Hệ phương trình được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực kinh tế để mô hình hóa toán học của các quá trình khác nhau. Ví dụ, khi giải quyết các vấn đề về quản lý và lập kế hoạch sản xuất, các tuyến đường hậu cần (bài toán vận chuyển) hoặc bố trí thiết bị.
Hệ phương trình không chỉ được sử dụng trong toán học mà còn trong vật lý, hóa học và sinh học khi giải các bài toán tìm quy mô dân số.
Hệ phương trình tuyến tính là hai hoặc nhiều phương trình có nhiều biến cần tìm nghiệm chung. Một dãy số mà tất cả các phương trình trở thành đẳng thức thực sự hoặc chứng minh rằng chuỗi đó không tồn tại.
phương trình tuyến tính
Các phương trình có dạng ax+by=c được gọi là tuyến tính. Các ký hiệu x, y là các ẩn số phải tìm giá trị, b, a là hệ số của các biến, c là số hạng tự do của phương trình.
Giải phương trình bằng cách vẽ đồ thị sẽ có dạng một đường thẳng, mọi điểm của chúng đều là nghiệm của đa thức.
Các loại hệ phương trình tuyến tính
Các ví dụ đơn giản nhất được coi là hệ phương trình tuyến tính với hai biến X và Y.
F1(x, y) = 0 và F2(x, y) = 0, trong đó F1,2 là các hàm và (x, y) là các biến hàm.
Giải hệ phương trình - điều này có nghĩa là tìm các giá trị (x, y) mà tại đó hệ thống trở thành đẳng thức thực sự hoặc thiết lập rằng các giá trị phù hợp của x và y không tồn tại.
Một cặp giá trị (x, y), viết dưới dạng tọa độ của một điểm, được gọi là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Nếu các hệ thống có một nghiệm chung hoặc không tồn tại nghiệm nào thì chúng được gọi là tương đương.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ có vế phải bằng 0. Nếu phần bên phải sau dấu bằng có giá trị hoặc được biểu thị bằng hàm thì hệ thống đó không đồng nhất.
Số lượng biến có thể nhiều hơn hai, khi đó chúng ta nên nói về một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính có ba biến trở lên.
Khi đối mặt với các hệ thống, học sinh cho rằng số lượng phương trình nhất thiết phải trùng với số lượng ẩn số, nhưng thực tế không phải vậy. Số lượng phương trình trong hệ thống không phụ thuộc vào các biến; có thể có nhiều phương trình như mong muốn.
Các phương pháp đơn giản và phức tạp để giải hệ phương trình
Không có phương pháp giải tích chung nào để giải các hệ thống như vậy; tất cả các phương pháp đều dựa trên lời giải số. Khóa học toán ở trường mô tả chi tiết các phương pháp như hoán vị, cộng đại số, thay thế, cũng như các phương pháp đồ thị và ma trận, giải bằng phương pháp Gaussian.
Nhiệm vụ chính khi dạy phương pháp giải là dạy cách phân tích chính xác hệ thống và tìm ra thuật toán giải tối ưu cho từng ví dụ. Điều chính không phải là ghi nhớ hệ thống các quy tắc và hành động cho từng phương pháp, mà là hiểu các nguyên tắc sử dụng một phương pháp cụ thể
Việc giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính trong chương trình giáo dục phổ thông lớp 7 khá đơn giản và được giải thích rất chi tiết. Trong bất kỳ sách giáo khoa toán học nào, phần này đều được quan tâm đầy đủ. Việc giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và Cramer được nghiên cứu chi tiết hơn trong những năm đầu học đại học.
Giải hệ bằng phương pháp thay thế
Các hành động của phương pháp thay thế nhằm mục đích biểu thị giá trị của một biến theo biến thứ hai. Biểu thức được thay thế vào phương trình còn lại, sau đó nó được rút gọn về dạng có một biến. Hành động được lặp lại tùy thuộc vào số lượng ẩn số trong hệ thống
Chúng ta hãy đưa ra lời giải cho một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính lớp 7 bằng phương pháp thay thế:
Như có thể thấy từ ví dụ, biến x được biểu thị thông qua F(X) = 7 + Y. Biểu thức thu được, được thế vào phương trình thứ 2 của hệ thay cho X, giúp thu được một biến Y trong phương trình thứ 2 . Việc giải ví dụ này rất dễ dàng và cho phép bạn nhận được giá trị Y. Bước cuối cùng là kiểm tra các giá trị thu được.
Không phải lúc nào cũng có thể giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng cách thay thế. Các phương trình có thể phức tạp và việc biểu diễn biến theo ẩn số thứ hai sẽ quá phức tạp để tính toán thêm. Khi có nhiều hơn 3 ẩn số trong hệ thống, việc giải bằng thay thế cũng không phù hợp.
Giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất:
Giải bằng phép cộng đại số
Khi tìm nghiệm của hệ thống bằng phương pháp cộng, các phương trình được cộng từng số hạng và nhân với nhiều số khác nhau. Mục tiêu cuối cùng của các phép toán là phương trình một biến.
Việc áp dụng phương pháp này đòi hỏi phải thực hành và quan sát. Việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng khi có 3 biến trở lên là điều không hề dễ dàng. Phép cộng đại số rất thuận tiện khi sử dụng khi phương trình chứa phân số và số thập phân.
Thuật toán giải:
- Nhân cả hai vế của phương trình với một số nhất định. Kết quả của phép toán số học, một trong các hệ số của biến sẽ bằng 1.
- Thêm thuật ngữ biểu thức kết quả theo thuật ngữ và tìm một trong những ẩn số.
- Thay giá trị kết quả vào phương trình thứ 2 của hệ thống để tìm biến còn lại.
Phương pháp giải bằng cách đưa ra một biến mới
Một biến mới có thể được đưa vào nếu hệ thống yêu cầu tìm nghiệm cho không quá hai phương trình; số ẩn số cũng không quá hai.
Phương pháp này được sử dụng để đơn giản hóa một trong các phương trình bằng cách đưa vào một biến mới. Phương trình mới được giải cho ẩn số được đưa vào và giá trị kết quả được sử dụng để xác định biến ban đầu.
Ví dụ cho thấy rằng bằng cách đưa vào một biến t mới, có thể rút gọn phương trình thứ nhất của hệ thành tam thức bậc hai tiêu chuẩn. Bạn có thể giải đa thức bằng cách tìm phân biệt.
Cần tìm giá trị của biệt thức bằng cách sử dụng công thức nổi tiếng: D = b2 - 4*a*c, trong đó D là biệt thức mong muốn, b, a, c là các thừa số của đa thức. Trong ví dụ đã cho, a=1, b=16, c=39, do đó D=100. Nếu biệt thức lớn hơn 0 thì có hai nghiệm: t = -b±√D / 2*a, nếu biệt thức nhỏ hơn 0 thì có một nghiệm: x = -b / 2*a.
Lời giải của hệ thu được được tìm bằng phương pháp cộng.
Phương pháp trực quan để giải hệ thống
Thích hợp cho 3 hệ phương trình. Phương pháp này bao gồm việc xây dựng đồ thị của từng phương trình có trong hệ thống trên trục tọa độ. Tọa độ các giao điểm của các đường cong sẽ là nghiệm tổng quát của hệ.
Phương pháp đồ họa có một số sắc thái. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính một cách trực quan.
