Giải các hệ bất đẳng thức hợp lý trực tuyến. Hệ bất đẳng thức - thông tin cơ bản

Trong bài học này chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu các hệ bất đẳng thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các hệ bất đẳng thức tuyến tính. Khi bắt đầu bài học, chúng ta sẽ xem xét vị trí và lý do tại sao hệ thống bất bình đẳng phát sinh. Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu ý nghĩa của việc giải một hệ thống và ghi nhớ phép hợp và giao của các tập hợp. Cuối cùng chúng ta sẽ giải các ví dụ cụ thể về hệ bất đẳng thức tuyến tính.

Chủ thể: Ăn kiêngbất bình đẳng và hệ thống của họ

Bài học:Chủ yếukhái niệm, giải hệ bất phương trình tuyến tính

Cho đến nay chúng ta đã giải được các bất đẳng thức riêng lẻ và áp dụng phương pháp khoảng cho chúng, đây có thể là bất đẳng thức tuyến tính, vừa vuông vắn vừa hợp lý. Bây giờ chúng ta chuyển sang giải hệ bất phương trình - đầu tiên hệ thống tuyến tính. Hãy xem một ví dụ về nhu cầu xem xét các hệ thống bất bình đẳng xuất phát từ đâu.

Tìm miền xác định của hàm

Tìm miền xác định của hàm

Một hàm tồn tại khi có cả hai căn bậc hai, tức là

Làm thế nào để giải quyết một hệ thống như vậy? Cần tìm tất cả x thỏa mãn cả bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai.

Chúng ta hãy vẽ trên trục bò tập hợp nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai.

Khoảng giao nhau của hai tia là giải pháp của chúng tôi.

Phương pháp mô tả nghiệm của hệ bất đẳng thức này đôi khi được gọi là phương pháp mái.

Giải pháp của hệ thống là giao điểm của hai tập hợp.

Hãy mô tả điều này bằng đồ họa. Chúng ta có tập A có tính chất tùy ý và tập B có tính chất tùy ý, giao nhau.

Định nghĩa: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp thứ ba gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B.

Sử dụng các ví dụ cụ thể về giải các hệ bất phương trình tuyến tính, chúng ta hãy xem xét cách tìm giao của các tập nghiệm cho các bất phương trình riêng lẻ có trong hệ.

Giải hệ bất phương trình:

Trả lời: (7; 10].

4. Giải hệ

Sự bất bình đẳng thứ hai của hệ thống có thể đến từ đâu? Ví dụ, từ bất đẳng thức

Chúng ta hãy biểu thị bằng đồ thị các nghiệm của từng bất đẳng thức và tìm khoảng giao nhau của chúng.

Vì vậy, nếu chúng ta có một hệ trong đó một trong các bất đẳng thức thỏa mãn bất kỳ giá trị x nào thì nó có thể bị loại bỏ.

Trả lời: hệ thống này mâu thuẫn.

Chúng tôi đã xem xét các bài toán hỗ trợ điển hình mà lời giải của bất kỳ hệ bất đẳng thức tuyến tính nào có thể được rút gọn.

Hãy xem xét hệ thống sau đây.

7.

Đôi khi một hệ thống tuyến tính được cho bởi bất đẳng thức kép; hãy xem xét trường hợp như vậy.

8.

Chúng tôi đã xem xét các hệ bất đẳng thức tuyến tính, hiểu chúng đến từ đâu, xem xét các hệ thống tiêu chuẩn mà tất cả các hệ tuyến tính có thể được rút gọn và giải quyết một số trong số chúng.

1. Mordkovich A.G. và các bài khác Đại số lớp 9: Sách giáo khoa. Đối với giáo dục phổ thông Các tổ chức.- tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 tr.: ốm.

2. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm.

3. Makarychev Yu. Lớp 9: giáo dục. dành cho học sinh phổ thông. tổ chức / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - tái bản lần thứ 7, rev. và bổ sung - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Đại số. lớp 9. tái bản lần thứ 16 - M., 2011. - 287 tr.

5. Mordkovich A. G. Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - tái bản lần thứ 12, đã xóa. - M.: 2010. - 224 tr.: ốm.

6. Đại số. lớp 9. Gồm 2 phần. Phần 2. Sách giải bài tập cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina và những người khác; Ed. A. G. Mordkovich. - tái bản lần thứ 12, sửa đổi. - M.: 2010.-223 tr.: bệnh.

1. Cổng thông tin khoa học tự nhiên ().

2. Tổ hợp phương pháp và giáo dục điện tử để chuẩn bị lớp 10-11 cho kỳ thi tuyển sinh các môn khoa học máy tính, toán, tiếng Nga ().

4. Trung tâm Đào tạo “Công nghệ giảng dạy” ().

5. Phần College.ru về toán học ().

1. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm. số 53; 54; 56; 57.

Bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức là một trong những chủ đề được dạy trong môn đại số ở trường phổ thông. Về mức độ khó, nó không phải là khó nhất vì nó có các quy tắc đơn giản (sẽ nói thêm về chúng sau). Theo quy luật, học sinh học cách giải hệ bất phương trình khá dễ dàng. Điều này cũng là do giáo viên chỉ đơn giản là “huấn luyện” học sinh của mình về chủ đề này. Và họ không thể không làm điều này, bởi vì nó sẽ được nghiên cứu trong tương lai bằng cách sử dụng các đại lượng toán học khác, đồng thời cũng được kiểm tra trong Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất. Trong sách giáo khoa ở trường, chủ đề về bất bình đẳng và hệ thống bất bình đẳng được trình bày rất chi tiết, vì vậy nếu bạn định nghiên cứu nó, tốt nhất bạn nên sử dụng chúng. Bài viết này chỉ tóm tắt tài liệu lớn hơn và có thể có một số thiếu sót.

Khái niệm hệ bất đẳng thức

Nếu chuyển sang ngôn ngữ khoa học, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm “hệ bất đẳng thức”. Đây là một mô hình toán học thể hiện một số bất đẳng thức. Mô hình này tất nhiên cần có lời giải và đây sẽ là đáp án chung cho tất cả các bất đẳng thức của hệ được đề xuất trong bài (thông thường nó được viết như thế này, ví dụ: “Giải hệ bất phương trình 4 x + 1 > 2 và 30 - x > 6... "). Tuy nhiên, trước khi chuyển sang các loại và phương pháp giải pháp, bạn cần hiểu một điều khác.

Hệ bất đẳng thức và hệ phương trình

Khi học một chủ đề mới, những hiểu lầm thường nảy sinh. Một mặt, mọi thứ đều rõ ràng và bạn muốn bắt đầu giải quyết nhiệm vụ càng sớm càng tốt, nhưng mặt khác, một số khoảnh khắc vẫn nằm trong “bóng tối” và không được hiểu đầy đủ. Ngoài ra, một số yếu tố của kiến ​​thức đã thu được có thể được đan xen với những kiến ​​thức mới. Do sự “chồng chéo” này nên thường xuyên xảy ra lỗi.

Do đó, trước khi bắt đầu phân tích chủ đề của mình, chúng ta nên nhớ sự khác biệt giữa các phương trình, bất đẳng thức và hệ thống của chúng. Để làm được điều này, chúng ta cần giải thích một lần nữa những khái niệm toán học này biểu thị điều gì. Một phương trình luôn là một đẳng thức và nó luôn bằng một cái gì đó (trong toán học từ này được biểu thị bằng dấu "="). Bất bình đẳng là một mô hình trong đó một giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị khác hoặc chứa tuyên bố rằng chúng không giống nhau. Vì vậy, trong trường hợp đầu tiên, việc nói về sự bình đẳng là thích hợp, và trong trường hợp thứ hai, cho dù ngay từ cái tên có vẻ rõ ràng đến mức nào, về sự bất bình đẳng của dữ liệu ban đầu. Các hệ phương trình và bất phương trình thực tế không khác nhau và cách giải chúng cũng giống nhau. Sự khác biệt duy nhất là trong trường hợp đầu tiên, bất đẳng thức được sử dụng và trong trường hợp thứ hai, bất đẳng thức được sử dụng.

Các loại bất bình đẳng

Có hai loại bất đẳng thức: số và bất đẳng thức chưa biết. Loại đầu tiên biểu thị các số lượng (số) được cung cấp không bằng nhau, ví dụ: 8 > 10. Loại thứ hai là các bất đẳng thức chứa một biến không xác định (ký hiệu bằng một chữ cái trong bảng chữ cái Latinh, thường là X). Biến này cần được tìm thấy. Tùy thuộc vào số lượng, mô hình toán học phân biệt giữa các bất đẳng thức với một (chúng tạo thành hệ bất đẳng thức với một biến) hoặc một số biến (chúng tạo thành hệ bất đẳng thức với nhiều biến).

