như một phạm trù bản thể học phản ánh mức độ khả năng xuất hiện của bất kỳ thực thể nào trong bất kỳ điều kiện nào. Ngược lại với cách giải thích toán học và logic của khái niệm này, toán học bản thể học không gắn liền với nghĩa vụ biểu hiện định lượng. Ý nghĩa của V. được bộc lộ trong bối cảnh tìm hiểu thuyết tiền định và bản chất của sự phát triển nói chung.
Độ nét tuyệt vời
Định nghĩa chưa đầy đủ ↓
XÁC SUẤT
khái niệm đặc trưng của đại lượng thước đo khả năng xảy ra một sự kiện nhất định tại một thời điểm nhất định điều kiện. Trong khoa học kiến thức, có ba cách giải thích về V. Khái niệm cổ điển về V., xuất phát từ toán học. phân tích về cờ bạc và được phát triển đầy đủ nhất bởi B. Pascal, J. Bernoulli và P. Laplace, coi chiến thắng là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi trên tổng số trường hợp có thể xảy ra như nhau. Ví dụ: khi ném một viên xúc xắc có 6 mặt, mỗi viên có thể sẽ có giá trị là 1/6, vì không bên nào có lợi thế hơn bên kia. Tính đối xứng như vậy của các kết quả thực nghiệm được tính đến đặc biệt khi tổ chức trò chơi, nhưng tương đối hiếm khi nghiên cứu các sự kiện khách quan trong khoa học và thực tiễn. Cổ điển Sự giải thích của V. đã nhường chỗ cho số liệu thống kê. Những khái niệm của V., dựa trên thực tế quan sát sự xuất hiện của một sự kiện nhất định trong một thời gian dài. trải nghiệm trong những điều kiện cố định chính xác. Thực tiễn xác nhận rằng một sự kiện xảy ra càng thường xuyên thì mức độ khách quan của khả năng xảy ra nó hoặc B. Do đó, theo thống kê. Cách giải thích của V. dựa trên khái niệm liên quan. tần số có thể được xác định bằng thực nghiệm. V. như một lý thuyết Tuy nhiên, khái niệm này không bao giờ trùng với tần số được xác định theo kinh nghiệm ở số nhiều. Trong các trường hợp, nó thực tế khác rất ít so với tương đối. tần số được tìm thấy là kết quả của thời lượng. quan sát. Nhiều nhà thống kê coi V. là một nhân vật “kép”. tần số, biên được xác định theo thống kê. nghiên cứu kết quả quan sát
hoặc các thí nghiệm. Ít thực tế hơn là định nghĩa về V. khi giới hạn liên quan. tần suất của các sự kiện hoặc nhóm quần chúng do R. Mises đề xuất. Để phát triển hơn nữa cách tiếp cận tần số đối với V., một cách giải thích mang tính thiên vị hoặc thiên hướng về V. được đưa ra (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Theo cách giải thích này, V. đặc trưng cho tính chất của các điều kiện tạo ra chẳng hạn. cuộc thí nghiệm. cài đặt để có được một chuỗi các sự kiện ngẫu nhiên lớn. Chính thái độ này đã tạo ra sự căng thẳng về mặt thể chất. khuynh hướng, hoặc khuynh hướng, V. có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng người thân. Tính thường xuyên
Thống kê Cách giải thích của V. thống trị nghiên cứu khoa học. nhận thức vì nó phản ánh sự cụ thể. bản chất của các mô hình vốn có trong các hiện tượng đại chúng có tính chất ngẫu nhiên. Trong nhiều vật lý, sinh học, kinh tế, nhân khẩu học. và các quá trình xã hội khác, cần tính đến tác động của nhiều yếu tố ngẫu nhiên, có đặc điểm là tần số ổn định. Xác định các tần số và đại lượng ổn định này. đánh giá của nó với sự giúp đỡ của V. có thể tiết lộ sự cần thiết phải vượt qua hành động tích lũy của nhiều vụ tai nạn. Đây là nơi biểu hiện của phép biện chứng biến cơ hội thành tất yếu (xem F. Engels, trong cuốn: K. Marx và F. Engels, Works, tập 20, trang 535-36).
Lý luận logic, hay quy nạp, đặc trưng cho mối quan hệ giữa các tiền đề và kết luận của lý luận không chứng minh và đặc biệt là lý luận quy nạp. Không giống như diễn dịch, các tiền đề của quy nạp không đảm bảo tính đúng đắn của kết luận mà chỉ làm cho kết luận trở nên hợp lý ít nhiều. Tính hợp lý này, với những tiền đề được xây dựng chính xác, đôi khi có thể được đánh giá bằng cách sử dụng V. Giá trị của V. này thường được xác định bằng cách so sánh. các khái niệm (nhiều hơn, nhỏ hơn hoặc bằng) và đôi khi theo cách số học. Hợp lý diễn giải thường được sử dụng để phân tích lý luận quy nạp và xây dựng các hệ thống logic xác suất khác nhau (R. Carnap, R. Jeffrey). Về mặt ngữ nghĩa khái niệm logic V. thường được định nghĩa là mức độ mà một tuyên bố được xác nhận bởi những tuyên bố khác (ví dụ: một giả thuyết dựa trên dữ liệu thực nghiệm của nó).
Liên quan đến sự phát triển của các lý thuyết về việc ra quyết định và trò chơi, cái gọi là cách giải thích mang tính cá nhân của V. Mặc dù V. đồng thời thể hiện mức độ tin cậy của chủ thể và sự xuất hiện của một sự kiện nào đó, nhưng bản thân V. phải được chọn sao cho các tiên đề trong phép tính của V. được thỏa mãn. Vì vậy, V. với cách giải thích như vậy không thể hiện quá nhiều mức độ chủ quan mà là niềm tin hợp lý . Do đó, các quyết định được đưa ra dựa trên V. như vậy sẽ hợp lý vì chúng không tính đến các yếu tố tâm lý. đặc điểm và khuynh hướng của đối tượng.