Có thể thấy từ ví dụ, đối với mỗi dòng, hai điểm được xây dựng, các giá trị của biến x được chọn tùy ý: 0 và 3. Dựa trên các giá trị của x, các giá trị của y đã được tìm thấy: 3 và 0. Các điểm có tọa độ (0, 3) và (3, 0) được đánh dấu trên biểu đồ và được nối bằng một đường thẳng.
Các bước phải được lặp lại cho phương trình thứ hai. Giao điểm của các đường thẳng là nghiệm của hệ.
Ví dụ sau đây yêu cầu tìm nghiệm đồ họa cho hệ phương trình tuyến tính: 0,5x-y+2=0 và 0,5x-y-1=0.
Như có thể thấy từ ví dụ, hệ thống không có nghiệm vì các đồ thị song song và không giao nhau dọc theo toàn bộ chiều dài của chúng.
Các hệ thống từ ví dụ 2 và 3 tương tự nhau, nhưng khi xây dựng thì rõ ràng là nghiệm của chúng khác nhau. Cần nhớ rằng không phải lúc nào cũng có thể nói liệu một hệ có nghiệm hay không; việc xây dựng đồ thị luôn là điều cần thiết.
Ma trận và các loại của nó
Ma trận được sử dụng để viết chính xác một hệ phương trình tuyến tính. Ma trận là một loại bảng đặc biệt chứa đầy các số. n*m có n - hàng và m - cột.
Một ma trận là hình vuông khi số cột và số hàng bằng nhau. Vectơ ma trận là ma trận một cột có số hàng là vô hạn. Một ma trận có các ma trận dọc theo một trong các đường chéo và các phần tử bằng 0 khác được gọi là đồng nhất thức.
Ma trận nghịch đảo là ma trận, khi nhân với ma trận ban đầu sẽ biến thành ma trận đơn vị; ma trận như vậy chỉ tồn tại đối với ma trận vuông ban đầu.
Quy tắc chuyển hệ phương trình thành ma trận
Trong hệ phương trình, các hệ số và số hạng tự do của phương trình được viết dưới dạng số ma trận; một phương trình là một hàng của ma trận.
Một hàng của ma trận được gọi là khác 0 nếu có ít nhất một phần tử của hàng đó khác 0. Do đó, nếu trong bất kỳ phương trình nào có số lượng biến khác nhau thì cần phải nhập số 0 thay cho ẩn số còn thiếu.
Các cột ma trận phải tương ứng chặt chẽ với các biến. Điều này có nghĩa là các hệ số của biến x chỉ có thể được viết trong một cột, ví dụ như cột đầu tiên, hệ số của ẩn số y - chỉ trong cột thứ hai.
Khi nhân một ma trận, tất cả các phần tử của ma trận đều được nhân tuần tự với một số.
Các tùy chọn tìm ma trận nghịch đảo
Công thức tìm ma trận nghịch đảo khá đơn giản: K -1 = 1 / |K|, trong đó K -1 là ma trận nghịch đảo và |K| là định thức của ma trận. |K| không bằng 0 thì hệ có nghiệm.
Định thức được tính dễ dàng cho ma trận hai nhân hai; bạn chỉ cần nhân các phần tử đường chéo với nhau. Đối với tùy chọn “ba nhân ba”, có một công thức |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Bạn có thể sử dụng công thức hoặc có thể nhớ là cần lấy một phần tử ở mỗi hàng, mỗi cột để số cột, số hàng của phần tử không bị lặp lại trong tác phẩm.
Giải ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận
Phương pháp ma trận tìm nghiệm cho phép bạn giảm bớt các mục nhập rườm rà khi giải các hệ thống có số lượng biến và phương trình lớn.
Trong ví dụ, nm là các hệ số của phương trình, ma trận là vectơ x n là các biến và b n là các số hạng tự do.
Giải hệ phương trình Gaussian
Trong toán học cao hơn, phương pháp Gaussian được nghiên cứu cùng với phương pháp Cramer và quá trình tìm nghiệm của hệ thống được gọi là phương pháp giải Gauss-Cramer. Các phương pháp này được sử dụng để tìm các biến của hệ thống có số lượng lớn phương trình tuyến tính.
Phương pháp Gauss rất giống với các giải pháp thay thế và cộng đại số, nhưng có tính hệ thống hơn. Trong môn học, việc giải bằng phương pháp Gaussian được sử dụng cho hệ phương trình 3 và 4. Mục đích của phương pháp này là đưa hệ về dạng hình thang ngược. Bằng các phép biến đổi đại số và thay thế, giá trị của một biến được tìm thấy trong một trong các phương trình của hệ. Phương trình thứ hai là một biểu thức có 2 ẩn số, trong khi 3 và 4 lần lượt có 3 và 4 biến.
Sau khi đưa hệ thống về dạng mô tả, giải pháp tiếp theo được rút gọn thành việc thay thế tuần tự các biến đã biết vào các phương trình của hệ thống.
Trong SGK lớp 7, một ví dụ về giải theo phương pháp Gauss được mô tả như sau:
Như có thể thấy từ ví dụ, ở bước (3) có hai phương trình thu được: 3x 3 -2x 4 =11 và 3x 3 +2x 4 =7. Việc giải bất kỳ phương trình nào sẽ cho phép bạn tìm ra một trong các biến x n.
Định lý 5, được đề cập trong văn bản, phát biểu rằng nếu một trong các phương trình của hệ được thay thế bằng một phương trình tương đương thì hệ thu được cũng sẽ tương đương với phương trình ban đầu.
Phương pháp Gaussian tuy khó hiểu đối với học sinh cấp hai nhưng lại là một trong những cách thú vị nhất để phát triển sự khéo léo của trẻ theo học các chương trình học nâng cao ở các lớp toán và vật lý.
Để dễ ghi chép, việc tính toán thường được thực hiện như sau:
Các hệ số của phương trình và số hạng tự do được viết dưới dạng ma trận, trong đó mỗi hàng của ma trận tương ứng với một trong các phương trình của hệ. tách vế trái của phương trình khỏi vế phải. Chữ số La Mã biểu thị số lượng phương trình trong hệ thống.
Đầu tiên, viết ra ma trận cần làm việc, sau đó tất cả các hành động được thực hiện với một trong các hàng. Ma trận kết quả được viết sau dấu "mũi tên" và các phép toán đại số cần thiết được tiếp tục cho đến khi đạt được kết quả.
Kết quả phải là một ma trận trong đó một trong các đường chéo bằng 1 và tất cả các hệ số khác bằng 0, nghĩa là ma trận được rút gọn về dạng đơn vị. Chúng ta không được quên thực hiện các phép tính với các số ở cả hai vế của phương trình.
Phương pháp ghi này ít rườm rà hơn và cho phép bạn không bị phân tâm khi liệt kê nhiều ẩn số.
Việc sử dụng miễn phí bất kỳ phương pháp giải pháp nào cũng cần có sự cẩn thận và một số kinh nghiệm. Không phải tất cả các phương pháp đều có tính chất ứng dụng. Một số phương pháp tìm giải pháp được ưa chuộng hơn trong một lĩnh vực hoạt động cụ thể của con người, trong khi những phương pháp khác tồn tại vì mục đích giáo dục.
Phương pháp Gaussian để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính bao gồm loại bỏ tuần tự các ẩn số bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản và rút gọn chúng thành phương trình tam giác trên (bước hoặc hình thang). Sau đó, họ giải hệ thống từ đầu đến cuối bằng cách thay thế các giải pháp tìm được.