Hai loại cuối cùng, theo mức độ xây dựng và mức độ phức tạp của giải pháp, được chia thành đơn giản và phức tạp. Những bất đẳng thức đơn giản còn được gọi là bất đẳng thức tuyến tính. Họ lần lượt được chia thành nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt. Những người nghiêm ngặt đặc biệt “nói” rằng một đại lượng nhất thiết phải ít hơn hoặc nhiều hơn, vì vậy đây là sự bất bình đẳng thuần túy. Có thể đưa ra một số ví dụ: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, v.v. Những ví dụ không nghiêm ngặt cũng bao gồm đẳng thức. Nghĩa là, một giá trị có thể lớn hơn hoặc bằng một giá trị khác (dấu “ ≥”) hoặc nhỏ hơn hoặc bằng giá trị khác (dấu “ ”). Ngay cả trong các bất đẳng thức tuyến tính, biến không ở gốc, bình phương hoặc chia hết cho bất cứ thứ gì, đó là lý do tại sao chúng được gọi là “đơn giản”. Những cái phức tạp liên quan đến các biến chưa biết đòi hỏi nhiều phép toán hơn để tìm. Chúng thường nằm trong một hình vuông, khối lập phương hoặc dưới một gốc, chúng có thể là mô đun mô đun, logarit, phân số, v.v. Nhưng vì nhiệm vụ của chúng ta là cần hiểu nghiệm của hệ bất phương trình, nên chúng ta sẽ nói về hệ bất phương trình tuyến tính . Tuy nhiên, trước đó cần nói vài lời về đặc tính của chúng.

Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất của bất đẳng thức bao gồm:

1. Dấu bất đẳng thức bị đảo ngược nếu một phép toán được sử dụng để thay đổi thứ tự của các cạnh (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 thì t 2 ≥ t 1).
2. Cả hai vế của bất đẳng thức đều cho phép bạn cộng cùng một số với chính nó (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 thì t 1 + số ≤ t 2 + số).
3. Hai hoặc nhiều bất đẳng thức cùng dấu cho phép cộng vế trái và vế phải của chúng (ví dụ: nếu t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 thì t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Cả hai phần của bất đẳng thức có thể được nhân hoặc chia cho cùng một số dương (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 và một số ≤ 0 thì số · t 1 ≥ số · t 2).
5. Hai hoặc nhiều bất đẳng thức có số hạng dương và dấu cùng chiều cho phép chúng được nhân với nhau (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 thì t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Cả hai phần của bất đẳng thức đều cho phép nhân hoặc chia cho cùng một số âm, nhưng trong trường hợp này dấu của bất đẳng thức thay đổi (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 và một số ≤ 0, thì số · t 1 ≥ số · t 2).
7. Mọi bất đẳng thức đều có tính chất bắc cầu (ví dụ: nếu t 1 ≤ t 2 và t 2 ≤ t 3 thì t 1 ≤ t 3).

Bây giờ, sau khi nghiên cứu các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết liên quan đến bất đẳng thức, chúng ta có thể tiến hành xem xét trực tiếp các quy tắc để giải hệ thống của chúng.

Giải các hệ bất đẳng thức. Thông tin chung. Giải pháp

Như đã đề cập ở trên, nghiệm là các giá trị của biến phù hợp với mọi bất đẳng thức của hệ đã cho. Giải hệ bất phương trình là việc thực hiện các phép toán để cuối cùng dẫn đến nghiệm của toàn bộ hệ hoặc chứng minh rằng nó không có nghiệm. Trong trường hợp này, biến được cho là thuộc về một tập số trống (được viết như sau: chữ cái biểu thị một biến∈ (ký “thuộc về”) ø (ký “tập rỗng”), ví dụ x ∈ ø (đọc: “Biến “x” thuộc về tập rỗng”). Có một số cách giải hệ bất phương trình: đồ thị, đại số, phương pháp thay thế. Điều đáng chú ý là họ đề cập đến những mô hình toán học có một số biến chưa biết. Trong trường hợp chỉ có một thì phương pháp khoảng là phù hợp.

Phương pháp đồ họa

Cho phép bạn giải hệ bất phương trình với một số đại lượng chưa biết (từ hai trở lên). Nhờ phương pháp này mà hệ bất phương trình tuyến tính có thể được giải khá dễ dàng và nhanh chóng nên là phương pháp phổ biến nhất. Điều này được giải thích là do việc vẽ đồ thị làm giảm số lượng thao tác toán học. Sẽ đặc biệt dễ chịu khi tạm dừng bút một chút, cầm bút chì bằng thước kẻ và bắt đầu các hành động tiếp theo với sự giúp đỡ của họ khi nhiều công việc đã được thực hiện và bạn muốn có một chút đa dạng. Tuy nhiên, một số người không thích phương pháp này vì họ phải tách khỏi công việc và chuyển hoạt động tinh thần sang vẽ. Tuy nhiên, đây là một phương pháp rất hiệu quả.

Để giải hệ bất phương trình bằng phương pháp đồ thị, cần phải chuyển tất cả các số hạng của mỗi bất phương trình sang vế trái của chúng. Các dấu sẽ bị đảo ngược, số 0 phải được viết ở bên phải, khi đó mỗi bất đẳng thức cần được viết riêng. Kết quả là, các hàm sẽ thu được từ các bất đẳng thức. Sau đó, bạn có thể lấy bút chì và thước kẻ ra: bây giờ bạn cần vẽ đồ thị của từng hàm thu được. Toàn bộ tập hợp các số nằm trong khoảng giao nhau của chúng sẽ là nghiệm của hệ bất phương trình.

cách đại số

Cho phép bạn giải hệ bất phương trình với hai biến chưa biết. Ngoài ra, các bất đẳng thức phải có cùng dấu bất đẳng thức (nghĩa là chúng chỉ được chứa dấu “lớn hơn” hoặc chỉ dấu “nhỏ hơn”, v.v.). Mặc dù có những hạn chế nhưng phương pháp này cũng phức tạp hơn. Nó được áp dụng trong hai giai đoạn.

