Phương trình lũy thừa và cách giải. Bài giảng: “Phương pháp giải phương trình hàm mũ”

Phương trình hàm mũ là gì? Ví dụ.

Vì vậy, một phương trình hàm mũ... Một triển lãm độc đáo mới trong triển lãm chung của chúng tôi về nhiều loại phương trình!) Như thường lệ, từ khóa của bất kỳ thuật ngữ toán học mới nào là tính từ tương ứng đặc trưng cho nó. Vì vậy, nó ở đây. Từ khóa trong thuật ngữ “phương trình hàm mũ” là từ "chỉ định". Nó có nghĩa là gì? Từ này có nghĩa là ẩn số (x) nằm ở xét về bất kỳ mức độ nào. Và chỉ ở đó! Điều này cực kỳ quan trọng.

Ví dụ: các phương trình đơn giản sau:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Hoặc thậm chí những con quái vật này:

2 sin x = 0,5

Hãy chú ý ngay đến một điều quan trọng: lý dođộ (dưới) – chỉ những con số. Nhưng ở chỉ sốđộ (ở trên) - nhiều cách diễn đạt khác nhau với dấu X. Hoàn toàn bất kỳ.) Mọi thứ phụ thuộc vào phương trình cụ thể. Nếu đột nhiên x xuất hiện ở một nơi khác trong phương trình, ngoài chỉ báo (ví dụ: 3 x = 18 + x 2), thì phương trình như vậy sẽ là một phương trình loại hỗn hợp. Những phương trình như vậy không có quy tắc rõ ràng để giải chúng. Vì vậy, chúng ta sẽ không xem xét chúng trong bài học này. Để làm hài lòng học sinh.) Ở đây chúng ta sẽ chỉ xem xét các phương trình hàm mũ ở dạng “thuần túy” của chúng.

Nói chung, không phải tất cả và thậm chí không phải lúc nào cũng có thể giải được các phương trình hàm mũ thuần túy một cách rõ ràng. Nhưng trong số rất nhiều phương trình hàm mũ, có một số loại có thể và cần được giải. Chúng ta sẽ xem xét những loại phương trình này. Và chúng ta chắc chắn sẽ giải được các ví dụ.) Vậy hãy thoải mái và bắt đầu nhé! Giống như trong game bắn súng trên máy tính, cuộc hành trình của chúng ta sẽ diễn ra qua các cấp độ.) Từ sơ cấp đến đơn giản, từ đơn giản đến trung cấp và từ trung cấp đến phức tạp. Trên đường đi, bạn cũng sẽ chờ đợi một cấp độ bí mật - các kỹ thuật và phương pháp giải các ví dụ không chuẩn. Những thứ mà bạn sẽ không đọc trong hầu hết các sách giáo khoa ở trường... Chà, và cuối cùng, tất nhiên, trùm cuối đang chờ bạn dưới dạng bài tập về nhà.)

Cấp độ 0. Phương trình hàm mũ đơn giản nhất là gì? Giải các phương trình hàm mũ đơn giản.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét một số nội dung cơ bản thẳng thắn. Bạn phải bắt đầu từ đâu đó, phải không? Ví dụ: phương trình này:

2 x = 2 2

Ngay cả khi không có bất kỳ lý thuyết nào, bằng logic đơn giản và lẽ thường thì rõ ràng x = 2. Không có cách nào khác, phải không? Không có ý nghĩa nào khác của X phù hợp... Và bây giờ chúng ta hãy chuyển sự chú ý sang biên bản quyết định phương trình hàm mũ thú vị này:

2 x = 2 2

X = 2

Chuyện gì đã xảy ra với chúng tôi vậy? Và điều sau đây đã xảy ra. Chúng tôi thực sự đã lấy nó và... chỉ đơn giản là ném ra những căn cứ giống nhau (hai)! Hoàn toàn bị ném ra ngoài. Và tin tốt là chúng ta đã trúng hồng tâm!

Đúng vậy, nếu trong một phương trình hàm mũ có trái và phải giống hệt nhau các số có lũy thừa bất kỳ thì những số này có thể bị loại bỏ và chỉ đơn giản là đánh đồng số mũ. Toán học cho phép.) Và sau đó bạn có thể làm việc riêng với các chỉ số và giải một phương trình đơn giản hơn nhiều. Tuyệt vời phải không?

Đây là ý tưởng then chốt để giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào (vâng, chính xác là bất kỳ!): bằng cách sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau, cần đảm bảo rằng vế trái và vế phải của phương trình là giống hệt nhau số cơ sở ở các lũy thừa khác nhau. Và sau đó bạn có thể loại bỏ các cơ số giống nhau một cách an toàn và đánh đồng số mũ. Và làm việc với một phương trình đơn giản hơn.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại quy tắc sắt: có thể loại bỏ các cơ số giống nhau khi và chỉ khi các số ở bên trái và bên phải của phương trình có số cơ sở trong sự cô lập tuyệt vời.

Nó có nghĩa là gì, trong sự cô lập tuyệt vời? Điều này có nghĩa là không có hàng xóm và hệ số nào. Hãy để tôi giải thích.

Ví dụ, trong phương trình.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Ba không thể được gỡ bỏ! Tại sao? Bởi vì ở bên trái chúng ta không chỉ có số ba cô đơn ở mức độ, mà còn công việc 3·3 x-5 . Thêm ba can thiệp: hệ số, bạn hiểu đấy.)

Điều tương tự cũng có thể nói về phương trình

5 3 x = 5 2 x +5 x

Ở đây cũng vậy, tất cả các căn cứ đều giống nhau - năm. Nhưng ở bên phải chúng ta không có một lũy thừa nào của năm: có tổng các lũy thừa!

Nói tóm lại, chúng ta chỉ có quyền loại bỏ các cơ số giống nhau khi phương trình hàm mũ của chúng ta trông như thế này và chỉ như thế này:

Mộtf (x) = một g (x)

Loại phương trình hàm mũ này được gọi là đơn giản nhất. Hoặc, một cách khoa học, kinh điển . Và cho dù chúng ta có phương trình phức tạp nào trước mắt, bằng cách này hay cách khác, chúng ta sẽ giảm nó về dạng đơn giản nhất (chính tắc) này. Hoặc trong một số trường hợp, để toàn bộ các phương trình thuộc loại này. Khi đó phương trình đơn giản nhất của chúng ta có thể được viết lại ở dạng tổng quát như sau:

F(x) = g(x)

Thế thôi. Đây sẽ là một chuyển đổi tương đương. Trong trường hợp này, f(x) và g(x) hoàn toàn có thể là bất kỳ biểu thức nào có x. Bất cứ điều gì.

Có lẽ một học sinh đặc biệt tò mò sẽ thắc mắc: tại sao chúng ta lại dễ dàng và đơn giản loại bỏ các cơ số giống nhau ở bên trái và bên phải và đánh đồng số mũ? Trực giác là trực giác, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu, trong một phương trình nào đó và vì lý do nào đó, cách tiếp cận này hóa ra không chính xác? Việc đưa ra cùng một căn cứ có phải lúc nào cũng hợp pháp không? Thật không may, để có câu trả lời toán học chính xác cho câu hỏi thú vị này, bạn cần phải đi sâu và nghiêm túc vào lý thuyết chung về cấu trúc và hành vi của các hàm. Và cụ thể hơn một chút - trong hiện tượng sự đơn điệu nghiêm ngặt.Đặc biệt, sự đơn điệu nghiêm ngặt hàm số mũy= một x. Vì chính hàm số mũ và các tính chất của nó làm cơ sở cho việc giải các phương trình hàm mũ, đúng vậy.) Câu trả lời chi tiết cho câu hỏi này sẽ được đưa ra trong một bài học đặc biệt riêng biệt dành cho việc giải các phương trình phi chuẩn phức tạp bằng cách sử dụng tính đơn điệu của các hàm số khác nhau.)