Với nhận thức luận t.zr. sự khác biệt giữa thống kê, logic. và cách giải thích mang tính cá nhân của V. là nếu cách giải thích đầu tiên mô tả các đặc tính khách quan và mối quan hệ của các hiện tượng đại chúng có tính chất ngẫu nhiên, thì hai cách giải thích cuối cùng phân tích các đặc điểm của chủ quan, nhận thức. hoạt động của con người trong điều kiện không chắc chắn.
XÁC SUẤT
một trong những khái niệm quan trọng nhất của khoa học, đặc trưng cho một tầm nhìn hệ thống đặc biệt về thế giới, cấu trúc, sự tiến hóa và kiến thức của nó. Tính đặc thù của quan điểm xác suất về thế giới được bộc lộ thông qua việc đưa các khái niệm về tính ngẫu nhiên, tính độc lập và thứ bậc (ý tưởng về các cấp độ trong cấu trúc và quy định của hệ thống) vào các khái niệm cơ bản về sự tồn tại.
Ý tưởng về xác suất bắt nguồn từ thời cổ đại và liên quan đến đặc điểm kiến thức của chúng ta, trong khi sự tồn tại của kiến thức xác suất đã được thừa nhận, khác với kiến thức đáng tin cậy và kiến thức sai lầm. Tác động của ý tưởng xác suất đối với tư duy khoa học và sự phát triển kiến thức có liên quan trực tiếp đến sự phát triển của lý thuyết xác suất như một môn toán học. Nguồn gốc của học thuyết toán học về xác suất có từ thế kỷ 17, khi sự phát triển cốt lõi của các khái niệm cho phép. đặc điểm định lượng (số) và thể hiện một ý tưởng xác suất.
Việc áp dụng chuyên sâu xác suất vào sự phát triển nhận thức diễn ra trong nửa sau. 19 - tầng 1 thế kỷ 20 Xác suất đã đi vào cấu trúc của các ngành khoa học cơ bản về tự nhiên như vật lý thống kê cổ điển, di truyền học, lý thuyết lượng tử và điều khiển học (lý thuyết thông tin). Theo đó, xác suất nhân cách hóa giai đoạn đó trong quá trình phát triển của khoa học, hiện nay được định nghĩa là khoa học phi cổ điển. Để bộc lộ tính mới và những đặc điểm của lối tư duy xác suất, cần phải tiến hành phân tích chủ đề lý thuyết xác suất và nền tảng của nhiều ứng dụng của nó. Lý thuyết xác suất thường được định nghĩa là một môn toán học nghiên cứu các mô hình của hiện tượng ngẫu nhiên khối lượng trong những điều kiện nhất định. Tính ngẫu nhiên có nghĩa là trong khuôn khổ tính chất đại chúng, sự tồn tại của mỗi hiện tượng cơ bản không phụ thuộc và không bị xác định bởi sự tồn tại của các hiện tượng khác. Đồng thời, bản thân tính chất khối lượng của hiện tượng đã có cấu trúc ổn định và chứa đựng những quy luật nhất định. Một hiện tượng khối được chia khá chặt chẽ thành các hệ thống con và số lượng hiện tượng cơ bản tương đối trong mỗi hệ thống con (tần số tương đối) là rất ổn định. Sự ổn định này được so sánh với xác suất. Một hiện tượng khối lượng nói chung được đặc trưng bởi sự phân bố xác suất, nghĩa là bằng cách xác định các hệ thống con và xác suất tương ứng của chúng. Ngôn ngữ của lý thuyết xác suất là ngôn ngữ của phân bố xác suất. Theo đó, lý thuyết xác suất được định nghĩa là môn khoa học trừu tượng về hoạt động với phân bố.
Xác suất đã làm nảy sinh trong khoa học những ý tưởng về các mô hình thống kê và hệ thống thống kê. Sau này là các hệ thống được hình thành từ các thực thể độc lập hoặc gần như độc lập; cấu trúc của chúng được đặc trưng bởi phân bố xác suất. Nhưng làm thế nào có thể hình thành các hệ thống từ các thực thể độc lập? Người ta thường giả định rằng để hình thành các hệ thống có các đặc tính tích hợp, cần phải có các kết nối đủ ổn định tồn tại giữa các phần tử của chúng để gắn kết các hệ thống. Tính ổn định của hệ thống thống kê được tạo ra bởi sự hiện diện của các điều kiện bên ngoài, môi trường bên ngoài, các lực lượng bên ngoài chứ không phải bên trong. Bản thân định nghĩa về xác suất luôn dựa trên việc đặt ra các điều kiện cho sự hình thành hiện tượng khối lượng ban đầu. Một ý tưởng quan trọng khác đặc trưng cho mô hình xác suất là ý tưởng về hệ thống phân cấp (cấp dưới). Ý tưởng này thể hiện mối quan hệ giữa các đặc điểm của các phần tử riêng lẻ và các đặc điểm không thể thiếu của các hệ thống: cái sau dường như được xây dựng trên cái trước.
Tầm quan trọng của các phương pháp xác suất trong nhận thức nằm ở chỗ chúng có thể nghiên cứu và thể hiện về mặt lý thuyết các mô hình cấu trúc và hành vi của các đối tượng và hệ thống có cấu trúc “hai cấp độ” phân cấp.
