Gia tốc hướng tâm- thành phần gia tốc của một điểm, đặc trưng cho tốc độ thay đổi hướng của vectơ vận tốc đối với một quỹ đạo có độ cong (thành phần thứ hai, gia tốc tiếp tuyến, đặc trưng cho sự thay đổi của mô đun vận tốc). Hướng về tâm cong của quỹ đạo, đó là nơi xuất phát của thuật ngữ này. Giá trị bằng bình phương tốc độ chia cho bán kính cong. Thuật ngữ “gia tốc hướng tâm” tương đương với thuật ngữ “ gia tốc bình thường" Thành phần của tổng lực gây ra gia tốc này được gọi là lực hướng tâm.
Ví dụ đơn giản nhất về gia tốc hướng tâm là vectơ gia tốc trong quá trình chuyển động đều trong một vòng tròn (hướng vào tâm của vòng tròn).
Tăng tốc nhanh khi chiếu lên mặt phẳng vuông góc với trục, nó có dạng hướng tâm.
YouTube bách khoa toàn thư
-
1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Ở đâu một n (\displaystyle a_(n)\ )- gia tốc bình thường (hướng tâm), v (\displaystyle v\ )- (tức thời) tốc độ tuyến tính của chuyển động dọc theo quỹ đạo, ω (\displaystyle \omega \ )- vận tốc góc (tức thời) của chuyển động này so với tâm cong của quỹ đạo, R (\displaystyle R\ )- bán kính cong của quỹ đạo tại một điểm cho trước. (Mối liên hệ giữa công thức thứ nhất và công thức thứ hai là hiển nhiên, dựa trên v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Các biểu thức trên bao gồm các giá trị tuyệt đối. Chúng có thể được viết dễ dàng dưới dạng vector bằng cách nhân với e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vectơ đơn vị tính từ tâm quỹ đạo cong đến điểm cho trước:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R .Các công thức này đều có thể áp dụng như nhau cho trường hợp chuyển động có tốc độ không đổi (theo giá trị tuyệt đối) và cho trường hợp tùy ý. Tuy nhiên, trong phần thứ hai, người ta phải nhớ rằng gia tốc hướng tâm không phải là vectơ gia tốc đầy đủ mà chỉ là thành phần của nó vuông góc với quỹ đạo (hoặc, tương tự, vuông góc với vectơ vận tốc tức thời); vectơ gia tốc đầy đủ khi đó cũng bao gồm thành phần tiếp tuyến ( gia tốc tiếp tuyến) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), hướng trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo (hoặc, tương tự, với tốc độ tức thời).
Động lực và kết luận
Thực tế là việc phân tích vectơ gia tốc thành các thành phần - một thành phần dọc theo tiếp tuyến với quỹ đạo vectơ (gia tốc tiếp tuyến) và thành phần kia trực giao với nó (gia tốc pháp tuyến) - bản thân nó có thể thuận tiện và hữu ích. Khi chuyển động với mô đun tốc độ không đổi, thành phần tiếp tuyến trở thành bằng 0, nghĩa là trong trường hợp cụ thể quan trọng này nó vẫn giữ nguyên chỉ một thành phần bình thường. Ngoài ra, như có thể thấy bên dưới, mỗi thành phần này đều có các đặc tính và cấu trúc được xác định rõ ràng và gia tốc thông thường chứa nội dung hình học khá quan trọng và không hề tầm thường trong cấu trúc công thức của nó. Chưa kể trường hợp đặc biệt quan trọng của chuyển động tròn.
