Hàm lượng giác của đối số số chúng tôi đã sắp xếp nó ra. Chúng ta lấy điểm A trên đường tròn và tìm các sin và cosin của góc tạo thành β.
Chúng ta đã ký hiệu điểm là A, nhưng trong đại số, nó thường được ký hiệu là t và tất cả các công thức/hàm đi kèm với nó đều được đưa ra. Chúng tôi cũng sẽ không đi chệch khỏi quy tắc. Những thứ kia. t - đây sẽ là một con số nhất định, do đó hàm số(ví dụ tội lỗi t)
Điều hợp lý là vì chúng ta có một đường tròn có bán kính bằng một, nên
Hàm lượng giác của đối số góc Chúng tôi cũng đã phân tích thành công - theo quy tắc, chúng tôi sẽ viết cho các hàm như vậy: sin α°, nghĩa là α° bất kỳ góc nào với số độ mà chúng tôi cần.
Tia của góc này sẽ cho ta điểm thứ hai trên đường tròn (OA - điểm A) và các điểm C, B tương ứng cho hàm đối số, nếu ta cần: sin t = sin α°
Các đường sin, cosin, tiếp tuyến và cotang
Đừng bao giờ quên điều đó Trục Y là đường sin, Trục X là đường cosin! Các điểm thu được từ vòng tròn được đánh dấu trên các trục này.
MỘT các tiếp tuyến và cotang song song với chúng và đi qua các điểm (1; 0) và (0; 1) tương ứng.
Video bài học “Hàm lượng giác của một đối số góc” cung cấp tài liệu trực quan để tiến hành bài học toán về chủ đề liên quan. Video được thiết kế sao cho tài liệu đang học được trình bày sao cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và bộc lộ rõ ràng mối liên hệ giữa những thông tin có sẵn về hàm lượng giác trong phần nghiên cứu tam giác và định nghĩa của chúng bằng đơn vị vòng tròn. Nó có thể trở thành một phần độc lập của bài học vì nó bao quát đầy đủ chủ đề này, bổ sung những nhận xét quan trọng trong quá trình lồng tiếng.
Để thể hiện rõ ràng mối quan hệ giữa các định nghĩa khác nhau về hàm lượng giác, hiệu ứng hoạt hình được sử dụng. Đánh dấu văn bản bằng phông chữ màu, cấu trúc rõ ràng, dễ hiểu và thêm chú thích giúp bạn nhanh chóng nắm vững và ghi nhớ tài liệu, nhanh chóng đạt được mục tiêu của bài học. Mối liên hệ giữa các định nghĩa về hàm lượng giác được thể hiện rõ ràng thông qua hiệu ứng hoạt hình và làm nổi bật màu sắc, thúc đẩy sự hiểu biết và ghi nhớ tài liệu. Hướng dẫn này nhằm mục đích nâng cao hiệu quả đào tạo.
Bài học bắt đầu bằng việc giới thiệu chủ đề. Sau đó, chúng ta nhắc lại các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông. Định nghĩa được tô sáng trong khung nhắc nhở chúng ta rằng sin và cosin được hình thành theo tỷ lệ giữa cạnh huyền và tiếp tuyến và cotang được hình thành theo tỷ lệ của cạnh huyền. Học sinh cũng được nhắc nhở về tài liệu đã học gần đây rằng khi xét một điểm trên đường tròn đơn vị, hoành độ của điểm đó là cosin, và tọa độ là sin của số tương ứng với điểm đó. Sự kết nối giữa các khái niệm này được thể hiện bằng cách xây dựng. Màn hình hiển thị một vòng tròn đơn vị được đặt sao cho tâm của nó trùng với gốc tọa độ. Từ gốc tọa độ, dựng nên một tia tạo một góc α với trục bán hoành dương. Tia này cắt đường tròn đơn vị tại điểm O. Từ điểm này, các đường vuông góc đi xuống trục hoành và trục hoành, chứng tỏ tọa độ của điểm này xác định cosin và sin của góc α. Cần lưu ý rằng độ dài của cung AO tính từ giao điểm của đường tròn đơn vị với chiều dương của trục hoành đến điểm O là một phần của toàn bộ cung với góc α tính từ 360°. Điều này cho phép bạn tạo tỷ lệ α/360=t/2π, tỷ lệ này được hiển thị ngay lập tức và được đánh dấu màu đỏ để ghi nhớ. Từ tỷ lệ này, giá trị t=πα/180° được suy ra. Khi tính đến điều này, mối quan hệ giữa các định nghĩa về sin và cosin được xác định: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Ví dụ: tìm sin60° đã cho. Thay số đo độ của góc vào công thức, chúng ta nhận được sin π·60°/180°. Giảm phân số này đi 60, chúng ta nhận được sin π/3, bằng √3/2. Cần lưu ý rằng nếu 60° là số đo độ của một góc thì π/3 được gọi là số đo radian của một góc. Có hai ký hiệu khả thi cho tỷ số giữa số đo độ của một góc và số đo radian: 60°=π/3 và 60°=π/3 rad.
Khái niệm góc một độ được định nghĩa là góc ở tâm chắn bởi một cung có chiều dài 1/360 đại diện cho một phần của chu vi. Định nghĩa sau đây thể hiện khái niệm góc một radian - góc ở tâm dựa trên một cung có chiều dài bằng một hoặc bằng bán kính của đường tròn. Các định nghĩa được đánh dấu là quan trọng và được đánh dấu để ghi nhớ.
Để chuyển đổi số đo một độ của một góc thành số đo radian và ngược lại, hãy sử dụng công thức α°=πα/180 rad. Công thức này được tô sáng trong một khung trên màn hình. Từ công thức này suy ra 1° = π/180 rad. Trong trường hợp này, một radian tương ứng với một góc 180°/π≈57,3°. Cần lưu ý rằng khi tìm các giá trị của hàm lượng giác của biến độc lập t, nó có thể được coi là cả đối số số và đối số góc.
Sau đây trình bày các ví dụ về việc sử dụng kiến thức thu được để giải các bài toán. Trong ví dụ 1, bạn cần chuyển đổi các giá trị từ độ sang radian 135° và 905°. Bên phải màn hình có công thức thể hiện mối quan hệ giữa độ và radian. Sau khi thay giá trị vào công thức, chúng ta nhận được (π/180)·135. Sau khi giảm phân số này đi 45, chúng ta nhận được giá trị 135° = 3π/4. Để chuyển đổi góc 905° thành số đo radian, người ta sử dụng công thức tương tự. Sau khi thay giá trị vào nó, kết quả là (π/180)·905=181π/36 rad.
Trong ví dụ thứ hai, bài toán nghịch đảo đã được giải - tìm thấy số đo độ của các góc biểu thị bằng radian π/12, -21π/20, 2,4π. Ở phía bên phải màn hình, chúng ta nhớ lại công thức đã học về mối liên hệ giữa độ và số đo radian của góc 1 rad = 180°/π. Mỗi ví dụ được giải bằng cách thay số đo radian vào công thức. Thay π/12, ta được (180°/π)·(π/12)=15°. Giá trị của các góc còn lại được tìm tương tự -21π/20=-189° và 2,4π=432°.
Video bài học “Hàm lượng giác của đối số góc” được khuyến khích sử dụng trong các bài học toán truyền thống để tăng hiệu quả học tập. Tài liệu sẽ giúp đảm bảo tính trực quan của việc học trong quá trình học từ xa về chủ đề này. Một lời giải thích chi tiết, dễ hiểu về chủ đề và giải pháp cho các vấn đề liên quan đến chủ đề đó có thể giúp học sinh nắm vững tài liệu một cách độc lập.
GIẢI MÃ VĂN BẢN:
“Hàm lượng giác của đối số góc.”
Chúng ta đã biết từ hình học rằng sin (cosine) của một góc nhọn của một tam giác vuông là tỉ số của cạnh huyền và tiếp tuyến (cotangent) là tỉ số của hai cạnh huyền. Và trong đại số, chúng ta gọi hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị là cosin, và tọa độ của điểm này là sin. Hãy đảm bảo rằng tất cả điều này được kết nối chặt chẽ với nhau.
Đặt một góc có số đo là α° (độ alpha) như hình 1: Đỉnh của góc trùng với tâm của đường tròn đơn vị (với gốc hệ tọa độ) và một cạnh của góc tương thích với tia dương của trục hoành. Cạnh thứ hai của góc cắt đường tròn tại điểm O. Tọa độ của điểm O là sin của góc alpha và hoành độ của điểm này là cosin của alpha.
Lưu ý rằng cung AO bằng một phần chiều dài của đường tròn đơn vị với góc alpha tính từ góc ba trăm sáu mươi độ. Ta kí hiệu độ dài cung AO bằng t(te), sau đó ta sẽ tính tỉ số =
(alpha là tin cậy sáu mươi như te là hai pi). Từ đây ta tìm được te: t = = (te bằng pi alpha chia cho một trăm tám mươi).
Vì vậy, để tìm sin hoặc cosin của góc alpha, bạn có thể sử dụng công thức:
sin α° = sint = sin (sin alpha độ bằng sin te và bằng sin của một phần pi alpha đến một trăm tám mươi),
cosα° = cost = cos (cos của độ alpha bằng cosin của te và bằng cosin của một phần pi alpha đến một trăm tám mươi).
Ví dụ: sin 60° = sin = sin = (sin sáu mươi độ bằng sin pi nhân ba, theo bảng giá trị cơ bản của sin thì bằng căn bậc ba nhân hai) .
Người ta tin rằng 60° là số đo độ của một góc và (pi nhân 3) là số đo radian của cùng một góc, nghĩa là 60° = vui mừng(Sáu mươi độ bằng pi nhân ba radian). Để cho ngắn gọn, chúng tôi đã đồng ý về việc chỉ định vui mừng bỏ qua, nghĩa là, mục sau đây được chấp nhận: 60°= (hiển thị chữ viết tắt số đo radian = rad.)
Góc một độ là góc ở tâm chắn một cung bằng (một phần ba trăm sáu mươi) của cung đó. Góc một radian là góc ở tâm nằm trên một cung có độ dài bằng một, nghĩa là trên một cung có chiều dài bằng bán kính của đường tròn (ta coi các góc ở tâm của một đường tròn đơn vị là một góc tính bằng pi). radian trên đường tròn).
Chúng ta hãy nhớ công thức quan trọng để chuyển đổi độ sang radian:
α° = vui mừng. (alpha bằng pi alpha chia cho một trăm tám mươi, radian) Cụ thể, 1° = vui mừng(một độ bằng pi chia cho một trăm tám mươi, radian).
Từ đó chúng ta có thể tìm thấy rằng một radian bằng tỷ lệ một trăm tám mươi độ với pi và xấp xỉ bằng năm mươi bảy phẩy ba độ: 1 vui mừng= ≈ 57,3°.
Từ những điều trên: khi chúng ta nói về bất kỳ hàm lượng giác nào, ví dụ về hàm s = sint (es bằng sin te), biến độc lập t(te) có thể được coi vừa là đối số số vừa là đối số góc.
Hãy xem xét các ví dụ.
VÍ DỤ 1. Đổi từ độ sang radian: a) 135°; b) 905°.
Giải pháp. Hãy sử dụng công thức chuyển đổi độ sang radian:
a) 135° = 1° ∙ 135 = vui mừng ∙ 135 = vui mừng
(một trăm ba mươi lăm độ bằng pi nhân một trăm tám mươi radian nhân với một trăm ba mươi lăm, sau khi giảm bằng ba pi nhân bốn radian)
b) Tương tự, sử dụng công thức đổi số đo độ thành số đo radian, ta thu được
905° = vui mừng ∙ 905 = vui mừng.
(chín trăm năm độ bằng một trăm tám mươi mốt pi nhân ba mươi sáu radian).
VÍ DỤ 2. Biểu thị bằng độ: a) ; b) - ; c) 2,4π
(pi trên mười hai; trừ hai mươi mốt pi trên hai mươi; hai phẩy bốn pi).
Giải pháp. a) Viết số pi cho 12 độ, sử dụng công thức đổi số đo radian của một góc thành một độ theo 1 vui mừng=, chúng tôi nhận được
vui mừng = 1 vui mừng∙ = ∙ = 15° (pi nhân 12 radian bằng tích của 1 radian và pi nhân 12. Thay pi nhân 1 trăm tám mươi thay vì 1 radian và giảm đi, ta được 15 độ)
Tương tự như b) - = 1 vui mừng∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (trừ hai mươi mốt pi nhân hai mươi bằng trừ một trăm tám mươi chín độ),
c) 2,4π = 1 vui mừng∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (hai phẩy bốn pi bằng bốn trăm ba mươi hai độ).
Bất kể số thực t nào được lấy, nó đều có thể liên kết với một số xác định duy nhất sin t. Đúng, quy tắc so khớp khá phức tạp; như chúng ta đã thấy ở trên, nó như sau.
Để tìm giá trị của sin t bằng số t, bạn cần:
1) Định vị đường tròn số trong mặt phẳng tọa độ sao cho tâm đường tròn trùng với gốc tọa độ và điểm bắt đầu A của đường tròn rơi vào điểm (1; 0);
2) tìm một điểm trên đường tròn tương ứng với số t;
3) tìm tọa độ của điểm này.
Sắc lệnh này là sin t.
Thực ra, chúng ta đang nói về hàm u = sin t, trong đó t là số thực bất kỳ.
Tất cả các chức năng này được gọi hàm lượng giác của đối số t.
Có một số mối quan hệ kết nối các giá trị của các hàm lượng giác khác nhau; chúng ta đã có được một số mối quan hệ sau:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Từ hai công thức cuối, dễ dàng có được mối quan hệ nối tg t và ctg t:
Tất cả các công thức này được sử dụng trong trường hợp khi biết giá trị của hàm lượng giác thì cần tính giá trị của các hàm lượng giác khác.
Tuy nhiên, các thuật ngữ “sine”, “cosine”, “tangent” và “cotangent” thực sự quen thuộc, nhưng chúng vẫn được sử dụng theo một cách hiểu hơi khác: trong hình học và vật lý, họ coi sin, cos, tang và cotang ở đầu(không
số, như trong các đoạn trước).
Từ hình học, người ta biết rằng sin (cosine) của một góc nhọn là tỷ lệ giữa hai cạnh huyền của một tam giác vuông và tiếp tuyến (cotangent) của một góc là tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác vuông. Một cách tiếp cận khác đối với các khái niệm sin, cos, tiếp tuyến và cotang đã được phát triển trong các đoạn trước. Trên thực tế, các phương pháp này có mối liên hệ với nhau.
Hãy lấy một góc có số đo độ b o và sắp xếp nó theo mô hình “đường tròn số trong hệ tọa độ chữ nhật” như trong Hình 2. 14
đỉnh của góc tương ứng với tâm
vòng tròn (với gốc của hệ tọa độ),
và một bên của góc tương thích với
tia dương của trục x. Dừng hoàn toàn
giao điểm của cạnh thứ hai của góc với
biểu thị bằng vòng tròn chữ M. Ordina-
Hình 14 b o, và trục hoành của điểm này là cosin của góc b o.
Để tìm sin hoặc cosin của một góc b o, không nhất thiết phải thực hiện những phép tính phức tạp này mọi lúc.
Chỉ cần lưu ý rằng cung AM chiếm cùng một phần chiều dài của vòng tròn số với góc b o tạo từ góc 360°. Nếu độ dài cung AM được ký hiệu bằng chữ t thì ta có:
Như vậy,
Ví dụ,
Người ta tin rằng 30° là số đo độ của một góc và là số đo radian của cùng một góc: 30° = rad. Tất cả:
Đặc biệt, tôi rất vui vì chúng tôi lấy được nó từ đâu.
Vậy 1 radian là gì? Có nhiều thước đo chiều dài của các đoạn: cm, mét, thước, v.v. Ngoài ra còn có nhiều biện pháp khác nhau để chỉ ra độ lớn của các góc. Chúng ta xét các góc ở tâm của đường tròn đơn vị. Góc 1° là góc ở tâm chắn bởi một cung là một phần của đường tròn. Góc 1 radian là góc ở tâm chắn bởi một cung có độ dài 1, tức là trên một cung có chiều dài bằng bán kính đường tròn. Từ công thức, chúng ta thấy rằng 1 rad = 57,3°.
Khi xem hàm u = sin t (hoặc bất kỳ hàm lượng giác nào khác), chúng ta có thể coi biến độc lập t là một đối số bằng số, như trường hợp trong các đoạn trước, nhưng chúng ta cũng có thể coi biến này là thước đo của góc, tức là lập luận góc. Vì vậy, khi nói về một hàm lượng giác, theo một nghĩa nào đó, sẽ không có gì khác biệt nếu coi nó là một hàm của một đối số số hay góc.
Bài học và trình bày chuyên đề: “Hàm lượng giác của đối số góc, độ đo của góc và radian”
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Sách hướng dẫn và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 10 từ 1C
Giải các bài toán về hình học. Nhiệm vụ xây dựng tương tác
Giải các bài toán về hình học. Nhiệm vụ tương tác để xây dựng trong không gian
Những gì chúng ta sẽ nghiên cứu:
1. Hãy nhớ lại hình học.
2. Định nghĩa đối số góc.
3. Độ đo góc.
4. Số đo radian của góc.
5. Radian là gì?
6. Ví dụ và nhiệm vụ giải độc lập.
Sự lặp lại của hình học
Các bạn, trong chức năng của chúng tôi:
y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)
Biến t không chỉ có thể nhận các giá trị số, tức là một đối số số, mà còn có thể được coi là thước đo của một góc - một đối số góc.
Hãy nhớ hình học!
Chúng ta đã định nghĩa sin, cos, tang, cotang ở đó như thế nào?
Sin của một góc - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền
Cosin của góc - tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền
Tiếp tuyến của một góc là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Cotang của một góc là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Định nghĩa hàm lượng giác của đối số góc
Hãy định nghĩa các hàm lượng giác là hàm của đối số góc trên vòng tròn số:Sử dụng vòng tròn số và hệ tọa độ, chúng ta luôn có thể dễ dàng tìm được sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc:
Hãy đặt đỉnh của góc α ở tâm đường tròn, tức là. đến tâm của trục tọa độ và đặt một trong các cạnh sao cho trùng với hướng dương của trục hoành (OA)
Khi đó cạnh thứ hai cắt đường tròn số tại điểm M.
xuất giađiểm M: sin góc α
cơ hoànhđiểm M: cosin của góc α
Lưu ý rằng độ dài cung AM bằng một phần của đường tròn đơn vị với góc α của chúng ta tính từ 360 độ: 
trong đó t là độ dài cung AM.
thước đo độ của góc
1) Các bạn ơi, chúng ta có công thức xác định số đo của một góc thông qua độ dài cung của một đường tròn số, các bạn tìm hiểu kỹ hơn nhé:Khi đó ta viết các hàm lượng giác dưới dạng:
Ví dụ:
Số đo góc radian
Khi tính độ hoặc số đo radian của một góc, hãy nhớ! : Ví dụ:
Nhân tiện! Chỉ định rad. bạn có thể hạ nó xuống!
radian là gì?
Các bạn thân mến, chúng ta đang phải đối mặt với một khái niệm mới - radian. Vậy nó là gì?Có nhiều thước đo khác nhau về chiều dài, thời gian, trọng lượng, ví dụ: mét, km, giây, giờ, gam, kilôgam và các thước đo khác. Vậy Radian là một trong những thước đo của góc. Cần xem xét các góc ở tâm, tức là những góc nằm ở tâm của vòng tròn số.
Góc 1 độ là góc ở tâm chắn bởi một cung bằng 1/360 chu vi.
Góc 1 radian là góc ở tâm chắn bởi một cung bằng 1 trên một đường tròn đơn vị, và trong một đường tròn tùy ý bởi một cung bằng bán kính của đường tròn đó.
Ví dụ:
Ví dụ về chuyển đổi từ thước đo độ của góc sang thước đo radian và ngược lại
Vấn đề cần giải quyết độc lập
1. Tìm số đo radian của các góc:a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°
2. Tìm:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)
3. Tìm số đo các góc: 