Kỳ vọng toán học và các tính chất của nó.
Đặc tính số của các biến ngẫu nhiên.
Chức năng đặc trưng.
Bài giảng số 5
Phần 2. Biến ngẫu nhiên.
Chủ đề 1. Hàm phân phối, mật độ xác suất và đặc tính số của một biến ngẫu nhiên.
Mục đích của bài giảng: cung cấp kiến thức về cách mô tả các biến ngẫu nhiên.
Câu hỏi bài giảng:
Văn học:
L1 - Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Lý thuyết xác suất. Thống kê toán học. - tái bản lần thứ 2. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 tr.
L2 - Gmurman, V. E. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Sách giáo khoa. cẩm nang cho các trường đại học/V. E. Gmurman. - Tái bản lần thứ 9, đã xóa. - M.: Cao hơn. trường, 2005. - 479 tr.: ill.
L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Hàng. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Sự phát triển về phương pháp luận. – Tambov: Nhà xuất bản TSTU, 2009.
L4 - Plotnikova S.V. Thống kê toán học. Sự phát triển về phương pháp luận. – Tambov: Nhà xuất bản TSTU, 2005. (file pdf)
Khi giải nhiều bài toán, thay vì hàm phân phối F(x) và p.v. p(x) chức năng đặc trưng được áp dụng. Với sự trợ giúp của đặc điểm này, chẳng hạn, bạn nên xác định một số đặc điểm số của từ. và z.r. chức năng s.v.
Chức năng đặc trưng sl.v. được gọi là biến đổi Fourier của a.e. p(x):
, (2.6.1)
đâu là tham số là đối số của hàm đặc tính, - m.o. sl.v. (xem § 2.8.).
Áp dụng phép biến đổi Fourier nghịch đảo, chúng ta thu được công thức xác định a.e. sl.v. bởi chức năng đặc trưng của nó
. (2.6.2)
Vì kích thước p(x) nghịch đảo của kích thước x, thì số lượng , và do đó, là không thứ nguyên. Đối số có chiều nghịch đảo x.
Sử dụng biểu diễn (2.5.7) a.e. p(x)ở dạng tổng của các hàm delta, chúng ta có thể mở rộng công thức (1) thành r.v rời rạc.
. (2.6.3)
Đôi khi, thay vì sử dụng hàm đặc trưng, việc sử dụng logarit của nó sẽ thuận tiện hơn:
Y
. (2.6.4)
Chức năng Y có thể được gọi là thứ hai ( logarit)chức năng đặc trưng sl.v. .
Chúng ta hãy lưu ý các tính chất quan trọng nhất của hàm đặc trưng.
| |
. (2.6.5)
2. Đối với phân bố đối xứng, khi p(x)= p(-x), phần ảo trong (1) bằng 0 và do đó hàm đặc trưng là hàm chẵn thực 
. Ngược lại, nếu chỉ lấy giá trị thực thì nó chẵn và phân bố tương ứng là đối xứng.
3. Nếu s.v. là một hàm tuyến tính của r.v. , thì hàm đặc trưng của nó được xác định bởi biểu thức
, (2.6.6)
Ở đâu Một Và b- Vĩnh viễn.
4. Hàm đặc trưng của tổng 
sv độc lập bằng với tích của các hàm đặc trưng của các số hạng, nghĩa là, nếu
. (2.6.7)
Thuộc tính này đặc biệt hữu ích, vì nếu không thì việc tìm kiếm a.e. số lượng sl.v. được liên kết với nhiều lần lặp lại tích chập, đôi khi gây ra khó khăn.
Do đó, khi tính đến mối quan hệ rõ ràng giữa hàm phân phối, mật độ xác suất và hàm đặc trưng, hàm đặc tính sau có thể được sử dụng như nhau để mô tả r.v.
| |
s.v rời rạc có thể lấy ba giá trị (không có xung nào bị triệt tiêu), (một xung bị triệt tiêu), (cả hai xung đều bị triệt tiêu). Xác suất của các giá trị này tương ứng bằng nhau:
Nhân tiện, bạn vừa chủ trương rằng học sinh không nên biết gì về tính liên tục đều, và bây giờ bạn đang cung cấp cho anh ta hàm delta? Một cách đầy đủ, tôi sẽ không nói bất cứ điều gì.
