Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. ( см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного» :
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20: 5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20: 4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20 ).
Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8: 4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8 ).
Данные дроби не являются несократимыми.
Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80: 16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80: 20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80 ).
Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30: 5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30: 6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30: 15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30 ).
Как приводить дроби к общему знаменателю
Если у обыкновенных дробей одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби приведены к общему знаменателю .
Пример 1
Например, дроби $\frac{3}{18}$ и $\frac{20}{18}$ имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $18$. Дроби $\frac{1}{29}$, $\frac{7}{29}$ и $\frac{100}{29}$ имеют также одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $29$.
Если у дробей знаменатели не одинаковые, то их можно свести к общему знаменателю. Для этого необходимо умножить их числители и знаменатели на определенные дополнительные множители.
Пример 2
Как привести две дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ к общему знаменателю.
Решение.
Умножим дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ на дополнительные множители $7$ и $11$ соответственно и приведем их к общему знаменателю $77$:
$\frac{6\cdot 7}{11\cdot 7}=\frac{42}{77}$
$\frac{2\cdot 11}{7\cdot 11}=\frac{22}{77}$
Таким образом, приведением дробей к общему знаменателю называют умножение числителя и знаменателя данных дробей на дополнительные множители, которые в результате позволяют получить дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель
Определение 1
Любое положительное общее кратное всех знаменателей некоторого набора дробей называют общим знаменателем .
Другими словами, общий знаменатель заданных обыкновенных дробей – любое натуральное число, которое можно разделить на все знаменатели заданных дробей.
Из определения вытекает бесконечное множество общих знаменателей данного набора дробей.
Пример 3
Найти общие знаменатели дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Решение .
Данные дроби имеют знаменатели, равные $7$ и $13$ соответственно. Положительные общие кратные чисел $2$ и $5$ равны $91, 182, 273, 364$ и т.д.
Любое из этих чисел можно использовать в качестве общего знаменателя дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Пример 4
Определить, можно ли дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ привести к общему знаменателю $252$.
Решение.
Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю $252$, необходимо проверить является ли число $252$ общим кратным знаменателей $2, 7$ и $9$. Для этого разделим число $252$ на каждый из знаменателей:
$\frac{252}{2}=126,$ $\frac{252}{7}=36$, $\frac{252}{9}=28$.
Число $252$ делится нацело на все знаменатели, т.е. является общим кратным чисел $2, 7$ и $9$. Значит, данные дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ можно свести к общему знаменателю $252$.
Ответ: можно.
Наименьший общий знаменатель
Определение 2
Среди всех общих знаменателей заданных дробей можно выделить наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем .
Т.к. НОК – наименьший положительный общий делитель данного набора чисел, то НОК знаменателей заданных дробей является наименьшим общим знаменателем данных дробей.
Следовательно, чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти НОК знаменателей этих дробей.
Пример 5
Заданы дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{37}{18}$. Найти их наименьший общий знаменатель.
Решение .
Знаменатели данных дробей равны $15$ и $18$. Найдем наименьший общий знаменатель как НОК чисел $15$ и $18$. Используем для этого разложение чисел на простые множители:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$НОК(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.
Ответ: $90$.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю
Чаще всего при решении задач алгебры, геометрии, физики и т.п. принято обыкновенные дроби приводить к наименьшему общему знаменателю, а не к любому общему знаменателю.
Алгоритм :
- С помощью НОК знаменателей заданных дробей найти наименьший общий знаменатель.
- 2.Вычислить дополнительный множитель для заданных дробей. Для этого найденный наименьший общий знаменатель необходимо разделить на знаменатель каждой дроби. Полученное число и будет дополнительным множителем данной дроби.
- Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой дроби.
Пример 6
Найти наименьший общий знаменатель дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ и привести к нему обе дроби.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим наименьшее общее кратное чисел $16$ и $22$:
Разложим знаменатели на простые множители: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.
$НОК(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.
Вычислим дополнительные множители для каждой дроби:
$176\div 16=11$ – для дроби $\frac{4}{16}$;
$176\div 22=8$ – для дроби $\frac{3}{22}$.
Умножим числители и знаменатели дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ на дополнительные множители $11$ и $8$ соответственно. Получим:
$\frac{4}{16}=\frac{4\cdot 11}{16\cdot 11}=\frac{44}{176}$
$\frac{3}{22}=\frac{3\cdot 8}{22\cdot 8}=\frac{24}{176}$
Обе дроби приведены к наименьшему общему знаменателю $176$.
Ответ: $\frac{4}{16}=\frac{44}{176}$, $\frac{3}{22}=\frac{24}{176}$.
Иногда для того, чтобы находить наименьший общий знаменатель, нужно провести ряд трудоемких вычислений, что может не оправдывать цель решения задачи. В таком случае можно воспользоваться наиболее простым способ – свести дроби к общему знаменателю, который представляет собой произведение знаменателей данных дробей.