Kết luận chính thức
Sự phân tích gia tốc thành các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến (thành phần thứ hai là gia tốc hướng tâm hoặc pháp tuyến) có thể được tìm thấy bằng cách vi phân vectơ vận tốc theo thời gian, được biểu diễn dưới dạng v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) qua vectơ tiếp tuyến đơn vị e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( N)\ ,)Ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu cho vectơ đơn vị vuông góc với quỹ đạo và l (\displaystyle l\ )- cho chiều dài quỹ đạo hiện tại ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); quá trình chuyển đổi cuối cùng cũng sử dụng rõ ràng
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )và, từ những cân nhắc về mặt hình học,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ) Gia tốc bình thường (hướng tâm). Hơn nữa, ý nghĩa của nó, ý nghĩa của các đối tượng chứa trong nó, cũng như bằng chứng cho thấy nó thực sự trực giao với vectơ tiếp tuyến (nghĩa là e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ ) - thực sự là một vectơ pháp tuyến) - sẽ suy ra từ các cân nhắc hình học (tuy nhiên, việc đạo hàm của bất kỳ vectơ nào có độ dài không đổi theo thời gian vuông góc với chính vectơ này là một thực tế khá đơn giản; trong trường hợp này chúng ta áp dụng phát biểu này cho
d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Ghi chú
Dễ dàng nhận thấy giá trị tuyệt đối của gia tốc tiếp tuyến chỉ phụ thuộc vào gia tốc mặt đất, trùng với giá trị tuyệt đối của nó, ngược lại giá trị tuyệt đối của gia tốc tiếp tuyến không phụ thuộc vào gia tốc mặt đất mà phụ thuộc vào tốc độ mặt đất. Các phương pháp được trình bày ở đây hoặc các biến thể của chúng có thể được sử dụng để đưa ra các khái niệm như độ cong của đường cong và bán kính cong của đường cong (vì trong trường hợp đường cong là hình tròn, R (\displaystyle R) trùng với bán kính của đường tròn đó; cũng không quá khó để chứng minh đường tròn nằm trong mặt phẳng e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),\,e_(n)) có tâm hướng về e n (\displaystyle e_(n)\ ) Các phương pháp được trình bày ở đây hoặc các biến thể của chúng có thể được sử dụng để đưa ra các khái niệm như độ cong của đường cong và bán kính cong của đường cong (vì trong trường hợp đường cong là hình tròn, từ một điểm nhất định ở một khoảng cách
từ nó - sẽ trùng với đường cong - quỹ đạo đã cho - cho đến bậc nhỏ thứ hai trong khoảng cách đến điểm đã cho).
Câu chuyện
Rõ ràng, Huygens là người đầu tiên có được công thức chính xác về gia tốc hướng tâm (hay lực ly tâm). Hầu như kể từ thời điểm này, việc xét gia tốc hướng tâm đã trở thành một phần của kỹ thuật thông thường để giải các bài toán cơ học, v.v.
Sau này, những công thức này đóng một vai trò quan trọng trong việc phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn (công thức gia tốc hướng tâm được sử dụng để thu được định luật về sự phụ thuộc của lực hấp dẫn vào khoảng cách đến nguồn trọng lực, dựa trên định luật thứ ba của Kepler). rút ra từ quan sát).
Chuyển động tròn đều được đặc trưng bởi chuyển động của một vật dọc theo một vòng tròn. Trong trường hợp này, chỉ có hướng của vận tốc thay đổi và độ lớn của nó không đổi.
Nói chung, một vật chuyển động theo một đường cong và rất khó diễn tả. Để đơn giản hóa việc mô tả chuyển động cong, người ta chia chuyển động thành các loại chuyển động đơn giản hơn. Đặc biệt, một trong những loại này là chuyển động đều theo một vòng tròn. Bất kỳ quỹ đạo chuyển động cong nào cũng có thể được chia thành các phần có kích thước đủ nhỏ, trong đó vật thể sẽ chuyển động gần như dọc theo một cung là một phần của đường tròn.
Khi một cơ thể chuyển động theo một vòng tròn, tốc độ tuyến tính có hướng tiếp tuyến. Do đó, ngay cả khi một vật chuyển động dọc theo một cung với tốc độ tuyệt đối không đổi thì hướng chuyển động tại mỗi điểm sẽ khác nhau. Như vậy, mọi chuyển động trong đường tròn đều là chuyển động có gia tốc.
Hãy tưởng tượng một vòng tròn mà một điểm vật chất di chuyển dọc theo đó. Tại thời điểm 0, nó ở vị trí A. Sau một khoảng thời gian nhất định, nó dừng lại ở điểm B. Nếu ta vẽ hai vectơ bán kính từ tâm đường tròn đến điểm A và điểm B thì sẽ có một góc nhất định thu được giữa chúng. Hãy gọi nó là góc phi. Nếu trong những khoảng thời gian bằng nhau, một điểm quay theo cùng một góc phi thì chuyển động đó được gọi là chuyển động đều và tốc độ được gọi là góc.
Hình 1 - vận tốc góc.
Vận tốc góc được đo bằng số vòng quay trên giây. Một vòng quay mỗi giây là khi một điểm đi dọc theo toàn bộ vòng tròn và trở về vị trí ban đầu, mất một giây. Vòng quay này được gọi là thời gian lưu thông. Nghịch đảo của chu kỳ quay được gọi là tần số quay. Tức là điểm đó có thể thực hiện được bao nhiêu vòng quay trong một giây. Góc tạo bởi hai vectơ bán kính được đo bằng radian. Radian là góc giữa hai vectơ bán kính cắt một cung có chiều dài bán kính trên bề mặt của một hình tròn.