Phân tích bản chất của xác suất dựa trên tần số của nó, giải thích thống kê. Đồng thời, trong một thời gian rất dài, sự hiểu biết về xác suất như vậy đã thống trị trong khoa học, được gọi là xác suất logic, hay quy nạp. Xác suất logic quan tâm đến các câu hỏi về tính hợp lệ của một phán đoán riêng biệt, riêng biệt trong những điều kiện nhất định. Có thể đánh giá mức độ xác nhận (độ tin cậy, tính xác thực) của một kết luận quy nạp (kết luận giả thuyết) ở dạng định lượng hay không? Trong quá trình phát triển lý thuyết xác suất, những câu hỏi như vậy đã được thảo luận nhiều lần và họ bắt đầu nói về mức độ xác nhận của các kết luận giả định. Thước đo xác suất này được xác định bởi thông tin có sẵn của một người nhất định, kinh nghiệm, quan điểm của anh ta về thế giới và tư duy tâm lý. Trong tất cả các trường hợp như vậy, độ lớn của xác suất không thể tuân theo các phép đo nghiêm ngặt và thực tế nằm ngoài khả năng của lý thuyết xác suất với tư cách là một môn toán nhất quán.
Việc giải thích khách quan, thường xuyên về xác suất đã được thiết lập trong khoa học với những khó khăn đáng kể. Ban đầu, sự hiểu biết về bản chất của xác suất bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi những quan điểm triết học và phương pháp luận đặc trưng của khoa học cổ điển. Về mặt lịch sử, sự phát triển của các phương pháp xác suất trong vật lý diễn ra dưới ảnh hưởng quyết định của các ý tưởng cơ học: các hệ thống thống kê được hiểu đơn giản là cơ học. Vì các vấn đề tương ứng không được giải quyết bằng các phương pháp cơ học chặt chẽ nên đã nảy sinh những khẳng định rằng việc chuyển sang các phương pháp xác suất và các định luật thống kê là kết quả của sự thiếu hiểu biết của chúng ta. Trong lịch sử phát triển của vật lý thống kê cổ điển, nhiều nỗ lực đã được thực hiện để chứng minh nó trên cơ sở cơ học cổ điển, nhưng tất cả đều thất bại. Cơ sở của xác suất là nó thể hiện các đặc điểm cấu trúc của một loại hệ thống nhất định, ngoài các hệ thống cơ học: trạng thái của các phần tử của các hệ thống này được đặc trưng bởi sự không ổn định và tính chất đặc biệt (không thể quy giản về cơ học) của các tương tác.
Việc đưa xác suất vào tri thức dẫn đến sự phủ nhận khái niệm thuyết quyết định cứng nhắc, phủ nhận mô hình cơ bản của tồn tại và tri thức được phát triển trong quá trình hình thành khoa học cổ điển. Các mô hình cơ bản được trình bày bởi các lý thuyết thống kê có bản chất khác, tổng quát hơn: chúng bao gồm các ý tưởng về tính ngẫu nhiên và tính độc lập. Ý tưởng về xác suất gắn liền với việc bộc lộ động lực bên trong của các vật thể và hệ thống, không thể được xác định hoàn toàn bởi các điều kiện và hoàn cảnh bên ngoài.
Khái niệm về một tầm nhìn xác suất về thế giới, dựa trên sự tuyệt đối hóa các ý tưởng về tính độc lập (như trước mô hình xác định cứng nhắc), giờ đây đã bộc lộ những hạn chế của nó, điều này được phản ánh mạnh mẽ nhất trong quá trình chuyển đổi của khoa học hiện đại sang các phương pháp phân tích để nghiên cứu. các hệ thống phức tạp và nền tảng vật lý và toán học của hiện tượng tự tổ chức.
Độ nét tuyệt vời
Định nghĩa chưa đầy đủ ↓
Rõ ràng là mỗi sự kiện có một mức độ khác nhau về khả năng xảy ra (việc thực hiện nó). Để so sánh một cách định lượng các sự kiện với nhau theo mức độ khả năng xảy ra của chúng, rõ ràng cần phải liên kết một con số nhất định với mỗi sự kiện, con số nào càng lớn thì sự kiện đó càng có khả năng xảy ra. Con số này được gọi là xác suất của một sự kiện.
Xác suất của sự kiện– là thước đo bằng số về mức độ có thể xảy ra khách quan của sự kiện này.
Hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên và một sự kiện ngẫu nhiên A được quan sát thấy trong thí nghiệm này. Hãy lặp lại thí nghiệm này n lần và gọi m(A) là số thí nghiệm trong đó sự kiện A xảy ra.
Mối quan hệ (1.1)
gọi điện tần số tương đối sự kiện A trong chuỗi thí nghiệm được thực hiện.
Thật dễ dàng để xác minh tính hợp lệ của các thuộc tính:
nếu A và B không nhất quán (AB= ), thì ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Tần số tương đối chỉ được xác định sau một loạt thử nghiệm và nói chung có thể thay đổi theo từng chuỗi. Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy rằng trong nhiều trường hợp, khi số lượng thí nghiệm tăng lên thì tần số tương đối sẽ tiến đến một con số nhất định. Thực tế về độ ổn định tần số tương đối này đã được xác minh nhiều lần và có thể được coi là đã được thiết lập bằng thực nghiệm.
Ví dụ 1.19.. Nếu bạn ném một đồng xu, không ai có thể đoán trước được nó sẽ rơi ở mặt nào. Nhưng nếu bạn ném hai tấn đồng xu, thì mọi người sẽ nói rằng khoảng một tấn sẽ rơi cùng với quốc huy, tức là tần số tương đối của quốc huy rơi ra là khoảng 0,5.
Nếu, với sự gia tăng số lượng thí nghiệm, tần suất tương đối của sự kiện ν(A) có xu hướng tiến tới một số cố định nào đó, thì người ta nói rằng sự kiện A ổn định về mặt thống kê, và con số này được gọi là xác suất của sự kiện A.
Xác suất của sự kiện MỘT một số cố định P(A) nào đó được gọi, mà tần số tương đối ν(A) của sự kiện này có xu hướng tăng lên khi số lượng thử nghiệm tăng lên, nghĩa là, 
Định nghĩa này được gọi là xác định thống kê xác suất .