Hãy xem xét các ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, sử dụng bộ sưu tập các bài toán của V.P. "Toán học cao hơn".
-------------
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
1) Hãy chuyển đổi hệ thống ban đầu sang dạng từng bước. Để làm điều này, từ phương trình thứ hai, chúng ta trừ phương trình thứ nhất nhân với 3 và từ phương trình thứ tư, trừ phương trình thứ nhất nhân với 4.
Kết quả từ phương trình thứ ba ta thay giá trị thu được vào phương trình ban đầu để tìm.
Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào phương trình đầu tiên
Giải hệ ba phương trình tuyến tính sẽ là các giá trị sau của các biến
2) Ta có hệ ba phương trình với bốn ẩn số. Trong những trường hợp như vậy, một biến có thể tự do và phần còn lại sẽ được biểu thị thông qua nó. Chúng ta rút gọn hệ thống về dạng từng bước. Để làm điều này, hãy trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thứ ba
Từ hai phương trình cuối cùng, chúng ta thu được nghiệm giống hệt nhau
Sau khi thay thế vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được
Phương trình này liên quan đến ba biến. Vì vậy, bất kỳ biến nào cũng có thể được biểu diễn theo hai biến còn lại
Vì vậy, chúng tôi nhận được giải pháp sau đây
3) Chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính bậc năm thưa thớt với năm ẩn số. Hãy giảm nó xuống một dạng bước. Từ phương trình thứ hai, chúng ta trừ phương trình thứ nhất và viết nó dưới dạng thuận tiện cho việc phân tích
Từ phương trình thứ hai chúng ta tìm thấy rằng . Chúng tôi thay thế các giá trị vào tất cả các phương trình thấp hơn và chuyển chúng vượt quá dấu bằng. Hãy hoán đổi phương trình thứ hai và thứ ba
Phương trình thứ tư và thứ năm là tương đương. Hãy thể hiện một trong các biến thông qua một biến khác
Chúng ta thay thế giá trị kết quả vào phương trình thứ hai và tìm
Từ phương trình đầu tiên ta xác định
Giải hệ phương trình như sau
Khi tính toán hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gauss, cần đưa hệ phương trình tuyến tính về dạng bậc thang. Để làm điều này, thật thuận tiện khi viết các biến theo các biến, như trong ví dụ trước, điều này sẽ tăng tốc độ giải. Tất cả phần còn lại phụ thuộc vào ma trận cần giải và kỹ năng của bạn.
Hệ m phương trình tuyến tính với n ẩn số gọi là hệ thống có dạng
Ở đâu một ij Và tôi (Tôi=1,…,tôi; b=1,…,N) là một số số đã biết và x 1,…,x n– không rõ. Trong việc chỉ định các hệ số một ij chỉ số đầu tiên Tôi biểu thị số phương trình, và thứ hai j– số lượng ẩn số mà hệ số này đứng ở đó.
Chúng ta sẽ viết các hệ số của ẩn số dưới dạng ma trận 
, mà chúng ta sẽ gọi ma trận của hệ thống.
Các số ở vế phải của phương trình là b 1,…,b mđược gọi là thành viên miễn phí.
Tổng cộng N con số c 1,…,c n gọi điện phán quyết của một hệ đã cho, nếu mỗi phương trình của hệ đó trở thành một đẳng thức sau khi thay số vào nó c 1,…,c n thay vì những ẩn số tương ứng x 1,…,x n.
Nhiệm vụ của chúng ta sẽ là tìm giải pháp cho hệ thống. Trong trường hợp này, ba tình huống có thể xảy ra:
Hệ phương trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm được gọi là chung. Ngược lại, tức là nếu hệ thống không có giải pháp thì nó được gọi là không khớp.
Hãy xem xét các cách để tìm giải pháp cho hệ thống.
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN GIẢI HỆ PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH
Ma trận giúp viết ngắn gọn một hệ phương trình tuyến tính. Cho hệ 3 phương trình với 3 ẩn số:
Xét ma trận hệ thống 
và các cột ma trận của các thuật ngữ chưa biết và tự do 
Chúng ta hãy tìm công việc
những thứ kia. nhờ tích này, chúng ta thu được vế trái của các phương trình của hệ này. Khi đó, sử dụng định nghĩa đẳng thức của ma trận, hệ này có thể được viết dưới dạng
hoặc ngắn hơn MỘT∙X=B.
Đây là các ma trận MỘT Và Bđã biết và ma trận X không rõ. Cần phải tìm ra nó, bởi vì... các yếu tố của nó là giải pháp cho hệ thống này. Phương trình này được gọi là phương trình ma trận.
Đặt định thức ma trận khác 0 | MỘT| ≠ 0. Khi đó phương trình ma trận được giải như sau. Nhân cả hai vế của phương trình bên trái với ma trận A-1, nghịch đảo của ma trận MỘT: . Bởi vì A -1 A = E Và E∙X = X, thì ta thu được nghiệm của phương trình ma trận có dạng X = A -1 B .
Lưu ý rằng vì ma trận nghịch đảo chỉ có thể tìm được cho ma trận vuông nên phương pháp ma trận chỉ có thể giải được những hệ trong đó số phương trình trùng với số ẩn số. Tuy nhiên, việc ghi ma trận của hệ cũng có thể thực hiện được trong trường hợp số phương trình không bằng số ẩn số thì ma trận MỘT sẽ không vuông góc và do đó không thể tìm được nghiệm của hệ dưới dạng X = A -1 B.
Ví dụ. Giải hệ phương trình.
QUY TẮC CRAMER
Xét hệ 3 phương trình tuyến tính với 3 ẩn số:
Định thức bậc ba tương ứng với ma trận hệ thống, tức là bao gồm các hệ số cho ẩn số,
gọi điện yếu tố quyết định của hệ thống.
Hãy soạn thêm ba định thức như sau: thay tuần tự các cột 1, 2 và 3 trong định thức D bằng cột chứa các số hạng tự do
Khi đó ta có thể chứng minh kết quả sau.
Định lý (quy tắc Cramer). Nếu định thức của hệ Δ ≠ 0 thì hệ đang xét có một và chỉ một nghiệm, và
Bằng chứng. Vì vậy, hãy xét một hệ gồm 3 phương trình với ba ẩn số. Hãy nhân phương trình thứ nhất của hệ với phần bù đại số A 11 yếu tố số 11, phương trình thứ 2 – trên A 21 và thứ 3 – trên A 31:
Hãy thêm các phương trình sau:
Chúng ta hãy nhìn vào từng dấu ngoặc và vế phải của phương trình này. Theo định lý khai triển định thức theo phần tử cột 1
Tương tự, có thể chứng minh rằng và .
Cuối cùng, thật dễ dàng để nhận thấy rằng 
Do đó ta thu được đẳng thức: .
Kể từ đây, .
Các đẳng thức và đều có nguồn gốc tương tự, từ đó phát biểu định lý.
Do đó, chúng ta lưu ý rằng nếu định thức của hệ Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất và ngược lại. Nếu định thức của hệ bằng 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm, tức là. không tương thích.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Các phương pháp đã thảo luận trước đây chỉ có thể được sử dụng để giải các hệ trong đó số phương trình trùng với số ẩn và định thức của hệ phải khác 0. Phương pháp Gauss phổ biến hơn và phù hợp với các hệ thống có số lượng phương trình bất kỳ. Nó bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số khỏi các phương trình của hệ thống.
Xét lại hệ ba phương trình với ba ẩn số:
.