Giải thích chi tiết điểm này bây giờ sẽ chỉ khiến một học sinh bình thường choáng váng và khiến anh ta sợ hãi trước một lý thuyết khô khan và nặng nề. Tôi sẽ không làm điều này.) Bởi vì nhiệm vụ chính của chúng tôi lúc này là học cách giải phương trình mũ! Những điều đơn giản nhất! Vì vậy, chúng ta đừng lo lắng mà hãy mạnh dạn đưa ra những lý do tương tự. Cái này Có thể, hãy tin tôi đi!) Và sau đó chúng ta giải phương trình tương đương f(x) = g(x). Như một quy luật, đơn giản hơn số mũ ban đầu.

Tất nhiên, người ta giả định rằng mọi người đã biết cách giải ít nhất , và các phương trình, không có x trong số mũ.) Đối với những người vẫn chưa biết cách, vui lòng đóng trang này, nhấp vào các liên kết có liên quan và điền vào những khoảng trống cũ. Nếu không bạn sẽ gặp khó khăn, vâng...

Tôi không nói về các phương trình vô tỷ, lượng giác và các phương trình tàn bạo khác cũng có thể xuất hiện trong quá trình loại bỏ nền móng. Nhưng đừng lo lắng, hiện tại chúng tôi sẽ không xem xét sự tàn ác hoàn toàn về mặt mức độ: còn quá sớm. Chúng ta sẽ chỉ đào tạo những phương trình đơn giản nhất.)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phương trình đòi hỏi nỗ lực nhiều hơn để giảm chúng xuống mức đơn giản nhất. Để phân biệt, hãy gọi chúng là phương trình hàm mũ đơn giản. Vì vậy, hãy chuyển sang cấp độ tiếp theo!

Cấp độ 1. Phương trình hàm mũ đơn giản. Hãy nhận biết các mức độ! Các chỉ số tự nhiên

Các quy tắc chính trong việc giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào là quy định về xử lý bằng cấp. Không có kiến ​​thức và kỹ năng này, sẽ không có gì hiệu quả. Than ôi. Vì vậy, nếu có vấn đề với bằng cấp, thì trước tiên bạn được chào đón. Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ cần . Những phép biến đổi này (hai trong số đó!) là cơ sở để giải tất cả các phương trình toán học nói chung. Và không chỉ những người biểu tình. Vì vậy, ai quên thì cũng hãy xem link: Tôi không chỉ đặt chúng ở đó.

Nhưng chỉ hoạt động với sức mạnh và chuyển đổi danh tính thôi là chưa đủ. Sự quan sát cá nhân và sự khéo léo cũng được yêu cầu. Chúng ta cần những lý do giống nhau phải không? Vì vậy, chúng tôi xem xét ví dụ và tìm kiếm chúng ở dạng rõ ràng hoặc được ngụy trang!

Ví dụ: phương trình này:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Đầu tiên nhìn vào căn cứ. Họ... khác nhau! Ba và hai mươi bảy. Nhưng còn quá sớm để hoảng sợ và tuyệt vọng. Đã đến lúc phải nhớ điều đó

27 = 3 3

Số 3 và 27 có quan hệ họ hàng với nhau theo mức độ! Và những người thân thiết.) Vì vậy, chúng tôi có toàn quyền viết:

27 x +2 = (3 3) x+2

Bây giờ hãy kết nối kiến ​​thức của chúng ta về hành động có mức độ(và tôi đã cảnh báo bạn!). Có một công thức rất hữu ích ở đó:

(a m) n = a mn

Nếu bây giờ bạn áp dụng nó vào hoạt động, nó sẽ hoạt động rất tốt:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Ví dụ ban đầu bây giờ trông như thế này:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Tuyệt vời, cơ sở của các bằng cấp đã được san bằng. Đó là những gì chúng tôi muốn. Một nửa trận chiến đã hoàn thành.) Và bây giờ chúng ta bắt đầu phép biến đổi đồng nhất cơ bản - di chuyển 3 3(x +2) sang phải. Đúng vậy, chưa có ai hủy bỏ các phép tính cơ bản của toán học.) Chúng ta có:

3 2 x = 3 3(x +2)

Loại phương trình này cho chúng ta điều gì? Và thực tế là bây giờ phương trình của chúng ta đã giảm sang dạng kinh điển: bên trái và bên phải có cùng số lũy thừa (ba). Hơn nữa, cả ba đều ở trong tình trạng cô lập tuyệt vời. Hãy thoải mái loại bỏ bộ ba và nhận được:

2x = 3(x+2)

Chúng tôi giải quyết điều này và nhận được:

X = -6

Thế thôi. Đây là câu trả lời đúng.)

Bây giờ hãy nghĩ về giải pháp. Điều gì đã cứu chúng ta trong ví dụ này? Kiến thức về sức mạnh của ba đã cứu chúng tôi. Chính xác thì thế nào? Chúng tôi xác định số 27 chứa số ba được mã hóa! Thủ thuật này (mã hóa cùng một cơ số dưới các số khác nhau) là một trong những thủ thuật phổ biến nhất trong các phương trình hàm mũ! Trừ khi nó là phổ biến nhất. Vâng, và nhân tiện, theo cách tương tự. Đây là lý do tại sao việc quan sát và khả năng nhận biết lũy thừa của các số khác trong các số lại rất quan trọng trong các phương trình hàm mũ!

Lời khuyên thiết thực:

Bạn cần biết sức mạnh của những con số phổ biến. Vào mặt!

Tất nhiên, bất cứ ai cũng có thể nâng hai lên lũy thừa thứ bảy hoặc ba lên lũy thừa năm. Không phải trong tâm trí tôi, nhưng ít nhất là trong một bản nháp. Nhưng trong các phương trình hàm mũ, thông thường không cần thiết phải nâng lên lũy thừa mà ngược lại, phải tìm ra số nào và lũy thừa nào ẩn sau con số đó, chẳng hạn như 128 hoặc 243. Và điều này phức tạp hơn hơn là việc nuôi dưỡng đơn giản, bạn sẽ đồng ý. Hãy cảm nhận sự khác biệt, như họ nói!

Vì khả năng nhận dạng bằng cấp trực tiếp sẽ hữu ích không chỉ ở cấp độ này mà còn hữu ích ở cấp độ tiếp theo, nên đây là một nhiệm vụ nhỏ dành cho bạn:

Xác định lũy thừa và số của các số đó là gì:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Câu trả lời (tất nhiên là ngẫu nhiên):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Vâng, vâng! Đừng ngạc nhiên khi có nhiều câu trả lời hơn là nhiệm vụ. Ví dụ: 2 8, 4 4 và 16 2 đều là 256.

Cấp độ 2. Phương trình hàm mũ đơn giản. Hãy nhận biết các mức độ! Các chỉ số tiêu cực và phân số.

Ở cấp độ này, chúng ta đã sử dụng kiến ​​thức về bằng cấp một cách đầy đủ nhất. Cụ thể, chúng tôi đưa các chỉ số âm và phân số vào quá trình hấp dẫn này! Vâng, vâng! Chúng ta cần tăng sức mạnh của mình, phải không?

Ví dụ, phương trình khủng khiếp này:

Một lần nữa, cái nhìn đầu tiên là ở nền móng. Những lý do là khác nhau! Và lần này chúng thậm chí còn không giống nhau chút nào! 5 và 0,04... Và để loại bỏ các căn cứ, cần phải có những căn cứ tương tự... Phải làm gì?

Không sao đâu! Trên thực tế, mọi thứ đều giống nhau, chỉ là mối liên hệ giữa số 5 và 0,04 được nhìn thấy rất kém. Làm sao chúng ta có thể thoát ra được? Hãy chuyển sang số 0,04 dưới dạng phân số thông thường! Và rồi, bạn thấy đấy, mọi việc sẽ ổn thỏa.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ồ! Hóa ra 0,04 là 1/25! Chà, ai mà ngờ được!)

Vậy làm thế nào? Bây giờ có dễ dàng hơn để thấy mối liên hệ giữa số 5 và 1/25 không? Thế thôi...