Tôi rất vui được gặp lại bạn về chủ đề này với sự sẵn sàng thảo luận bất kể những đặc điểm mà cá nhân tôi quan tâm. Tôi quan tâm đến bạn. Học sinh phải biết mọi thứ mà người ta có thể hỏi, nhưng trước hết, em phải nắm vững hệ thống khái niệm, đặc điểm của chúng và mối quan hệ giữa chúng và không nên giới hạn trong phạm vi hẹp của bộ môn mà mình theo học. hiện đang học và cũng không nên là một cuốn sách tham khảo đi bộ, nơi liên tục ghi nhớ một số lượng lớn các chức năng không thỏa mãn điều kiện này hay điều kiện khác.
Trong bài toán ban đầu, cần phải xác định xem hàm HF đã cho có phải là biến ngẫu nhiên hay không. Học sinh nhận được một nhiệm vụ như vậy khi khái niệm HF được giới thiệu. Và mục tiêu của việc giải quyết những vấn đề như vậy là củng cố sự hiểu biết về mối quan hệ giữa CP và PR, cũng như củng cố kiến thức về các tính chất của CP.
Có hai cách để chứng minh một hàm đã cho là HF: hoặc bạn nên tìm hàm tương ứng với nó theo Fourier và kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và dương hay không, hoặc bạn nên chứng minh tính xác định không âm của hàm đã cho và tham khảo định lý Bochner-Khichinchin. Đồng thời, việc sử dụng các định lý để biểu diễn SV dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các SV Rademacher khác không hề góp phần vào việc hiểu các tính chất cơ bản của HF, hơn nữa, như tôi đã chỉ ra ở trên, giải pháp của bạn chứa đựng; một chuỗi Fourier ẩn, nghĩa là nó thực sự tương ứng với phương pháp đầu tiên.
Khi cần chỉ ra rằng một hàm nhất định không thể là HF của bất kỳ SV nào, thì việc thiết lập sai sót của một trong các thuộc tính của HF là đủ: giá trị đơn vị bằng 0, mô đun giới hạn bởi một, thu được các giá trị đúng đối với các khoảnh khắc của PDF, tính liên tục thống nhất. Kiểm tra tính chính xác của các giá trị mô men được tính toán thông qua một hàm nhất định là kiểm tra tương đương về mặt toán học về tính liên tục đồng nhất theo nghĩa là việc không đáp ứng bất kỳ thuộc tính nào trong số này có thể dùng làm cơ sở tương tự để nhận ra tính không phù hợp của một hàm nhất định. Tuy nhiên, việc kiểm tra tính đúng đắn của các giá trị thời điểm được chính thức hóa: vi phân và kiểm tra. Trong trường hợp tổng quát, tính liên tục đều phải được chứng minh, điều này làm cho sự thành công của việc giải quyết vấn đề phụ thuộc vào tiềm năng sáng tạo của học sinh, vào khả năng “đoán” của anh ta.
Là một phần của cuộc thảo luận về “việc xây dựng” một SV, tôi đề xuất xem xét một vấn đề đơn giản: hãy xây dựng một SV có HF có dạng: 
Ở đâu
αk | (y)= | CỦA TÔI | +∞∫ ϕ k | (x) | (x)dx; | ||||||
µk(y) | ∫ (ϕ (x) | f(x)dx. | |||||||||
Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên | |||||||||||
Đặt Y = e itX, trong đó | X – | biến ngẫu nhiên với một quy luật đã biết |
|||||||||
phân phối, t – tham số, i = | − 1. | ||||||||||
Chức năng đặc trưng biến ngẫu nhiên Gọi điện |
|||||||||||
kỳ vọng toán học của hàm Y = e itX: | |||||||||||
∑ e itx k p k , đối với DSV, | |||||||||||
k = 1 | |||||||||||
υ X(t )= M = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx , cho NSV. | |||||||||||
Như vậy, đặc điểm | υX(t) | và quy luật phân phối |
|||||||||
các biến ngẫu nhiên có liên quan duy nhất Biến đổi Fourier. Ví dụ: mật độ phân bố f(x) của biến ngẫu nhiên X được biểu diễn duy nhất thông qua hàm đặc trưng của nó bằng cách sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo:
f(x)= | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
Các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng: | ||||
Hàm đặc trưng của đại lượng Z = aX + b, trong đó X là ngẫu nhiên |
||||
giá trị của hàm đặc tính υ X (t) bằng | ||||
υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) . | ||||
Momen ban đầu bậc k của biến ngẫu nhiên X bằng | ||||
α k (x )= υ X (k ) (0)i − k , | ||||
trong đó υ X (k) (0) là giá trị đạo hàm bậc k của hàm đặc tính tại t = 0.
