lũy thừa. Nâng một số lên lũy thừa âm


Tiếp tục cuộc trò chuyện về lũy thừa của một số, việc tìm ra cách tìm giá trị của lũy thừa là điều hợp lý. Quá trình này được gọi là lũy thừa. Trong bài viết này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách thực hiện phép lũy thừa, đồng thời chúng ta sẽ đề cập đến tất cả các số mũ có thể có - tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỷ. Và theo truyền thống, chúng ta sẽ xem xét chi tiết các giải pháp cho các ví dụ về việc nâng số lượng lên các lũy thừa khác nhau.

Điều hướng trang.

"Lũy thừa" nghĩa là gì?

Hãy bắt đầu bằng cách giải thích cái được gọi là lũy thừa. Đây là định nghĩa có liên quan.

Sự định nghĩa.

lũy thừa- đây là tìm giá trị lũy thừa của một số.

Vì vậy, việc tìm giá trị lũy thừa của một số a với số mũ r và nâng số a lên lũy thừa r là như nhau. Ví dụ: nếu nhiệm vụ là “tính giá trị lũy thừa (0,5) 5”, thì nó có thể được định dạng lại như sau: “Nâng số 0,5 lên lũy thừa 5”.

Bây giờ bạn có thể chuyển trực tiếp đến các quy tắc thực hiện phép lũy thừa.

Nâng số lên sức mạnh tự nhiên

Trong thực tế, đẳng thức dựa trên thường được áp dụng dưới dạng . Nghĩa là, khi nâng một số a lên lũy thừa phân số m/n, trước tiên căn bậc n của số a được lấy, sau đó kết quả thu được được nâng lên lũy thừa số nguyên m.

Chúng ta hãy xem xét giải pháp cho các ví dụ về lũy thừa phân số.

Ví dụ.

Tính giá trị của mức độ.

Giải pháp.

Chúng tôi sẽ chỉ ra hai giải pháp.

Cách đầu tiên. Theo định nghĩa của một mức độ với số mũ phân số. Chúng tôi tính toán giá trị của độ theo dấu gốc, sau đó trích xuất căn bậc ba: .

Cách thứ hai. Theo định nghĩa của một mức độ với số mũ phân số và dựa trên các tính chất của nghiệm, các đẳng thức sau là đúng: . Bây giờ chúng ta giải nén root , cuối cùng, chúng ta nâng nó lên lũy thừa nguyên .

Rõ ràng, kết quả thu được của việc nâng lên lũy thừa phân số là trùng khớp.

Trả lời:

Lưu ý rằng số mũ phân số có thể được viết dưới dạng phân số thập phân hoặc hỗn số, trong những trường hợp này, nó phải được thay thế bằng phân số thông thường tương ứng, sau đó nâng lên lũy thừa.

Ví dụ.

Tính (44.89) 2.5.

Giải pháp.

Hãy viết số mũ dưới dạng phân số thông thường (nếu cần, xem bài viết): . Bây giờ chúng ta thực hiện việc nâng lên lũy thừa phân số:

Trả lời:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Cũng cần nói thêm, nâng số lũy thừa hữu tỉ là một quá trình khá tốn công (đặc biệt khi tử số và mẫu số của số mũ phân số chứa số đủ lớn), thường được thực hiện bằng công nghệ máy tính.

Để kết luận điểm này, chúng ta hãy tập trung vào việc nâng số 0 lên lũy thừa phân số. Chúng ta đã đưa ra ý nghĩa sau đây cho lũy thừa phân số của 0 có dạng: khi chúng ta có và ở mức 0, công suất m/n không được xác định. Vì vậy, số 0 đến lũy thừa dương phân số bằng 0, ví dụ: . Và số 0 trong lũy ​​thừa âm phân số không có ý nghĩa, ví dụ, các biểu thức 0 -4.3 không có ý nghĩa.