Và bây giờ theo quy tắc hành động có độ với chỉ số tiêu cực Bạn có thể viết với một bàn tay vững chắc:

Điều đó thật tuyệt. Vì vậy, chúng tôi đã đến cùng một cơ sở - năm. Bây giờ chúng ta thay số bất tiện 0,04 trong phương trình bằng 5 -2 và nhận được:

Một lần nữa, theo quy tắc hoạt động với độ, bây giờ chúng ta có thể viết:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Để đề phòng, tôi xin nhắc bạn (trong trường hợp có ai chưa biết) rằng các quy tắc cơ bản để xử lý bằng cấp có hiệu lực đối với bất kì chỉ số! Bao gồm cả những giá trị âm.) Vì vậy, hãy thoải mái lấy và nhân các chỉ số (-2) và (x-1) theo quy tắc thích hợp. Phương trình của chúng ta ngày càng tốt hơn:

Tất cả! Ngoài những năm tháng cô đơn, không có gì khác trong quyền lực ở bên trái và bên phải. Phương trình được rút gọn về dạng chính tắc. Và sau đó - dọc theo con đường có khía. Chúng tôi loại bỏ các số năm và đánh đồng các chỉ số:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Ví dụ gần như đã được giải quyết. Tất cả những gì còn lại là toán tiểu học cấp hai - mở (chính xác!) dấu ngoặc và thu thập mọi thứ ở bên trái:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Chúng tôi giải quyết điều này và nhận được hai gốc:

x 1 = 1; x 2 = 3

Chỉ vậy thôi.)

Bây giờ chúng ta hãy suy nghĩ lại. Trong ví dụ này, một lần nữa chúng ta phải nhận biết cùng một số ở các mức độ khác nhau! Cụ thể, để xem số năm được mã hóa ở số 0,04. Và lần này - trong mức độ tiêu cực! Chúng tôi đã làm điều này như thế nào? Ngay lập tức - không thể nào. Nhưng sau khi chuyển từ phân số thập phân 0,04 sang phân số chung 1/25, mọi thứ trở nên rõ ràng! Và sau đó toàn bộ quyết định diễn ra như kim đồng hồ.)

Vì vậy, một lời khuyên thiết thực xanh khác.

Nếu một phương trình hàm mũ chứa các phân số thập phân thì chúng ta chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường. Việc nhận ra lũy thừa của nhiều số phổ biến trong phân số sẽ dễ dàng hơn nhiều! Sau khi nhận dạng, chúng ta chuyển từ phân số sang lũy ​​thừa với số mũ âm.

Hãy nhớ rằng thủ thuật này xảy ra rất rất thường xuyên trong các phương trình hàm mũ! Nhưng người đó không có trong chủ đề. Chẳng hạn, anh ta nhìn vào các con số 32 và 0,125 và cảm thấy khó chịu. Anh ta không hề biết rằng đây là một và hai giống nhau, chỉ ở các mức độ khác nhau... Nhưng bạn đã biết rồi!)

Giải phương trình:

TRONG! Nó trông giống như một nỗi kinh hoàng thầm lặng... Tuy nhiên, vẻ ngoài có vẻ lừa dối. Đây là phương trình hàm mũ đơn giản nhất, mặc dù vẻ ngoài đáng sợ của nó. Và bây giờ tôi sẽ cho bạn xem.)

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét tất cả các số trong cơ số và hệ số. Tất nhiên, chúng khác nhau, vâng. Nhưng chúng ta vẫn sẽ mạo hiểm và cố gắng thực hiện chúng giống hệt nhau! Chúng ta hãy cố gắng để có được cùng một số ở các lũy thừa khác nhau. Hơn nữa, tốt nhất là số lượng càng nhỏ càng tốt. Vì vậy, hãy bắt đầu giải mã!

Chà, với bốn thì mọi thứ đều rõ ràng ngay lập tức - đó là 2 2. Vì vậy, đó là một cái gì đó rồi.)

Với tỷ lệ 0,25 – vẫn chưa rõ ràng. Cần phải kiểm tra. Hãy sử dụng lời khuyên thiết thực - chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường:

0,25 = 25/100 = 1/4

Tốt hơn nhiều rồi. Bởi vì bây giờ có thể thấy rõ rằng 1/4 là 2 -2. Tuyệt vời và con số 0,25 cũng gần giống với hai.)

Cho đến nay rất tốt. Nhưng con số tồi tệ nhất vẫn còn - căn bậc hai của hai! Làm gì với hạt tiêu này? Nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của hai không? Và ai biết được...

Nào, hãy cùng đi sâu vào kho tàng kiến ​​thức về bằng cấp một lần nữa nhé! Lần này chúng ta cũng kết nối thêm kiến ​​thức của mình về cội nguồn. Từ lớp 9, lẽ ra bạn và tôi đã biết rằng bất kỳ gốc nào, nếu muốn, luôn có thể biến thành bằng cấp với một chỉ số phân số.

Như thế này:

Trong trường hợp của chúng tôi:

Ồ! Hóa ra căn bậc hai của 2 là 2 1/2. Thế thôi!

Điều đó thật tuyệt! Tất cả những con số bất tiện của chúng tôi thực sự hóa ra là số hai được mã hóa.) Tôi không tranh luận, ở đâu đó được mã hóa rất tinh vi. Nhưng chúng tôi cũng đang nâng cao tính chuyên nghiệp của mình trong việc giải những mật mã như vậy! Và sau đó mọi thứ đã rõ ràng. Trong phương trình của chúng ta, chúng ta thay thế các số 4, 0,25 và căn bậc hai bằng lũy ​​thừa của hai:

Tất cả! Cơ số của tất cả các độ trong ví dụ đều giống nhau - hai. Và bây giờ các hành động tiêu chuẩn có độ được sử dụng:

làMỘT = là + N

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Đối với phía bên trái bạn nhận được:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Đối với bên phải nó sẽ là:

Và bây giờ phương trình xấu xa của chúng ta trông như thế này:

Đối với những người chưa tìm ra chính xác phương trình này xuất hiện như thế nào thì câu hỏi ở đây không phải là về phương trình hàm mũ. Câu hỏi đặt ra là về hành động có mức độ. Tôi yêu cầu bạn khẩn trương lặp lại nó cho những người gặp vấn đề!

Đây là vạch đích! Dạng chính tắc của phương trình hàm mũ đã thu được! Vậy làm thế nào? Tôi đã thuyết phục bạn rằng mọi thứ không quá đáng sợ phải không? ;) Chúng tôi loại bỏ twos và đánh đồng các chỉ số:

Tất cả những gì còn lại là giải phương trình tuyến tính này. Làm sao? Tất nhiên, với sự trợ giúp của các phép biến đổi giống hệt nhau.) Hãy quyết định điều gì đang xảy ra! Nhân cả hai vế với hai (để loại bỏ phân số 3/2), di chuyển các số hạng có X sang trái, không có X ở bên phải, mang các số hạng tương tự, đếm - và bạn sẽ thấy vui!

Mọi thứ sẽ trở nên đẹp đẽ:

X=4

Bây giờ chúng ta hãy suy nghĩ lại về giải pháp. Trong ví dụ này, chúng ta đã được trợ giúp bởi sự chuyển đổi từ căn bậc haiĐẾN độ với số mũ 1/2. Hơn nữa, chỉ có một sự biến đổi khôn ngoan như vậy mới giúp chúng ta tiếp cận được (hai) căn cứ giống nhau ở mọi nơi, điều đó đã cứu vãn được tình hình! Và, nếu không có nó, thì chúng ta sẽ có mọi cơ hội để đóng băng mãi mãi và không bao giờ đối phó được với ví dụ này, vâng...

Vì vậy, chúng tôi không bỏ qua lời khuyên thiết thực tiếp theo:

Nếu một phương trình hàm mũ chứa các nghiệm thì chúng ta chuyển từ nghiệm sang lũy ​​thừa với số mũ phân số. Rất thường xuyên chỉ có một sự chuyển đổi như vậy mới làm rõ tình hình hơn nữa.