Chúng ta sẽ giữ nguyên phương trình đầu tiên và từ phương trình thứ 2 và thứ 3, chúng ta sẽ loại trừ các số hạng chứa x 1. Để làm điều này, chia phương trình thứ hai cho MỘT 21 và nhân với – MỘT 11, rồi cộng nó vào phương trình thứ nhất. Tương tự, chúng ta chia phương trình thứ ba cho MỘT 31 và nhân với – MỘT 11, rồi cộng nó với cái đầu tiên. Do đó, hệ ban đầu sẽ có dạng:
Bây giờ từ phương trình cuối cùng chúng ta loại bỏ số hạng chứa x 2. Để làm điều này, hãy chia phương trình thứ ba cho, nhân với và cộng với phương trình thứ hai. Khi đó ta sẽ có hệ phương trình:
Từ đây, từ phương trình cuối dễ dàng tìm được x 3, thì từ phương trình thứ 2 x 2 và cuối cùng, từ ngày 1 - x 1.
Khi sử dụng phương pháp Gaussian, các phương trình có thể được hoán đổi nếu cần thiết.
Thông thường, thay vì viết một hệ phương trình mới, họ hạn chế viết ra ma trận mở rộng của hệ phương trình:
và sau đó đưa nó về dạng tam giác hoặc đường chéo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.
ĐẾN các phép biến đổi cơ bản ma trận bao gồm các phép biến đổi sau:
- sắp xếp lại hàng hoặc cột;
- nhân một chuỗi với một số khác 0;
- thêm các dòng khác vào một dòng.
Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
Như vậy hệ có vô số nghiệm.
5.1. Quy tắc CramerSau khi thiết lập được các tính chất cơ bản và phương pháp tính định thức của ma trận cấp bất kỳ, chúng ta quay trở lại nhiệm vụ chính - giải và nghiên cứu hệ phương trình bậc 1. Hãy bắt đầu nghiên cứu vấn đề này bằng cách phân tích trường hợp chính khi số phương trình trùng với số ẩn.
Chúng ta nhân tất cả các số hạng của phương trình 1 của hệ (1) với A 11 - phần bù đại số của phần tử MỘT 11 của ma trận A, tất cả các số hạng của phương trình thứ 2 của hệ (1) trên A 21 - phần bù đại số của phần tử MỘT 21 ma trận A, cuối cùng là tất cả các số hạng của phương trình thứ n của hệ (1) trên A n1 - phần bù đại số của phần tử MỘT n1 của ma trận A. Khi đó ta thu được hệ
(1")
Cộng tất cả các phương trình của hệ số hạng theo số hạng, ta được
(
Một i1 A i1)x 1 +( Một i2 A i1)x 2 +...+( Một trong A i1)x n =b i A i1
Theo định lý về phần bù đại số, ta có
Một i1 A i1 =det A Một i2 A i1 =0, ........., Một trong A i1 = 0
Do đó, phương trình thu được có thể được viết lại dưới dạng 
Hãy xem xét ma trận
,
Thu được từ ma trận A bằng cách thay thế các phần tử của cột thứ 1 bằng cột chứa số hạng tự do của hệ phương trình. Khai triển det B1 trên các phần tử của cột thứ nhất, chúng ta thu được det B 1 =b i A i1 , và do đó 
Tương tự, nhân các phương trình của hệ (1) với Аі2 (u=1, 2, ... n) rồi cộng chúng ta được 
,
Bằng cách làm điều này trong tương lai, chúng ta thu được một hệ phương trình
(2),
Trong đó ma trận Bk thu được từ A bằng cách thay cột thứ k bằng cột chứa các số hạng tự do. Rõ ràng mọi nghiệm của hệ (1) cũng là nghiệm của hệ (2).
(3)
Hãy nhớ lại rằng các công thức (3) thu được với giả định rằng hệ (1) có nghiệm. Bằng cách thay thế trực tiếp các giá trị tìm được của X i vào hệ (1), người ta có thể xác minh rằng chúng là nghiệm của hệ (1) và do đó, theo giả định rằng 
, hệ (1) có nghiệm và hơn nữa là duy nhất.
^ Định lý (định lý Cramer): nếu định thức của ma trận chính của hệ gồm n phương trình bậc nhất với n ẩn số khác 0 thì hệ đó có nghiệm duy nhất. Trong trường hợp này, giá trị của mỗi ẩn số bằng phần chia của định thức của hai ma trận: mẫu số chứa định thức của ma trận chính của hệ và tử số chứa định thức của ma trận thu được từ ma trận chính của hệ thống bằng cách thay thế cột tương ứng với ẩn số đã chọn bằng cột chứa các thuật ngữ tự do.
Từ định lý này, suy ra rằng nếu hệ phương trình là đồng nhất, nghĩa là các số hạng tự do trong tất cả các phương trình của hệ đều bằng 0 và nếu định thức của ma trận chính của hệ khác 0 thì hệ chỉ có một giải pháp bằng không. Thật vậy, trong trường hợp này, các ma trận có định thức nằm trong tử số của công thức (3) chứa một cột chỉ chứa các số 0 và do đó tất cả các số X i đều bằng 0. Định lý sau đây suy ra từ điều đã được chứng minh:
^ Nếu một hệ gồm n phương trình thuần nhất bậc 1 với n ẩn số có ít nhất một nghiệm khác 0 thì định thức của ma trận chính của hệ bằng 0. Thật vậy, nếu định thức này không bằng 0 thì hệ sẽ chỉ có nghiệm 0, mâu thuẫn với điều kiện.
Trong tương lai, chúng ta sẽ chứng minh rằng sự đẳng thức của định thức của hệ bằng 0 không chỉ là điều kiện bắt buộc, cần thiết cho sự tồn tại nghiệm khác 0 mà còn là điều kiện đủ để tồn tại nghiệm đó. Nói cách khác, nếu định thức của một hệ phương trình thuần nhất bằng 0 thì hệ đó có nghiệm khác 0 (và vô số nghiệm như vậy).
^ 5.2. Giải và nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp khử hoàn toàn (Phương pháp Gauss).
Các công thức của Cramer cho phép sử dụng phương pháp tính định thức để tìm các giá trị số của nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp định thức của ma trận chính của hệ khác 0. Nhưng việc áp dụng thực tế các công thức này trong nhiều trường hợp rất phức tạp. Trước hết, cần lưu ý rằng để tìm giải pháp bằng công thức (3), cần phải tính n+1 định thức cấp n, đây là một công việc khá tốn công, ngay cả khi sử dụng các kỹ thuật được chỉ ra trong § 4. Nhưng điều quan trọng nhất là trong trường hợp khi các hệ số của phương trình được cho gần đúng (trong các bài toán thực tế, điều này hầu như luôn xảy ra), sai số trong lời giải có thể khá lớn. Điều này được giải thích là do các số hạng được bao gồm trong mỗi yếu tố quyết định mà qua đó nghiệm của hệ được xác định có thể khá lớn (hãy nhớ rằng chúng là tích của n thừa số - các hệ số khác nhau của ma trận mở rộng của hệ. ) và bản thân định thức, là tổng đại số, các số hạng như vậy có thể nhỏ. Ngay cả trong trường hợp khi biết chính xác các hệ số trong hệ phương trình ban đầu, nhưng bản thân các phép tính chỉ được thực hiện có tính đến một số chữ số có nghĩa nhất định, vì những lý do tương tự, chúng ta có thể nhận được sai số khá lớn trong kết quả. Do đó, trong việc giải thực tế các hệ phương trình, trong hầu hết các trường hợp, chúng không sử dụng công thức Cramer mà sử dụng các phương pháp tính toán khác.
