Числовые последовательности.

Числовые последовательности

Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. О бозначают y=f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n , … Определение числовой последовательности

Рассмотрим функцию График состоит из отдельных точек. …

Получим последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, … Последовательность квадратов натуральных чисел – I член последовательности – I I член последовательности – III член последовательности – n - ый член последовательности

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Последовательность задана аналитически, если указана формула е е n - го члена Пример 1: y n =n 2 последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 2: Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 3: Задать последовательность формулой n -го члена: а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Способы задания последовательности Словесное задание числовой последовательности. Правило составления последовательности описывается словами Пример: последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … последовательность кубов натуральных чисел 1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Указывается правило позволяющее вычислить n- й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным (от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 1: y 1 = 3 , y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, … Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4 y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4 = 3 + 4 = 7 y 3 = y 2 + 4 = 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4 = 11 + 4 = 1 5 и т.д. Получаем последовательность 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 2: y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1 Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2 y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д. Получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности: 1) Арифметическая прогрессия у 1 = а, у n = у n-1 + d , а и d – числа, n = 2, 3, … 2) Геометрическая прогрессия у 1 = b , у n = у n-1 · q , b и q – числа, n = 2, 3, …

Монотонные последовательности Последовательность (у n) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у 1 1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > у n > … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0

Монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. П оследовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.

В классе № 15.3, 15.7, 15.8, 15.10 Домашнее задание № 15.4, 15.6, 15.9, 15.11

  • Формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом.
  • Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.
  • Развитие умений применять ранее изученный материал.
  • Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.
  • Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.

    • Ход уроков

    1. Организационный момент.
    2. Повторение видов функций.
    3. Подготовка к восприятию новых знаний.
    4. Изучение нового материала.
    5. Закрепление.
    6. Знаменитые последовательности.
    7. Дополнительные задачи.
    8. Домашнее задание.
    9. Подведение итогов урока.

    Оборудование и материалы.

    • Рабочий лист для учащихся с планом уроков и упражнениями. Приложение 1.
    • Лист с домашней работой. Приложение 2.
    • Мультимедийный проектор.
    • Экран.

    1. Организационный момент.

    Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.

    Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем, какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями.

    2. Повторение видов функций.

    Вам известны функции, определённые на всей числовой прямой или на её непрерывных промежутках:

    (Графики функций показываются на слайдах презентации).

    Для каждой функции указать область определения и способы задания функции.

    3. Подготовка к восприятию новых знаний.

    Но бывают функции, заданные на других множествах.

    Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это - последовательность значений роста. Слайд презентации.

    Две последовательности связаны друг с другом.

    Вторая получается из первой сложением.

    Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.

    Рассмотрим ещё несколько задач.

    Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

    (Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

    Задача 2. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост у ученика С. - 180 см. Какого роста он будет в 2018 году? (2м 30 см). Но этого быть не может. Почему?

    Задача 3. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).

    Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые последовательности.

    Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

    Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

    Изучение нового материала.

    Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать).

    Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

    1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

    2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

    1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел;

    1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;

    2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

    1, , , , :- последовательность чисел, обратных натуральным.

    Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая.

    Обозначение: у 1 , у 2, у 3, у 4, у 5, :

    1, 2, 3, 4, 5, :п,:-порядковый номер члена последовательности.

    (у п)- последовательность, у п - п-ый член последовательности.

    (а п)- последовательность, а п - п-ый член последовательности.

    а п-1 -предыдущий член последовательности,

    а п+1 - последующий член последовательности.

    Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.

    Задание. Записать первые 5 членов последовательности:

    От первого натурального числа увеличение на 3.

    От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.

    От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.

    Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.

    5. Знаменитые последовательности:

    Числа Фибоначчи. Приложение 3.

    Треугольник Паскаля. Приложение 3.

    Урок 2.

    Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

    1. Способы задания последовательностей:

    Словесный.

    (у п)- последовательность натуральных чисел, кратных трём.

    (у п): 3, 6, 9, 12, 15, :

    Табличный.

    Слайд презентации.

    п 1 2 3 4 5
    у п 3 6 9 12 15

    Графический.

    Слайд презентации.

    Аналитический.

    Указать формулу п-ого члена последовательности.

    Рекуррентный (от латинского - возвращаться).

    Это формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

    (у п = у п-1 + 3).

    2. Закрепление.

    с п = . Запишите первые 5 членов последовательности.

