Целое уравнение и его корни как решать. Целое уравнение и его корни

Целыми уравнениями называются уравнения, у которых правая и левая части являются целыми выражениями. Например, следующие уравнения будут являться целыми:

1. 2*(x 2 + 1)*(x - 1) = 6*x - (x + 7);

2. (x 4 - 1)/4 - (x 2 + 1)/2 = 3*x 2

Выполним над этими уравнениями равносильные преобразования: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые. Получим:

1. 2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 = 6x - x - 7

2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 - 6*x + x + 7 = 0

2*x 3 - 2*x 2 - 3*x + 5 = 0.

2. x 4 - 1 - 2*(x 2 + 1) = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 - 12*x 2 = 0

x 4 - 14*x 2 - 3 = 0.

В результате получили уравнения вида P(x) = 0, где P(x) - многочлен в стандартном виде. Степень этого многочлена будет также являться степенью уравнения.

Степень уравнения

Степенью произвольного уравнения будет называться степень многочлена, полученного из уравнения путем проведения равносильных преобразований. Уравнения первой степени всегда будут приводимы к виду a*x + b = 0, где х - некоторая переменная, а и b - некоторые числа, причем а не должно равняться нулю.

Из этого уравнения получаем выражение для х.

Это число (-b/a) называется корнем уравнения. Уравнение первой степени будет иметь один корень. Корнем уравнения P(x) =0 называют любое значение переменной х, такое, что многочлен P(x) обращается в нуль.

Уравнения второй степени всегда можно привести к виду a*x 2 + b*x + x = 0, где х - некоторая независимая переменная, а а, b, c - произвольные числа, причем а не равняется нулю. Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D)/(2*a), где D = b 2 - 4*a*c.

Выражение D (b 2 - 4*a*c) называется дискриминантом. В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень либо не иметь корней.

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня: (x = (-b ± √D)/(2*a)). Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень: (x = (-b/(2*a)). Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

Уравнения третей степени можно привести к виду a*x 3 + b*x 2 + c*x + d = 0. Уравнение четвертой степени можно привести к виду a*x 4 + b*x 3 + c*x 2 + d*x + e = 0.

Любое уравнение n-ой степени имеет не более n корней. Формулы для корней уравнений третьей и четвертой степени известны, но они очень сложны. Для уравнений больших степеней формул корней не существует.

Видеоурок «Целое уравнение и его корни» дает представление о целом уравнении, видах таких уравнений, приведении уравнения к стандартному виду, решении подобных уравнений. Задача данного видеоурока - облегчить усвоение материала по данной теме, формировать умения решать задания, в которых используются целые уравнения, способствовать запоминанию учебного материала.

Оформление наглядного материала в виде урока дает возможность заменить учителя в части подачи стандартного блока нового материала, освободить учителя для углубления индивидуальной работы. Видеоматериал помогает сконцентрировать внимание учащихся на освоении нового материала, помогает глубже его понять и лучше запомнить.

Видеоурок начинается с представления темы урока. На экране отображается определение целого уравнения, содержащего одну переменную, как уравнения, обе части которого представляют собой целые выражения. Ниже приведены примеры таких уравнений: (х 5 -2) 2 +х 3 =х 10 -3(х-2), х 3 (х 3 -36)=2(х+8)-2. Далее рассматривается преобразование уравнений, при котором все его слагаемые переносятся из правой части в левую, раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. После этого уравнение принимает вид, в котором левая его часть представляет собой многочлен, а правой части - 0. Отмечается, что в ходе преобразований получается уравнение, равносильное данному. К тому же уравнение, к которому приведено исходное, в общем виде можно записать: Р(х)=0, где Р(х) - многочлен стандартного вида.

Рассмотренные примеры подводят к общему выводу о том, что любое целое уравнение, содержащее одну переменную, может быть приведено к виду Р(х)=0, где Р(х) - многочлен, степень которого является степенью данного уравнения. То есть степень некоторого произвольного целого уравнения может быть определена после приведения его к равносильному уравнению вида Р(х)=0 и равна степени многочлена Р(х).