Tốc độ của một điểm di chuyển quanh một vòng tròn cũng có thể được đo bằng radian trên giây. Trong trường hợp này, chuyển động của một điểm một radian mỗi giây được gọi là tốc độ. Tốc độ này được gọi là tốc độ góc. Nghĩa là, vectơ bán kính có thể quay được bao nhiêu góc đơn vị trong một giây? Với chuyển động tròn đều thì vận tốc góc không đổi.
Để xác định gia tốc chuyển động trong một đường tròn, chúng ta vẽ trên hình các vectơ vận tốc của các điểm A và B. Góc giữa các vectơ này bằng góc giữa các vectơ bán kính. Vì gia tốc là sự chênh lệch giữa tốc độ thực hiện trong một khoảng thời gian nhất định chia cho khoảng thời gian này. Sau đó, bằng cách dịch song song, chúng ta sẽ chuyển phần đầu của vectơ vận tốc tại điểm A sang điểm B. Hiệu của các vectơ này sẽ là vectơ delta V. Nếu chúng ta chia nó cho dây nối các điểm A và B, với điều kiện là khoảng cách giữa các điểm là vô cùng nhỏ thì ta sẽ thu được vectơ gia tốc hướng về tâm đường tròn. Mà còn được gọi là gia tốc hướng tâm.
Vì tốc độ tuyến tính thay đổi hướng đều nên chuyển động tròn không thể gọi là chuyển động đều mà nó được gia tốc đều.
Vận tốc góc
Hãy chọn một điểm trên đường tròn 1 . Hãy xây dựng một bán kính. Trong một đơn vị thời gian, điểm sẽ chuyển động tới điểm 2 . Trong trường hợp này, bán kính mô tả góc. Vận tốc góc bằng số với góc quay của bán kính trên một đơn vị thời gian.
Chu kỳ và tần suất
Chu kỳ quay T- đây là thời gian cơ thể thực hiện một cuộc cách mạng.
Tần số quay là số vòng quay trong một giây.
Tần số và chu kỳ có mối liên hệ với nhau bởi mối quan hệ
Mối quan hệ với vận tốc góc
Tốc độ tuyến tính
Mỗi điểm trên vòng tròn di chuyển với một tốc độ nhất định. Tốc độ này được gọi là tuyến tính. Hướng của vectơ vận tốc tuyến tính luôn trùng với tiếp tuyến của đường tròn. Ví dụ, tia lửa từ bên dưới máy mài di chuyển, lặp lại hướng của tốc độ tức thời.
Xét một điểm trên đường tròn quay được một vòng thì thời gian đó là khoảng thời gian T. Đường đi của một điểm là đường tròn.
Gia tốc hướng tâm
Khi chuyển động theo đường tròn, vectơ gia tốc luôn vuông góc với vectơ vận tốc, hướng vào tâm đường tròn.
Sử dụng các công thức trước đó, chúng ta có thể rút ra các mối quan hệ sau
Các điểm nằm trên cùng một đường thẳng xuất phát từ tâm vòng tròn (ví dụ, đây có thể là những điểm nằm trên nan hoa của bánh xe) sẽ có cùng vận tốc góc, chu kỳ và tần số. Tức là chúng sẽ quay theo cùng một cách nhưng với tốc độ tuyến tính khác nhau. Một điểm càng xa trung tâm thì nó sẽ di chuyển càng nhanh.
Định luật cộng vận tốc cũng đúng cho chuyển động quay. Nếu chuyển động của một vật hoặc hệ quy chiếu không đều thì định luật áp dụng cho vận tốc tức thời. Ví dụ, tốc độ của một người đi dọc theo mép của băng chuyền đang quay bằng tổng vectơ của tốc độ quay tuyến tính của mép băng chuyền và tốc độ của người đó.
Trái đất tham gia vào hai chuyển động quay chính: ngày đêm (quanh trục của nó) và quỹ đạo (quanh Mặt trời). Chu kỳ Trái Đất quay quanh Mặt Trời là 1 năm hay 365 ngày. Trái đất tự quay quanh trục của nó từ Tây sang Đông, chu kỳ quay này là 1 ngày hoặc 24 giờ. Vĩ độ là góc giữa mặt phẳng xích đạo và hướng từ tâm Trái đất đến một điểm trên bề mặt của nó.