Tất nhiên, lũy thừa âm và lũy thừa phân số phức tạp hơn nhiều so với lũy thừa tự nhiên. Ít nhất là từ quan điểm nhận thức thị giác và đặc biệt là nhận biết từ phải sang trái!

Rõ ràng là việc tăng trực tiếp, chẳng hạn như hai lũy thừa -3 hoặc bốn lũy thừa -3/2, không phải là một vấn đề lớn. Dành cho những người đã biết.)

Nhưng đi chẳng hạn, nhận ra ngay rằng

0,125 = 2 -3

Hoặc

Ở đây, chỉ có quy tắc thực hành và kinh nghiệm phong phú, vâng. Và tất nhiên, một ý tưởng rõ ràng, Mức độ âm và phân số là gì? Và cũng là lời khuyên thiết thực! Vâng, vâng, những cái đó giống nhau màu xanh lá.) Tôi hy vọng rằng chúng vẫn sẽ giúp bạn định hướng tốt hơn trong toàn bộ các cấp độ đa dạng khác nhau và tăng đáng kể cơ hội thành công của bạn! Vì vậy chúng ta đừng bỏ bê họ. Không phải vô cớ mà đôi khi tôi viết bằng màu xanh lá cây.)

Nhưng nếu bạn làm quen với nhau ngay cả với những lũy ​​thừa kỳ lạ như lũy thừa âm và phân số, thì khả năng giải phương trình hàm mũ của bạn sẽ mở rộng rất nhiều và bạn sẽ có thể xử lý hầu hết mọi loại phương trình hàm mũ. Chà, nếu không có thì 80 phần trăm của tất cả các phương trình hàm mũ - chắc chắn rồi! Vâng, vâng, tôi không nói đùa!

Vì vậy, phần đầu tiên của chúng ta trong phần giới thiệu về phương trình hàm mũ đã đi đến kết luận hợp lý. Và, như một bài tập trung cấp, theo truyền thống, tôi khuyên bạn nên tự suy ngẫm một chút.)

Nhiệm vụ 1.

Để những lời nói của tôi về việc giải mã lũy thừa âm và phân số không vô ích, tôi khuyên bạn nên chơi một trò chơi nhỏ!

Biểu diễn số dưới dạng lũy ​​thừa của hai:

Câu trả lời (lộn xộn):

Nó có hoạt động không? Tuyệt vời! Sau đó, chúng tôi thực hiện một nhiệm vụ chiến đấu - giải các phương trình hàm mũ đơn giản và đơn giản nhất!

Nhiệm vụ 2.

Giải các phương trình (tất cả các câu trả lời đều lộn xộn!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Câu trả lời:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Nó có hoạt động không? Quả thực, nó đơn giản hơn nhiều!

Sau đó chúng ta giải quyết trò chơi tiếp theo:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Câu trả lời:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Và những ví dụ này là một còn lại? Tuyệt vời! Bạn đang phát triển! Sau đây là một số ví dụ khác để bạn ăn nhẹ:

Câu trả lời:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Và điều này đã được quyết định? Vâng, tôn trọng! Tôi ngả mũ chào.) Điều này có nghĩa là bài học không hề vô ích và mức độ ban đầu của việc giải phương trình hàm mũ có thể được coi là đã thành công. Cấp độ tiếp theo và các phương trình phức tạp hơn đang ở phía trước! Và các kỹ thuật và cách tiếp cận mới. Và các ví dụ không chuẩn. Và những điều bất ngờ mới.) Tất cả những điều này sẽ có trong bài học tiếp theo!

Có điều gì đó không ổn? Điều này có nghĩa là rất có thể sự cố nằm ở . Hoặc trong . Hoặc cả hai cùng một lúc. Tôi bất lực ở đây. Một lần nữa tôi chỉ có thể đề xuất một điều - đừng lười biếng và hãy theo dõi các liên kết.)

Sẽ được tiếp tục.)

Bài học này dành cho những người mới bắt đầu học phương trình hàm mũ. Như mọi khi, hãy bắt đầu với định nghĩa và ví dụ đơn giản.

Nếu bạn đang đọc bài học này thì tôi nghi ngờ rằng ít nhất bạn đã có hiểu biết tối thiểu về các phương trình đơn giản nhất - tuyến tính và bậc hai: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, v.v. Việc giải được các cách xây dựng như vậy là hoàn toàn cần thiết để không bị “mắc kẹt” trong chủ đề sẽ bàn tới.

Vì vậy, phương trình hàm mũ. Hãy để tôi cho bạn một vài ví dụ:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Một số trong số chúng có vẻ phức tạp hơn đối với bạn, trong khi những cái khác thì ngược lại, lại quá đơn giản. Nhưng tất cả chúng đều có một đặc điểm chung quan trọng: ký hiệu của chúng chứa hàm mũ $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Vì vậy, hãy giới thiệu định nghĩa:

Phương trình hàm mũ là bất kỳ phương trình nào chứa hàm mũ, tức là biểu thức có dạng $((a)^(x))$. Ngoài hàm đã chỉ ra, các phương trình như vậy có thể chứa bất kỳ cấu trúc đại số nào khác - đa thức, nghiệm, lượng giác, logarit, v.v.

Được rồi. Chúng tôi đã sắp xếp định nghĩa. Bây giờ câu hỏi là: làm thế nào để giải quyết tất cả những chuyện tào lao này? Câu trả lời vừa đơn giản vừa phức tạp.

Hãy bắt đầu với tin tốt: từ kinh nghiệm dạy nhiều học sinh của tôi, tôi có thể nói rằng hầu hết họ tìm thấy các phương trình hàm mũ dễ dàng hơn nhiều so với các phương trình logarit tương tự, và thậm chí còn hơn cả lượng giác.

Nhưng có một tin xấu: đôi khi những người biên soạn các bài toán cho đủ loại sách giáo khoa và bài kiểm tra bị “cảm hứng”, và bộ não bị nhiễm ma túy của họ bắt đầu tạo ra những phương trình tàn bạo đến mức việc giải chúng trở thành vấn đề không chỉ đối với học sinh - thậm chí nhiều giáo viên. bị mắc kẹt trong những vấn đề như vậy.

Tuy nhiên, đừng nói về những điều buồn. Và chúng ta hãy quay lại ba phương trình đã được đưa ra ở đầu câu chuyện. Chúng ta hãy cố gắng giải quyết từng người trong số họ.

Phương trình đầu tiên: $((2)^(x))=4$. Chà, bạn phải tăng số 2 lên bao nhiêu để có được số 4? Có lẽ là thứ hai? Rốt cuộc, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - và chúng ta đã có được đẳng thức số chính xác, tức là. thực sự là $x=2$. Chà, cảm ơn Cap, nhưng phương trình này đơn giản đến mức ngay cả con mèo của tôi cũng có thể giải được :)

Chúng ta hãy xem phương trình sau:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Nhưng ở đây nó phức tạp hơn một chút. Nhiều học sinh biết rằng $((5)^(2))=25$ là bảng cửu chương. Một số người cũng nghi ngờ rằng $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ về cơ bản là định nghĩa của lũy thừa âm (tương tự như công thức $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Cuối cùng, chỉ một số ít người được chọn nhận ra rằng những sự thật này có thể được kết hợp và mang lại kết quả sau:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Do đó, phương trình ban đầu của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Nhưng điều này đã hoàn toàn có thể giải quyết được! Ở bên trái trong phương trình có hàm số mũ, bên phải trong phương trình có hàm số mũ, không có gì khác ngoại trừ chúng. Vì vậy, chúng ta có thể “loại bỏ” các căn cứ và đánh đồng các chỉ số một cách ngu ngốc:

Chúng ta đã thu được phương trình tuyến tính đơn giản nhất mà bất kỳ học sinh nào cũng có thể giải được chỉ trong vài dòng. Được rồi, trong bốn dòng:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Nếu bạn không hiểu điều gì đã xảy ra ở bốn dòng cuối cùng, hãy nhớ quay lại chủ đề “phương trình tuyến tính” và lặp lại. Bởi vì nếu không hiểu rõ về chủ đề này thì còn quá sớm để bạn tiếp thu các phương trình hàm mũ.