Việc đầu tiên liên quan đến các hành động để loại bỏ một trong các biến chưa biết. Trước tiên, bạn cần chọn nó, sau đó kiểm tra sự hiện diện của các số ở phía trước biến này. Nếu chúng không có ở đó (khi đó biến sẽ trông giống như một chữ cái), thì chúng ta không thay đổi gì cả, nếu có (loại của biến sẽ là 5y hoặc 12y), thì cần phải thực hiện chắc chắn rằng trong mỗi bất đẳng thức, số đứng trước biến được chọn là như nhau. Để làm điều này, bạn cần nhân từng số hạng của các bất đẳng thức với một thừa số chung, ví dụ: nếu 3y được viết trong bất đẳng thức thứ nhất và 5y trong bất đẳng thức thứ hai, thì bạn cần nhân tất cả các số hạng của bất đẳng thức thứ nhất với 5 , và lần thứ hai bằng 3. Bạn nhận được lần lượt là 15y và 15y.

Giai đoạn thứ hai của giải pháp. Cần chuyển vế trái của mỗi bất đẳng thức sang vế phải của chúng, đổi dấu của mỗi số hạng sang ngược lại và viết số 0 ở bên phải. Sau đó đến phần thú vị: loại bỏ biến đã chọn (còn được gọi là “rút gọn”) trong khi cộng các bất đẳng thức. Điều này dẫn đến bất đẳng thức với một biến cần được giải. Sau đó, bạn nên làm điều tương tự, chỉ với một biến chưa xác định khác. Kết quả thu được sẽ là lời giải của hệ thống.

Phương pháp thay thế

Cho phép bạn giải hệ bất phương trình nếu có thể đưa ra một biến mới. Thông thường, phương pháp này được sử dụng khi biến chưa biết trong một số hạng của bất đẳng thức được nâng lên lũy thừa thứ tư và trong số hạng kia nó bình phương. Vì vậy, phương pháp này nhằm mục đích giảm mức độ bất bình đẳng trong hệ thống. Bất đẳng thức mẫu x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 được giải theo cách này. Một biến mới được giới thiệu, ví dụ t. Họ viết: “Cho t = x 2”, sau đó mô hình được viết lại dưới dạng mới. Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta nhận được t 2 - t - 1 0. Bất đẳng thức này cần được giải bằng phương pháp khoảng (sẽ nói thêm về điều đó sau), sau đó quay lại biến X, sau đó thực hiện tương tự với bất đẳng thức kia. Các câu trả lời nhận được sẽ là lời giải của hệ thống.

Phương pháp ngắt quãng

Đây là cách đơn giản nhất để giải hệ bất phương trình, đồng thời có tính phổ biến và phổ biến. Nó được sử dụng trong các trường trung học và thậm chí ở các trường trung học. Bản chất của nó nằm ở chỗ học sinh tìm kiếm các khoảng bất đẳng thức trên trục số được vẽ trong vở (đây không phải là đồ thị mà chỉ là một đường thẳng có số thông thường). Khi các khoảng bất đẳng thức giao nhau, giải pháp của hệ thống sẽ được tìm thấy. Để sử dụng phương pháp khoảng thời gian, bạn cần làm theo các bước sau:

1. Tất cả các số hạng của mỗi bất đẳng thức được chuyển sang vế trái với dấu đổi ngược lại (số 0 được viết ở bên phải).
2. Các bất đẳng thức được viết riêng biệt và nghiệm của từng bất đẳng thức được xác định.
3. Tìm giao điểm của các bất đẳng thức trên trục số. Tất cả các số nằm ở các nút giao thông này sẽ là giải pháp.

Tôi nên sử dụng phương pháp nào?

Rõ ràng là cách có vẻ dễ dàng và thuận tiện nhất, nhưng có những trường hợp nhiệm vụ yêu cầu một phương pháp nhất định. Thông thường họ nói rằng bạn cần giải bằng cách sử dụng biểu đồ hoặc phương pháp khoảng. Phương pháp đại số và phép thế được sử dụng cực kỳ hiếm hoặc hoàn toàn không được sử dụng vì chúng khá phức tạp và khó hiểu, hơn nữa, chúng được sử dụng nhiều hơn để giải hệ phương trình hơn là bất đẳng thức, vì vậy bạn nên dùng đến việc vẽ đồ thị và khoảng. Chúng mang lại sự rõ ràng, không thể không góp phần thực hiện các phép toán một cách hiệu quả và nhanh chóng.