Nâng lên một sức mạnh phi lý

Đôi khi việc tìm ra giá trị lũy thừa của một số với số mũ vô tỉ là cần thiết. Trong trường hợp này, vì mục đích thực tế, thông thường chỉ cần đạt được giá trị mức độ chính xác đối với một dấu nhất định là đủ. Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng trong thực tế, giá trị này được tính toán bằng máy tính điện tử, vì việc nâng nó lên lũy thừa vô tỷ theo cách thủ công đòi hỏi một số lượng lớn các phép tính rườm rà. Nhưng chúng tôi vẫn sẽ mô tả một cách khái quát bản chất của các hành động.

Để thu được giá trị gần đúng lũy ​​thừa của một số a với số mũ vô tỷ, một số xấp xỉ thập phân của số mũ được lấy và giá trị của lũy thừa được tính toán. Giá trị này là giá trị gần đúng của lũy thừa của số a với số mũ vô tỉ. Phép tính gần đúng thập phân của một số được lấy ban đầu càng chính xác thì cuối cùng giá trị của độ sẽ thu được càng chính xác.

Ví dụ: hãy tính giá trị gần đúng của lũy thừa của 2 1.174367... . Chúng ta hãy lấy xấp xỉ thập phân sau đây của số mũ vô tỷ: . Bây giờ chúng ta nâng 2 lên lũy thừa hữu tỉ 1,17 (chúng ta đã mô tả bản chất của quá trình này ở đoạn trước), chúng ta nhận được 2 1,17 ≈2,250116. Như vậy, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ví dụ: nếu chúng ta lấy xấp xỉ thập phân chính xác hơn của số mũ vô tỷ, thì chúng ta sẽ thu được giá trị chính xác hơn của số mũ ban đầu: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Tài liệu tham khảo.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Sách giáo khoa toán lớp 5. các cơ sở giáo dục.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: Sách giáo khoa lớp 7. các cơ sở giáo dục.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: SGK lớp 8. các cơ sở giáo dục.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: SGK lớp 9. các cơ sở giáo dục.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán (sổ tay dành cho học sinh vào các trường kỹ thuật).

Nâng lên lũy thừa âm là một trong những phần tử cơ bản của toán học và thường gặp khi giải các bài toán đại số. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết.

Cách nâng lũy ​​thừa âm - lý thuyết

Khi chúng ta nâng một số lên lũy thừa thông thường, chúng ta nhân giá trị của nó lên nhiều lần. Ví dụ, 3 3 = 3×3×3 = 27. Với phân số âm thì điều ngược lại là đúng. Dạng tổng quát của công thức sẽ như sau: a -n = 1/a n. Vì vậy, để nâng một số lên lũy thừa âm, bạn cần chia một cho số đã cho, nhưng thành lũy thừa dương.

Cách nâng lên lũy thừa âm - ví dụ về số thường

Hãy ghi nhớ quy tắc trên, hãy giải một vài ví dụ.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Đáp án: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Đáp án -4 -2 = 1/16.

Nhưng tại sao câu trả lời trong ví dụ thứ nhất và thứ hai lại giống nhau? Thực tế là khi một số âm được nâng lên lũy thừa chẵn (2, 4, 6, v.v.), dấu sẽ trở thành dương. Nếu mức độ là số chẵn thì điểm trừ sẽ vẫn còn:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)


Cách nâng số từ 0 lên 1 lên lũy thừa âm

Hãy nhớ lại rằng khi một số từ 0 đến 1 được nâng lên lũy thừa dương, giá trị sẽ giảm khi lũy thừa tăng. Vì vậy, ví dụ, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Ví dụ 3: Tính 0,5 -2
Giải: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Đáp án: 0,5 -2 = 4

Phân tích (chuỗi hành động):

  • Chuyển phân số thập phân 0,5 thành phân số 1/2. Cách đó dễ dàng hơn.
    Tăng 1/2 lên lũy thừa âm. 1/(2) -2 . Chia 1 cho 1/(2) 2, ta được 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4


Ví dụ 4: Tính 0,5 -3
Giải: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Ví dụ 5: Tính -0,5 -3
Giải: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Đáp án: -0,5 -3 = -8


Dựa trên ví dụ thứ 4 và thứ 5, chúng ta có thể rút ra một số kết luận:

  • Đối với số dương trong khoảng từ 0 đến 1 (ví dụ 4), lũy thừa âm, lũy thừa chẵn hay lẻ không quan trọng, giá trị của biểu thức sẽ là dương. Hơn nữa, cấp độ càng cao thì giá trị càng lớn.
  • Đối với số âm trong khoảng từ 0 đến 1 (ví dụ 5), lũy thừa âm, lũy thừa chẵn hay lẻ không quan trọng, giá trị của biểu thức sẽ âm. Trong trường hợp này, mức độ càng cao thì giá trị càng thấp.