\[((9)^(x))=-3\]

Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải quyết điều này? Suy nghĩ đầu tiên: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, do đó phương trình ban đầu có thể được viết lại như sau:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Sau đó, chúng ta nhớ rằng khi nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa, số mũ sẽ được nhân lên:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Và đối với một quyết định như vậy, chúng ta sẽ nhận được hai điều xứng đáng một cách trung thực. Vì, với sự bình tĩnh của một Pokemon, chúng tôi đã gửi dấu trừ trước số ba lũy thừa của chính ba số này. Nhưng bạn không thể làm điều đó. Và đây là lý do tại sao. Hãy nhìn vào sức mạnh khác nhau của ba:

\[\begin(ma trận) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Khi biên soạn tấm bảng này, tôi không làm sai lệch bất cứ điều gì: Tôi đã xem xét lũy thừa dương, lũy thừa âm và thậm chí cả phân số... à, ít nhất một số âm ở đâu? Anh ấy đi rồi! Và điều đó là không thể, bởi vì hàm mũ $y=((a)^(x))$ trước hết luôn chỉ nhận các giá trị dương (dù một nhân hay chia cho hai bao nhiêu thì nó vẫn sẽ là một số dương), và thứ hai, cơ số của một hàm như vậy - số $a$ - theo định nghĩa là một số dương!

Vậy làm thế nào để giải phương trình $((9)^(x))=-3$? Nhưng không thể nào: không có gốc rễ. Và theo nghĩa này, phương trình hàm mũ rất giống với phương trình bậc hai - cũng có thể không có nghiệm. Nhưng nếu trong phương trình bậc hai, số nghiệm được xác định bởi phân biệt dương (phân biệt dương - 2 nghiệm, âm - không có nghiệm), thì trong phương trình hàm mũ, mọi thứ phụ thuộc vào những gì ở bên phải dấu bằng.

Vì vậy, chúng ta hãy đưa ra kết luận chính: phương trình hàm mũ đơn giản nhất có dạng $((a)^(x))=b$ có nghiệm khi và chỉ khi $b>0$. Biết thực tế đơn giản này, bạn có thể dễ dàng xác định liệu phương trình được đề xuất cho bạn có nghiệm hay không. Những thứ kia. Có đáng để giải quyết nó hay viết ngay rằng không có gốc rễ.

Những kiến ​​thức này sẽ giúp ích cho chúng ta rất nhiều khi phải giải những bài toán phức tạp hơn. Bây giờ, lời bài hát đã đủ rồi - đã đến lúc nghiên cứu thuật toán cơ bản để giải phương trình hàm mũ.

Cách giải phương trình mũ

Vì vậy, hãy hình thành vấn đề. Cần giải phương trình hàm mũ:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Theo thuật toán “ngây thơ” mà chúng ta đã sử dụng trước đó, cần phải biểu diễn số $b$ dưới dạng lũy ​​thừa của số $a$:

Ngoài ra, nếu thay vì biến $x$ có bất kỳ biểu thức nào, chúng ta sẽ nhận được một phương trình mới có thể giải được. Ví dụ:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(căn chỉnh)\]

Và thật kỳ lạ, kế hoạch này hoạt động trong khoảng 90% trường hợp. Thế còn 10% còn lại thì sao? 10% còn lại là các phương trình hàm mũ hơi “tâm thần phân liệt” có dạng:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Chà, bạn cần nâng 2 lên bao nhiêu để được 3? Đầu tiên? Nhưng không: $((2)^(1))=2$ là không đủ. Thứ hai? Không: $((2)^(2))=4$ là quá nhiều. Vậy thì cái nào?

Những học sinh thông thái có lẽ đã đoán được: trong những trường hợp như vậy, khi không thể giải “đẹp”, thì “pháo hạng nặng” - logarit - sẽ phát huy tác dụng. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bằng cách sử dụng logarit, bất kỳ số dương nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của bất kỳ số dương nào khác (ngoại trừ một số):

Bạn có nhớ công thức này không? Khi nói với học sinh của mình về logarit, tôi luôn cảnh báo: công thức này (nó cũng là công thức chính của logarit hoặc, nếu bạn thích, định nghĩa của logarit) sẽ ám ảnh bạn rất lâu và “bật lên” nhiều nhất. những nơi không ngờ tới. Chà, cô ấy đã nổi lên. Hãy nhìn vào phương trình của chúng tôi và công thức này:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Nếu chúng ta giả sử rằng $a=3$ là số ban đầu của chúng ta ở bên phải, và $b=2$ chính là cơ số của hàm số mũ mà chúng ta muốn rút gọn vế phải, thì chúng ta sẽ nhận được như sau:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(căn chỉnh)\]

Chúng tôi đã nhận được một câu trả lời hơi lạ: $x=((\log )_(2))3$. Trong một số nhiệm vụ khác, nhiều người sẽ nghi ngờ với câu trả lời như vậy và sẽ bắt đầu kiểm tra lại giải pháp của mình: điều gì sẽ xảy ra nếu một lỗi đã len lỏi vào đâu đó? Tôi vội làm hài lòng bạn: không có lỗi nào ở đây và logarit trong nghiệm của phương trình mũ là một tình huống hoàn toàn điển hình. Vì vậy hãy làm quen với nó :)

Bây giờ hãy giải hai phương trình còn lại bằng cách tương tự:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Nhân tiện, câu trả lời cuối cùng có thể được viết khác:

Chúng tôi đã giới thiệu một hệ số nhân cho đối số của logarit. Nhưng không ai ngăn cản chúng tôi thêm yếu tố này vào cơ sở:

Hơn nữa, cả ba lựa chọn đều đúng - chúng chỉ là những dạng viết khác nhau của cùng một số. Chọn cái nào và ghi vào giải pháp này là do bạn quyết định.

Vì vậy, chúng ta đã học cách giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào có dạng $((a)^(x))=b$, trong đó các số $a$ và $b$ hoàn toàn dương. Tuy nhiên, thực tế phũ phàng của thế giới chúng ta là những công việc đơn giản như vậy sẽ rất hiếm khi gặp phải. Thường xuyên hơn không, bạn sẽ gặp một cái gì đó như thế này:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(căn chỉnh)\]

Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải quyết điều này? Liệu điều này có thể giải quyết được không? Và nếu vậy thì làm thế nào?

Không hoảng loạn. Tất cả các phương trình này được rút gọn một cách nhanh chóng và dễ dàng thành các công thức đơn giản mà chúng ta đã xem xét. Bạn chỉ cần nhớ một vài thủ thuật trong khóa học đại số. Và tất nhiên, không có quy tắc nào khi làm việc với bằng cấp. Tôi sẽ kể cho bạn nghe về tất cả điều này ngay bây giờ :)

Chuyển đổi phương trình mũ

Điều đầu tiên cần nhớ: bất kỳ phương trình hàm mũ nào, dù phức tạp đến đâu, bằng cách này hay cách khác đều phải được rút gọn thành các phương trình đơn giản nhất - những phương trình mà chúng ta đã xem xét và chúng ta biết cách giải. Nói cách khác, sơ đồ giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào trông như thế này:

1. Viết phương trình ban đầu. Ví dụ: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Làm vài điều kỳ quặc đi. Hoặc thậm chí một số thứ vớ vẩn gọi là "chuyển đổi một phương trình";
3. Ở đầu ra, hãy lấy các biểu thức đơn giản nhất có dạng $((4)^(x))=4$ hoặc một cái gì đó tương tự. Hơn nữa, một phương trình ban đầu có thể đưa ra nhiều biểu thức như vậy cùng một lúc.

Mọi thứ đều rõ ràng ở điểm đầu tiên - ngay cả con mèo của tôi cũng có thể viết phương trình trên một tờ giấy. Điểm thứ ba dường như cũng ít nhiều rõ ràng - chúng ta đã giải được cả đống phương trình như vậy ở trên.