Chúng ta hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên nhất định và cho không gian các sự kiện cơ bản của nó bao gồm một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn (nhưng đếm được) các sự kiện cơ bản ω 1, ω 2, …, ω i, …. Giả sử rằng mỗi sự kiện cơ bản ω i được gán một số nhất định - р i, đặc trưng cho mức độ có thể xảy ra của một sự kiện cơ bản nhất định và thỏa mãn các tính chất sau:
Số p i này được gọi là xác suất của một sự kiện cơ bảnωi.
Giả sử A là một biến cố ngẫu nhiên được quan sát thấy trong thí nghiệm này và cho nó tương ứng với một tập hợp nào đó
Trong cài đặt này xác suất của một sự kiện MỘT gọi tổng xác suất của các sự kiện cơ bản có lợi cho A(có trong bộ A tương ứng):
(1.4)
Xác suất được đưa ra theo cách này có cùng đặc tính với tần số tương đối, cụ thể là:
Và nếu AB = (A và B không tương thích),
thì P(A+B) = P(A) + P(B)
Thật vậy, theo (1.4)
Trong mối quan hệ trước, chúng ta đã lợi dụng thực tế là không một sự kiện cơ bản nào có thể hỗ trợ hai sự kiện không tương thích cùng một lúc.
Chúng tôi đặc biệt lưu ý rằng lý thuyết xác suất không chỉ ra các phương pháp xác định số pi; chúng phải được tìm kiếm vì những lý do thực tế hoặc thu được từ một thí nghiệm thống kê tương ứng.
Ví dụ, hãy xem xét sơ đồ cổ điển của lý thuyết xác suất. Để làm điều này, hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên, không gian của các sự kiện cơ bản bao gồm một số phần tử hữu hạn (n). Ngoài ra, chúng ta hãy giả sử rằng tất cả các sự kiện cơ bản này đều có thể xảy ra như nhau, nghĩa là xác suất của các sự kiện cơ bản bằng p(ω i)=p i =p. Nó theo sau đó
Ví dụ 1.20. Khi ném một đồng xu đối xứng thì khả năng nhận được mặt ngửa và mặt sấp đều bằng nhau, xác suất của chúng bằng 0,5.
Ví dụ 1.21. Khi ném xúc xắc đối xứng, tất cả các mặt đều có khả năng như nhau, xác suất của chúng bằng 1/6.
Bây giờ hãy để sự kiện A được m sự kiện cơ bản ủng hộ, chúng thường được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A. Sau đó
Đã nhận định nghĩa cổ điển về xác suất: xác suất P(A) của sự kiện A bằng tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho sự kiện A trên tổng số kết quả
Ví dụ 1.22. Trong hộp có m quả cầu trắng và n quả cầu đen. Xác suất để lấy được quả bóng trắng là bao nhiêu?
Giải pháp. Tổng số sự kiện cơ bản là m+n. Tất cả đều có khả năng xảy ra như nhau. Sự kiện thuận lợi A trong đó m. Kể từ đây, 
.
Các tính chất sau đây suy ra từ định nghĩa xác suất:
Bất động sản 1. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một.
Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy thì mọi kết quả cơ bản của phép thử đều ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này t=p, kể từ đây,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Tài sản 2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.
Thật vậy, nếu một sự kiện là không thể xảy ra thì không có kết quả cơ bản nào của phép thử ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này T= 0, do đó, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Tài sản 3.Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
Thật vậy, chỉ một phần trong tổng số kết quả cơ bản của bài kiểm tra được ưa chuộng bởi một sự kiện ngẫu nhiên. Tức là 0
So sánh định nghĩa xác suất (1.5) và tần số tương đối (1.1), ta kết luận: định nghĩa xác suất không yêu cầu thực hiện thử nghiệm trong thực tế; định nghĩa về tần số tương đối giả định rằng các thử nghiệm đã thực sự được thực hiện. Nói cách khác, xác suất được tính trước thí nghiệm và tần số tương đối - sau thí nghiệm.
Tuy nhiên, việc tính toán xác suất đòi hỏi thông tin sơ bộ về số lượng hoặc xác suất của các kết quả cơ bản có lợi cho một sự kiện nhất định. Trong trường hợp không có thông tin sơ bộ như vậy, dữ liệu thực nghiệm được sử dụng để xác định xác suất, nghĩa là tần suất tương đối của sự kiện được xác định dựa trên kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên.
Ví dụ 1.23. Phòng kiểm soát kỹ thuật phát hiện 3 các bộ phận không đạt tiêu chuẩn trong một lô gồm 80 bộ phận được chọn ngẫu nhiên. Tần suất xuất hiện tương đối của các bộ phận không chuẩn r(A)= 3/80.
Ví dụ 1.24. Theo mục đích.sản xuất 24 bắn, và 19 lần trúng đích được ghi. Tỷ lệ trúng mục tiêu tương đối. r(A)=19/24.
Các quan sát dài hạn đã chỉ ra rằng nếu các thí nghiệm được thực hiện trong các điều kiện giống nhau, trong đó số lượng các phép thử đủ lớn thì tần số tương đối thể hiện tính chất ổn định. Tài sản này là rằng trong các thí nghiệm khác nhau, tần số tương đối thay đổi rất ít (càng ít, càng thực hiện nhiều thử nghiệm), dao động xung quanh một số không đổi nhất định. Hóa ra số không đổi này có thể được coi là giá trị gần đúng của xác suất.
Mối quan hệ giữa tần suất tương đối và xác suất sẽ được mô tả chi tiết và chính xác hơn dưới đây. Bây giờ chúng ta hãy minh họa tính chất ổn định bằng các ví dụ.