Cách nâng lên lũy thừa âm - lũy thừa ở dạng phân số

Biểu thức thuộc loại này có dạng sau: a -m/n, trong đó a là số chính quy, m là tử số của bậc, n là mẫu số của bậc.

Hãy xem một ví dụ:
Tính: 8 -1/3

Giải pháp (chuỗi hành động):

  • Chúng ta hãy nhớ lại quy tắc nâng một số lên lũy thừa âm. Chúng ta nhận được: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
  • Lưu ý rằng mẫu số có số 8 ở dạng lũy ​​thừa phân số. Dạng tổng quát của việc tính lũy thừa phân số như sau: a m/n = n √8 m.
  • Do đó, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Chúng ta có căn bậc ba của 8, bằng 2. Từ đây, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
  • Đáp án: 8 -1/3 = 2


Như bạn đã biết, trong toán học không chỉ có số dương mà còn có số âm. Nếu việc làm quen với lũy thừa dương bắt đầu bằng việc xác định diện tích của hình vuông, thì với lũy thừa âm, mọi thứ có phần phức tạp hơn.

Điều này bạn nên biết:

  1. Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên là phép nhân một số (trong bài viết chúng ta sẽ xét khái niệm số và chữ số tương đương) với chính nó với một đại lượng như số mũ (sau này chúng ta sẽ sử dụng song song và đơn giản là từ số mũ). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Nói chung, nó trông như thế này: m^n = m*m*m*…*m (n lần).
  2. Cần lưu ý rằng khi một số âm được nâng lên lũy thừa tự nhiên, nó sẽ trở thành số dương nếu số mũ là số chẵn.
  3. Nâng một số lên số mũ bằng 0 sẽ được một số, với điều kiện là nó không bằng 0. Công suất từ ​​0 đến 0 được coi là không xác định. 17^0 = 1.
  4. Trích xuất căn nguyên của một lũy thừa nhất định từ một số là tìm một số mà khi nâng lên số mũ thích hợp sẽ cho giá trị mong muốn. Vậy căn bậc ba của 125 là 5, vì 5^3 = 125.
  5. Nếu bạn muốn nâng một số lên lũy thừa phân số dương thì bạn cần nâng số đó lên mẫu số và lấy căn của số mũ tử số từ nó. 6^5/7 = căn bậc bảy của tích 6*6*6*6*6.
  6. Nếu bạn cần nâng một số lên số mũ âm thì bạn cần tìm số nghịch đảo của số đã cho. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Nâng một số modulo 0 lên một thành lũy thừa âm

Đầu tiên chúng ta nên nhớ mô-đun là gì. Đây là khoảng cách trên đường tọa độ từ giá trị chúng ta đã chọn đến gốc (số 0 của đường tọa độ). Theo định nghĩa, nó không bao giờ có thể âm.

Giá trị lớn hơn 0

Khi giá trị của một chữ số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, chỉ báo âm sẽ làm tăng chính chữ số đó. Điều này xảy ra vì mẫu số giảm nhưng vẫn dương.

Hãy xem xét các ví dụ:

  • 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
  • 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Hơn nữa, mô-đun của chỉ báo càng lớn thì con số càng tăng lên tích cực. Khi mẫu số tiến tới 0, bản thân phân số có xu hướng cộng thêm vô cùng.

Giá trị nhỏ hơn 0

Bây giờ chúng ta hãy xem cách nâng lên lũy thừa âm nếu số đó nhỏ hơn 0. Nguyên tắc giống như trong phần trước, nhưng ở đây dấu hiệu của chỉ báo rất quan trọng.