3. Hàm đặc trưng của tổng | Y = ∑ X k độc lập |
k = 1 |
các biến ngẫu nhiên bằng tích các hàm đặc trưng của các số hạng:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (t). | ||
tôi = 1 | |||
4. Chức năng đặc trưng của bình thường | biến ngẫu nhiên với |
||
tham số m và σ bằng: | |||
υ X(t) = eitm − | t 2 σ 2 | ||
BÀI 8 Biến ngẫu nhiên hai chiều. Luật phân phối hai chiều
Biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) là tập hợp gồm hai biến ngẫu nhiên một chiều lấy các giá trị là kết quả của cùng một thử nghiệm.
Biến ngẫu nhiên hai chiều được đặc trưng bởi tập hợp các giá trị Ω X , Ω Y của các thành phần của chúng và quy luật phân phối chung (hai chiều). Tùy thuộc vào loại thành phần X, Y, các biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, liên tục và hỗn hợp được phân biệt.
Một biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có thể được biểu diễn về mặt hình học dưới dạng một điểm ngẫu nhiên (X, Y) trên mặt phẳng x0y hoặc dưới dạng một vectơ ngẫu nhiên có hướng từ gốc đến điểm (X, Y).
Hàm phân phối hai chiều biến ngẫu nhiên hai chiều
(X ,Y ) bằng xác suất thực hiện chung của hai sự kiện (X<х } и {Y < у }:
F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .
Hàm phân bố hai chiều hình học F(x, y)
trúng một điểm ngẫu nhiên (X, Y) trong | ||||
vô tận | góc phần tư với | đầu vào |
||
điểm (x,y) nằm bên trái và bên dưới nó. | ||||
Thành phần X đã nhận các giá trị | ||||
nhỏ hơn số thực x, đây là | ||||
phân bổ | F X(x), và | |||
Thành phần Y – nhỏ hơn thực | ||||
số y, | phân bổ | |||
Tài Chính(y). | ||||
Tính chất của hàm phân phối hai chiều:
1. 0 ≤ F(x ,y )≤ 1.
là xác suất
. (x,y)
Bằng chứng. Thuộc tính xuất phát từ định nghĩa của hàm phân phối dưới dạng xác suất: xác suất là số không âm không vượt quá 1.
2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.
3. F (x 1 ,y )< F (x 2 ,y ), nếu x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )< F (x ,y 2 ), nếu y 2 >y 1 .
Bằng chứng. Hãy chứng minh rằng F(x ,y ) là hàm không giảm đối với
biến x. Hãy xem xét xác suất
p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
Vì p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
Tương tự như vậy đối với y.
4. Chuyển sang đặc tính một chiều:
F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. Xác suất trúng khu vực hình chữ nhật | |||||||||||
p (α< X ≤ β; δ< Υ< γ) = | |||||||||||
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ). | (β,γ) | ||||||||||
Chức năng phân phối - nhất | |||||||||||
phổ quát | |||||||||||
phân bổ | |||||||||||
đã sử dụng | mô tả về cách | (β,δ) | |||||||||
liên tục, | và rời rạc | (α,δ) | |||||||||
biến ngẫu nhiên hai chiều. | |||||||||||
Ma trận phân phối
Một biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) là rời rạc nếu tập hợp các giá trị của các thành phần Ω X và Ω Y của nó là các tập hợp đếm được. Để mô tả các đặc tính xác suất của các đại lượng đó, hàm phân phối hai chiều và ma trận phân phối được sử dụng.