Ví dụ 1.25. Theo thống kê của Thụy Điển, tần suất sinh con gái tương đối trong năm 1935 theo tháng được đặc trưng bởi các con số sau (các con số được sắp xếp theo thứ tự các tháng, bắt đầu bằng Tháng Giêng): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Tần số tương đối dao động quanh con số 0,481, có thể được coi là giá trị gần đúng cho xác suất sinh con gái.
Lưu ý rằng dữ liệu thống kê từ các quốc gia khác nhau cho giá trị tần số tương đối gần như nhau.
Ví dụ 1.26. Thí nghiệm tung đồng xu được thực hiện nhiều lần, trong đó tính số lần xuất hiện của “quốc huy”. Kết quả của một số thí nghiệm được thể hiện trong bảng.
Vì vậy, hãy nói về một chủ đề được nhiều người quan tâm. Trong bài viết này tôi sẽ trả lời câu hỏi làm thế nào để tính xác suất của một sự kiện. Tôi sẽ đưa ra các công thức tính toán như vậy và một số ví dụ để làm rõ hơn cách thực hiện việc này.
Xác suất là gì
Hãy bắt đầu với thực tế là xác suất xảy ra sự kiện này hoặc sự kiện kia là một mức độ tin cậy nhất định về khả năng xảy ra cuối cùng của một kết quả nào đó. Đối với phép tính này, một công thức xác suất tổng đã được phát triển cho phép bạn xác định xem sự kiện mà bạn quan tâm có xảy ra hay không, thông qua cái gọi là xác suất có điều kiện. Công thức này trông như sau: P = n/m, các chữ cái có thể thay đổi, nhưng điều này không ảnh hưởng đến bản chất.
Ví dụ về xác suất
Sử dụng một ví dụ đơn giản, hãy phân tích công thức này và áp dụng nó. Giả sử bạn có một sự kiện nhất định (P), hãy coi đó là một lần ném xúc xắc, tức là một con súc sắc đều. Và chúng ta cần tính xác suất để được 2 điểm trên đó là bao nhiêu. Để làm điều này, bạn cần số lượng sự kiện tích cực (n), trong trường hợp của chúng tôi - mất 2 điểm, cho tổng số sự kiện (m). Việc tung 2 điểm chỉ có thể xảy ra trong một trường hợp, nếu có 2 điểm trên xúc xắc, vì nếu không thì tổng sẽ lớn hơn, nên n = 1. Tiếp theo, chúng ta đếm số lần tung của bất kỳ số nào khác trên xúc xắc, trên 1 viên xúc xắc - đó là 1, 2, 3, 4, 5 và 6, do đó, có 6 trường hợp thuận lợi, tức là m = 6. Bây giờ, sử dụng công thức, chúng ta thực hiện một phép tính đơn giản P = 1/ 6 và chúng ta thấy rằng điểm xuất hiện của 2 điểm trên xúc xắc là 1/6, tức là xác suất xảy ra sự kiện là rất thấp.
Chúng ta cũng hãy xem một ví dụ sử dụng các quả bóng màu đựng trong hộp: 50 quả trắng, 40 quả đen và 30 quả xanh lục. Bạn cần xác định xác suất để lấy được quả bóng xanh là bao nhiêu. Và như vậy, vì có 30 quả bóng màu này, tức là chỉ có thể có 30 sự kiện dương (n = 30), số lượng tất cả các sự kiện là 120, m = 120 (dựa trên tổng số tất cả các quả bóng), sử dụng công thức chúng ta tính được rằng xác suất lấy được quả bóng xanh sẽ bằng P = 30/120 = 0,25, tức là 25% của 100. Theo cách tương tự, bạn có thể tính xác suất lấy được quả bóng của một màu sắc khác nhau (màu đen sẽ là 33%, màu trắng là 42%).
Trên thực tế, các công thức (1) và (2) là một bản ghi ngắn gọn về xác suất có điều kiện dựa trên bảng đặc điểm dự phòng. Hãy quay lại ví dụ đã thảo luận (Hình 1). Giả sử chúng ta biết rằng một gia đình đang có ý định mua một chiếc tivi màn hình rộng. Xác suất để gia đình này thực sự mua một chiếc TV như vậy là bao nhiêu?
Cơm. 1. Hành vi mua TV màn hình rộng
Trong trường hợp này, chúng ta cần tính xác suất có điều kiện P (mua hàng đã hoàn thành | kế hoạch mua hàng). Vì chúng ta biết rằng gia đình đang có ý định mua nên không gian mẫu không bao gồm tất cả 1000 gia đình mà chỉ bao gồm những gia đình có ý định mua một chiếc TV màn hình rộng. Trong số 250 gia đình như vậy, có 200 gia đình đã mua chiếc TV này. Do đó, xác suất một gia đình thực sự sẽ mua một chiếc TV màn hình rộng nếu họ đã có kế hoạch mua có thể được tính bằng công thức sau:
P (hoàn tất mua hàng | dự định mua hàng) = số gia đình đã dự định và mua TV màn hình rộng / số gia đình dự định mua TV màn hình rộng = 200/250 = 0,8
Công thức (2) cho kết quả tương tự:
sự kiện ở đâu MỘT là gia đình đang dự định mua một chiếc TV màn hình rộng, và sự kiện này TRONG- rằng cô ấy thực sự sẽ mua nó. Thay số liệu thực vào công thức, ta được:
Cây quyết định
Trong hình. 1 gia đình được chia thành bốn loại: những người dự định mua một chiếc TV màn hình rộng và những người chưa mua, cũng như những người đã mua một chiếc TV như vậy và những người chưa mua. Việc phân loại tương tự có thể được thực hiện bằng cây quyết định (Hình 2). Cây được minh họa trong hình. 2 có hai chi nhánh tương ứng với những gia đình có ý định mua TV màn ảnh rộng và những gia đình chưa có ý định mua. Mỗi nhánh này lại chia thành hai nhánh bổ sung tương ứng với các hộ gia đình đã và chưa mua TV màn hình rộng. Xác suất viết ở cuối hai nhánh chính là xác suất vô điều kiện của các sự kiện MỘT Và MỘT'. Xác suất được viết ở cuối bốn nhánh bổ sung là xác suất có điều kiện của mỗi tổ hợp sự kiện MỘT Và TRONG. Xác suất có điều kiện được tính bằng cách chia xác suất chung của các sự kiện cho xác suất vô điều kiện tương ứng của từng sự kiện.