Hãy xem lại các ví dụ:

  • -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
  • -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Trong trường hợp này, chúng ta thấy rằng mô-đun tiếp tục phát triển, nhưng dấu phụ thuộc vào việc chỉ báo là chẵn hay lẻ.

Cần lưu ý rằng nếu chúng ta xây dựng một đơn vị thì nó sẽ luôn tồn tại một mình. Nếu bạn cần nâng một số trừ một, thì với số mũ chẵn, nó sẽ biến thành một, và với số mũ lẻ, nó sẽ vẫn trừ một.

Tăng lên lũy thừa số nguyên âm nếu mô đun lớn hơn một

Đối với các số có mô đun lớn hơn một, có những đặc thù hành động riêng. Trước hết, bạn cần chuyển toàn bộ phần của phân số thành tử số, nghĩa là chuyển nó thành một phân số không chính xác. Nếu chúng ta có phân số thập phân thì phải chuyển nó thành phân số thông thường. Việc này được thực hiện như sau:

  • 6 số nguyên 7/17 = 109/17;
  • 2,54 = 254/100.

Bây giờ chúng ta hãy xem cách nâng một số lên lũy thừa âm trong những điều kiện này. Từ những điều trên, chúng ta có thể đoán được những gì chúng ta nên mong đợi từ kết quả tính toán. Vì một phân số kép bị đảo ngược trong quá trình đơn giản hóa, mô đun của hình sẽ giảm càng nhanh thì mô đun của số mũ càng lớn.

Đầu tiên, hãy xem xét tình huống khi số được đưa ra trong bài tập là số dương.

Trước hết, rõ ràng là kết quả cuối cùng sẽ lớn hơn 0, bởi vì chia hai số dương luôn cho kết quả dương. Chúng ta hãy xem lại các ví dụ về cách thực hiện điều này:

  • 6 số nguyên từ 1/20 mũ âm thứ năm = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
  • 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Như bạn có thể thấy, các hành động không gây ra bất kỳ khó khăn cụ thể nào và tất cả các giả định ban đầu của chúng tôi đều đúng.

Bây giờ hãy chuyển sang trường hợp chữ số âm.

Để bắt đầu, chúng ta có thể giả định rằng nếu chỉ báo chẵn thì kết quả sẽ dương, nếu chỉ báo lẻ thì kết quả sẽ âm. Tất cả các tính toán trước đây của chúng tôi trong phần này sẽ được coi là hợp lệ ngay bây giờ. Hãy xem lại các ví dụ:

  • -3 toàn bộ 1/2 mũ âm thứ sáu = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
  • -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Vì vậy, tất cả lý luận của chúng tôi hóa ra là chính xác.

Xây dựng trong trường hợp số mũ phân số âm

Ở đây bạn cần nhớ rằng một công trình như vậy tồn tại trích căn bậc mũ của mẫu số từ một số sang lũy ​​thừa của tử số. Tất cả lý luận trước đây của chúng tôi vẫn đúng vào thời điểm này. Hãy giải thích hành động của chúng tôi bằng một ví dụ:

  • 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Trong trường hợp này, bạn cần lưu ý rằng chỉ có thể trích xuất các căn bậc cao ở dạng được chọn đặc biệt và rất có thể, bạn sẽ không thể loại bỏ dấu của căn thức (căn bậc hai, căn bậc ba, v.v.) với những tính toán chính xác.

Tuy nhiên, sau khi nghiên cứu chi tiết các chương trước, bạn sẽ không gặp khó khăn trong việc tính toán ở trường.

Cần lưu ý rằng mô tả của chương này cũng bao gồm xây dựng với một chỉ số cố ý phi lý, ví dụ: nếu chỉ báo bằng âm PI. Bạn cần phải hành động theo các nguyên tắc được mô tả ở trên. Tuy nhiên, việc tính toán trong những trường hợp như vậy trở nên phức tạp đến mức chỉ những máy tính điện tử mạnh mới có thể thực hiện được.