Trong khóa học này, chúng ta sẽ xem xét phương pháp loại bỏ hoàn toàn việc giải hệ phương trình bậc 1 trong trường hợp số phương trình không trùng với số ẩn. Nhưng chúng ta sẽ bắt đầu trình bày phương pháp này với trường hợp chính: khi số phương trình trùng với số ẩn.
Vì vậy, một lần nữa cho hệ n phương trình với n ẩn số:
(1)
Vì ít nhất một trong các hệ số Một i1 khác 0 (nếu không x1 sẽ không được đưa vào hệ thống chút nào) và các phương trình trong hệ thống có thể được đổi chỗ, khi đó không có bất kỳ hạn chế nào về tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng 
Hãy chia phương trình thứ nhất của hệ cho a11 và đưa nó về dạng:
Nhân tất cả các số hạng của phương trình thu được với ai1 và trừ đi і phương trình của hệ (1), ta thu được hệ mới
(2),
i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ... , n
Vì các phương trình của hệ (2) thu được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phương trình của hệ (1), nên bất kỳ nghiệm nào của hệ (1) cũng là một nghiệm của hệ (2). Đồng thời, kể từ
Khi đó các phương trình của hệ (1) có thể thu được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phương trình của hệ (2). Do đó, mọi nghiệm của hệ (2) cũng là nghiệm của hệ (1). Do đó, hệ thống (1) và (2) là tương đương. (Tổ hợp tuyến tính của hai phương trình có 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n =d 1 i, với 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n =d 2 sẽ được gọi là phương trình 1 (c 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n) + 2 (c 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n)= 1 d 1 + 2 d 2, trong đó 1 và 2 là số)
Bây giờ chúng ta hãy so sánh các định thức D1 và D2 của ma trận chính của hệ (1) và (2). Hàng đầu tiên của ma trận chính của hệ thống (2) được lấy từ hàng đầu tiên của ma trận chính của hệ thống (1) bằng cách chia cho MỘT 11. Hoạt động này tương ứng với việc chia D1 cho a11. Các hàng khác có được bằng cách trừ đi các hàng tương ứng của ma trận chính của các giá trị hệ thống (1) tỷ lệ với hàng đầu tiên. Hoạt động này không làm thay đổi giá trị của định thức. Suy ra định thức D2 của ma trận chính của hệ (2) bằng 
. Và do đó 
, Nếu như 
và D2=0 nếu D1=0. Cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng chúng tôi chỉ thực hiện các phép tính với các hệ số của các phương trình của hệ (1), do đó không cần phải viết các phương trình. Chỉ cần viết ma trận mở rộng của hệ thống và chỉ biến đổi các phần tử của ma trận này là đủ.
Chúng ta sẽ biểu thị sự chuyển đổi từ ma trận mở rộng này sang ma trận mở rộng khác, trên thực tế, là sự chuyển đổi từ một hệ phương trình này sang một hệ phương trình tương đương với nó, bằng ký hiệu 
hoặc 
.
Khi đó các thao tác được thực hiện có thể được viết như sau:
Trước tiên chúng ta sẽ giả sử rằng định thức D1 của ma trận chính của hệ (1) là khác không. Sau đó, như đã nêu ở trên, 
, và do đó, trong trường hợp cực đoan, một trong các số 
(u=1, 2, ... , n) khác 0, vì nếu tất cả đều bằng 0 thì định thức D2 của ma trận chính của hệ (2) cũng sẽ bằng 0.
Vì các phương trình trong hệ (2) có thể hoán đổi cho nhau, do đó, không giới hạn, chúng ta có thể giả sử rằng 
. Hãy chia phương trình thứ 2 của hệ (2) cho 
,
nhân dòng kết quả với (i=1, 3, 4, ... , n) và trừ nó khỏi dòng thứ i.
Sau đó chúng ta sẽ có
Hệ phương trình tương ứng với ma trận B 3 tương đương với hệ (2) và do đó tương đương với hệ ban đầu (1). Định thức D3 của ma trận chính của hệ thống này khác 0, vì định thức D2 khác 0. Do đó, trong trường hợp cực đoan, một trong những số 
(u=3, ... , n) khác 0 và bạn có thể thực hiện lại các thao tác tương tự như trước. Tiếp tục suy nghĩ tương tự, sau n phép tính ta thu được ma trận
Hệ phương trình tương ứng có dạng
(3),
Giải pháp duy nhất của nó là (4)
Vì hệ (3) tương đương với hệ (1) và có nghiệm duy nhất nên hệ ban đầu (1) cũng có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức (4).
Ví dụ 1 . Giải quyết hệ thống
Giải pháp
x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2
Lưu ý rằng nếu hệ thống đồng nhất, tức là mọi số bi (u=1, 2, ... , n) đều bằng 0 thì mọi số đều bằng 0 
Do đó, hệ (1) trong trường hợp này chỉ có nghiệm bằng 0.
Giả sử định thức D1 của ma trận chính của hệ (1) bằng 0. Khi đó không thể nói rằng trong số những con số 
(u=m, m+1, ... , n) thu được sau giai đoạn biến đổi thứ (m-1), sẽ có ít nhất một giá trị khác 0. Hơn nữa, ở một giai đoạn nào đó, tất cả những con số này chắc chắn sẽ bằng 0 (nếu không chúng ta sẽ có một trường hợp khác). Vì vậy, hãy để ma trận thu được
Chúng ta hãy sắp xếp lại cột thứ m của ma trận vào vị trí của cột thứ n và tất cả những cột theo sau cột thứ m, ngoại trừ cột các thuật ngữ tự do 
chúng ta hãy di chuyển một vị trí sang bên trái (thao tác như vậy rõ ràng có nghĩa là sắp xếp lại các ẩn số trong phương trình của hệ hoặc đánh số lại chúng, tất nhiên, điều này không làm thay đổi nghiệm của hệ). Kết quả là chúng ta thu được ma trận
,
I=1, 2, ... , n;
k=m, m+1, ... , n.
Tiếp tục các phép biến đổi tương tự như trước, cuối cùng ta thu được ma trận
(5)
Ma trận (5) tương ứng với hệ phương trình
(6),
trong đó cái chưa biết 
khác với cái chưa biết X і
trong hệ thống (1) chỉ bằng cách đánh số. Vì hệ (6) tương đương với hệ (1) nên kết luận về nghiệm của hệ (1) tương đương với kết luận về nghiệm của hệ (6).
Rõ ràng, nếu ít nhất một trong các số 
(u=k+1, ... , n) không bằng 0 thì phương trình của hệ (6) và do đó phương trình của hệ (1) không tương thích. Nếu tất cả (i=k+1, ... , n) bằng 0 thì các phương trình là nhất quán. Đồng thời không rõ 
Bất kỳ giá trị nào cũng có thể được đưa ra và hệ thống có các giải pháp sau:
,
trong đó t1, t2, ... , te ( 
=n-k) tùy ý
Để thuận tiện cho việc quay lại hệ ẩn số ban đầu, sẽ rất hữu ích khi viết ký hiệu của các ẩn số tương ứng trên các cột của ma trận thu được trong quá trình biến đổi. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng nếu hệ ban đầu (1) là đồng nhất thì tất cả các số (u=1, 2, ... , n) đều bằng 0. Vì vậy, hai tuyên bố sau đây đúng.