Nếu có điều gì đó không ổn

Khi nghiên cứu một chủ đề cụ thể trong đại số, một cách tự nhiên, các vấn đề có thể nảy sinh trong việc hiểu nó. Và điều này là bình thường, bởi vì bộ não của chúng ta được thiết kế theo cách mà nó không thể hiểu được những tài liệu phức tạp trong một lần. Thông thường, bạn cần đọc lại một đoạn văn, nhờ giáo viên giúp đỡ hoặc luyện tập giải các bài tập thông thường. Trong trường hợp của chúng tôi, chẳng hạn, chúng trông như thế này: “Giải hệ bất phương trình 3 x + 1 ≥ 0 và 2 x - 1 > 3.” Vì vậy, mong muốn cá nhân, sự giúp đỡ từ người ngoài và thực hành sẽ giúp hiểu được bất kỳ chủ đề phức tạp nào.

Người giải quyết?

Sách giải cũng rất phù hợp, nhưng không phải để chép bài tập về nhà mà để tự học. Trong đó, bạn có thể tìm thấy các hệ bất đẳng thức có lời giải, xem chúng (dưới dạng mẫu), cố gắng hiểu chính xác cách tác giả của giải pháp giải quyết nhiệm vụ và sau đó cố gắng tự mình thực hiện điều tương tự.

Kết luận

Đại số là một trong những môn học khó nhất ở trường. Vâng, bạn có thể làm gì? Toán học luôn là như vậy: đối với một số người thì dễ, nhưng đối với những người khác thì lại khó. Nhưng trong mọi trường hợp, cần nhớ rằng chương trình giáo dục phổ thông được cấu trúc sao cho bất kỳ học sinh nào cũng có thể đối phó được. Ngoài ra, người ta phải ghi nhớ số lượng trợ lý khổng lồ. Một số trong số họ đã được đề cập ở trên.

xem thêm Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng đồ họa, Dạng chuẩn của bài toán quy hoạch tuyến tính

Hệ thống các ràng buộc cho bài toán này bao gồm các bất đẳng thức hai biến:
và hàm mục tiêu có dạng F = C 1 x + C 2 yđiều cần được tối đa hóa.

Hãy trả lời câu hỏi: cặp số nào ( x; y) là nghiệm của hệ bất phương trình, nghĩa là chúng có thỏa mãn đồng thời từng bất phương trình không? Nói cách khác, việc giải quyết một hệ thống bằng đồ họa có ý nghĩa gì?
Trước tiên, bạn cần hiểu nghiệm của một bất đẳng thức tuyến tính với hai ẩn số là gì.
Giải bất đẳng thức tuyến tính với hai ẩn số có nghĩa là xác định tất cả các cặp giá trị chưa biết mà bất đẳng thức đó đúng.
Ví dụ: bất đẳng thức 3 x – 5y≥ 42 cặp thỏa mãn ( x , y) : (100, 2); (3, –10), v.v. Nhiệm vụ là tìm tất cả các cặp như vậy.
Xét hai bất đẳng thức: rìu + qua≤ c, rìu + qua≥ c. Thẳng rìu + qua = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng sao cho tọa độ các điểm của một trong chúng thỏa mãn bất đẳng thức rìu + qua >c, và bất đẳng thức khác rìu + +qua <c.
Thật vậy, chúng ta hãy lấy một điểm với tọa độ x = x 0 ; khi đó một điểm nằm trên một đường thẳng và có trục hoành x 0, có tọa độ

Hãy chắc chắn Một< 0, b>0, c> 0. Tất cả các điểm có hoành độ x 0 nằm phía trên P(ví dụ: chấm M), có y M>y 0 và tất cả các điểm dưới điểm P, với abscissa x 0, có y N<y 0 . Từ x 0 là một điểm tùy ý thì sẽ luôn có những điểm nằm về một phía của đường thẳng mà rìu+ qua > c, tạo thành một nửa mặt phẳng và ở phía bên kia - các điểm mà rìu + qua< c.