Nhưng còn điểm thứ hai thì sao? Những loại biến đổi? Chuyển cái gì thành cái gì? Và bằng cách nào?

Vâng, chúng ta hãy tìm hiểu. Trước hết tôi xin lưu ý những điều sau. Tất cả các phương trình hàm mũ được chia thành hai loại:

1. Phương trình bao gồm các hàm số mũ có cùng cơ số. Ví dụ: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Công thức chứa các hàm số mũ với các cơ số khác nhau. Ví dụ: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ và $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Hãy bắt đầu với các phương trình loại đầu tiên - chúng dễ giải nhất. Và khi giải quyết chúng, chúng ta sẽ được trợ giúp bởi một kỹ thuật như làm nổi bật các biểu thức ổn định.

Cô lập một biểu thức ổn định

Chúng ta hãy nhìn lại phương trình này một lần nữa:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Chúng ta thấy gì? Bốn điều này được nâng lên ở những mức độ khác nhau. Nhưng tất cả các lũy thừa này đều là tổng đơn giản của biến $x$ với các số khác. Vì vậy, cần nhớ các quy tắc làm việc với độ:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(căn chỉnh)\]

Nói một cách đơn giản, phép cộng có thể được chuyển đổi thành tích lũy thừa và phép trừ có thể dễ dàng được chuyển đổi thành phép chia. Hãy thử áp dụng các công thức này theo độ của phương trình của chúng ta:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(căn chỉnh)\]

Hãy viết lại phương trình ban đầu có tính đến thực tế này và sau đó thu thập tất cả các số hạng ở bên trái:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Bốn số hạng đầu tiên chứa phần tử $((4)^(x))$ - hãy đưa nó ra khỏi ngoặc:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(căn chỉnh)\]

Vẫn còn phải chia cả hai vế của phương trình cho phân số $-\frac(11)(4)$, tức là về cơ bản nhân với phân số nghịch đảo - $-\frac(4)(11)$. Chúng tôi nhận được:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Chúng tôi đã rút gọn phương trình ban đầu về dạng đơn giản nhất và thu được câu trả lời cuối cùng.

Đồng thời, trong quá trình giải, chúng tôi đã phát hiện ra (và thậm chí đã bỏ nó ra khỏi ngoặc) nhân tử chung $((4)^(x))$ - đây là một biểu thức ổn định. Nó có thể được chỉ định là một biến mới hoặc bạn có thể chỉ cần diễn đạt nó một cách cẩn thận và nhận được câu trả lời. Trong mọi trường hợp, nguyên tắc chính của giải pháp là như sau:

Tìm trong phương trình ban đầu một biểu thức ổn định chứa một biến có thể dễ dàng phân biệt với tất cả các hàm số mũ.

Tin tốt là hầu hết mọi phương trình hàm mũ đều cho phép bạn tách biệt một biểu thức ổn định như vậy.

Nhưng tin xấu là những biểu thức này có thể khá phức tạp và khó xác định. Vì vậy, hãy xem xét một vấn đề nữa:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Có lẽ bây giờ ai đó có câu hỏi: “Pasha, bạn bị ném đá phải không? Có nhiều cơ sở khác nhau ở đây - 5 và 0,2.” Nhưng hãy thử chuyển lũy thừa sang cơ số 0,2. Ví dụ: hãy loại bỏ phân số thập phân bằng cách giảm nó thành phân số thông thường:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Như bạn có thể thấy, số 5 vẫn xuất hiện, mặc dù ở mẫu số. Đồng thời, chỉ báo được viết lại thành âm. Bây giờ chúng ta hãy nhớ một trong những quy tắc quan trọng nhất khi làm việc với bằng cấp:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ở đây, tất nhiên, tôi đã nói dối một chút. Bởi vì để hiểu đầy đủ, công thức loại bỏ các chỉ số tiêu cực phải được viết như sau:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ đúng))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Mặt khác, không có gì ngăn cản chúng tôi làm việc chỉ với phân số:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ phải))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Nhưng trong trường hợp này, bạn cần có khả năng nâng sức mạnh lên sức mạnh khác (để tôi nhắc bạn: trong trường hợp này, các chỉ số được cộng lại với nhau). Nhưng tôi không cần phải "đảo ngược" các phân số - có lẽ điều này sẽ dễ dàng hơn đối với một số người :)

Trong mọi trường hợp, phương trình hàm mũ ban đầu sẽ được viết lại thành:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(căn chỉnh)\]

Vì vậy, hóa ra phương trình ban đầu có thể được giải thậm chí còn đơn giản hơn phương trình đã xem xét trước đó: ở đây bạn thậm chí không cần phải chọn một biểu thức ổn định - mọi thứ đã tự nó được rút gọn. Chỉ cần nhớ rằng $1=((5)^(0))$, từ đó chúng ta nhận được:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(căn chỉnh)\]

Đó là giải pháp! Chúng ta có đáp án cuối cùng: $x=-2$. Đồng thời, tôi muốn lưu ý một kỹ thuật giúp đơn giản hóa đáng kể mọi phép tính cho chúng ta:

Trong các phương trình hàm mũ, hãy đảm bảo loại bỏ các phân số thập phân và chuyển chúng thành phân số thông thường. Điều này sẽ cho phép bạn nhìn thấy các cơ sở độ giống nhau và đơn giản hóa giải pháp rất nhiều.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các phương trình phức tạp hơn trong đó có các cơ số khác nhau không thể quy giản lẫn nhau bằng cách sử dụng lũy ​​thừa.

Sử dụng thuộc tính độ

Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta có hai phương trình đặc biệt khắc nghiệt hơn:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(căn chỉnh)\]

Khó khăn chính ở đây là không rõ nên đưa ra cái gì và dựa trên cơ sở nào. Đâu là những biểu thức ổn định? Đâu là căn cứ giống nhau? Không có cái nào trong số này.

Nhưng chúng ta hãy thử đi một con đường khác. Nếu không có cơ sở giống hệt nhau làm sẵn, bạn có thể thử tìm chúng bằng cách phân tích các cơ sở hiện có.

Hãy bắt đầu với phương trình đầu tiên:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(căn chỉnh)\]

Nhưng bạn có thể làm ngược lại - tạo số 21 từ số 7 và 3. Điều này đặc biệt dễ thực hiện ở bên trái, vì chỉ số của cả hai độ đều giống nhau:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Bạn lấy số mũ ra ngoài tích và ngay lập tức nhận được một phương trình đẹp mắt có thể giải được trong vài dòng.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phương trình thứ hai. Mọi thứ phức tạp hơn nhiều ở đây:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Trong trường hợp này, các phân số hóa ra là không thể rút gọn được, nhưng nếu thứ gì đó có thể giảm được thì hãy nhớ giảm nó. Thông thường, những lý do thú vị mà bạn có thể làm được sẽ xuất hiện.

Thật không may, không có gì đặc biệt xuất hiện đối với chúng tôi. Nhưng chúng ta thấy rằng các số mũ ở bên trái trong tích số ngược nhau:

Hãy để tôi nhắc bạn: để loại bỏ dấu trừ trong chỉ báo, bạn chỉ cần “lật” phân số. Vâng, hãy viết lại phương trình ban đầu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(căn chỉnh)\]

Ở dòng thứ hai, chúng ta chỉ cần lấy tổng số mũ ra khỏi tích từ ngoặc theo quy tắc $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, và ở câu cuối cùng, họ chỉ cần nhân số 100 với một phân số.

Bây giờ hãy lưu ý rằng các số ở bên trái (ở đáy) và ở bên phải có phần giống nhau. Làm sao? Vâng, điều đó là hiển nhiên: chúng là lũy thừa của cùng một số! Chúng tôi có:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(căn chỉnh)\]

Do đó, phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Trong trường hợp này, ở bên phải, bạn cũng có thể nhận được bằng cấp có cùng cơ sở, chỉ cần "lật" phân số là đủ:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Phương trình của chúng ta cuối cùng sẽ có dạng:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(căn chỉnh)\]

Đó là giải pháp. Ý tưởng chính của anh ấy tóm tắt lại thực tế là ngay cả với các căn cứ khác nhau, chúng tôi cố gắng, bằng mọi cách hoặc bằng thủ đoạn, để biến những căn cứ này thành cùng một thứ. Các phép biến đổi cơ bản của phương trình và quy tắc làm việc với lũy thừa giúp chúng ta thực hiện điều này.

