Hình bình hành là một lăng trụ tứ giác có các hình bình hành ở đáy. Chiều cao của một hình bình hành là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các đáy của nó. Trong hình, chiều cao được thể hiện bằng đoạn 
. Có hai loại hình song song: thẳng và nghiêng. Theo quy định, gia sư toán trước tiên đưa ra các định nghĩa thích hợp về lăng kính, sau đó chuyển chúng sang một hình bình hành. Chúng tôi sẽ làm như vậy.
Để tôi nhắc bạn rằng lăng kính được gọi là thẳng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các đáy; nếu không có sự vuông góc thì lăng kính được gọi là nghiêng. Thuật ngữ này cũng được kế thừa bởi đường song song. 
Hình bình hành bên phải không gì khác hơn là một loại hình lăng trụ thẳng, cạnh bên trùng với chiều cao. Các định nghĩa của các khái niệm như mặt, cạnh và đỉnh, những cái chung cho toàn bộ họ khối đa diện, vẫn được giữ nguyên. Khái niệm về những khuôn mặt đối diện xuất hiện. Hình bình hành có 3 cặp mặt đối diện, 8 đỉnh và 12 cạnh.
Đường chéo của hình bình hành (đường chéo của hình lăng trụ) là đoạn nối hai đỉnh của một khối đa diện và không nằm trên bất kỳ mặt nào của nó.
Phần chéo - một phần của một hình bình hành đi qua đường chéo của nó và đường chéo của đáy của nó.
Tính chất của hình song song nghiêng:
1) Tất cả các mặt của nó đều là hình bình hành, các mặt đối diện là hình bình hành bằng nhau.
2)
Các đường chéo của một hình song song cắt nhau tại một điểm và chia đôi tại điểm này.
3)
Mỗi hình song song bao gồm sáu hình chóp hình tam giác có thể tích bằng nhau. Để cho học sinh xem, gia sư toán phải cắt một nửa hình song song có tiết diện chéo của nó và chia riêng thành 3 hình chóp. Các đáy của chúng phải nằm trên các mặt khác nhau của hình bình hành ban đầu. Gia sư toán sẽ tìm thấy ứng dụng của tính chất này trong hình học giải tích. Nó được sử dụng để tính thể tích của hình chóp thông qua tích hỗn hợp của các vectơ.
Công thức tính thể tích của hình bình hành:
1) , đâu là diện tích đáy, h là chiều cao.
2) Thể tích của hình bình hành bằng tích của diện tích mặt cắt ngang và cạnh bên.
Gia sư toán: Như bạn đã biết, công thức này là chung cho tất cả các lăng kính và nếu gia sư đã chứng minh điều đó, thì việc lặp lại điều tương tự đối với một hình bình hành cũng chẳng ích gì. Tuy nhiên, khi làm việc với một học sinh có trình độ trung bình (công thức này không hữu ích với một học sinh yếu), giáo viên nên hành động ngược lại. Hãy để yên lăng kính và tiến hành chứng minh cẩn thận cho hình bình hành.
3) , thể tích của một trong sáu hình chóp tam giác tạo nên hình bình hành là ở đâu.
4) Nếu , thì
Diện tích bề mặt bên của hình bình hành là tổng diện tích của tất cả các mặt của nó:
Tổng bề mặt của một hình bình hành là tổng diện tích tất cả các mặt của nó, tức là diện tích + hai diện tích đáy: .
Về công việc của một gia sư có hình song song nghiêng:
Một gia sư toán không thường xuyên giải các bài toán liên quan đến một hình bình hành nghiêng. Khả năng họ xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất là khá thấp, và phương pháp giảng dạy thì kém một cách không đứng đắn. Một bài toán ít nhiều hay về thể tích của một hình bình hành nghiêng đặt ra những bài toán nghiêm trọng liên quan đến việc xác định vị trí của điểm H - đáy của chiều cao của nó. Trong trường hợp này, gia sư toán có thể khuyên nên cắt hình bình hành thành một trong sáu hình chóp của nó (được thảo luận ở tính chất số 3), cố gắng tìm thể tích của nó và nhân nó với 6.
Nếu cạnh bên của hình bình hành có các góc bằng các cạnh của đáy thì H nằm trên phân giác của góc A của đáy ABCD. Và ví dụ, nếu ABCD là hình thoi thì
Nhiệm vụ của gia sư toán:
1) Các mặt của hình bình hành đều bằng nhau, có cạnh 2 cm và có một góc nhọn. Tìm thể tích của hình bình hành.