Hình 1

Dấu bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng phụ thuộc vào các số Một, b , c.
Điều này dẫn đến phương pháp sau đây để giải các hệ bất phương trình tuyến tính hai biến bằng đồ thị. Để giải hệ phương trình bạn cần:

1. Với mỗi bất đẳng thức, hãy viết phương trình tương ứng với bất đẳng thức đó.
2. Xây dựng các đường thẳng là đồ thị của hàm số được xác định bởi phương trình.
3. Với mỗi đường thẳng, hãy xác định nửa mặt phẳng được cho bởi bất đẳng thức. Để làm điều này, hãy lấy một điểm tùy ý không nằm trên một đường thẳng và thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức. nếu bất đẳng thức đúng thì nửa mặt phẳng chứa điểm đã chọn là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu. Nếu bất đẳng thức sai thì nửa mặt phẳng bên kia đường thẳng là tập nghiệm của bất đẳng thức này.
4. Để giải hệ bất phương trình cần tìm diện tích giao của tất cả các nửa mặt phẳng là nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Diện tích này có thể trống rỗng, khi đó hệ bất đẳng thức không có lời giải và không nhất quán. Ngược lại hệ thống được cho là nhất quán.
Có thể có một số hữu hạn hoặc vô số lời giải. Khu vực này có thể là một đa giác khép kín hoặc không giới hạn.

Hãy xem xét ba ví dụ có liên quan.

Ví dụ 1. Giải hệ bằng đồ thị:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• Xét các phương trình x+y–1=0 và –2x–2y+5=0 tương ứng với các bất đẳng thức;
• Hãy dựng các đường thẳng cho bởi các phương trình này.

Hình 2

Chúng ta hãy định nghĩa các nửa mặt phẳng được xác định bởi các bất đẳng thức. Hãy lấy một điểm tùy ý, gọi là (0; 0). Hãy xem xét x+ y- 1 0, thay điểm (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Điều này có nghĩa là trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, x + y – 1 0, tức là nửa mặt phẳng nằm dưới đường thẳng là nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất. Thay điểm này (0; 0) vào điểm thứ hai, chúng ta nhận được: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tức là trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, -2 x – 2y+ 5 ≥ 0, và chúng tôi được hỏi ở đâu -2 x – 2y+ 5 0, do đó, ở nửa mặt phẳng kia - ở nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.
Hãy tìm giao điểm của hai nửa mặt phẳng này. Các đường thẳng song song nên các mặt phẳng không giao nhau ở bất cứ đâu, điều đó có nghĩa là hệ các bất đẳng thức này không có nghiệm và không nhất quán.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm đồ họa của hệ bất phương trình:

Hình 3
1. Viết các phương trình tương ứng với các bất đẳng thức và dựng đường thẳng.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Sau khi chọn điểm (0; 0), ta xác định dấu các bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tức là x + 2y– 2  0 trong nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tức là y –x– 1  0 trong nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng;
0 + 2 =2 ≥ 0, tức là y+ 2 ≥ 0 trong nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.
3. Giao điểm của ba nửa mặt phẳng này sẽ là diện tích là một hình tam giác. Không khó để tìm ra các đỉnh của miền là giao điểm của các đường thẳng tương ứng


Như vậy, MỘT(–3; –2), TRONG(0; 1), VỚI(6; –2).

Hãy xem xét một ví dụ khác trong đó miền giải pháp thu được của hệ thống không bị giới hạn.