Далее рассматривается уравнение первой степени - такое уравнение, которое приводится к виду ах+b=0 с одной переменной х, числами а и b, при этом а≠0. Корень данного уравнения находится по формулех=-b/a. Отмечается, что такое уравнение имеет один корень.

Также предлагается рассмотреть решение уравнения второй степени, которое приводится к виду ах 2 +bx+c=0, содержащее переменную х, некоторые числа а, b, c, при этом а≠0. Известен способ нахождения корней данного уравнения путем вычисления дискриминанта. На экране отображается формула нахождения дискриминанта для уравнения второй степени: D=b 2 -4ac. В зависимости от значения дискриминанта, может быть два корня уравнения - D>0, один - для D=0, или корни отсутствуют D<0. Напоминается формула для нахождения корней уравнения второй степени при положительном или нулевом дискриминанте: х=(-b+-√D)/2a.

Ученикам представляются также уравнения третьей и четвертой степени, которые приводятся к видам ах 3 +bx 2 +cх+d=0 и ах 4 +bx 3 +cх 2 +dх+e=0. В каждом из этих уравнений имеется одна переменная х, коэффициент при старшей степени a≠0, остальные коэффициенты - некоторые числа. Уточняется, что уравнение третьей степени не может иметь более трех корней, а уравнение четвертой степени имеет не более четырех корней. В качестве дополнительной информации ученикам сообщается, что формулы для нахождения корней уравнений третьей и четвертой степени существуют, но они громоздкие и неудобные в применении, а для уравнений пятой степени и выше формул для нахождения корней не существует. Однако решить такие уравнения иногда удается при помощи специальных приемов, которые позволяют упростить выражение и найти корни.

На примере демонстрируется один из способов, как можно найти корни уравнения, не применяя сложных формул нахождения корней.Описывается, каким образом решение некоторых уравнений можно найти с помощью разложения многочлена на множители. Уравнение х 3 -27x 2 -х+27=0 раскладывается на множители, выведя за скобки общий множитель (х-27). В результате преобразований получим произведение (х-27)(х-1)(х+1)=0 Полученное уравнение сводится к нахождению решений трех уравнений х-27, х-1, х+1. Из этих уравнений легко найти корни х 1 =27, х 2 =1, х 3 =-1.

Далее рассматривается еще один способ решения уравнений высокой степени - способ введения новой переменной. Применение способа описывается на примере решения уравнения (х 2 +х-1)(х 2 +х-4)=-2. Сначала все члены уравнения переносятся в левую часть, раскрываются скобки. После данный преобразований получается многочлен стандартного вида 4 степени. Однако, подметив особенность данного уравнения - то, что в исходном уравнении есть одинаковые части х 2 +х, вводим новую переменную для обозначения этого выражения: х 2 +х=у. после подстановки новой переменной в уравнение, получим уравнение вида (у-1)(у-4)=-2. После приведения уравнения к стандартному виду получается обычное квадратное уравнение, корнями которого будут у 1 =2, у 2 =3. Значение корней у подставим в выражение для определения значения искомых х. Нахождение корней уравнения сводится к решению двух уравнений х 2 +х=2 и х 2 +х=3. В результате вычислений будут найдены корни данных уравнений будут х 1 =1, х 2 =-2, х 3 ≈1,3, х 4 ≈-2,3. Отмечается, что данным способом нередко решают уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0, в которых х является переменной, a, b, c - некоторыми числами, где а≠0. На экране дается определение биквадратного уравнения как уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0са≠0.

Для закрепления полученных знаний о решении уравнений способом введения новых переменных предлагается рассмотреть решение биквадратного уравнения 16х 4 -8х 2 +1=0. Вводится новая переменная у=х 2 . После ее введения образуется квадратное уравнение, имеющее один корень у=0,25. После подстановки значение новой переменной в выражение для ее определения можно найти корни уравнения х 1 =0,5 и х 2 =-0,5.

Видеоурок«Целое уравнение и его корни» подробно и наглядно представляет учащимся материал по данной теме, поэтому может быть использован учителем не только на уроке в школе, но также при дистанционном обучении, рекомендуется для самостоятельного освоения темы.

МОУ «Л-Конобеевская СШ»

Целое уравнение
и его корни.

Конспект урока алгебры в 9 классе с использованием компьютерной презентации и компьютерного тестирования.