Cơm. 2. Cây quyết định
Ví dụ, để tính xác suất một gia đình sẽ mua một chiếc tivi màn hình rộng nếu họ có kế hoạch mua, người ta phải xác định xác suất của sự kiện đó. kế hoạch mua hàng và hoàn thành, rồi chia cho xác suất của sự kiện kế hoạch mua hàng. Di chuyển dọc theo cây quyết định được hiển thị trong Hình. 2, chúng ta nhận được câu trả lời sau (tương tự như câu trước):
Độc lập thống kê
Trong ví dụ về việc mua một chiếc TV màn hình rộng, xác suất để một gia đình được chọn ngẫu nhiên mua một chiếc TV màn hình rộng với điều kiện họ dự định mua là 200/250 = 0,8. Hãy nhớ lại rằng xác suất vô điều kiện để một gia đình được chọn ngẫu nhiên mua một chiếc TV màn hình rộng là 300/1000 = 0,3. Điều này dẫn đến một kết luận rất quan trọng. Thông tin trước đó về việc gia đình đang lên kế hoạch mua hàng sẽ ảnh hưởng đến khả năng mua hàng. Nói cách khác, hai sự kiện này phụ thuộc lẫn nhau. Ngược lại với ví dụ này, có những sự kiện độc lập về mặt thống kê mà xác suất của chúng không phụ thuộc vào nhau. Tính độc lập thống kê được thể hiện bằng nhận dạng: P(A|B) = P(A), Ở đâu P(A|B)- xác suất của sự kiện MỘT với điều kiện là sự kiện đó xảy ra TRONG, P(A)- xác suất vô điều kiện của biến cố A.
Xin lưu ý rằng các sự kiện MỘT Và TRONG P(A|B) = P(A). Nếu trong bảng đặc điểm dự phòng có kích thước 2×2, điều kiện này được thỏa mãn đối với ít nhất một tổ hợp các sự kiện MỘT Và TRONG, nó sẽ có giá trị cho bất kỳ sự kết hợp nào khác. Trong các sự kiện ví dụ của chúng tôi kế hoạch mua hàng Và mua hàng đã hoàn tất không độc lập về mặt thống kê vì thông tin về một sự kiện ảnh hưởng đến xác suất của một sự kiện khác.
Hãy xem một ví dụ cho thấy cách kiểm tra tính độc lập về mặt thống kê của hai sự kiện. Hãy hỏi 300 gia đình đã mua TV màn hình rộng xem họ có hài lòng với việc mua hàng của mình không (Hình 3). Xác định xem mức độ hài lòng với việc mua hàng và loại TV có liên quan với nhau hay không.
Cơm. 3. Dữ liệu mô tả mức độ hài lòng của người mua TV màn hình rộng
Đánh giá dựa trên những dữ liệu này,
Đồng thời,
P (khách hàng hài lòng) = 240/300 = 0,80
Do đó, xác suất khách hàng hài lòng với việc mua hàng và khả năng gia đình mua HDTV là bằng nhau, và những sự kiện này độc lập về mặt thống kê vì chúng không liên quan dưới bất kỳ hình thức nào.
Quy tắc nhân xác suất
Công thức tính xác suất có điều kiện cho phép xác định xác suất của một sự kiện chung A và B. Đã giải được công thức (1)
liên quan đến xác suất chung P(A và B), chúng ta thu được quy tắc chung cho việc nhân xác suất. Xác suất của sự kiện A và B bằng xác suất của biến cố MỘT với điều kiện sự kiện đó xảy ra TRONG TRONG:
(3) P(A và B) = P(A|B) * P(B)
Hãy lấy ví dụ về 80 gia đình mua một chiếc tivi HDTV màn hình rộng (Hình 3). Bảng cho thấy 64 gia đình hài lòng với việc mua hàng và 16 gia đình không hài lòng. Giả sử có hai họ được chọn ngẫu nhiên trong số đó. Xác định xác suất để cả hai khách hàng đều hài lòng. Sử dụng công thức (3), chúng tôi có được:
P(A và B) = P(A|B) * P(B)
sự kiện ở đâu MỘT là gia đình thứ hai hài lòng với việc mua hàng của họ, và sự kiện TRONG- rằng gia đình đầu tiên hài lòng với việc mua hàng của họ. Xác suất để gia đình đầu tiên hài lòng với việc mua hàng của họ là 64/80. Tuy nhiên, khả năng gia đình thứ hai cũng hài lòng với việc mua hàng của họ phụ thuộc vào phản ứng của gia đình thứ nhất. Nếu gia đình thứ nhất không quay lại mẫu sau khi khảo sát (chọn không trả lại), số người trả lời giảm xuống còn 79. Nếu gia đình thứ nhất hài lòng với việc mua hàng của mình thì xác suất gia đình thứ hai cũng hài lòng là 63 /79, vì chỉ còn lại 63 người trong các gia đình mẫu hài lòng với việc mua hàng của họ. Như vậy, thay số liệu cụ thể vào công thức (3), chúng ta thu được câu trả lời sau:
P(A và B) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Do đó, xác suất cả hai gia đình đều hài lòng với việc mua hàng của mình là 63,8%.