Ma trận phân phối là một bảng hình chữ nhật chứa các giá trị của thành phần X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), các giá trị của thành phần Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) và xác suất của tất cả các cặp giá trị có thể có p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.
xi\yj | ||||
X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n . | ||||
j= 1 | ||||
3. Chuyển về chuỗi phân bố xác suất của thành phần Y: | ||||
p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m . | ||||
tôi = 1
Mật độ phân bố hai chiều
Một biến ngẫu nhiên hai chiều (X ,Y ) là liên tục nếu nó
hàm phân phối F (x,y) là hàm liên tục, khả vi cho mỗi đối số và có một đối số thứ hai
đạo hàm hỗn hợp ∂ 2 F (x, y).
∂ x ∂y
Mật độ phân bố hai chiều f(x, y ) đặc trưng cho mật độ xác suất trong vùng lân cận của một điểm có tọa độ ( x, y ) và bằng đạo hàm hỗn hợp thứ hai của hàm phân phối:
∫∫ f(x, y) dxdy.
Tính chất của mật độ hai chiều:
1. f(x,y ) ≥ 0.
2. Điều kiện chuẩn hóa:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .
Cho trên toàn bộ trục số theo công thức
X. f. biến ngẫu nhiên X, theo định nghĩa, là X. f. phân bố xác suất của nó
Phương pháp liên quan đến việc sử dụng X. f. lần đầu tiên được A. M. Lyapunov sử dụng và sau đó trở thành một trong những phương pháp phân tích chính. các phương pháp lý thuyết xác suất Nó được sử dụng đặc biệt hiệu quả trong việc chứng minh các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất chẳng hạn. định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên phân bố giống hệt nhau độc lập với 2 mômen được rút gọn về quan hệ cơ bản
Các tính chất cơ bản của X. f. 1) và xác định dương, tức là
Đối với bất kỳ tập hợp hữu hạn nào của số phức và đối số
2) liên tục đều dọc theo toàn bộ trục
4)
cụ thể là chỉ nhận các giá trị thực (và là hàm chẵn) khi và chỉ khi xác suất tương ứng là đối xứng, tức là trong đó
5) X. f. xác định rõ ràng biện pháp; có một lời kêu gọi:
Đối với mọi khoảng (a, 6) có đầu có số đo m bằng 0. Nếu nó có thể tích phân (hoàn toàn, nếu hiểu theo nghĩa Riemannian), thì hàm phân phối tương ứng có
6) X. f. tích chập của hai thước đo xác suất (tổng của hai biến ngẫu nhiên độc lập) là X. f của chúng.
Ba tính chất sau đây biểu thị mối liên hệ giữa sự tồn tại mô men của một biến ngẫu nhiên và mức độ trơn tru của hàm X. của nó.
7) Nếu 
đối với một số tự nhiên P, thì với mọi số tự nhiên đều tồn tại đạo hàm cấp r từ X. f. biến ngẫu nhiên X và đẳng thức giữ nguyên
8) Nếu tồn tại thì 
9) Nếu dành cho tất cả mọi người
sau đó nó đúng cho tất cả mọi người
Sử dụng phương pháp X.f. chủ yếu dựa trên các tính chất trên của hàm X., cũng như dựa trên hai định lý sau.
Định lý Bochner (mô tả lớp hàm X.). Cho hàm f vào và f(0)=1. Để f là X. f. một thước đo xác suất nhất định thì điều cần và đủ là nó liên tục và xác định dương.
Định lý Levy (tương ứng). Gọi là một dãy số đo xác suất và gọi là dãy X.f của chúng. Sau đó hội tụ yếu đến một độ đo xác suất nhất định (tức là, đối với một hàm giới hạn liên tục tùy ý khi và chỉ khi tại mỗi điểm nó hội tụ đến một hàm liên tục nhất định f; trong trường hợp hội tụ, hàm It suy ra rằng hàm tương đối (theo nghĩa hội tụ yếu) của họ các độ đo xác suất tương đương với tính liên tục đẳng cấp tại 0 của họ hàm X. tương ứng.