Разработала учитель математики Закурдаева Наталья Сергеевна

Цели урока :

Образовательная: усвоить понятия «целое уравнение», «степень уравнения»; научиться решать биквадратные уравнения.

Воспитательная : воспитывать внимательность, наблюдательность, самостоятельность, умение выражать свои мысли.

Развивающая: развивать умение логически мыслить, рассуждать, делать выводы, анализировать.

Тип урока: объяснение нового материала

Ход урока:

Оргмомент.

II . Устные упражнения. (слайд №1)

1. Решите уравнение:

а) х 2 = 9; б) х 2 = 3; в) х 2 + 4 = 0;

2. Каков знак дискриминанта квадратного уравнения, если оно:

а) имеет один корень,

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

3. Какова степень многочлена:

а) х 2 - Зх 5 + 2 ;

б) 4х – 8 – 2х(3х + 6) - 21;

4. Представьте х 4 в виде квадрата

5. Чему равен х 4 , если х 2 = a

6. Если сегодня в 12.00 пойдёт дождь, можете ли вы утверждать, что через 72 часа будут светить солнце?

7. Вспомните, какие выражения называют целыми?

8. Что называют корнем уравнения?

9. Что значит решить уравнение?

III . Объяснение нового материала.
- Сегодня мы с вами узнаем, какие уравнения называются целыми, как определить степень уравнения, а также познакомимся с новым видом уравнений – биквадратными уравнениями.

Итак, запишем тему урока: «Целое уравнение и его корни». (слайд №2 )

Посмотрите внимательно на эти два уравнения. Из каких выражений они состоят?

(Из целых )

Такие уравнения называются целыми

Опр. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

Что мы можем сделать с этими уравнениями?

(раскрыть скобки, привести подобные слагаемые – упростить )

Т.е. можем привести их к виду P (x )=0, где P (x

У любого многочлена стандартного вида вы умеете определять степень. Степень можно определить и у уравнения.

Итак, (слайд № 3 )

Опр. Если уравнение с одной переменной записано в виде P (x )=0, где P (x ) - многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P (x )=0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.

Рассмотрим пример

Пример: определим степень уравнения

Выполним необходимые преобразования (слайд №3 )

Степень данного уравнения равна 7

Выполнив необходимые преобразования в заданном уравнении можно (слайд №4 )

Уравнение первой степени можно привести к виду

Уравнение второй степени можно привести к виду

Уравнение третьей степени можно привести к виду

Уравнение четвёртой степени можно привести к виду

и т. д.

Уравнение первой степени по-другому называется… (линейным )

Уравнение второй степени … (квадратным ). От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (от дискриминанта )

Учёными доказано, что целое уравнение 2-й степени имеет не более 2-х корней, уравнение 3-й степени имеет не более 3-х корней, уравнение n -ой степени имеет не более n корней.

Для уравнений 3-й и 4-й степени известны формулы нахождения корней, в школьном курсе они не изучаются, но желающие могут с ними познакомиться дополнительно и подготовить небольшое сообщение.

Сделаем небольшой экскурс в историю. (слайд №5, №6 )

Норвежский математик Нильс Абель впервые доказал, что для уравнений пятой степени и более высоких степеней нет общих формул нахождения корней.

Французский математик Эварист Галуа нашёл необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

На следующем уроке мы послушаем более подробно сообщение об этих учёных, Серёжа и Света подготовят доклады.

А пока мы вернёмся к уравнениям.

Рассмотрим уравнение вида (слайд №7 )

,

На какое уравнение оно похоже? (на квадратное )

Верно, оно является квадратным относительно х 2 . Такие уравнения называют биквадратными . (слайд №7 )

Опр. Уравнение вида , ,

являющееся квадратным относительно х 2 , называют биквадратным.

- Такие уравнения легко решить методом введения новой переменной.

Пример: Решим уравнение(слайд №7)

Введём новую переменную, х 2 = t , Чему равно х 4 ? (t 2 )

Получим квадратное уравнение

Самостоятельная работа

А сейчас вам предстоит выполнить небольшой тест. Садитесь на свои места за компьютером. Приступайте.

(Обучающий тест из трёх заданий.)