Giả sử sau cuộc khảo sát, gia đình đầu tiên quay lại mẫu. Xác định xác suất để cả hai gia đình đều hài lòng với việc mua hàng của họ. Trong trường hợp này, xác suất để cả hai gia đình đều hài lòng với việc mua hàng của họ là như nhau và bằng 64/80. Do đó, P(A và B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Như vậy, xác suất để cả hai gia đình đều hài lòng với việc mua hàng của mình là 64,0%. Ví dụ này cho thấy sự lựa chọn của họ thứ hai không phụ thuộc vào sự lựa chọn của họ thứ nhất. Như vậy, thay thế xác suất có điều kiện trong công thức (3) P(A|B) xác suất P(A), chúng ta thu được công thức nhân xác suất của các sự kiện độc lập.
Quy tắc nhân xác suất của các sự kiện độc lập. Nếu sự kiện MỘT Và TRONGđộc lập về mặt thống kê, xác suất của một sự kiện A và B bằng xác suất của biến cố MỘT, nhân với xác suất của sự kiện TRONG.
(4) P(A và B) = P(A)P(B)
Nếu quy tắc này đúng cho các sự kiện MỘT Và TRONG, có nghĩa là chúng độc lập về mặt thống kê. Như vậy, có hai cách để xác định tính độc lập thống kê của hai sự kiện:
- Sự kiện MỘT Và TRONGđộc lập về mặt thống kê với nhau khi và chỉ khi P(A|B) = P(A).
- Sự kiện MỘT Và Bđộc lập về mặt thống kê với nhau khi và chỉ khi P(A và B) = P(A)P(B).
Nếu trong bảng đặc điểm dự phòng có kích thước 2×2, một trong các điều kiện này được đáp ứng cho ít nhất một tổ hợp các sự kiện MỘT Và B, nó sẽ có giá trị cho bất kỳ sự kết hợp nào khác.
Xác suất vô điều kiện của một sự kiện cơ bản
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
trong đó các sự kiện B 1, B 2, ... B k là loại trừ lẫn nhau và đầy đủ.
Chúng ta hãy minh họa việc áp dụng công thức này bằng ví dụ ở Hình 1. Sử dụng công thức (5), chúng tôi có được:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Ở đâu P(A)- khả năng việc mua hàng đã được lên kế hoạch, P(B 1)- xác suất mua hàng được thực hiện, P(B 2)- xác suất việc mua hàng không được hoàn thành.
ĐỊNH NGHĨA BAYES
Xác suất có điều kiện của một sự kiện có tính đến thông tin rằng một số sự kiện khác đã xảy ra. Cách tiếp cận này có thể được sử dụng để tinh chỉnh xác suất có tính đến thông tin mới nhận được và để tính xác suất mà hiệu ứng quan sát được là hậu quả của một nguyên nhân cụ thể. Quy trình tinh chỉnh các xác suất này được gọi là định lý Bayes. Nó được phát triển lần đầu tiên bởi Thomas Bayes vào thế kỷ 18.
Giả sử rằng công ty được đề cập ở trên đang nghiên cứu thị trường cho một mẫu TV mới. Trước đây, 40% số TV hãng sản xuất thành công, trong khi 60% mẫu mã không được công nhận. Trước khi công bố tung ra mẫu máy mới, các chuyên gia tiếp thị sẽ nghiên cứu kỹ lưỡng thị trường và ghi nhận nhu cầu. Trước đây, 80% mô hình thành công được dự đoán là thành công, trong khi 30% dự đoán thành công hóa ra lại sai. Bộ phận tiếp thị đưa ra dự báo thuận lợi cho mẫu xe mới. Khả năng một mẫu TV mới sẽ có nhu cầu là bao nhiêu?
Định lý Bayes có thể được rút ra từ định nghĩa về xác suất có điều kiện (1) và (2). Để tính xác suất P(B|A), hãy lấy công thức (2):
và thay thế P(A và B) giá trị từ công thức (3):
P(A và B) = P(A|B) * P(B)
Thay công thức (5) thay cho P(A), ta thu được định lý Bayes:
trong đó các sự kiện B 1, B 2, ... B k là loại trừ lẫn nhau và đầy đủ.
Ta đưa ra ký hiệu sau: biến cố S - TV đang có nhu cầu, sự kiện S’ - TV không có nhu cầu, sự kiện F - tiên lượng thuận lợi, sự kiện F’ - tiên lượng xấu. Giả sử P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Áp dụng định lý Bayes ta có:
Xác suất nhu cầu về một mẫu TV mới, với một dự báo thuận lợi, là 0,64. Do đó, xác suất thiếu cầu với dự báo thuận lợi là 1–0,64=0,36. Quá trình tính toán được thể hiện trong hình. 4.
Cơm. 4. (a) Tính toán theo công thức Bayes để ước tính xác suất nhu cầu về tivi; (b) Cây quyết định khi nghiên cứu nhu cầu về mẫu TV mới
Hãy xem một ví dụ về việc sử dụng định lý Bayes để chẩn đoán y tế. Xác suất để một người mắc một bệnh cụ thể là 0,03. Một xét nghiệm y tế có thể kiểm tra xem điều này có đúng hay không. Nếu một người thực sự bị bệnh, xác suất chẩn đoán chính xác (nói rằng người đó bị bệnh khi anh ta thực sự bị bệnh) là 0,9. Nếu một người khỏe mạnh, xác suất chẩn đoán dương tính giả (nói rằng một người bị bệnh khi anh ta khỏe mạnh) là 0,02. Giả sử xét nghiệm y tế cho kết quả dương tính. Xác suất để một người thực sự bị bệnh là bao nhiêu? Khả năng chẩn đoán chính xác là gì?