1. Hệ phương trình đồng nhất bậc 1 luôn luôn nhất quán.
2. Nếu định thức của một hệ phương trình thuần nhất bậc 1 bằng 0 thì hệ đó có vô số nghiệm.
Ví dụ 2
Giải pháp
Hệ phương trình tương ứng với ma trận thu được có dạng:
Hệ thống nhất quán, x4=t là tùy ý. Hệ có vô số nghiệm
trong đó t là một số tùy ý.
Lưu ý rằng nếu các số hạng tự do trong các phương trình khác với các số hạng được chỉ định trong điều kiện thì hệ thống có thể không tương thích. Ví dụ: b4=1. Khi đó ma trận biến đổi của hệ thống sẽ là
và phương trình cuối cùng của hệ sẽ có dạng 0x1+0x2+0x3+0x4=1, điều này vô nghĩa.
Ví dụ 3.
Giải pháp.
Hệ thống tương thích, x2=t là tùy ý; x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1.
Phương pháp phân tích có thể được chuyển giao mà không có bất kỳ thay đổi nào đối với trường hợp số ẩn số không trùng với số phương trình.
II. Ví dụ về giải quyết vấn đề
1,20. Giải quyết hệ thống
Hãy tính định thức của hệ thống
Vì định thức của hệ khác 0 nên chúng ta áp dụng quy tắc Cramer. Để tính định thức của detB1, ta thay cột 
định thức của hệ thống bằng một cột các số hạng tự do 
. chúng tôi có
Định thức detB2 thu được bằng cách thay thế cột 
định thức của hệ thống bằng một cột các số hạng tự do:
Theo quy tắc Cramer, ta tìm được 
; 
Tập hợp số (5;-4) là nghiệm duy nhất của hệ này.
1,21. Tìm giải pháp hệ thống
Yếu tố quyết định của các hệ số hệ thống khác với 0:
detA= 
=2·3·(-5)+5·(-9) ·2+(-8) ·4·3-(-8) ·3·2-5·4·(-5)-2·3· (-9)=-140
Vì vậy, ta có thể áp dụng quy tắc Cramer
từ đây chúng ta tìm thấy 
; 
; 
Tập hợp số (3, 2, 1) là nghiệm duy nhất của hệ.
1,22. Giải quyết hệ thống
/IVp+II-I-III/ ~
Dễ dàng thấy rằng định thức của các hệ số của hệ thống bằng 0, vì hàng thứ 4 của nó bao gồm các số 0. Hàng cuối cùng của ma trận mở rộng cho biết hệ thống không tương thích.
1,23. Giải quyết hệ thống
Hãy viết ma trận mở rộng của hệ
/IIp. -2· Tôi, IIIp. -Tôi, IVp. -II-III/ ~
~
/chia ІІІр. tại (-3), IVp. bởi (-3)/
~
/ІІІр. +2· ІІ/ ~
Kết quả của tất cả các phép biến đổi, hệ phương trình tuyến tính này đã được rút gọn về dạng tam giác.
Nó chỉ có một giải pháp.
x3=1 x4=-1 x2=-2 x1=2 ▲
Các phương trình tương thích, x4=t là tùy ý,
1,25. Tìm giải pháp hệ thống
Hệ thống nhất quán, x4=t là tùy ý,
1.26. Giải quyết hệ thống
Hệ thống tương thích, x4=t tùy ý, x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t. ▲
^
§6 Xếp hạng ma trận, định lý về tính tương thích của hệ phương trình bậc nhất
Để nghiên cứu nhiều vấn đề liên quan đến việc giải hệ phương trình bậc 1 người ta thường đưa ra khái niệm thứ hạng ma trận.
Sự định nghĩa. Thứ hạng của ma trận là bậc cao nhất của định thức khác 0 của ma trận con vuông thu được từ một ma trận nhất định bằng cách xóa một số hàng và cột.
Ví dụ, hãy xem xét ma trận
Bằng cách xóa bất kỳ số hàng và cột nào, không thể thu được ma trận vuông cấp lớn hơn 3 từ một ma trận đã cho. Do đó, cấp bậc của nó không thể nhiều hơn ba. Nhưng bằng cách gạch bỏ một trong các cột, chúng ta sẽ nhận được ma trận vuông có hai hàng giống nhau và do đó định thức của chúng bằng 0. Do đó, hạng của ma trận ban đầu nhỏ hơn 3. Ví dụ, bằng cách gạch bỏ cột thứ 3, thứ 4 và hàng thứ 3, chúng ta sẽ có được ma trận vuông 
, định thức của nó không bằng 0. Như vậy, tất cả các định thức của ma trận con cấp 3 đều bằng 0, nhưng trong số các định thức của ma trận cấp 2 có một định thức khác 0. Như vậy, hạng của ma trận ban đầu bằng hai.
Hãy chứng minh định lý: thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình thực hiện các phép toán tuyến tính trên các hàng của nó.
Thật vậy, các phép toán tuyến tính với các hàng của bất kỳ ma trận nào đều dẫn đến các phép toán tuyến tính giống nhau với các hàng của bất kỳ ma trận con nào. Tuy nhiên, như đã nêu ở trên, trong các phép tính tuyến tính với các hàng ma trận vuông, các định thức của các ma trận này thu được từ nhau bằng cách nhân với một số khác 0. Do đó, định thức 0 vẫn bằng 0 và định thức khác 0 vẫn khác 0, nghĩa là bậc cao nhất của định thức khác 0 của ma trận con không thể thay đổi. Rõ ràng, việc sắp xếp lại các cột không ảnh hưởng đến thứ hạng của ma trận, vì việc sắp xếp lại như vậy chỉ có thể ảnh hưởng đến dấu của định thức tương ứng.
Từ định lý đã được chứng minh, suy ra rằng các ma trận biến đổi được xem xét ở đoạn trước có cùng hạng với ma trận ban đầu. Do đó, hạng của ma trận chính của hệ phương trình bậc nhất bằng số ma trận trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi.
Bây giờ chúng ta hãy chứng minh định lý về tính tương thích của hệ phương trình bậc 1 (định lý Kronecker-Capelli): Để hệ phương trình bậc nhất tương thích, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng trùng với hạng của ma trận chính.
Đặt hạng của ma trận chính của hệ thống bằng k. Nếu hạng của ma trận mở rộng của hệ cũng là k thì điều này có nghĩa là hệ chỉ chứa k phương trình hoặc toàn số 
(i= k+1, ... , k) trong ma trận đã biến đổi đều bằng 0 (nếu không thì hạng của ma trận mở rộng của ma trận đã biến đổi, và do đó, của hệ ban đầu, sẽ là k +1)
Đặt hạng của ma trận mở rộng được biến đổi (và do đó là ma trận gốc) của hệ thống lớn hơn k, nghĩa là lớn hơn số lượng ma trận trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi. Khi đó có ít nhất một ma trận con cấp (k+1) có định thức không bằng 0. Một ma trận con như vậy chỉ có thể thu được bằng cách thêm vào ma trận nhận dạng bậc k (nằm ở góc trên bên trái của ma trận đã biến đổi) một hàng và cột, bao gồm k số hạng tự do đầu tiên của các phương trình của hệ được biến đổi và bất kỳ số hạng tự do nào từ các phương trình n-k tiếp theo. Để định thức của ma trận con được chỉ định khác 0, phần tử được thêm cuối cùng này, tức là số (i=k+1, ... , k), cũng phải khác 0. Nhưng, như đã được chứng minh trước đó, trong trường hợp này 
hệ thống không tương thích. Do đó, hệ thống tương thích khi và chỉ khi hạng của ma trận chính trùng với hạng của ma trận mở rộng.