Рефлексия

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Какое уравнение называется целым?

Как определить степень уравнения?

Какие уравнения называются биквадратными? Каким способом они решаются?

Домашнее задание.

Стр. 72 – 75 (теоретический материал)

Стр. 76 – 77 № 266 (в, г), 278 (г, д, е)

Стр.78. № 286, 287 (задания на повторение)

Прочитайте домашнее задание. Какие у вас возникли вопросы? (пояснение домашнего задания)

Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею.»Эпигаф:
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает.
(поэт Р.Сеф).

Математический диктант

1.Вставить недостающие
слова и указать соответствия
1.Что называется
уравнением?
1. Найти все его … или
доказать, что … нет.
2.Что называется
корнем уравнения?
2. ……, содержащее
переменную.
3.Что значит решить
уравнение?
3. ……., при котором
уравнение обращается
в верное числовое
равенство.

Решить уравнения устно:

а) x² = 0
б) 3x – 6 = 0
в) x² – 9 = 0
г) x(x – 1)(x + 2) = 0
д) x² = – 25

Решить уравнение:

х⁴-6х²+5=0

Целое уравнение и его корни

Цели урока:

обобщить и углубить сведения об
уравнениях
знакомство с понятием целое
уравнение
знакомство с понятием степень
уравнения
формирование навыков решения
уравнений

Уравнения

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x 5
x3 1 x 2 1
3x 2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
x
2x 1
x 12
целые
уравнения
дробные
уравнения

Целое уравнение

Целым уравнением с одной
переменной называется уравнение,
левая и правая части которого
целые выражения.

10. Степень уравнения

Если уравнение с одной
переменной записано в виде P(x)=0,
где P(x) – многочлен стандартного
вида, то степень этого многочлена
называют степенью уравнения, т.е
наибольшая из степеней
одночленов.
Примеры: x⁵-2x³+2x-1=05-я
степень
4-я
x⁴-14x²-3=0
степень

11. Какова степень уравнения?

5
а) 2х²-6х⁵+1=0
2
г) (х+8)(х-7)=0
6
б) х⁶-4х²-3=0
1 5
х 0
7
в)
5х(х²+4)=17
д)
х х
5
2 4
5
1
3
е) 5х-

12. Повторим

линейное уравнение
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
множество
корней
нет корней
один корень
квадратное уравнение
D=0
один корень
D>0
два корня
D<0
нет корней

13. Уравнение первой степени

14. Уравнение третьей степени

Решить уравнение
x3 8x 2 x 8 0
Решение: разложим левую часть
уравнения 2на множители
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2ответ
1, x3 1

15. Решить уравнение:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Решение:Раскроем скобки и приведем
подобные слагаемые
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ!
x+2=0
x=-2
Ответ: x=-2

16. Решим биквадратное уравнение:

Х⁴ - 5 х² - 36 = 0
Сделаем замену: х² = а, а≥ 0
а² - 5а -36 =0
D = 169
а1= -4 (не подходит, т.к. а≥0)
а2 = 9
Х² = 9
х1 = 3 и х2 = -3
Ответ: 3 и -3.

17. Решить уравнение:

х⁴-6х²+5=0
Ответ: 1, -1, Ѵ5, - Ѵ5

18. Установите соответствие: Уравнение способ.

Образец текста
Второй уровень
Третий уровень
Четвертый уровень
Пятый уровень

19. Тест

1) Определите степень уравнения
(x 2 3) 5 x(x 1) 15
а) 2
б) 3
в) 1
2) Какие из чисел являются корнями
x(x 1)(x 2) 0?
уравнения
а) -1
б) 0
в) 2
3) Решите уравнение 9 x 3 27 x 2 0
а) 0;-3
б) -3;0;3
в) 0;3

20.

1)
Какое уравнение называется
целым и как его отличить от
дробного?
2)
Что такое степень уравнения?
3)
Что такое корни уравнения?
4)
5)
Сколько корней может иметь
уравнение 1 степени?
Сколько корней может иметь
уравнение 2 степени?

21. Домашнее задание:

Подумай и ответь на вопрос: «Сколько
корней может иметь целое уравнение с
одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой, пой степени?»

