Bài học và trình bày về chủ đề: “Phương trình hàm mũ và bất đẳng thức hàm mũ”
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral lớp 11
Sách hướng dẫn tương tác lớp 9–11 "Lượng giác"
Sách hướng dẫn tương tác lớp 10–11 "Logarit"
Định nghĩa phương trình mũ
Các bạn ơi, chúng ta đã nghiên cứu hàm mũ, tìm hiểu tính chất của chúng và xây dựng đồ thị, phân tích các ví dụ về phương trình trong đó tìm thấy hàm mũ. Hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu về phương trình hàm mũ và bất đẳng thức.Sự định nghĩa. Các phương trình có dạng: $a^(f(x))=a^(g(x))$, trong đó $a>0$, $a≠1$ được gọi là phương trình hàm mũ.
Nhắc lại các định lý đã học ở chuyên đề “Hàm số mũ”, chúng ta có thể đưa ra một định lý mới:
Định lý. Phương trình hàm mũ $a^(f(x))=a^(g(x))$, trong đó $a>0$, $a≠1$ tương đương với phương trình $f(x)=g(x) $.
Ví dụ về phương trình hàm mũ
Ví dụ.Giải phương trình:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Giải pháp.
a) Chúng ta biết rõ rằng $27=3^3$.
Hãy viết lại phương trình của chúng ta: $3^(3x-3)=3^3$.
Sử dụng định lý trên, chúng ta thấy rằng phương trình của chúng ta rút gọn về phương trình $3x-3=3$; giải phương trình này, chúng ta nhận được $x=2$.
Trả lời: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Khi đó phương trình của chúng ta có thể được viết lại: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Trả lời: $x=0$.
C) Phương trình ban đầu tương đương với phương trình: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ và $x_2=-3$.
Trả lời: $x_1=6$ và $x_2=-3$.
Ví dụ.
Giải phương trình: $\frac(((0,25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Giải pháp:
Hãy thực hiện một loạt hành động một cách tuần tự và đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ sở.
Hãy thực hiện một số thao tác ở phía bên trái:
1) $((0,25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Hãy chuyển sang phía bên phải:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Phương trình ban đầu tương đương với phương trình:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Trả lời: $x=0$.
Ví dụ.
Giải phương trình: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Giải pháp:
Hãy viết lại phương trình của chúng ta: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Hãy thực hiện một sự thay đổi các biến, đặt $a=3^x$.
Trong mới phương trình biến sẽ có dạng: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ và $a_2=3$.
Hãy thực hiện phép đổi ngược các biến: $3^x=-12$ và $3^x=3$.
Trong bài học trước chúng ta đã học được rằng biểu thức chứng minh chỉ có thể chấp nhận giá trị tích cực, nhớ lịch nhé. Điều này có nghĩa là phương trình thứ nhất không có nghiệm, phương trình thứ hai có một nghiệm: $x=1$.
Trả lời: $x=1$.
Hãy nhắc lại cách giải phương trình mũ:
1. Phương pháp đồ họa. Chúng ta biểu diễn cả hai vế của phương trình dưới dạng hàm số và xây dựng đồ thị của chúng, tìm giao điểm của đồ thị. (Chúng tôi đã sử dụng phương pháp này trong bài học trước).
2. Nguyên tắc bình đẳng của các chỉ số. Nguyên tắc này dựa trên thực tế là hai biểu thức với trên cùng một cơ sở bằng nhau khi và chỉ khi bậc (chỉ số) của các cơ số này bằng nhau. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Phương pháp thay thế biến đổi. Phương pháp này Nó đáng được sử dụng nếu phương trình, khi thay thế các biến, đơn giản hóa dạng của nó và dễ giải hơn nhiều.
Ví dụ.
Giải hệ phương trình: $\begin (trường hợp) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (trường hợp)$.
Giải pháp.
Chúng ta hãy xem xét cả hai phương trình của hệ thống một cách riêng biệt:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Xét phương trình thứ hai:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Hãy sử dụng phương pháp thay đổi biến, hãy $y=2^(x+y)$.
Khi đó phương trình sẽ có dạng:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ và $y_2=-3$.
Hãy chuyển sang các biến ban đầu, từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được $x+y=2$. Phương trình thứ hai không có nghiệm. Sau đó của chúng tôi hệ thống ban đầu các phương trình tương đương với hệ: $\begin (trường hợp) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (trường hợp)$.
Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được: $\begin (trường hợp) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (trường hợp)$.
$\begin (trường hợp) y=-1, \\ x=3. \end (trường hợp)$.
Trả lời: $(3;-1)$.
Bất đẳng thức hàm mũ
Hãy chuyển sang bất đẳng thức. Khi giải bất đẳng thức cần chú ý đến cơ sở bậc. Có hai kịch bản có thể xảy ra cho sự phát triển của các sự kiện khi giải bất đẳng thức.Định lý. Nếu $a>1$, thì bất đẳng thức mũ $a^(f(x))>a^(g(x))$ tương đương với bất đẳng thức $f(x)>g(x)$.
Nếu $0
Ví dụ.
Giải bất đẳng thức:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Giải pháp.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Bất đẳng thức của chúng ta tương đương với bất đẳng thức:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Trong phương trình của chúng ta, cơ số là khi bậc nhỏ hơn 1 thì khi thay bất đẳng thức nào bằng bất đẳng thức tương đương thì phải đổi dấu.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Bất đẳng thức của ta tương đương với bất đẳng thức:
$x^2+6x ≥4x+15$.
$x^2+2x-15 ≥0$.
$(x-3)(x+5) ≥0$.
Hãy tận dụng phương pháp khoảng các giải pháp:
Trả lời: $(-∞;-5]U)