Приведение дробей к общему знаменателю
Дроби И имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель 25. Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дробей. Для этого найдем число, которое делится на 8 и на 3, например, 24. Приведем дроби к знаменателю 24, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3. Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8:
Приведем дроби и к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей. Так как НОК (8, 12) = 24, то дроби можно привести к знаменателю 24. Найдем дополнительные множители дробей: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тогда
К общему знаменателю можно приводить несколько дробей.
Пример. Приведем дроби к общему знаменателю. Так как 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Найдем дополнительные множители дробей и приведем их к знаменателю 150:
Сравнение дробей
На рис. 4.7 изображен отрезок АВ длины 1. Он разделен на 7 равных частей. Отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Длина отрезка AD больше длины отрезка AС т. е. дробь больше дроби
Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше, т. е.
Например, или
Чтобы сравнить любые две дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило сравнения дробей с общим знаменателем.
Пример. Сравнить дроби
Решение. НОК (8, 14) = 56. Тогда Так как 21 > 20, то
Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей.
Доказательство. Пусть даны три дроби. Приведем их к общему знаменателю. Пусть после этого они будут иметь вид Так как первая дробь меньше
второй, то r < s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя.
Дробь называется неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Например, дроби-правильные, а дроби -неправильные.
Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.
Тема урока: Приведение дробей к общему знаменателюЦели:
образовательная: формировать умения приводить дроби к наименьшему общему знаменателю и находить дополнительный множитель в более сложных случаях; формировать умения переводить обыкновенные дроби в десятичные;
развивающая: развивать логическое мышление, память, вычислительные навыки учащихся
Воспитательная: воспитывать познавательный интерес к предмету
Ход урока
II. Устный счет
1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 10 и 12; 12 и 8; 15 и 9; 6 и 4; 6 и 8; 12 и 15; 12 и 10; 16 и 20; 11 и 7.
2. Из одного пункта одновременно в разных направлениях вышли два туриста. Скорость первого туриста 6 км/ч, скорость второго - 7 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 часа?
3. Насос наполняет бассейн за 48 мин. Какую часть бассейна насос наполнит за 1 мин?
4. В семье пять сыновей, у каждого из них одна сестра. Сколько детей в семье? (6 детей.)
III . Сообщение темы урока
- На прошлом уроке мы приводили дроби к новому знаменателю. Сегодня мы будем находить общий знаменатель для нескольких дробей и выясним, что такое наименьший общий знаменатель дробей.
IV. Изучение нового материала
1. Любые 2 дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.
- Найдите несколько общих знаменателей дробей. Назовите их наименьший общий знаменатель.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей .
При этом, как правило, стараются подобрать наименьший общий знаменатель (НОЗ) - тогда вычисления с дробями оказываются проще. Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
2. Рассмотрим на примерах, как можно находить НОЗ дробей.
1) Приведем к общему знаменателю дроби 7/21 и 2/7.
- В чем особенность чисел 21 и 7? (21 делится нацело на 7.)
(Рассуждения приводит учитель.)
- Больший знаменатель - число 21 - делится на меньший знаменатель 7, следовательно, его можно взять в качестве общего знаменателя данных дробей. Этот общий знаменатель - наименьший из всех возможных.
Значит, нужно только дробь 2/7 привести к знаменателю 21. Для этого найдем дополнительный множитель: 21: 7 = 3.
- Какой вывод можно сделать? (Если один знаменатель дроби делится на другой, то НОЗ будет больший знаменатель.)
2) Приведем к общему знаменателю дроби 3/4 и 2/5.
- Что можете сказать о числах 4 и 5? (Числа взаимно простые.) Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 4, и на 5, т.е. быть их общим кратным. Общих кратных 4 и 5 бесконечно много: 20, 40, 60, 80 и т. д. Наименьшее кратное число 20 - произведение 4 и 5.
Значит, нужно привести каждую из дробей к знаменателю 20:
- Какой вывод можно сделать? (Если знаменатели дробей взаимно простые числа, то наименьшим общим знаменателем будет их произведение.)
V. Физкультминутка
VI. Работа над задачей
VII. Закрепление изученного материала
1. № 279 стр. 45 (устно). Работа в парах.
Отвечает учителю кто-то один от пары.
- Почему дробь 3/5 нельзя привести к знаменателю 36? (36 не кратно 5.)
2. № 283 (а-е) стр. 46 (с подробным комментарием у доски и в тетрадях, а) б) записать решение подробно, затем это все проговаривать устно, записывать только дроби с новым знаменателем).
Решение:
Дополнительные множители: 24: 6 = 4, 24: 8 = 3.
Дополнительные множители: 45: 9 = 5, 45: 15 = 3.
3. Назовите числа, которые:
а) больше 4/7, но меньше 5/7; б) больше 1/6, но меньше 2/6; в) больше 5/8, но меньше 3/4.
- Что нужно сделать, чтобы выполнить задание? (Привести дроби к новому знаменателю.)
4. № 281 стр. 46 (в) (один ученик на обратной стороне доски, остальные в тетрадях, самопроверка).