Giải quyết các bất đẳng thức. Có nhiều loại bất đẳng thức khác nhau và đòi hỏi những cách tiếp cận khác nhau để giải chúng. Nếu bạn không muốn mất thời gian và công sức để giải bất phương trình hoặc tự mình giải bất phương trình và muốn kiểm tra xem mình có trả lời đúng hay không thì chúng tôi khuyên bạn nên giải bất phương trình trực tuyến và sử dụng dịch vụ Math24.su của chúng tôi cho việc này. Nó giải quyết cả bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai, bao gồm bất đẳng thức vô tỉ và phân số. Đảm bảo nhập cả hai vế của bất đẳng thức vào các trường thích hợp và chọn dấu bất đẳng thức giữa chúng, sau đó nhấp vào nút “Giải pháp”. Để minh họa cách dịch vụ triển khai giải bất phương trình, bạn có thể xem nhiều loại ví dụ khác nhau và giải pháp của chúng (được chọn ở bên phải nút “Giải”). Dịch vụ này cung cấp cả khoảng giải pháp và giá trị số nguyên. Người dùng lần đầu đến với Math24.su sẽ ngưỡng mộ tốc độ cao của dịch vụ, bởi vì bạn có thể giải bất phương trình trực tuyến chỉ trong vài giây và bạn có thể sử dụng dịch vụ hoàn toàn miễn phí không giới hạn số lần. Công việc của dịch vụ được tự động hóa; việc tính toán được thực hiện bởi một chương trình chứ không phải con người. Bạn không cần cài đặt bất kỳ phần mềm nào trên máy tính, đăng ký, nhập dữ liệu cá nhân hoặc e-mail. Lỗi chính tả và lỗi trong tính toán cũng được loại trừ, kết quả thu được có thể tin cậy 100%. Ưu điểm của việc giải bất phương trình trực tuyến. Nhờ tốc độ cao và dễ sử dụng, dịch vụ Math24.su đã trở thành trợ thủ đắc lực cho nhiều học sinh, sinh viên. Sự bất bình đẳng thường được tìm thấy trong chương trình giảng dạy ở trường và các khóa học ở viện về toán cao hơn và những người sử dụng dịch vụ trực tuyến của chúng tôi sẽ nhận được lợi thế lớn hơn những người khác. Math24.su hoạt động suốt ngày đêm, không yêu cầu đăng ký hay tính phí sử dụng và cũng đa ngôn ngữ. Những người đang tự mình tìm kiếm giải pháp cho sự bất bình đẳng không nên bỏ qua dịch vụ trực tuyến. Xét cho cùng, Math24.su là một cơ hội tuyệt vời để kiểm tra tính đúng đắn của các phép tính của bạn, tìm ra lỗi xảy ra ở đâu và xem cách giải các loại bất phương trình khác nhau. Một lý do khác khiến việc giải bất đẳng thức trực tuyến sẽ hiệu quả hơn là khi giải bất đẳng thức không phải là nhiệm vụ chính mà chỉ là một phần của nhiệm vụ đó. Trong trường hợp này, đơn giản là chẳng ích gì khi dành nhiều thời gian và công sức cho việc tính toán, và tốt hơn là bạn nên giao phó nó cho một dịch vụ trực tuyến trong khi bạn tập trung giải quyết vấn đề chính. Như bạn có thể thấy, dịch vụ trực tuyến để giải bất phương trình sẽ hữu ích cho cả những người giải quyết độc lập loại bài toán này và cho những người không muốn lãng phí thời gian và công sức vào những phép tính dài dòng nhưng cần nhanh chóng nhận được câu trả lời. Vì vậy, khi gặp các bất phương trình, bạn đừng quên sử dụng dịch vụ của chúng tôi để giải các bất phương trình trực tuyến: tuyến tính, bậc hai, vô tỉ, lượng giác, logarit. Bất bình đẳng là gì và chúng được chỉ định như thế nào. Bất bình đẳng là mặt trái của bình đẳng và là một khái niệm gắn liền với sự so sánh giữa hai đối tượng. Tùy thuộc vào đặc điểm của đối tượng được so sánh mà chúng ta nói cao hơn, thấp hơn, ngắn hơn, dài hơn, dày hơn, mỏng hơn, v.v. Trong toán học, ý nghĩa của bất đẳng thức không bị mất đi mà ở đây chúng ta đang nói về bất đẳng thức của các đối tượng toán học: số, biểu thức, giá trị đại lượng, số liệu, v.v. Người ta thường sử dụng một số dấu bất đẳng thức: , , ≥. Các biểu thức toán học có dấu như vậy được gọi là bất đẳng thức. Dấu > (lớn hơn) được đặt giữa các vật thể lớn hơn và nhỏ hơn. Dấu hiệu biểu thị sự bất đẳng thức nghiêm ngặt. Bất đẳng thức không nghiêm ngặt mô tả tình huống khi một biểu thức “không hơn” (“không kém”) so với biểu thức khác. “Không nhiều hơn” có nghĩa là ít hơn hoặc giống nhau, và “không ít hơn” có nghĩa là nhiều hơn hoặc giống nhau.

Bài học và trình bày về chủ đề: "Hệ bất đẳng thức. Ví dụ về cách giải"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Dụng cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 9
Sách giáo khoa tương tác lớp 9 “Các quy tắc và bài tập hình học”
Sách giáo khoa điện tử “Hình học dễ hiểu” lớp 7-9

Hệ bất đẳng thức

Các bạn, các bạn đã nghiên cứu về bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai cũng như học cách giải các bài toán về các chủ đề này. Bây giờ chúng ta chuyển sang một khái niệm mới trong toán học - hệ bất đẳng thức. Hệ bất đẳng thức cũng tương tự như hệ phương trình. Bạn có nhớ hệ phương trình không? Bạn đã học hệ phương trình ở lớp bảy, hãy cố gắng nhớ lại cách bạn giải chúng.

Hãy giới thiệu định nghĩa của hệ bất đẳng thức.
Một số bất đẳng thức với một số biến x tạo thành một hệ bất đẳng thức nếu bạn cần tìm tất cả các giá trị của x mà mỗi bất đẳng thức tạo thành một biểu thức số chính xác.

Bất kỳ giá trị nào của x mà mỗi bất đẳng thức có biểu thức số đúng đều là nghiệm của bất đẳng thức. Cũng có thể gọi là giải pháp riêng.
Giải pháp riêng là gì? Ví dụ: trong câu trả lời chúng ta nhận được biểu thức x>7. Khi đó x=8 hoặc x=123 hoặc bất kỳ số nào lớn hơn 7 là một nghiệm cụ thể và biểu thức x>7 là một nghiệm tổng quát. Giải pháp chung được hình thành bởi nhiều giải pháp riêng.