Nhưng những quy tắc nào và khi nào nên sử dụng? Làm thế nào để bạn hiểu rằng trong một phương trình, bạn cần chia cả hai vế cho một số nào đó, và trong một phương trình khác, bạn cần phân tích cơ số của hàm số mũ?

Câu trả lời cho câu hỏi này sẽ đến từ kinh nghiệm. Trước tiên, hãy thử sức với các phương trình đơn giản, sau đó dần dần phức tạp hóa các vấn đề - và chẳng bao lâu nữa, kỹ năng của bạn sẽ đủ để giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào từ cùng một Kỳ thi Thống nhất hoặc bất kỳ bài kiểm tra/độc lập nào.

Và để giúp bạn thực hiện nhiệm vụ khó khăn này, tôi khuyên bạn nên tải xuống một bộ phương trình từ trang web của tôi để tự giải. Tất cả các phương trình đều có đáp án nên bạn luôn có thể tự kiểm tra.

Các phương trình hàm mũ là những phương trình trong đó ẩn số được chứa trong số mũ. Phương trình hàm mũ đơn giản nhất có dạng: a x = a b, trong đó a > 0, a 1, x chưa biết.

Các tính chất chính của lũy thừa mà phương trình hàm mũ được biến đổi: a>0, b>0.

Khi giải phương trình hàm mũ, các tính chất sau của hàm mũ cũng được sử dụng: y = a x, a > 0, a1:

Để biểu diễn một số dưới dạng lũy ​​thừa, hãy sử dụng đẳng thức logarit cơ bản: b = , a > 0, a1, b > 0.

Các bài toán và bài kiểm tra về chủ đề “Phương trình hàm mũ”

• phương trình hàm mũ

  Bài học: 4 Bài tập: 21 Bài kiểm tra: 1

• phương trình hàm mũ - Các chủ đề quan trọng ôn thi Thống nhất môn Toán

  Nhiệm vụ: 14

• Hệ phương trình hàm mũ và logarit - Hàm số mũ và logarit lớp 11

  Bài học: 1 Bài tập: 15 Bài kiểm tra: 1

• §2.1. Giải phương trình mũ

  Bài học: 1 Nhiệm vụ: 27

• §7 Phương trình và bất đẳng thức hàm mũ và logarit - Mục 5. Hàm số mũ và logarit lớp 10

  Bài học: 1 Nhiệm vụ: 17

Để giải thành công các phương trình hàm mũ, bạn phải biết các tính chất cơ bản của lũy thừa, tính chất của hàm số mũ và đẳng thức logarit cơ bản.

Khi giải phương trình mũ, hai phương pháp chính được sử dụng:

1. chuyển từ phương trình a f(x) = a g(x) sang phương trình f(x) = g(x);
2. giới thiệu các dòng mới.

Ví dụ.

1. Phương trình rút gọn đến mức đơn giản nhất. Chúng được giải bằng cách rút gọn cả hai vế của phương trình thành lũy thừa có cùng cơ số.

3 x = 9 x – 2 .

Giải pháp:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Trả lời: 4.

2. Giải phương trình bằng cách lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Giải pháp:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Trả lời: 3.

3. Giải phương trình bằng cách đổi biến.

Giải pháp:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Chúng ta ký hiệu 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Phương trình vô nghiệm vì 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Trả lời: nhật ký 2 3.

4. Phương trình chứa lũy thừa hai cơ số khác nhau (không thể rút gọn được).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Trả lời: 2.

5. Phương trình đồng nhất đối với a x và b x.

Nhìn chung: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Giải pháp:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Hãy ký hiệu (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Trả lời: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Thiết bị:

• máy tính,
• máy chiếu đa phương tiện,
• màn hình,
• Phụ lục 1(Trình bày slide PowerPoint) “Các phương pháp giải phương trình mũ”
• Phụ lục 2(Giải phương trình dạng “Ba cơ số lũy thừa” trong Word)
• Phụ lục 3(các bài tập bằng Word phục vụ cho công việc thực tế).
• Phụ lục 4(Bài tập về nhà bằng Word).

Tiến độ bài học

1. Giai đoạn tổ chức

• thông điệp về chủ đề bài học (viết trên bảng),
• sự cần thiết của bài học tổng quát lớp 10-11:

Giai đoạn chuẩn bị cho học sinh học tập tích cực

Sự lặp lại

Sự định nghĩa.

Phương trình hàm mũ là phương trình chứa một biến có số mũ (câu trả lời của học sinh).

Ghi chú của giáo viên. Phương trình hàm mũ thuộc lớp phương trình siêu việt. Cái tên khó phát âm này gợi ý rằng những phương trình như vậy, nói chung, không thể giải được dưới dạng công thức.

Chúng chỉ có thể được giải gần đúng bằng phương pháp số trên máy tính. Nhưng còn nhiệm vụ thi thì sao? Bí quyết là người kiểm tra sẽ trình bày vấn đề theo cách cho phép đưa ra giải pháp mang tính phân tích. Nói cách khác, bạn có thể (và nên!) thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau để rút gọn phương trình hàm mũ này thành phương trình hàm mũ đơn giản nhất. Phương trình đơn giản nhất này được gọi là: phương trình hàm mũ đơn giản nhất. Nó đang được giải quyết bằng logarit.

Tình huống giải phương trình hàm mũ gợi nhớ đến việc du hành qua một mê cung, được tác giả bài toán đặc biệt phát minh ra. Từ những lập luận rất chung chung này, hãy tuân theo những khuyến nghị rất cụ thể.

Để giải thành công các phương trình hàm mũ, bạn phải:

1. Không chỉ chủ động biết tất cả các danh tính hàm mũ mà còn tìm ra các tập hợp giá trị biến mà các danh tính này được xác định, để khi sử dụng các danh tính này, bạn không thu được các gốc không cần thiết và hơn thế nữa, không bị mất giải pháp đến phương trình.

2. Chủ động biết tất cả các đồng dạng số mũ.

3. Thực hiện các phép biến đổi toán học của phương trình một cách rõ ràng, chi tiết và không mắc lỗi (chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình, không quên đổi dấu, đưa phân số về mẫu số chung, v.v.). Đây được gọi là văn hóa toán học. Đồng thời, bản thân các phép tính phải được thực hiện tự động bằng tay và người đứng đầu phải suy nghĩ về đường hướng chung của giải pháp. Việc chuyển đổi phải được thực hiện cẩn thận và chi tiết nhất có thể. Chỉ điều này mới đảm bảo một quyết định đúng đắn, không có sai sót. Và hãy nhớ: một lỗi số học nhỏ có thể đơn giản tạo ra một phương trình siêu nghiệm mà về nguyên tắc không thể giải được bằng phương pháp giải tích. Hóa ra bạn đã lạc đường và tông vào bức tường của mê cung.

4. Biết các phương pháp giải bài toán (nghĩa là biết tất cả các đường đi qua mê cung lời giải). Để điều hướng chính xác ở từng giai đoạn, bạn sẽ phải (có ý thức hoặc trực giác!):

• định nghĩa loại phương trình;
• nhớ loại tương ứng phương pháp giải nhiệm vụ.

Giai đoạn khái quát hóa, hệ thống hóa tài liệu nghiên cứu.

Giáo viên cùng với học sinh sử dụng máy tính ôn lại các loại phương trình hàm mũ và cách giải và vẽ sơ đồ tổng quát. (Chương trình máy tính giáo dục của L.Ya. Borevsky “Khóa học toán học – 2000” được sử dụng, tác giả bài thuyết trình PowerPoint là T.N. Kuptsova.)