II. Ví dụ về giải quyết vấn đề
1,39. Tính thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản
Biển hiệu ở đâu 
chỉ ra rằng các ma trận được kết nối bởi nó được lấy từ nhau bằng các phép biến đổi cơ bản và do đó có cùng thứ hạng.
Thứ hạng của ma trận A là 2, tức là r=2. ^
1 giờ 40. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, tính hạng của ma trận
r=3 , bởi vì định thức của ma trận tam giác ở ba cột đầu tiên không bằng 0. ▲
Tính hạng của ma trận bằng phương pháp đóng khung
Chúng tôi chọn một thứ cấp hai trong ma trận này khác 0. Sau đó, chúng tôi tính toán các phần tử bậc ba đóng khung (bao gồm) phần được chọn cho đến khi chúng tôi tìm thấy trong số đó một phần tử khác 0. Tiếp theo, chúng ta tính toán các phần tử thứ tư, đóng khung phần thứ ba, khác 0, cho đến khi chúng ta tìm thấy một phần tử khác 0 trong số chúng, v.v. Nếu bạn tìm thấy một số thứ cấp khác 0 của cấp r và tất cả các cấp thứ (r+1) xung quanh nó bằng 0 hoặc không còn tồn tại, thì hạng của ma trận bằng r.
1,41. Tính thứ hạng ma trận
∆ 
Đã gạch bỏ III. , kể từ 2·ІІр. +Tôi làІІІр.
Hãy chọn, ví dụ, 
Hãy tính toán các trẻ vị thành niên bậc ba đóng khung nó
thứ thứ ba khác 0.
Nó được chứa trong định thức cấp bốn của một ma trận nhất định, bằng 0. Do đó, r=3. ▲
1,42. Giải hệ phương trình
a) Ở đây r(A)=3, r(B)=3; hệ thống tương thích, được xác định.
Bởi vì 
,
thì từ ba hệ đầu tiên, chẳng hạn, theo công thức của Cramer, chúng ta tìm thấy
x1=-1, x2=0, x3=1
b) Ở đây r(A)=2, r(B)=2; hệ thống tương thích nhưng không được xác định.
yếu tố quyết định 
và từ hai phương trình đầu tiên của hệ
trong đó các ẩn số x3 và x4 có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
c) trong trường hợp này r(A)=2, r(B)=3; và hệ thống không tương thích.
1,43. Sử dụng phương pháp Gaussian (loại bỏ tuần tự các ẩn số), giải hệ phương trình đồng nhất:
và tìm ra hệ thống giải pháp cơ bản của nó.
Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống (trong trường hợp này, tất nhiên, cột 0 không thể được viết). Sau khi biến đổi rõ ràng chúng ta sẽ có
nghĩa là hệ đã cho tương đương với hệ sau:
Ở đây r=3, và ba ẩn số có thể được biểu diễn dưới dạng ẩn số, chẳng hạn như sau:
x 2 = -2x 3 -3x 4 -9x 5 = -2x 3 -12x 5
x 1 = -2x 2 -3x 3 -4x 4 -5x 5 =x 3 +15x 5
Hệ cơ bản có thể thu được nếu các ẩn số tự do x3, x5 được cho giá trị x3=1, x5=0 (khi đó x1=1, x2=-2, x4=0) và giá trị x3=0, x5=1 ( thì x1=15, x2=-12, x4=1). Điều này mang lại một hệ thống giải pháp cơ bản:
e 1 =(1, -2, 1, 0, 0), e 2 =(15, -12, 0, 1, 1)
Sử dụng hệ cơ bản, lời giải tổng quát thường được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các lời giải e 1 năm e 2, đó là:
1,44. Tìm nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính và viết nghiệm tổng quát của nó
Hãy loại bỏ dòng thứ ba. Hệ thống đã được rút gọn thành hệ thống từng bước với các ẩn số chính x1, x2 và các ẩn số tự do x3, x4:
Từ phương trình cuối cùng 
. Từ lần đầu tiên 
Có 2 ẩn số tự do Do đó, chúng ta lấy định thức bậc hai với các phần tử đơn vị của đường chéo chính và các phần tử bằng 0 của đường chéo phụ: 
.
Hãy lấy một vectơ e 1 =
(
)
Vectơ e 1 và eđại diện cho một hệ thống cơ bản của các giải pháp.
Bây giờ giải pháp chung có thể được viết là
Hệ số ấn định 
,
bất kỳ giá trị số (tùy ý) nào chúng ta sẽ thu được các nghiệm từng phần khác nhau.
/trừ IV khỏi tất cả các dòng/ 
Các dòng II, III, V tỷ lệ với dòng đầu tiên sẽ bị gạch bỏ. Trong ma trận kết quả, chúng tôi sắp xếp lại cột I và II:
Thứ hạng của ma trận là 2.
Những ẩn số chính x2 và x1. Miễn phí - x3, x4, x5. Hệ thống bây giờ trông giống như:
Gán các giá trị tuần tự cho các ẩn số tự do bằng các phần tử của cột định thức
1) x3=1, x4=0, x5=0; 2) x3=0, x4=1, x5=0; 3) x3=0, x4=0, x5=1
1) x2=1, x1=1; 2) x2=1, x1=-2; 3) x2=-2, x1=1
tức là vectơ C 1 = (1, 2, 1, 0, 0)
C 2 =(-2, 1, 0, 1, 0)
C 3 =(1, -2, 0, 0, 1)
tạo thành một hệ thống cơ bản của các giải pháp. Giải pháp chung của hệ thống bây giờ sẽ vẫn còn.
ma trận hệ số
có hạng r=2 (kiểm tra).
Hãy chọn cho trẻ vị thành niên cơ bản 
Khi đó hệ rút gọn có dạng:
Khi đếm x3=c1, x4=c2, x5=c3, chúng ta tìm thấy
Giải pháp chung của hệ thống
Từ lời giải tổng quát ta tìm được hệ nghiệm cơ bản
Sử dụng hệ cơ bản, lời giải tổng quát có thể được viết
e=с1e1+с2e2+с3e3
^
§7 Các thao tác cơ bản với ma trận
Trong đoạn trước, các phép toán tuyến tính với các hàng và cột của các ma trận khác nhau đã được sử dụng rộng rãi. Nhưng trong một số câu hỏi về đại số tuyến tính cần xem xét các phép toán với ma trận như với một đối tượng.
Việc nghiên cứu các phép toán với ma trận dựa trên khái niệm đẳng thức ma trận. Chúng ta sẽ tiến hành từ việc này định nghĩa: Hai ma trận cùng chiều được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
Do đó, ma trận A và B có cùng thứ nguyên nxm bằng nhau khi và chỉ khi Aik=Bik i=1, 2,... , n; k=1, 2,... , m. Đồng thời, chúng tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ những ma trận có cùng chiều mới có thể so sánh được.
Tổng của hai ma trận A và B cùng chiều nxm là ma trận C cùng chiều sao cho
(C) ik =(A) ik +(B) ik (1)
Do đó, khi cộng các ma trận (chỉ được phép cộng các ma trận cùng chiều) thì phải cộng tất cả các phần tử tương ứng của chúng.