2) Trong một hình bình hành nghiêng có cạnh bên là 5 cm. Phần vuông góc với nó là một tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhau có chiều dài 6 cm và 8 cm. Tính thể tích của hình bình hành.
3) Trong một hình bình hành nghiêng, ta biết rằng , và trong ABCD đáy là hình thoi có cạnh 2 cm và một góc . Xác định thể tích của hình bình hành.
Gia sư môn toán, Alexander Kolpkov
Trong bài này mọi người sẽ được học chủ đề “Hình chữ nhật song song”. Mở đầu bài học, chúng ta sẽ nhắc lại thế nào là hình bình hành thẳng và tùy ý, nhớ tính chất các mặt đối diện và đường chéo của hình bình hành. Sau đó chúng ta sẽ xem hình khối là gì và thảo luận về các tính chất cơ bản của nó.
Đề tài: Độ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Bài học: Hình khối
Một mặt gồm hai hình bình hành bằng nhau ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 và bốn hình bình hành ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 được gọi là song song(Hình 1).
Cơm. 1 đường song song
Nghĩa là: Ta có hai hình bình hành bằng nhau ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 (đáy), chúng nằm trong các mặt phẳng song song sao cho các cạnh AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 song song. Vì vậy, một mặt gồm các hình bình hành được gọi là song song.
Vì vậy, bề mặt của một hình bình hành là tổng của tất cả các hình bình hành tạo nên hình bình hành đó.
1. Các mặt đối diện của hình bình hành thì song song và bằng nhau.
(các hình bằng nhau, nghĩa là chúng có thể được kết hợp bằng cách chồng lên nhau)
Ví dụ:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (định nghĩa các hình bình hành bằng nhau),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (vì AA 1 B 1 B và DD 1 C 1 C là các mặt đối diện của hình bình hành),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (vì AA 1 D 1 D và BB 1 C 1 C là các mặt đối diện của hình bình hành).
2. Các đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại một điểm và bị chia đôi bởi điểm này.
Các đường chéo của các hình song song AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B cắt nhau tại một điểm O và mỗi đường chéo được chia đôi cho điểm này (Hình 2).
Cơm. 2 Các đường chéo của một hình song song giao nhau và được chia làm đôi bởi điểm giao nhau.
3. Có ba bộ tứ cạnh bằng nhau và song song của một hình bình hành: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.
Sự định nghĩa. Một hình bình hành được gọi là thẳng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các đáy.
Đặt cạnh bên AA 1 vuông góc với đáy (Hình 3). Điều này có nghĩa là đường thẳng AA 1 vuông góc với các đường thẳng AD và AB nằm trong mặt phẳng đáy. Điều này có nghĩa là các mặt bên chứa hình chữ nhật. Và các đáy chứa các hình bình hành tùy ý. Hãy ký hiệu ∠BAD = φ, góc φ có thể là bất kỳ.
Cơm. 3 Đường song song bên phải
Vì vậy, một hình bình hành bên phải là một hình bình hành trong đó các cạnh bên vuông góc với các đáy của hình bình hành.
Sự định nghĩa. Hình bình hành gọi là hình chữ nhật, nếu các cạnh bên của nó vuông góc với đáy. Các đế là hình chữ nhật.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 hình song song là hình chữ nhật (Hình 4), nếu:
1. AA 1 ⊥ ABCD (cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, tức là một đường thẳng song song).
2. ∠BAD = 90°, tức là đáy là hình chữ nhật.
Cơm. 4 Hình chữ nhật song song
Một hình bình hành hình chữ nhật có tất cả các đặc tính của một hình bình hành tùy ý. Nhưng có những tính chất bổ sung được rút ra từ định nghĩa về hình khối.
Vì thế, hình khối là một hình bình hành có các cạnh bên vuông góc với đáy. Đáy của hình lập phương là hình chữ nhật.
1. Trong một hình bình hành hình chữ nhật, tất cả sáu mặt đều là hình chữ nhật.
ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 theo định nghĩa là hình chữ nhật.
2. Các gân bên vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là tất cả các mặt bên của hình bình hành hình chữ nhật đều là hình chữ nhật.
3. Tất cả các góc nhị diện của hình bình hành hình chữ nhật đều vuông.
Ví dụ, chúng ta hãy xem xét góc nhị diện của một hình chữ nhật song song với cạnh AB, tức là góc nhị diện giữa các mặt phẳng ABC 1 và ABC.