Phần kết luận

Hành động chúng tôi đã nghiên cứu là một trong những bài toán khó nhất trong toán học(đặc biệt trong trường hợp có nghĩa phân số hợp lý hoặc không hợp lý). Tuy nhiên, bằng cách nghiên cứu chi tiết và từng bước các hướng dẫn này, bạn có thể học cách thực hiện việc này hoàn toàn tự động mà không gặp bất kỳ vấn đề gì.

Bài học và trình bày về chủ đề: "Số mũ có số mũ âm. Định nghĩa và ví dụ giải bài toán"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Công cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
Hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa Muravin G.K.   

Sách hướng dẫn sử dụng sách của Alimov S.A.

Xác định mức độ với số mũ âm
Các bạn, chúng ta rất giỏi nâng lũy ​​thừa các số.

Ví dụ: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Chúng ta biết rõ rằng bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một. $a^0=1$, $a≠0$.
Câu hỏi đặt ra là điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nâng một số lên lũy thừa âm? Ví dụ: số $2^(-2)$ sẽ bằng bao nhiêu?
Các nhà toán học đầu tiên hỏi câu hỏi này đã quyết định rằng việc phát minh lại bánh xe là không đáng, và thật tốt là tất cả các tính chất của độ vẫn được giữ nguyên. Nghĩa là khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số thì các số mũ sẽ cộng lại.
Hãy xem xét trường hợp này: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Chúng tôi thấy rằng tích của những con số như vậy sẽ cho một. Đơn vị trong tích thu được bằng cách nhân các số nghịch đảo, tức là $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Lý luận như vậy dẫn đến định nghĩa sau đây. Nếu $n$ là một số tự nhiên và $a≠0$, thì đẳng thức giữ: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Một nhận dạng quan trọng thường được sử dụng là: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Cụ thể, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Ví dụ về giải pháp

Ví dụ 1.
Tính: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Giải pháp.
Chúng ta hãy xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Việc còn lại là thực hiện các phép tính cộng và trừ: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Trả lời: $6\frac(1)(4)$.

Ví dụ 2.
Biểu thị một số đã cho dưới dạng lũy ​​thừa của số nguyên tố $\frac(1)(729)$.

Giải pháp.
Rõ ràng, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Nhưng 729 không phải là số nguyên tố tận cùng bằng 9. Có thể giả định rằng con số này là lũy thừa của ba. Chia tuần tự 729 cho 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Sáu thao tác đã được thực hiện và điều đó có nghĩa là: $729=3^6$.
Đối với nhiệm vụ của chúng tôi:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Trả lời: $3^(-6)$.

Ví dụ 3. Biểu thị biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Giải pháp. Hành động đầu tiên luôn được thực hiện bên trong dấu ngoặc đơn, sau đó là phép nhân $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Trả lời: $a$.

Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Giải pháp.
Ở phía bên trái, chúng tôi xem xét từng yếu tố trong ngoặc riêng biệt.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Hãy chuyển sang phân số mà chúng ta đang chia.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Hãy thực hiện phép chia.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Chúng tôi đã có được danh tính chính xác, đó là điều chúng tôi cần chứng minh.

Cuối bài chúng ta sẽ viết lại một lần nữa các quy tắc làm việc với lũy thừa, ở đây số mũ là số nguyên.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Vấn đề cần giải quyết độc lập

1. Tính: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Biểu diễn số đã cho dưới dạng lũy ​​thừa của số nguyên tố $\frac(1)(16384)$.
3. Biểu diễn biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Chứng minh danh tính:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Phép lũy thừa được sử dụng để đơn giản hóa phép nhân một số với chính nó. Ví dụ, thay vì viết, bạn có thể viết 4 5 (\displaystyle 4^(5))(giải thích cho quá trình chuyển đổi này được đưa ra trong phần đầu tiên của bài viết này). Bằng cấp giúp việc viết các biểu thức hoặc phương trình dài hoặc phức tạp trở nên dễ dàng hơn; lũy thừa cũng có thể được cộng và trừ dễ dàng, dẫn đến một biểu thức hoặc phương trình được đơn giản hóa (ví dụ: 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).


Ghi chú: nếu bạn cần giải một phương trình hàm mũ (trong phương trình như vậy, ẩn số nằm trong số mũ), hãy đọc.

bước

Giải các bài toán đơn giản bằng độ

    Nhân cơ số của số mũ với chính nó một số lần bằng số mũ. Nếu bạn cần giải bài toán lũy thừa bằng tay, hãy viết lại lũy thừa dưới dạng phép nhân, trong đó cơ số của lũy thừa nhân với chính nó. Ví dụ, với một bằng cấp 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Trong trường hợp này, cơ số 3 phải nhân với chính nó 4 lần: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Dưới đây là những ví dụ khác:

    Đầu tiên, nhân hai số đầu tiên. Ví dụ, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Đừng lo lắng - quá trình tính toán không phức tạp như thoạt nhìn. Đầu tiên nhân hai số bốn đầu tiên và sau đó thay chúng bằng kết quả. Như thế này:

    • 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
      • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

  1. Nhân kết quả (16 trong ví dụ của chúng tôi) với số tiếp theo. Mỗi kết quả tiếp theo sẽ tăng theo tỷ lệ. Trong ví dụ của chúng tôi, nhân 16 với 4. Như thế này:

    • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
      • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
    • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
      • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
    • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
      • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
    • Tiếp tục nhân kết quả của hai số đầu tiên với số tiếp theo cho đến khi bạn nhận được câu trả lời cuối cùng. Để làm điều này, nhân hai số đầu tiên, sau đó nhân kết quả thu được với số tiếp theo trong dãy. Phương pháp này có giá trị ở mọi mức độ. Trong ví dụ của chúng tôi, bạn sẽ nhận được: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

  2. Giải quyết các vấn đề sau. Kiểm tra câu trả lời của bạn bằng máy tính.

    • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
    • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
    • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

  3. Trên máy tính của bạn, hãy tìm khóa có nhãn "exp" hoặc " x n (\displaystyle x^(n))", hoặc"^". Sử dụng phím này bạn sẽ nâng một số lên lũy thừa. Hầu như không thể tính toán độ bằng một chỉ báo lớn theo cách thủ công (ví dụ: độ 9 15 (\displaystyle 9^(15))), nhưng máy tính có thể dễ dàng đối phó với nhiệm vụ này. Trong Windows 7, máy tính tiêu chuẩn có thể được chuyển sang chế độ kỹ thuật; Để thực hiện việc này, hãy nhấp vào “Xem” -> “Kỹ thuật”. Để chuyển sang chế độ bình thường, hãy nhấp vào “Xem” -> “Bình thường”.

    • Kiểm tra câu trả lời nhận được bằng công cụ tìm kiếm (Google hoặc Yandex). Sử dụng phím "^" trên bàn phím máy tính của bạn, nhập biểu thức vào công cụ tìm kiếm, công cụ tìm kiếm sẽ hiển thị ngay câu trả lời đúng (và có thể gợi ý các biểu thức tương tự để bạn nghiên cứu).

    Cộng, trừ, nhân lũy thừa

    1. Bạn chỉ có thể cộng và trừ lũy thừa nếu chúng có cùng cơ số. Nếu bạn cần cộng lũy ​​thừa có cùng cơ số và số mũ thì bạn có thể thay thế phép cộng bằng phép nhân. Ví dụ, cho biểu thức 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Hãy nhớ rằng bằng cấp 4 5 (\displaystyle 4^(5)) có thể được biểu diễn dưới dạng 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Như vậy, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(trong đó 1 +1 =2). Nghĩa là đếm số độ giống nhau rồi nhân độ đó với số này. Trong ví dụ của chúng tôi, tăng 4 lên lũy thừa thứ năm, sau đó nhân kết quả thu được với 2. Hãy nhớ rằng phép toán cộng có thể được thay thế bằng phép toán nhân, ví dụ: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Dưới đây là những ví dụ khác:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

    2. Khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số thì cộng số mũ của chúng (cơ số không thay đổi). Ví dụ, cho biểu thức x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Trong trường hợp này, bạn chỉ cần thêm các chỉ số, giữ nguyên phần gốc. Như vậy, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Dưới đây là lời giải thích trực quan về quy tắc này:

      Khi nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa, số mũ sẽ được nhân lên. Ví dụ, một mức độ được trao. Vì số mũ được nhân lên nên (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Mục đích của quy tắc này là bạn đang nhân với lũy thừa (x 2) (\displaystyle (x^(2))) vào chính nó năm lần. Như thế này:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Vì cơ số giống nhau nên các số mũ chỉ cần cộng lại: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

    3. Một lũy thừa có số mũ âm phải được chuyển thành phân số (nghịch đảo). Sẽ không có vấn đề gì nếu bạn không biết mức độ tương hỗ là gì. Nếu bạn được cấp bằng với số mũ âm, ví dụ: 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), viết bậc này vào mẫu số của phân số (đặt 1 vào tử số) và làm cho số mũ dương. Trong ví dụ của chúng tôi: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Dưới đây là những ví dụ khác:

      Khi chia độ cùng cơ số thì số mũ của chúng bị trừ (cơ số không thay đổi). Phép chia là phép toán ngược lại với phép nhân. Ví dụ, cho biểu thức 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Trừ số mũ ở mẫu số cho số mũ ở tử số (không thay đổi cơ số). Như vậy, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • lũy thừa ở mẫu số có thể được viết như sau: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Hãy nhớ rằng phân số là một số (lũy thừa, biểu thức) có số mũ âm.

    4. Dưới đây là một số biểu thức sẽ giúp bạn học cách giải các bài toán với số mũ. Các biểu thức được đưa ra bao gồm các tài liệu được trình bày trong phần này. Để xem câu trả lời, chỉ cần chọn khoảng trống sau dấu bằng.

    Giải bài toán với số mũ phân số

      Một lũy thừa có số mũ phân số (ví dụ: ) được chuyển đổi thành phép toán gốc. Trong ví dụ của chúng tôi: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ở đây, mẫu số của số mũ phân số là số nào không quan trọng. Ví dụ, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- là căn bậc 4 của “x”, tức là x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

    1. Nếu số mũ là một phân số không chính xác thì số mũ có thể được phân tách thành hai lũy thừa để đơn giản hóa việc giải bài toán. Không có gì phức tạp về điều này - chỉ cần nhớ quy tắc nhân lũy thừa. Ví dụ, một mức độ được trao. Chuyển đổi lũy thừa như vậy thành căn có lũy thừa bằng mẫu số của số mũ phân số, sau đó nâng căn thức này lên lũy thừa bằng tử số của số mũ phân số. Để làm điều này, hãy nhớ rằng = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . Trong ví dụ của chúng tôi:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
    2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
    3. Một số máy tính có nút để tính số mũ (trước tiên bạn phải nhập cơ số, sau đó nhấn nút rồi nhập số mũ). Nó được ký hiệu là ^ hoặc x^y. Hãy nhớ rằng bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó, ví dụ: 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Hơn nữa, bất kỳ số nào nhân hoặc chia cho một đều bằng chính nó, ví dụ: 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Và.
    4. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Biết rằng lũy ​​thừa 0 0 không tồn tại (một lũy thừa như vậy không có nghiệm). Nếu bạn cố gắng giải một mức độ như vậy trên máy tính hoặc trên máy tính, bạn sẽ gặp lỗi. Nhưng hãy nhớ rằng bất kỳ số nào có lũy thừa 0 đều là 1, chẳng hạn:
    5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) Trong toán học cao hơn, hoạt động với số ảo: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Ở đâu i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))

      6. ; e là hằng số xấp xỉ bằng 2,7; a là một hằng số tùy ý. Bằng chứng của đẳng thức này có thể được tìm thấy trong bất kỳ cuốn sách giáo khoa nào về toán học cao cấp.

    • Khi số mũ tăng lên, giá trị của nó tăng lên rất nhiều. Vì vậy, nếu câu trả lời có vẻ sai đối với bạn, thì nó thực sự có thể đúng. Bạn có thể kiểm tra điều này bằng cách vẽ bất kỳ hàm số mũ nào, chẳng hạn như 2 x.