Vì phép cộng ma trận rút gọn thành phép cộng số - các phần tử của các ma trận này, nên hiển nhiên có tính chất giao hoán và kết hợp.
A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C) (2)
Tích của ma trận A và số (hoặc số và ma trận A) là ma trận B sao cho
(B) ik =(A) ik (3),
nghĩa là khi nhân một ma trận với một số (hoặc các số với một ma trận) thì tất cả các phần tử của ma trận đều phải nhân với số đó. Hãy nhớ lại rằng khi nhân với số của định thức ma trận, chỉ cần nhân các phần tử của bất kỳ hàng (hoặc cột) nào với số này là đủ.
Dễ dàng kiểm tra rằng khi nhân một ma trận với một số, thuộc tính phân phối có đúng:
(A+B)=A+B; (+)=A+B (4)
Bây giờ chúng ta định nghĩa tích của hai ma trận. Cho ma trận A có chiều nxm và ma trận B có chiều mxp.
Sự định nghĩa. Tích của ma trận A có chiều nxm với ma trận B có chiều mxp là ma trận C có chiều nxp sao cho
(5),
nói cách khác, để thu được một phần tử ở hàng thứ i và ở cột thứ k của ma trận tích, bạn cần tính tổng các tích của các phần tử ở hàng thứ i của thừa số thứ nhất và các phần tử tương ứng của cột thứ k của yếu tố thứ hai. Vì vậy, để có thể cộng tổng đã cho thì số cột của ma trận thứ nhất (tức là số phần tử ở mỗi hàng) phải bằng số hàng ở ma trận kia (tức là số phần tử ở mỗi hàng). của các phần tử trong mỗi cột).
Ví dụ 1.
Tìm AB
Giải pháp. Ma trận A có kích thước 3x2, ma trận B có kích thước 2x2; sản phẩm tồn tại - đó là ma trận 3x2.
Tích của ma trận không có tính chất hoán đổi: AB nói chung không bằng BA.
Thứ nhất, từ thực tế là AB có thể tính được, thì BA hoàn toàn không có ý nghĩa. Ví dụ, trong ví dụ vừa thảo luận, việc sắp xếp lại các thừa số, tức là nhân B với A, là không thể, vì không thể nhân ma trận 2x2 với ma trận 3x2 - số cột của ma trận đầu tiên ở đây không bằng số hàng của hàng kia. Nhưng ngay cả khi sản phẩm BA tồn tại thì thường 
. Hãy xem một ví dụ.
Cho phép 
. Sau đó
Đồng thời, có thể chứng minh (chúng tôi khuyên bạn đọc nên thực hiện chứng minh như vậy) rằng
(AB)C=A(BC) (6)
A(B+C)=AB+AC
(người ta thường cho rằng tất cả những tác phẩm này đều có ý nghĩa).
Theo định nghĩa tích ma trận, luôn có thể nhân các ma trận vuông cùng cấp và tích sẽ là ma trận cùng cấp. Chúng ta hãy lưu ý mà không cần chứng minh một trong các tính chất của tích các ma trận vuông cùng cấp: định thức của tích hai ma trận cùng cấp bằng tích các định thức của hai ma trận đó khi nhân với nhau.
Rất thường xuyên, chúng ta phải xét tích của ma trận có chiều nxm với ma trận có chiều mx1, tức là ma trận có một cột. Rõ ràng, kết quả là chúng ta sẽ nhận được một ma trận có chiều nx1, tức là cũng là một ma trận có một cột. Ví dụ: bạn cần nhân ma trận
đến ma trận 
Kết quả là chúng ta thu được ma trận 
, các phần tử được tính bằng công thức:
Nhưng điều này có nghĩa là hệ phương trình bậc 1 được thảo luận ở đoạn trước có thể được viết dưới dạng ma trận rất thuận tiện: AX=B.
Một vai trò thiết yếu trong các ứng dụng khác nhau của đại số ma trận là ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo (nghĩa là các phần tử nằm trên đường chéo chính) đều bằng 1 và tất cả các phần tử khác đều bằng 0. Ma trận như vậy được gọi là ma trận nhận dạng. Rõ ràng, định thức của ma trận nhận dạng
= 1
Các thuộc tính sau đây của ma trận đồng nhất là đặc trưng: cho ma trận vuông A cấp n và ma trận đơn vị E có cùng cấp. Khi đó AE=EA=A.
Thật sự 
, Nhưng 
Do đó tổng cộng 
chỉ những thành phần có e=k khác 0. Do đó, (AE) ік =(A) ік, và do đó AE=A. Chúng tôi thu được kết quả tương tự cho sản phẩm EA.
Ví dụ về giải quyết vấn đề
1,61. Tìm tích AB và BA của hai ma trận
∆ Tích AB không tồn tại vì số cột của ma trận A không bằng số hàng của ma trận B. Số cột của ma trận B bằng số hàng của ma trận A. Do đó, tích BA tồn tại:
1,62. Tìm ma trận 2A+5B nếu
1. Phương pháp thay thế: từ bất kỳ phương trình nào của hệ, chúng ta biểu diễn một ẩn số thông qua một ẩn số khác và thay nó vào phương trình thứ hai của hệ.
Nhiệm vụ. Giải hệ phương trình:
Giải pháp. Từ phương trình đầu tiên của hệ ta biểu diễn Tại bởi vì X và thế nó vào phương trình thứ hai của hệ. Hãy lấy hệ thống 
tương đương với bản gốc.
Sau khi đưa các điều khoản tương tự, hệ thống sẽ có dạng:
Từ phương trình thứ hai ta tìm được: . Thay thế giá trị này vào phương trình Tại = 2 - 2X, chúng tôi nhận được Tại= 3. Do đó nghiệm của hệ này là một cặp số .
2. Phương pháp cộng đại số: Bằng cách cộng hai phương trình, bạn sẽ có được phương trình có một biến.
Nhiệm vụ. Giải hệ phương trình:
Giải pháp. Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta thu được hệ 
tương đương với bản gốc. Cộng hai phương trình của hệ này ta được hệ 
Sau khi đưa các điều khoản tương tự, hệ thống này sẽ có dạng: 
Từ phương trình thứ hai ta tìm được . Thay giá trị này vào phương trình 3 X + 4Tại= 5, ta được 
, Ở đâu . Vì vậy, nghiệm của hệ này là một cặp số.
3. Phương pháp giới thiệu biến mới: chúng tôi đang tìm kiếm một số biểu thức lặp lại trong hệ thống, chúng tôi sẽ biểu thị bằng các biến mới, từ đó đơn giản hóa hình thức của hệ thống.
Nhiệm vụ. Giải hệ phương trình:
Giải pháp. Hãy viết hệ thống này theo cách khác: 
Cho phép x + y = bạn, xy = v. Sau đó chúng ta có được hệ thống
Hãy giải quyết nó bằng phương pháp thay thế. Từ phương trình đầu tiên của hệ ta biểu diễn bạn bởi vì v và thế nó vào phương trình thứ hai của hệ. Hãy lấy hệ thống 
những thứ kia. 
Từ phương trình thứ hai của hệ ta tìm được v 1 = 2, v 2 = 3.
Thay thế các giá trị này vào phương trình bạn = 5 - v, chúng tôi nhận được bạn 1 = 3,
bạn 2 = 2. Khi đó ta có hai hệ
Giải hệ thứ nhất ta được hai cặp số (1; 2), (2; 1). Hệ thống thứ hai không có giải pháp.
Bài tập làm việc độc lập
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế.