.
Определим, имеет ли данный многочлен, квадратичные множители. Для этого в строчку таблицы №4 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем два числа, имеющие наименьшее число делителей. В нашем примере это числа «2» и «-6» запишем их делители в столбики. Для каждой пары делителей чисел «2» и «-6» в строчку запишем квадратичные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим их на делимость с данным многочленом f(x).
Таблица №4:
В данной таблице №4 мы видим двух «кандидатов». С их помощью по формуле φ(x)=x 2 +(А 6 - А 5 -3) ·x+ А 4 найдем квадратные множители: φ 1 (x)=x 2 -3х+ 4; φ 2 (x)=x 2 +x-4.
Проверка показывает, что один из двух множителей является истинным это φ 1 (x)=x 2 -3х+ 4, а другой множитель оказался посторонним.
Ответ: x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20=(x 2 -3х+ 4)·(x 3 -2x 2 +3x-5).
В данной таблице №4 получили 32 квадратичных Лагранжевых ряда. Это число определяется количеством различных пар делителей, как положительных, так и отрицательных, двух значений функции, которые расположены двумя столбиками по соседству.
Уменьшение числа квадратичных Лагранжевых рядов.
Если значения функции число делителей, которых минимально, расположены не по соседству, то можно воспользоваться следующей теоремой:
Теорема 3 Пустьизвестны А 4 и А 6 тогда А 5 =(А 4 + А 6 ·1):2-1
Пустьизвестны А 3 и А 6 тогда А 5 =(А 3 + А 6 ·2):3-2
Пустьизвестны А 2 и А 6 тогда А 5 =(А 2 + А 6 ·3):4-3
Пустьизвестны А 1 и А 6 тогда А 5 =(А 1 + А 6 ·4):5-4.
Доказательство: докажем последнее равенство А 5 =(А 1 +А 6 ·4):5-4. По определению квадратичных Лагранжевых чисел, А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6 подставим это число в исходное равенство получим А 5 =(5·(А 5 +4)-4·А 6 +А 6 ·4):5-4=(5 ·А 5 +20):5-4=А 5 +4-4=А 5 что и требовалось доказать. Другие равенства доказываются аналогично.
Данная теорема позволяет уменьшить число квадратичных Лагранжевых рядов. Рассмотрим уже решенный нами примерf(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20
и решим его на случай когда мы рассматриваем квадратичные Лагранжевые ряды построенных с помощью делителей А 4 и А 6 .
Таблица №5:
|
(А 4 + А 6 ·1):2-1 |
|||||||
В данной таблице №5 мы получили 24 квадратичных Лагранжевых ряда. Так как в формуле сумму А 4 и А 6 необходимо делить на 2, поэтому делители А 4 и А 6 должны быть либо оба четными, либо оба нечетными. За счет этого уменьшилось число квадратичных Лагранжевых рядов. Если использовать данную теорему 3 для записи квадратичных Лагранжевых рядов, построенных с помощью А 1 и А 6 , то число рядов уменьшится до 12.
Таблица №6:
В таблице №6 число квадратичных Лагранжевых рядов уменьшилось до 12, так как А 5 находится по формуле (4A 1 +A 6):5-4 и А 5 как целое число должно быть меньше или равно -6. Во всех таблицах черная выделенная строка является «действительным кандидатом». Остальные кандидаты являются «мнимыми».
Для многочлена шестой степени можно доказать, что квадратичный множитель можно найти по формуле: φ(x)=x 2 +(А 7 - А 6 - 5) ·x+ А 4 , где числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 ; А 7 образуют квадратичный Лагранжевый ряд.
Выводы:
Данный метод разложения, использующий ИМЛ является обобщением «схемы Горнера».
Данным методом можно определить квадратичные множители для многочленов выше пятой степени.
Данным методом можно исследовать свойства Лагранжевых чисел для определения кубических многочленов в разложении многочленов пятой и выше степени.
Литература:
1. А. Н. Чеботарев «Основы теории Галуа», ОМТИ ГТТИ, 1934г., 1ч.
2. «Числа и многочлены», составитель А.А. Егоров - М.: бюро Квантум, 2000/ приложение к журналу «Квант» №6, 2000г.
После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Многочлен и его члены – определения и примеры
Определение многочлена было надо еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Определение 1
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.
Рассмотрим еще определения.
Определение 2
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.
Определение 3
Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .
Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.
Определение 4
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.
Многочлен стандартного вида
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Определение 5
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Определение 6
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.
Степень многочлена – как ее найти?
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Определение 7
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Определение 8
Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Пример 1
Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .
Решение
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.
Ответ : 6 .
Коэффициенты членов многочлена
Определение 9Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Понятие многочлена
Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.
Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль - это нулевой многочлен.
Стандартный вид многочлена
Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.
Пример многочлена в стандартном виде:
здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.
Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:
здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:
Ещё пример:
Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:
Степень многочлена
Что такое степень многочлена?
Степень многочлена определение:
Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.
Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.