Cơm. 1. Hình này cho thấy một sơ đồ chung của tất cả các loại phương trình hàm mũ.

Như có thể thấy từ sơ đồ này, chiến lược giải phương trình hàm mũ là rút gọn phương trình hàm mũ đã cho thành phương trình, trước hết, với cùng cơ sở bằng cấp , và sau đó - và với các chỉ số mức độ tương tự.

Sau khi nhận được một phương trình có cùng cơ số và số mũ, bạn thay số mũ này bằng một biến mới và nhận được một phương trình đại số đơn giản (thường là phân số hữu tỷ hoặc bậc hai) đối với biến mới này.

Sau khi giải phương trình này và thực hiện thay thế ngược, bạn thu được một tập hợp các phương trình hàm mũ đơn giản có thể giải ở dạng tổng quát bằng cách sử dụng logarit.

Các phương trình trong đó chỉ có tích lũy thừa (một phần) là nổi bật. Bằng cách sử dụng đồng nhất thức hàm mũ, có thể quy các phương trình này ngay lập tức về một cơ sở, cụ thể là thành phương trình hàm mũ đơn giản nhất.

Chúng ta hãy xem cách giải một phương trình hàm mũ với ba cơ số khác nhau.

(Nếu giáo viên có chương trình máy tính giảng dạy của L.Ya. Borevsky “Khóa Toán - 2000”, thì đương nhiên chúng ta làm việc với đĩa, nếu không, bạn có thể in ra loại phương trình này từ đó cho mỗi bàn, trình bày dưới đây.)

Cơm. 2. Lập kế hoạch giải phương trình.

Cơm. 3. Bắt đầu giải phương trình

Cơm. 4. Giải quyết xong phương trình.

Làm công việc thực tế

Xác định loại phương trình và giải nó.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Tóm tắt bài học

Chấm điểm cho bài học.

Kết thúc bài học

Đối với giáo viên

Luyện tập sơ đồ trả lời.

Bài tập: từ danh sách các phương trình, chọn phương trình thuộc loại đã chỉ định (nhập số đáp án vào bảng):

1. Ba cơ sở bằng cấp khác nhau
2. Hai cơ số khác nhau - số mũ khác nhau
3. Cơ sở của lũy thừa - lũy thừa của một số
4. Cùng cơ số – số mũ khác nhau
5. Căn cứ mức độ giống nhau - chỉ số mức độ giống nhau
6. Sản phẩm của quyền lực
7. Hai cơ sở bằng cấp khác nhau - cùng chỉ số
8. Các phương trình hàm mũ đơn giản nhất

1. (sản phẩm của sức mạnh)

2. (cùng cơ số – khác số mũ)

Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét việc giải các phương trình hàm mũ phức tạp hơn và nhớ lại các nguyên tắc lý thuyết cơ bản liên quan đến hàm mũ.

1. Định nghĩa, tính chất của hàm mũ, phương pháp giải phương trình hàm mũ đơn giản nhất

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm số mũ. Giải pháp của tất cả các phương trình hàm mũ và bất đẳng thức đều dựa trên các tính chất này.

hàm số mũ là hàm có dạng , trong đó cơ số là bậc và ở đây x là biến, đối số độc lập; y là biến phụ thuộc, hàm.

Cơm. 1. Đồ thị hàm số mũ

Biểu đồ hiển thị số mũ tăng và giảm, minh họa hàm số mũ có cơ số tương ứng lớn hơn một và nhỏ hơn một nhưng lớn hơn 0.

Cả hai đường cong đều đi qua điểm (0;1)

Tính chất của hàm số mũ:

Phạm vi: ;

Phạm vi giá trị: ;

Hàm số đơn điệu, tăng theo, giảm theo.

Hàm đơn điệu lấy mỗi giá trị của nó cho một giá trị đối số duy nhất.

Khi đối số tăng từ âm lên cộng vô cùng, hàm sẽ tăng từ bao hàm 0 lên cộng vô cùng. Ngược lại, khi đối số tăng từ âm lên cộng vô cùng thì hàm số giảm từ vô cực về 0, không bao hàm.

2. Giải phương trình mũ chuẩn

Hãy để chúng tôi nhắc bạn cách giải các phương trình hàm mũ đơn giản nhất. Giải pháp của họ dựa trên tính đơn điệu của hàm số mũ. Hầu như tất cả các phương trình hàm mũ phức tạp đều có thể được rút gọn thành các phương trình như vậy.

Sự bằng nhau của các số mũ có cơ số bằng nhau là do tính chất của hàm số mũ, đó là tính đơn điệu của nó.

Phương pháp giải:

Cân bằng các cơ sở của độ;

Cân bằng số mũ.

Hãy chuyển sang xem xét các phương trình hàm mũ phức tạp hơn; mục tiêu của chúng ta là đơn giản hóa từng phương trình đó.

Hãy loại bỏ gốc ở vế trái và đưa độ về cùng một cơ số:

Để biến một phương trình hàm mũ phức tạp thành đơn giản nhất, người ta thường sử dụng phép thay thế các biến.

Hãy sử dụng thuộc tính sức mạnh:

Chúng tôi đang giới thiệu một sự thay thế. Vậy thì cứ để vậy đi

Hãy nhân phương trình kết quả với hai và di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái:

Gốc đầu tiên không thỏa mãn phạm vi giá trị y, vì vậy chúng tôi loại bỏ nó. Chúng tôi nhận được:

Hãy giảm độ xuống cùng một chỉ báo:

Hãy giới thiệu một sự thay thế:

Vậy thì cứ để vậy đi . Với sự thay thế như vậy, rõ ràng là y nhận các giá trị dương hoàn toàn. Chúng tôi nhận được:

Chúng ta biết cách giải các phương trình bậc hai như vậy, chúng ta có thể viết ra câu trả lời:

Để đảm bảo tìm được nghiệm chính xác, bạn có thể kiểm tra bằng định lý Vieta, tức là tìm tổng của các nghiệm và tích của chúng rồi so sánh chúng với các hệ số tương ứng của phương trình.

Chúng tôi nhận được:

3. Phương pháp giải phương trình mũ thuần nhất bậc hai

Chúng ta hãy nghiên cứu loại phương trình hàm mũ quan trọng sau đây:

Các phương trình loại này được gọi là đồng nhất bậc hai đối với các hàm f và g. Ở phía bên trái của nó có một tam thức vuông đối với f với tham số g hoặc một tam thức vuông đối với g với tham số f.

Phương pháp giải:

Phương trình này có thể được giải dưới dạng phương trình bậc hai, nhưng cách giải khác sẽ dễ dàng hơn. Có hai trường hợp cần xem xét:

Trong trường hợp đầu tiên chúng tôi nhận được

Trong trường hợp thứ hai, chúng ta có quyền chia cho mức độ cao nhất và nhận được:

Cần phải đưa ra một phép đổi biến, ta thu được phương trình bậc hai cho y:

Chúng ta hãy lưu ý rằng các hàm f và g có thể là bất kỳ hàm nào, nhưng chúng ta quan tâm đến trường hợp đây là các hàm số mũ.

4. Ví dụ giải phương trình thuần nhất

Hãy chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của phương trình:

Vì các hàm số mũ thu được các giá trị dương hoàn toàn nên chúng ta có quyền chia ngay phương trình cho , mà không cần xét trường hợp khi:

Chúng tôi nhận được:

Hãy giới thiệu một sự thay thế: (theo tính chất của hàm số mũ)

Chúng ta có một phương trình bậc hai:

Chúng tôi xác định nghiệm bằng định lý Vieta:

Căn bậc nhất không thỏa mãn dãy giá trị của y, ta loại bỏ nó, ta được:

Hãy sử dụng các tính chất của độ và quy đổi tất cả các độ thành các cơ số đơn giản:

Dễ dàng nhận thấy hàm f và g:

Vì các hàm số mũ thu được các giá trị dương hoàn toàn nên chúng ta có quyền chia ngay phương trình cho , mà không cần xét đến trường hợp khi .