Школа: Филиал МОУ СОШ с. Святославка в с. Воздвиженка

Предмет: математика.

Учебный план – 5 часов в неделю (из них 3 ч. – алгебра, 2ч. – геометрия)

Тема: Целое уравнение и его корни. Решение целых уравнений.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

дидактическая : систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний учащихся по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.

развивающая : развитие личности учащегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

Этапы урока	Время	Форма	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Примечание
1.1.Орг. Момент (Вводно-мотивационная часть, с целью активизации деятельности учащихся)		(приложение 1)	Определяет готовность учащихся. Сосредоточивает внимание учащихся. Цитирует девиз урока и эпиграф к уроку.	Слушают, отвечают на вопросы, делают выводы,
1.2. Проверка домашнего задания Актуализация опорных знаний		Устный опрос (приложение 2-4)	Координирует деятельность учащихся	Дают определение уравнения, корней уравнения, понятие решения уравнения Устно решают уравнения, выделяют из них целые.	формирование познавательной компетентности
1.3. Целеполагание и мотивация		Планирование	Мотивирует учащихся Сообщает цели урока	Называют и записывают тему урока, ставят перед собой свою цель урока.	формирование коммуникативной компетентности
2.1.Систематизация знаний. Цели : учить краткой рациональной записи, отрабатывать умение делать выводы и обобщения		(приложение 5)	Приводит примеры целых уравнений различного вида.	Слушают, отвечают на вопросы, делают выводы, Объясняют способы решения целых уравнений. Составляют и записывают опорный конспект к уроку в тетрадь.	формирование познавательной коммуникативной и социальной компетентностей
2.2. физкультминутка		Комментирование	Комментирует комплекс упражнений для глаз	Учащиеся повторяют упражнения.
2.3. Закрепление. Решение целых уравнений Цель: учить оперировать знаниями, развивать гибкость использования знаний		Практическая деятельность (приложение 6)	Организует и контролирует деятельность учащихся. Указывает на различные способы решения	Решают целые уравнения в тетрадях, показывают решение на доске, проверяют. Делают выводы	Закрепление формирование информационной и познавательной компетентностей
3.1. Подведение итогов урока		Рефлексия (приложение 7)	Мотивирует учащихся на подведение итогов урока Выставляет оценки.	Обобщают изученный материал. Делают вывод. Записывают домашнее задание. Оценивают свою работу	Дорешать уравнения

(Приложение 1)

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята ! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ГИА и ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ГИА и ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ГИА и ЕГЭ.

Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею.»

Эпигаф:

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

(поэт Р. Сеф).

Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

У равнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н. э. вавилоняне .

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

На них мы и заострим наше внимание.

(Приложение 2)

Актуализация знаний.

На дом вам было дано задание повторить тему уравнения и способы их решения.

Ø Что называется уравнением? ( Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной)

Ø Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое

равенство.)

Ø Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет.)

Я вам предлагаю решить несколько уравнений устно:

а) x2 = 0 е) x3 – 25x = 0

б) 3x – 6 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0

в) x2 – 9 = 0 з) x4 – x2 = 0

г) x2 = 1/36 и) x2 – 0,01 = 0,03

д) x2 = – 25 к) 19 – c2 = 10

Скажите, что объединяет эти уравнения? (одна переменная, целые уравнения и т. д.)

Ø Что называется целым уравнением с одной переменной? (Уравнения, в которых левая и правая часть являются целыми

выражениями

Ø Что называется степенью целого уравнения? (Степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен

стандартного вида)

Ø Сколько корней может иметь целое уравнение с одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой, п -ой степени (не более 2, 3, 4, п)

Знаю ли я методы решения целых уравнений?

Умею ли я применять эти методы?

Смогу ли я решать уравнения самостоятельно?

Чувствовали ли вы себя комфортно на уроке?

6. На «3» - табл№1 + 1 уравнение из оставшихся таблиц.

На «4» - табл№1 + по 1 уравнению из любых двух таблиц

На «5» - Табл№1 + по 1 уравнению из каждой оставшейся

таблицы

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Подведение итогов:

Заполнение таблицы самооценки

Выставление оценок

Дома: оставшиеся нерешёнными уравнения из всех таблиц дорешать.