Решение:
VIII. Самостоятельная работа
Вариант I
1. Приведите дроби к новому знаменателю 24:
2. Приведите дробь 3/5 к новому знаменателю: 15; 25; 40; 55; 250; 300.
Вариант II
1. Приведите дроби к новому знаменателю 48:
2. Приведите дробь 4/7 к новому знаменателю: 14; 28; 49; 70; 210; 350.
3. Выразите в сотых долях дроби:
Вариант III (для более подготовленных учащихся)
1. Приведите дроби к новому знаменателю 84:
2. Приведите дробь 5/8 к новому знаменателю: 16; 24; 56; 80; 240; 3200.
3. Выразите в сотых долях дроби:
IX. Закрепление изученного материала
1. № 290 стр. 47 (устно). Работа в парах.
- Что использовали при решении? (Основное свойство дроби.)
- Сформулируйте основное свойство дроби.
(Ответ: а) х = 3, б) х = 5, в) х = 5, г) х = 7.)
2. № 289 (в, г) стр. 47 (самостоятельно, взаимопроверка).
- Какое число называют наибольшим общим делителем числителя и знаменателя?
X. Подведение итогов урока
- Какое число может служить общим знаменателем двух дробей?
- Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?
- На каком свойстве основано правило приведения дробей к общему знаменателю?
Домашнее задание:
Материал этой статьи объясняет, как найти наименьший общий знаменатель и как привести дроби к общему знаменателю . Сначала даны определения общего знаменателя дробей и наименьшего общего знаменателя, а также показано, как найти общий знаменатель дробей. Дальше приведено правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены примеры применения этого правила. В заключение разобраны примеры приведения трех и большего количества дробей к общему знаменателю.
Навигация по странице.
Что называют приведением дробей к общему знаменателю?
Теперь мы можем сказать, что такое приведение дробей к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей данных дробей на такие дополнительные множители, что в результате получаются дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель, определение, примеры
Теперь пришло время дать определение общего знаменателя дробей.
Иными словами, общим знаменателем некоторого набора обыкновенных дробей является любое натуральное число, которое делится на все знаменатели данных дробей.
Из озвученного определения следует, что данный набор дробей имеет бесконечно много общих знаменателей, так как существует бесконечное множество общих кратных всех знаменателей исходного набора дробей.
Определение общего знаменателя дробей позволяет находить общие знаменатели данных дробей. Пусть, к примеру, даны дроби 1/4 и 5/6 , их знаменатели равны 4 и 6 соответственно. Положительными общими кратными чисел 4 и 6 являются числа 12 , 24 , 36 , 48 , … Любое из этих чисел является общим знаменателем дробей 1/4 и 5/6 .
Для закрепления материала рассмотрим решение следующего примера.
Пример.
Можно ли дроби 2/3 , 23/6 и 7/12 привести к общему знаменателю 150 ?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос нам нужно выяснить, является ли число 150 общим кратным знаменателей 3 , 6 и 12 . Для этого проверим, делится ли 150 нацело на каждое из этих чисел (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел , а также правила и примеры деления натуральных чисел с остатком): 150:3=50 , 150:6=25 , 150:12=12 (ост. 6) .
Итак, 150 не делится нацело на 12 , следовательно, 150 не является общим кратным чисел 3 , 6 и 12 . Следовательно, число 150 не может быть общим знаменателем исходных дробей.
Ответ:
Нельзя.
Наименьший общий знаменатель, как его найти?
В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует наименьшее натуральное число , которое называют наименьшим общим знаменателем. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.
Определение.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.
Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.
Так как является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.
Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к знаменателей этих дробей. Разберем решение примера.
Пример.
Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28 .
Решение.
Знаменатели данных дробей равны 10 и 28 . Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28 . В нашем случае легко : так как 10=2·5 , а 28=2·2·7 , то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140 .
Ответ:
140 .
Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения
Обычно обыкновенные дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Сейчас мы запишем правило, которое объясняет, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю состоит из трех шагов:
- Во-первых, находится наименьший общий знаменатель дробей.
- Во-вторых, для каждой дроби вычисляется дополнительный множитель, для чего наименьший общий знаменатель делится на знаменатель каждой дроби.
- В-третьих, числитель и знаменатель каждой дроби умножается на ее дополнительный множитель.
Применим озвученное правило к решению следующего примера.
Пример.
Приведите дроби 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.
Решение.
Выполним все шаги алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Сначала находим наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел 14 и 18 . Так как 14=2·7 и 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .
Теперь вычисляем дополнительные множители, с помощью которых дроби 5/14 и 7/18 будут приведены к знаменателю 126 . Для дроби 5/14 дополнительный множитель равен 126:14=9 , а для дроби 7/18 дополнительный множитель равен 126:18=7 .
Осталось умножить числители и знаменатели дробей 5/14
и 7/18
на дополнительные множители 9
и 7
соответственно. Имеем и 
.
Итак, приведение дробей 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю завершено. В итоге получились дроби 45/126 и 49/126 .