Ta giới thiệu ký hiệu sau: biến cố D - người đó bị bệnh, sự kiện D’ - người đó khỏe mạnh, sự kiện T - chẩn đoán là dương tính, sự kiện T’ - chẩn đoán âm tính. Từ các điều kiện của bài toán suy ra P(D) = 0,03, P(D') = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Áp dụng công thức (6), ta thu được:
Xác suất để một người được chẩn đoán dương tính thực sự bị bệnh là 0,582 (xem thêm Hình 5). Xin lưu ý rằng mẫu số của công thức Bayes bằng xác suất chẩn đoán dương tính, tức là 0,0464.
Nếu các sự kiện H 1, H 2, ..., H n tạo thành một nhóm hoàn chỉnh thì để tính xác suất của một sự kiện tùy ý bạn có thể sử dụng công thức tổng xác suất:
P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)
Theo đó, xác suất xảy ra sự kiện A có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các tích của các xác suất có điều kiện của sự kiện A, tùy thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện Hi, bằng xác suất vô điều kiện của các sự kiện Hi này. Những sự kiện H i này được gọi là giả thuyết.
Từ công thức xác suất tổng theo công thức Bayes:
Các xác suất P(H i) của các giả thuyết H i được gọi là xác suất tiên nghiệm - xác suất trước khi tiến hành thí nghiệm.
Xác suất P(A/H i) được gọi là xác suất hậu nghiệm - xác suất của các giả thuyết H i, được tinh chỉnh nhờ kinh nghiệm.
Mục đích của dịch vụ. Máy tính trực tuyến được thiết kế để tính tổng xác suất với toàn bộ quy trình giải được viết ở định dạng Word (xem ví dụ về giải toán).
Ví dụ số 1. Cửa hàng nhận bóng đèn từ hai nhà máy, nhà máy thứ nhất chiếm 25%. Được biết, tỷ lệ lỗi tại các nhà máy này lần lượt bằng 5% và 10% tổng sản phẩm sản xuất ra. Người bán lấy ngẫu nhiên một bóng đèn. Xác suất để nó bị lỗi là bao nhiêu?
Giải pháp: Chúng ta hãy biểu thị sự kiện bằng A - "bóng đèn bị hỏng." Có thể đưa ra những giả thuyết sau về nguồn gốc của bóng đèn này: H 1- “Bóng đèn đến từ nhà máy đầu tiên.” H2- “bóng đèn đến từ nhà máy thứ hai.” Vì tỷ lệ của cây đầu tiên là 25% nên xác suất của các giả thuyết này tương ứng là bằng nhau. 
; 
.
Xác suất có điều kiện để nhà máy thứ nhất sản xuất ra một bóng đèn bị lỗi là 
, nhà máy thứ hai - p(A/H2)=
Chúng ta tìm xác suất cần thiết để người bán mua được một bóng đèn bị lỗi bằng cách sử dụng công thức xác suất tổng cộng
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Trả lời: p(A)= 0,0875.
Ví dụ số 2. Cửa hàng nhận được hai số lượng bằng nhau của sản phẩm cùng tên. Được biết, 25% lô 1 và 40% lô 2 là hàng loại 1. Xác suất để một đơn vị hàng hóa được chọn ngẫu nhiên sẽ không phải là loại một là bao nhiêu?
Giải pháp:
Hãy để chúng tôi biểu thị sự kiện bằng A - "sản phẩm sẽ là hạng nhất." Có thể có những giả thuyết sau về nguồn gốc của sản phẩm này: H 1- “sản phẩm từ lô đầu tiên”. H2- “sản phẩm từ lô thứ hai.” Vì phần của đợt đầu tiên là 25% nên xác suất của các giả thuyết này tương ứng là bằng nhau. ; 
.
Xác suất có điều kiện để sản phẩm ở lô đầu tiên là 
, từ đợt thứ hai - 
xác suất mong muốn để một đơn vị hàng hóa được chọn ngẫu nhiên sẽ là hạng nhất
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
Khi đó, xác suất một đơn vị hàng hóa được chọn ngẫu nhiên không thuộc loại 1 sẽ là: 1- 0,325 = 0,675
Trả lời:
.
Ví dụ số 3. Được biết, có 5% nam giới và 1% nữ giới bị mù màu. Người được chọn ngẫu nhiên hóa ra không bị mù màu. Xác suất để đây là đàn ông là bao nhiêu (giả sử số lượng nam và nữ bằng nhau).
Giải pháp.
Sự kiện A - người được chọn ngẫu nhiên hóa ra không bị mù màu.
Hãy tìm xác suất để sự kiện này xảy ra.
P(A) = P(A|H=nam) + P(A|H=nữ) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Khi đó xác suất để người này là đàn ông là: p = P(A|H=man) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Ví dụ số 4. 4 sinh viên năm thứ nhất, 6 sinh viên năm thứ hai và 5 sinh viên năm thứ ba tham gia Olympic thể thao. Xác suất để một sinh viên năm thứ nhất, thứ hai, thứ ba đoạt giải lần lượt là 0,9; 0,7 và 0,8.
a) Tìm xác suất chiến thắng của một người tham gia được chọn ngẫu nhiên.
b) Với điều kiện của bài toán này, có một học sinh đạt giải Olympic. Anh ấy có khả năng thuộc nhóm nào nhất?
Giải pháp.
Sự kiện A - chiến thắng của một người tham gia được chọn ngẫu nhiên.
Ở đây P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Giải pháp có thể thu được bằng cách sử dụng máy tính này.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Từ p1, p2, p3 chọn giá trị lớn nhất.
Ví dụ số 5. Công ty có ba máy cùng loại. Một trong số họ cung cấp 20% tổng sản lượng, thứ hai – 30%, thứ ba – 50%. Trong trường hợp này, máy thứ nhất tạo ra 5% lỗi, máy thứ hai là 4%, máy thứ ba là 2%. Tìm xác suất để máy thứ nhất sản xuất ra một sản phẩm lỗi được chọn ngẫu nhiên.