Theo định luật thứ hai của Newton, nguyên nhân của bất kỳ gia tốc nào là lực. Nếu một vật chuyển động chịu gia tốc hướng tâm thì bản chất của lực gây ra gia tốc này có thể khác. Ví dụ, nếu một vật chuyển động theo một vòng tròn trên một sợi dây buộc vào nó thì lực tác dụng là lực đàn hồi.
Nếu một vật nằm trên một đĩa quay với đĩa quanh trục của nó thì lực đó là lực ma sát. Nếu lực dừng tác dụng thì vật tiếp tục chuyển động thẳng
Xét chuyển động của một điểm trên đường tròn từ A đến B. Tốc độ tuyến tính bằng vA Và vB tương ứng. Gia tốc là sự thay đổi vận tốc trong một đơn vị thời gian. Hãy tìm sự khác biệt giữa các vectơ.
Nguồn việc làm: Quyết định 3553.-20. OGE 2016 Toán học, I.V. Yashchenko. 36 lựa chọn.
Nhiệm vụ 18. Sơ đồ cho thấy sự phân bổ đất theo loại ở các quận liên bang Ural, Volga, Nam và Viễn Đông. Từ sơ đồ xác định huyện nào có tỷ trọng đất nông nghiệp nhỏ nhất.
1) Quận liên bang Ural
2) Quận liên bang Volga
3) Quận liên bang phía Nam
4) Quận Liên bang Viễn Đông
Giải pháp.
Đất nông nghiệp được tô màu theo khu vực dưới dạng đường kẻ ngang (xem hình). Bạn cần chọn một quận trong đó diện tích của khu vực đó là tối thiểu. Phân tích hình vẽ cho thấy đây chính là Đặc khu liên bang Viễn Đông.
Trả lời: 4.
Nhiệm vụ 19. Bà có 20 chiếc cốc: 10 chiếc có hoa màu đỏ, còn lại có màu xanh. Bà nội rót trà vào chiếc cốc được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất để được một chiếc cốc có hoa màu xanh.
Giải pháp.
Vì có đúng 20-10 = 10 cốc hoa xanh và có tổng cộng 20 cốc nên xác suất chọn ngẫu nhiên cốc hoa xanh sẽ bằng:
.Trả lời: 0,5.
Nhiệm vụ 20. Gia tốc hướng tâm khi chuyển động trong một đường tròn (tính bằng m/s2) có thể được tính bằng công thức a=w^2*R trong đó w là vận tốc góc (tính bằng s-1) và R là bán kính của đường tròn. Sử dụng công thức này, tìm bán kính R (tính bằng mét) nếu vận tốc góc là 7,5 s-1 và gia tốc hướng tâm là 337,5 m/s2.
Giải pháp.
Từ công thức tính bán kính đường tròn ta có:
và tính toán nó bằng cách thay thế dữ liệu , , vào công thức mà chúng ta có.
Trong tự nhiên, chuyển động của cơ thể thường diễn ra theo những đường cong. Hầu hết mọi chuyển động đường cong đều có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi chuyển động dọc theo các cung tròn. Nói chung, khi chuyển động tròn, tốc độ của vật thay đổi như về kích thước, như vậy và theo hướng.
Chuyển động đều quanh một vòng tròn
Chuyển động tròn gọi là chuyển động đều nếu vận tốc không đổi.
Theo định luật thứ ba của Newton, mọi hành động đều gây ra phản ứng ngang bằng và ngược chiều. Lực hướng tâm mà kết nối tác dụng lên vật thể bị phản tác dụng bởi một lực có độ lớn bằng nhau và ngược chiều mà vật thể tác dụng lên kết nối. Sức mạnh này F 6 gọi điện ly tâm, vì nó được hướng xuyên tâm từ tâm vòng tròn. Lực ly tâm có độ lớn bằng lực hướng tâm:
Ví dụ
Hãy xem xét trường hợp một vận động viên xoay một vật được buộc vào đầu sợi dây quanh đầu anh ta. Vận động viên cảm thấy một lực tác dụng lên cánh tay và kéo nó ra ngoài. Để giữ vật trên vòng tròn, vận động viên (dùng sợi chỉ) kéo vật vào trong. Do đó, theo định luật thứ ba của Newton, một vật (cũng thông qua một sợi dây) tác dụng lên tay một lực bằng và ngược chiều, và đây là lực mà tay vận động viên cảm nhận được (Hình 3.23). Lực tác dụng lên vật là lực căng hướng vào trong của sợi dây.
Một ví dụ khác: một thiết bị thể thao “búa” được tác động bởi một sợi cáp do vận động viên cầm (Hình 3.24).