Định lý Bochner cho phép chúng ta xem xét phép biến đổi Fourier-Stieltjes giữa một nửa nhóm (đối với phép toán tích chập) của các độ đo xác suất và một nửa nhóm (đối với phép nhân theo điểm) của các hàm liên tục xác định dương bằng 1 tại 0. định lý phát biểu rằng đại số này. đẳng cấu cũng có tính chất tôpô. phép đồng cấu, nếu trong nửa nhóm các độ đo xác suất, chúng ta muốn nói đến cấu trúc liên kết hội tụ yếu, và trong nửa nhóm các hàm xác định dương - cấu trúc liên kết hội tụ đều trên các tập giới hạn.
Biểu thức của X. f. đã được biết. các bệnh xác suất cơ bản (xem, ví dụ, X. f. Thước đo Gaussian với phương sai trung bình là 
Đối với các biến ngẫu nhiên số nguyên không âm X, Cùng với X. f., chất tương tự của nó được sử dụng -
Liên kết với X. f. tỷ lệ
X. f. Các thước đo xác suất trong không gian hữu hạn chiều được định nghĩa tương tự:
Ở đâu
Sáng.: Lukach E., Chức năng đặc trưng, trans. từ tiếng Anh, M., 1979; Feller V., Giới thiệu về Lý thuyết Xác suất và Ứng dụng của nó, tập 2. trans. từ tiếng Anh, M., 1967; Prokhorov Yu V., Rozanov Yu., Lý thuyết xác suất. Các khái niệm cơ bản. Định lý giới hạn. Quá trình ngẫu nhiên, tái bản lần thứ 2, M., 1973; 3olotarev V. M., Phân phối ổn định một chiều, Moscow, 1983.
NH. Vakhania.
Bách khoa toàn thư toán học. - M.: Bách khoa toàn thư Liên Xô.
I. M. Vinogradov.
1977-1985.
Xem “CHỨC NĂNG ĐẶC ĐIỂM” là gì trong các từ điển khác: Hàm đặc trưng: Hàm đặc trưng trong nhiệt động lực học là hàm xác định các đặc tính nhiệt động của một hệ. Hàm đặc trưng của một tập hợp là hàm thiết lập tư cách thành viên của một phần tử trong một tập hợp;
Trong nhiệt động lực học, một hàm trạng thái của các tham số độc lập xác định trạng thái nhiệt động lực học. hệ thống. Gửi X. f. bao gồm thế năng nhiệt động và entropy. Qua X... Bách khoa toàn thư vật lý chức năng đặc trưng
- Hàm trạng thái của hệ nhiệt động có các tham số nhiệt động độc lập tương ứng, đặc trưng bởi thực tế là thông qua hàm này và các đạo hàm của nó đối với các tham số này, tất cả nhiệt động ... ... Hướng dẫn dịch thuật kỹ thuật Chức năng đặc trưng
Trong nhiệt động lực học, một hàm trạng thái của các tham số độc lập xác định trạng thái nhiệt động lực học. hệ thống. Gửi X. f. bao gồm thế năng nhiệt động và entropy. Qua X...- trong lý thuyết trò chơi hợp tác, một tỷ lệ xác định số tiền thắng tối thiểu cho bất kỳ liên minh nào trong trò chơi. Khi hai liên minh đoàn kết, giá trị của H.f. sẽ không nhỏ hơn tổng các hàm như vậy đối với trường hợp không kết hợp... ... Từ điển kinh tế và toán học
Trong nhiệt động lực học, một hàm trạng thái của các tham số độc lập xác định trạng thái nhiệt động lực học. hệ thống. Gửi X. f. bao gồm thế năng nhiệt động và entropy. Qua X...- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visa termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: tiếng Anh. chức năng đặc trưng rus. chức năng đặc trưng... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. hàm đặc trưng vok. Đặc điểm chức năng, f rus. hàm đặc trưng, f pranc. fonction caractéristique, f…