    (По одному человеку решают у доски, остальные - в тетради).

    : 74, 81, 88, 95, 102, : Задайте формулу п-ого члена.

    (у п = у п-1 + 7).

    Рабочая тетрадь: с. 46, № 38.

    3. Дополнительные задачи.

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой а п = (-3) п-1 .

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

    а 1 = 4, а п+1 = а п + 2.

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной графиком:

    Домашнее задание. Приложение 2.

    Подведение итогов урока.

    Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания. Ответьте на вопросы:

    1. Что такое последовательность?
    2. Какие виды последовательностей вы узнали?
    3. Какие способы задания вы узнали?
    4. О каких ученых и их трудах вы узнали?

    Литература.

  • О.В. Занина, И.Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс.
  • Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы.
  • Энциклопедический словарь юного математика.
  • Материалы Фестиваля педагогических идей "Открытый урок":
  • А.А.Болбас. Урок алгебры по теме "Числовые последовательности". 9 класс.
  • А.В. Худякова. Урок по алгебре для 9 класса по теме "Последовательности и способы их задания".
  • Е.Е. Журавлёва. Урок-лекция в 9 классе на тему "Последовательности, понятие, определение. Возрастающие и убывающие последовательности. Способы задания последовательности".
  • Г.А. Бархатова. Интегрированный урок математики и валеологии на тему "Прогрессия". Решение прикладных задач.
  • К. Кноп. "Трактат о кроликах, рождающих великие открытия".
  • Г.И. Глейзер. История математики в средней школе.
  • Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов. Математика без формул.

    • 1. Девять неглубоких проникновений пениса – только головка пениса входит во влагалище; одно глубокое введение – во влагалище входит весь пенис. Женщина вздыхает, тяжело дышит и у нее во рту скапливается слюна. Укрепление легких и толстого кишечника.

    2. Восемь неглубоких толчков, два глубоких. Женщина высовывает язык, пока мужчина целует ее. Язык соответствует Дому сердца. Укрепление сердца и кровообращения, активизация сексуальной энергии.

    3. Семь неглубоких толчков, три глубоких. Мышцы женщины напрягаются, она обнимает мужчину и удерживает его обеими руками. Желудок/селезенка/поджелудочная железа стимулируются, а функция пищеварительного тракта активизируется.

    4. Шесть неглубоких толчков, четыре глубоких. Влагалище женщины начинает пульсировать, воды текут и покрывают пенис. Начинается энергетический цикл почек и мочевого пузыря.

    5. Пять неглубоких толчков и пять глубоких. Конечности и суставы женщины становятся податливыми и гибкими. Она начинает царапать и кусать мужчину. Эта стимуляция укрепляет кости и способствует росту костного мозга.

    6. Четыре неглубоких толчка, шесть глубоких. Тело женщины извивается в конвульсиях, как у змеи. Она обвивает руки и ноги вокруг тела мужчины и сжимает его. Начинается энергетический цикл печени, желчного пузыря и нервов.

    7. Три неглубоких толчка и семь глубоких. Кровь женщины начинает толчками пульсировать по венам, женщине хочется прикасаться к мужчине во всех местах и чувствовать его тело. Активность сердца и кровообращения повышается, чтобы подавать кровь в самые дальние капилляры и достигать высшего уровня стимуляции.

    8. Два неглубоких толчка, восемь глубоких. Мышцы женщины полностью расслабляются. Она кусает мужчину и добирается до его сосков. Мышцы женщины достигают высшего уровня стимуляции за счет этой релаксации.

    9. Один неглубокий толчок, девять глубоких. Женщина достигает самого интенсивного оргазма и полностью расслабляется. Она полностью отдается и открывается мужчине. Тела обоих партнеров заряжены энергией.

    Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n ,  .

    Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a n , следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

    a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

    кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью . Величина a n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a n = f (n ) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

    По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

    Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N R .

    Последовательность
    называетсявозрастающей (убывающей ), если для любого n N
    Такие последовательности называютсястрого монотонными .

    Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n 0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n .

    Если в некоторой последовательности для любого n N
    то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей ). Такие последовательности называются монотонными .

    Пример 1 . Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член a n = n .

    Пример 2 . Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член a n = 2n .

    Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

    В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

    Пример 4 . Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену
    . Для вычисленияa 1 нужно в формулу для общего члена a n вместо n подставить 1, для вычисления a 2 − 2 и т. д. Тогда имеем:

    Тест 6 . Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

    1)

    2)

    3)

    4)

    Тест 7 .
    является:

    1)

    2)

    3)

    4)

    Тест 8 . Общим членом последовательности
    является:

    1)

    2)

    3)

    4)

    Предел числовой последовательности

    Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

    Число А называется пределом числовой последовательности
    :

    (1)

    если для любого  > 0 найдется такое число n 0 = n 0 (), зависящее от , что
    приn > n 0 .

    Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n 0 , что, начиная с n > n 0 , все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

    Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

    Пример 5 . Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N 0 можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n 0 >имеем

    Пример 6 . Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

    Последовательность называется ограниченной , если существует такое число М , что
    для всехn . Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

    Пример 7 . Последовательность
    является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел
    =е .

    Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

    Тест 9 . Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

    1) сходящейся;

    2) расходящейся;

    3) ограниченной;

    Тест 10 . Последовательность
    является:

    1) сходящейся;

    2) расходящейся;

    3) ограниченной;

    4) арифметической прогрессией;

    5) геометрической прогрессией.

    Тест 11 . Последовательность не является:

    1) сходящейся;

    2) расходящейся;

    3) ограниченной;

    4) гармонической.

    Тест 12 . Предел последовательности, заданной общим членом
    равен.

    Урок и презентация на тему:
    "Числовые последовательности. Способы задания"

    Дополнительные материалы
    Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

    Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
    Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 9 класса
    Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"

    Числовые последовательности, примеры

    Ребята, мы переходим к изучению новой темы - числовые последовательности. Из названия понятно, что мы будем рассматривать последовательность чисел, например последовательность чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 – последовательность первых десяти чисел.

    Числовые последовательности принято рассматривать в виде похожем на задание функций. $y=f(n)$, где n натуральное число.

    Хорошо известную нам функцию $y=x^2$, мы можем записать в виде числовой последовательности $y=n^2$. Мы получим последовательность квадратов натуральных чисел: 1,4,9,16…
    А нужны ли нам последовательности в реальной жизни?
    Предположим у нас есть некоторый счет в банке, на который раз в месяц начисляют некоторую конкретную сумму денег. Так вот такое начисление можно описать в виде числовой последовательности: $y=а+n*b$, где а - начальная сумма на счете, b – сумма которую каждый месяц начисляют, n – натуральное число.
    Если мы хотим подсчитать какая сумма будет находиться в банке через 12 месяцев: $y(12)=а+12*b$.
    Чтобы сильно не путаться с функциями, математики приняли обозначение последовательностей вот в таком виде: вместо f(1) принято писать $y_{1}$, f(2) → $y_{2}$ ...
    f(n)→ $y_{n}$.
    Пусть дана функция $y=n^2$, тогда члены числовой последовательности запишутся как:
    $y_{1}=1$,
    $y_{2}=4$,
    $y_{3}=9$,
    …
    $y_{n}=n^2$.

    Определение числовой последовательности

    Определение. Функцию $y=f(х)$, хϵN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью, обозначают как $y=f(n)$ или $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ … $y_{n}$. Для $y_{n}$, n – индекс, он задает порядковый номер элемента последовательности.
    Если в последовательности встречаются многоточия, то так принято обозначать последующие члены. Для последовательности $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ … $y_{n}$, имеется ввиду что после $y_{3}$ идут $y_{4}$, $y_{5}$, $y_{6}$ и так далее. Возле члена $y_{n}$ подразумевается запись $y_{n-1}$, $y_{n}$, $y_{n+1}$.
    Последовательности можно обозначать любыми буквами латинского алфавита.

    Способы задания числовых последовательностей

    1. Аналитический способ
    Последовательность задана аналитически, если задана формула n-ого члена последовательности.
    $y_{n}=f(n)$- аналитический способ задания последовательности.

    Пример. Последовательность задана аналитически $y_{n}=(-1)^n\frac{1}{n^2}$.
    Запишем последовательно несколько первых членов:
    $y_{1}=(-1)^1\frac{1}{1^2}=-1$.
    $y_{2}=(-1)^2\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.
    $y_{3}=(-1)^3\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$.
    $y_{4}=(-1)^4\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.
    Зная начальную формулу, нетрудно найти любой член последовательности. Давайте найдем 10 член последовательности, в исходной формуле вместо n подставим 10:
    $y_{10}=(-1)^{10}\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}$.

    Пример. $y_{n}=C$.
    Наша последовательность всегда принимает значение равное С, то есть имеет вид: С,С,С,С… Такую последовательность называют стационарной.
    Зная формулу n-ого члена последовательности, нетрудно найти любой член последовательности. А вот если задана последовательность, но неизвестна формула для n-ого члена, чаще всего удается задать последовательность в аналитическом виде.

    Пример. Дана последовательность 1,3,5,7,9…
    Очевидно, что перед нами последовательность нечетных чисел. Тогда аналитическая форма будет в таком виде: $y_{n}=2n-1$.

    Пример. Дана последовательность 5,15,20,25…
    Номер члена последовательности умножается на пять, тогда в аналитическом виде имеем: $y_{n}=5n$.

    Пример. 8,13,18,23…
    Каждый член последовательности на 5 больше предыдущего. $8=5+3$, тогда получаем, что наша последовательность задана в виде: $y_{n}=5n-3$.

    Пример. $\frac{2}{1};\frac{3}{4};\frac{4}{9};\frac{5}{16}$.
    Аналитическая запись нашей последовательности: $y_{n}=\frac{n+1}{n^2}$.

    2. Словесное задание последовательности
    Чаще всего такой способ применяют, когда нет возможности задать последовательность аналитически (или это очень сложно) или последовательность состоит из небольшого количества членов.

    Пример. 1,3,5,6,9,10,15.
    Нашу последовательность задать в аналитической форме не представляется возможным, тогда просто произносят члены последовательности.

    3. Рекуррентное задание последовательности
    Данный способ позволяет вычислять члены последовательности, через предыдущие ее члены.
    Используя данный способ, мы как бы всегда возвращаемся назад, вычисляя предыдущие члены. Почти всегда задана формула, позволяющая вычислять n член через предыдущие члены.

    Пример. $y_{1}=2$, $y_{n}=y_{n-1}+2$, если n=2,3,4… Каждый новый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему двойки.
    $y_{2}=y_{1}+2=2+2=4$,
    $y_{3}=y_{2}+2=4+2=6$,
    $y_{4}=y_{3}+2=6+2=8$.
    Последовательность можно задать и аналитически: $y_{n}=2n$.

    Пример. $y_{1}=2$, $y_{2}=4$, $y_{n}=y_{n-2}-y_{n-1}$, если n=3,4,5….
    Каждый новый член последовательности получается из разности двух предыдущих членов.
    $y_{3}=y_{2}-y_{1}=4-2=2$.
    $y_{4}=y_{3}-y_{2}=2-4=-2$.
    $y_{5}=y_{4}-y_{3}=-2-2=-4$.
    $y_{6}=y_{5}-y_{4}=-4-(-2)=-2$.
    $y_{7}=y_{6}-y_{5}=-2-(-4)=2$.
    $y_{8}=y_{7}-y_{6}=2-(-2)=4$.
    Наша последовательность представляет собой: 2;4;2;-2;-4;-2;2;4….

    Монотонные последовательности

    Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего.

    Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего.

    Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными последовательностями.

    Пример. 1,3,5,7,9…. – возрастающая последовательность.
    Пример. 1,-1,-3,-5… – убывающая последовательность.
    Пример. 1,-1,3,-3,5,-5… – ни возрастающая, ни убывающая последовательность.
    Пример. $y_{n}=2^n$. Члены нашей последовательности: 2,4,8,16…. Последовательность возрастает.
    $y_{n}=a^n$, если $а>1$, то последовательность возрастает, если $0

    Задачи на числовые последовательности для самостоятельного решения

    1. Задать последовательность в аналитическом виде: а) 4,8,12,16…; б) 1,-1,1,-1….
    2. Последовательность задана в аналитической форме $y_{n}=2n+10$.
    Найти 10,50,63 член последовательности.
    3. Последовательность задана в аналитической форме $y_{n}=n^2+2$.
    Найти 5,10,13 член последовательности.
    4. Последовательность задана в рекурсивном виде $y_{1}=5$, $y_{n}=y_{n-1}-3$, если n=2,3,4…
    Найти 5,11,12 член последовательности.
    5. Последовательность задана в рекурсивном виде $y_{1}=3$, $y_{2}=8$, $y_{n}=2y_{n-2}+3y_{n-1}$,
    если n=3,4,5…. Найти 3,4,9 член последовательности.