Chúng ta hãy nhớ lại rằng lực ly tâm tác dụng không phải lên một vật quay mà tác dụng lên một sợi dây. Nếu lực ly tâm tác dụng trên cơ thể sau đó nếu sợi chỉ bị đứt, nó sẽ bay ra xa tâm, như trong Hình 3.25, a. Tuy nhiên, trên thực tế, khi sợi chỉ bị đứt, vật bắt đầu chuyển động tiếp tuyến (Hình 3.25, b) theo hướng vận tốc mà nó có tại thời điểm sợi chỉ bị đứt.
Lực ly tâm được sử dụng rộng rãi.
Máy ly tâm là một thiết bị được thiết kế để đào tạo và thử nghiệm phi công, vận động viên và phi hành gia. Bán kính lớn (lên tới 15 m) và công suất động cơ cao (vài MW) giúp tạo ra gia tốc hướng tâm lên tới 400 m/s 2 . Lực ly tâm ép các vật thể với một lực vượt quá lực hấp dẫn thông thường trên Trái đất hơn 40 lần. Một người có thể chịu được quá tải tạm thời 20-30 lần nếu nằm vuông góc với hướng của lực ly tâm và 6 lần nếu nằm dọc theo hướng của lực ly tâm.
3.8. Các yếu tố mô tả chuyển động của con người
Chuyển động của con người rất phức tạp và khó diễn tả. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, có thể xác định được những điểm quan trọng giúp phân biệt kiểu chuyển động này với kiểu chuyển động khác. Ví dụ, hãy xem xét sự khác biệt giữa chạy và đi bộ.
Các yếu tố của chuyển động bước khi đi bộ được thể hiện trong hình. 3,26. Trong động tác đi, mỗi chân luân phiên giữ và mang. Giai đoạn hỗ trợ bao gồm khấu hao (hãm chuyển động của cơ thể về phía giá đỡ) và lực đẩy, trong khi giai đoạn chuyển tiếp bao gồm tăng tốc và hãm.
Các chuyển động tuần tự của cơ thể con người và đôi chân của anh ta khi đi bộ được thể hiện trong hình. 3,27.
Các đường A và B cung cấp hình ảnh chất lượng cao về chuyển động của bàn chân trong khi đi bộ. Dòng trên cùng A ám chỉ một chân, dòng dưới cùng B ám chỉ chân kia. Các đoạn thẳng tương ứng với mômen tựa của bàn chân trên mặt đất, các đoạn cong tương ứng với mô men chuyển động của bàn chân. Trong khoảng thời gian (a) cả hai chân đều chạm đất; sau đó (b)- chân A ở trên không, chân B tiếp tục nghiêng; và sau đó (Với)- một lần nữa cả hai chân nằm trên mặt đất. Bạn đi bộ càng nhanh thì khoảng thời gian càng ngắn lại. (MỘT Và Với).
Trong hình. Hình 3.28 thể hiện các chuyển động tuần tự của cơ thể con người khi chạy và biểu diễn bằng đồ họa các chuyển động của bàn chân. Như bạn thấy trên hình, khi chạy có các khoảng thời gian { b, d, /), khi cả hai chân đều ở trên không và không có khoảng cách giữa hai chân đồng thời chạm đất. Đây là sự khác biệt giữa chạy và đi bộ.
Một kiểu chuyển động phổ biến khác là đẩy giá đỡ ra khỏi các bước nhảy khác nhau. Động tác đẩy được thực hiện bằng cách duỗi thẳng chân đẩy và chuyển động vung của cánh tay và thân. Nhiệm vụ của lực đẩy là đảm bảo giá trị tối đa của vectơ vận tốc ban đầu của khối tâm chung của vận động viên và hướng tối ưu của nó. Trong hình. 3.29 giai đoạn được hiển thị
\ Chương 4
ĐỘNG LỰC LÁI XEĐIỂM VẬT LIỆU
Động lực học là một nhánh của cơ học nghiên cứu chuyển động của một vật thể có tính đến sự tương tác của nó với các vật thể khác.
Trong phần “Động học” các khái niệm đã được giới thiệu tốc độ Và gia tốcđiểm vật chất. Đối với vật thể thực, những khái niệm này cần được làm rõ, vì đối với các vật thể khác nhau điểm cơ thể thực sự những đặc điểm chuyển động này có thể khác nhau. Ví dụ, một quả bóng đá cong không chỉ di chuyển về phía trước mà còn quay. Các điểm của vật quay chuyển động với tốc độ khác nhau. Vì lý do này, động lực học của một điểm vật chất trước tiên được xem xét, sau đó kết quả thu được được mở rộng sang vật thể thực.