AB là một cạnh, điểm A 1 nằm trên một mặt phẳng - trong mặt phẳng ABB 1 và điểm D nằm trong mặt phẳng kia - trong mặt phẳng A 1 B 1 C 1 D 1. Khi đó góc nhị diện đang xét cũng có thể được ký hiệu như sau: ∠A 1 ABD.
Lấy điểm A trên cạnh AB. AA 1 vuông góc với cạnh AB trong mặt phẳng АВВ-1, AD vuông góc với cạnh AB trong mặt phẳng ABC. Điều này có nghĩa là ∠A 1 AD là góc tuyến tính của một góc nhị diện cho trước. ∠A 1 AD = 90°, nghĩa là góc nhị diện ở cạnh AB là 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Tương tự, người ta chứng minh rằng mọi góc nhị diện của một hình bình hành hình chữ nhật đều đúng.
Bình phương đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật bằng tổng các bình phương ba chiều của nó.
Ghi chú. Độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình lập phương là số đo của hình lập phương đó. Chúng đôi khi được gọi là chiều dài, chiều rộng, chiều cao.
Cho: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - hình chữ nhật song song (Hình 5).
Chứng minh: .
Cơm. 5 Hình chữ nhật song song
Bằng chứng:
Đường thẳng CC1 vuông góc với mặt phẳng ABC và vuông góc với đường thẳng AC. Điều này có nghĩa là tam giác CC 1 A là vuông góc. Theo định lý Pythagore:
Xét tam giác vuông ABC. Theo định lý Pythagore:
Nhưng BC và AD là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật. Vậy BC = AD. Sau đó:
Bởi vì , MỘT , Cái đó. Vì CC 1 = AA 1 nên đây là điều cần chứng minh.
Các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật bằng nhau.
Chúng ta hãy ký hiệu các kích thước của hình bình hành ABC là a, b, c (xem Hình 6), khi đó AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
hoặc (tương đương) một khối đa diện có sáu mặt là hình bình hành. Lục giác.
Các hình bình hành tạo thành hình bình hành là các cạnh của hình bình hành này, các cạnh của hình bình hành này là các cạnh của một hình bình hành, và các đỉnh của hình bình hành là đỉnh cao song song. Trong một hình bình hành, mỗi mặt là hình bình hành.
Theo quy định, 2 mặt đối diện bất kỳ đều được xác định và gọi là cơ sở của hình bình hành, và các mặt còn lại - các mặt bên của hình bình hành. Các cạnh của hình bình hành không thuộc các đáy là xương sườn bên.
2 mặt của hình bình hành có chung một cạnh là liền kề và những cái không có cạnh chung - đối diện.
Đoạn thẳng nối 2 đỉnh không thuộc mặt thứ nhất là đường chéo song song.
Độ dài các cạnh của một hình bình hành hình chữ nhật không song song là kích thước tuyến tính (số đo) song song. Một hình bình hành hình chữ nhật có 3 chiều dài.
Các loại hình song song.
Có một số loại đường ống song song:
Trực tiếp là hình bình hành có cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy.
Hình chữ nhật có 3 chiều bằng nhau là hình bình hành khối lập phương. Mỗi mặt của khối lập phương đều bằng nhau hình vuông.
Bất kỳ đường song song nào. Thể tích và tỷ số trong một hình bình hành nghiêng chủ yếu được xác định bằng đại số vectơ. Thể tích của một hình bình hành bằng giá trị tuyệt đối một tích hỗn hợp của 3 vectơ được xác định bởi 3 cạnh của hình bình hành (bắt nguồn từ cùng một đỉnh). Mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của một hình bình hành và các góc giữa chúng cho thấy định thức Gram của 3 vectơ đã cho bằng bình phương của chúng sản phẩm hỗn hợp.
Các tính chất của một đường song song.
- Hình song song đối xứng ở giữa đường chéo của nó.
- Bất kỳ đoạn nào có các đầu thuộc bề mặt của hình bình hành và đi qua giữa đường chéo của nó đều được chia thành hai phần bằng nhau. Tất cả các đường chéo của hình song song giao nhau tại điểm đầu tiên và được chia thành hai phần bằng nhau.
- Các mặt đối diện của hình bình hành song song và có kích thước bằng nhau.
- Bình phương độ dài đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật bằng