Chúng ta đã kết hợp hệ phương trình như thế nào? Đúng vậy, một dấu ngoặc nhọn, và họ làm tương tự với bất đẳng thức. Hãy xem một ví dụ về hệ bất đẳng thức: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Nếu hệ bất đẳng thức bao gồm các biểu thức giống hệt nhau, ví dụ: $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Vì vậy, nó có nghĩa là gì: tìm ra giải pháp cho một hệ bất bình đẳng?
Nghiệm của bất đẳng thức là tập hợp nghiệm từng phần của bất đẳng thức thỏa mãn cả hai bất đẳng thức của hệ cùng một lúc.

Chúng ta viết dạng tổng quát của hệ bất đẳng thức là $\begin(case)f(x)>0\\g(x)>0\end(case)$

Chúng ta hãy ký hiệu $Х_1$ là nghiệm tổng quát của bất đẳng thức f(x)>0.
$X_2$ là nghiệm tổng quát của bất đẳng thức g(x)>0.
$X_1$ và $X_2$ là một tập hợp các giải pháp cụ thể.
Lời giải của hệ bất đẳng thức sẽ là các số thuộc cả $X_1$ và $X_2$.
Hãy nhớ các phép toán trên tập hợp. Làm cách nào để tìm các phần tử của một tập hợp thuộc cả hai tập hợp cùng một lúc? Đúng vậy, có một hoạt động giao lộ cho việc này. Vì vậy, nghiệm của bất đẳng thức của chúng ta sẽ là tập $A= X_1∩ X_2$.

Ví dụ về giải pháp cho hệ thống bất bình đẳng

Hãy xem xét các ví dụ về giải hệ bất phương trình.

Giải hệ bất phương trình.
a) $\begin(case)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(case)2x-4≤6\\-x-4
Giải pháp.
a) Giải riêng từng bất phương trình.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Hãy đánh dấu các khoảng của chúng ta trên một đường tọa độ.

Giải pháp của hệ thống sẽ là đoạn giao nhau của các khoảng của chúng tôi. Bất đẳng thức nghiêm ngặt thì đoạn thẳng sẽ mở.
Trả lời: (1;3).

B) Chúng ta cũng sẽ giải từng bất đẳng thức riêng biệt.
$2x-4<6; 2x< 10; x 5$.
$-x-4 -5$.


Giải pháp của hệ thống sẽ là đoạn giao nhau của các khoảng của chúng tôi. Bất đẳng thức thứ hai là nghiêm ngặt thì đoạn thẳng sẽ mở ở bên trái.
Trả lời: (-5; 5].

Hãy tóm tắt những gì chúng ta đã học được.
Giả sử cần phải giải hệ bất phương trình: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Khi đó, khoảng ($x_1; x_2$) là nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Khoảng ($y_1; y_2$) là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai.
Lời giải của một hệ bất đẳng thức là giao của các nghiệm của từng bất đẳng thức.

Hệ bất đẳng thức có thể bao gồm không chỉ các bất đẳng thức bậc nhất mà còn bất kỳ loại bất đẳng thức nào khác.

Các quy tắc quan trọng để giải hệ bất phương trình.
Nếu một trong các bất đẳng thức của hệ không có nghiệm thì toàn hệ cũng không có nghiệm.
Nếu một trong các bất đẳng thức được thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của biến thì nghiệm của hệ sẽ là nghiệm của bất đẳng thức kia.

Ví dụ.
Giải hệ bất phương trình:$\begin(case)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(case)$
Giải pháp.
Hãy giải từng bất đẳng thức riêng biệt.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Hãy giải bất đẳng thức thứ hai.
$x^2-8x+12<0$.
$(x-6)(x-2)<0$.

Giải pháp cho bất đẳng thức là khoảng.
Hãy vẽ cả hai khoảng trên cùng một đường thẳng và tìm giao điểm.
Giao điểm của các khoảng là đoạn (4; 6].
Trả lời: (4;6].

Giải hệ bất phương trình.
a) $\begin(case)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(case)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(case )$.

Giải pháp.
a) Bất đẳng thức thứ nhất có nghiệm x>1.
Hãy tìm phân biệt đối với bất đẳng thức thứ hai.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Chúng ta hãy nhớ quy tắc: khi một trong các bất đẳng thức không có nghiệm thì toàn bộ hệ cũng không có nghiệm.
Trả lời: Không có giải pháp nào cả.

B) Bất đẳng thức thứ nhất có nghiệm x>1.
Bất đẳng thức thứ hai lớn hơn 0 với mọi x. Khi đó nghiệm của hệ trùng với nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Đáp án: x>1.

Các bài toán về hệ bất đẳng thức để giải độc lập

Giải hệ bất phương trình:
a) $\begin(case)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(case)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(case)x^2-25 d) $\begin(case)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60 ≥0 \end(case)$
e) $\begin(case)x^2+36