Yêu cầu kiến thức về các công thức cơ bản của lượng giác - tổng bình phương của sin và cosin, biểu thức tiếp tuyến qua sin và cos, v.v. Đối với những người đã quên hoặc không biết, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết "".
Vậy là chúng ta đã biết các công thức lượng giác cơ bản, đã đến lúc vận dụng chúng vào thực tế. Giải phương trình lượng giác với cách tiếp cận phù hợp, đó là một hoạt động khá thú vị, chẳng hạn như giải khối Rubik.
Dựa vào tên gọi, rõ ràng phương trình lượng giác là một phương trình trong đó ẩn số nằm dưới dấu của hàm lượng giác.
Có cái gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất. Chúng trông như thế này: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hãy xem xét làm thế nào để giải các phương trình lượng giác như vậy, để rõ ràng, chúng ta sẽ sử dụng vòng tròn lượng giác vốn đã quen thuộc.
sinx = một
cos x = a
tân x = a
cái nôi x = a
Bất kỳ phương trình lượng giác nào cũng được giải theo hai giai đoạn: chúng ta rút gọn phương trình về dạng đơn giản nhất và sau đó giải nó dưới dạng phương trình lượng giác đơn giản.
Có 7 phương pháp chính để giải phương trình lượng giác.
Phương pháp thay thế và thay thế biến
Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp nhân tử hóa
Giảm thành một phương trình đồng nhất
Giải phương trình khi chuyển sang nửa góc
Giới thiệu góc phụ
Giải phương trình 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Áp dụng công thức rút gọn ta có:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Thay cos(x + /6) bằng y để đơn giản hóa và thu được phương trình bậc hai thông thường:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Các nghiệm của nó là y 1 = 1, y 2 = 1/2
Bây giờ chúng ta hãy đi theo thứ tự ngược lại
Chúng ta thay thế các giá trị tìm được của y và nhận được hai phương án trả lời:
Làm thế nào để giải phương trình sin x + cos x = 1?
Hãy di chuyển mọi thứ sang trái để số 0 vẫn ở bên phải:
sin x + cos x – 1 = 0
Chúng ta hãy sử dụng các danh tính được thảo luận ở trên để đơn giản hóa phương trình:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Hãy nhân tử hóa:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Ta được hai phương trình
Một phương trình là đồng nhất đối với sin và cosin nếu tất cả các số hạng của nó đều liên quan đến sin và cos có cùng lũy thừa và cùng một góc. Để giải một phương trình thuần nhất, hãy tiến hành như sau:
a) chuyển tất cả các thành viên của nó sang bên trái;
b) bỏ tất cả các thừa số chung ra khỏi ngoặc;
c) đánh đồng tất cả các hệ số và dấu ngoặc bằng 0;
d) trong ngoặc thu được phương trình đồng nhất ở bậc thấp hơn, phương trình này được chia thành sin hoặc cosin ở bậc cao hơn;
e) giải phương trình tìm được cho tg.
Giải phương trình 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Hãy sử dụng công thức sin 2 x + cos 2 x = 1 và loại bỏ hai số mở ở bên phải:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Chia cho cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Thay tan x bằng y và thu được phương trình bậc hai:
y 2 + 4y +3 = 0, có nghiệm là y 1 =1, y 2 = 3
Từ đây ta tìm được hai nghiệm của phương trình ban đầu:
x 2 = arctan 3 + k
Giải phương trình 3sin x – 5cos x = 7
Hãy chuyển sang x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Hãy di chuyển mọi thứ sang trái:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Chia cho cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Để xem xét, chúng ta lấy một phương trình có dạng: a sin x + b cos x = c,
trong đó a, b, c là một số hệ số tùy ý và x là ẩn số.
Hãy chia cả hai vế của phương trình cho:
Bây giờ các hệ số của phương trình, theo công thức lượng giác, có các tính chất sin và cos, cụ thể là: mô đun của chúng không lớn hơn 1 và tổng bình phương = 1. Chúng ta hãy ký hiệu chúng tương ứng là cos và sin, trong đó - đây là cái gọi là góc phụ. Khi đó phương trình sẽ có dạng:
cos * sin x + sin * cos x = C
hoặc sin(x + ) = C
Giải pháp cho phương trình lượng giác đơn giản nhất này là
x = (-1) k * arcsin C - + k, trong đó
Cần lưu ý rằng các ký hiệu cos và sin có thể hoán đổi cho nhau.
Giải phương trình sin 3x – cos 3x = 1
Các hệ số trong phương trình này là:
a = , b = -1 nên chia cả hai vế cho = 2
Khi giải quyết nhiều vấn đề toán học, đặc biệt là những việc xảy ra trước lớp 10, thứ tự các hành động thực hiện để đạt được mục tiêu được xác định rõ ràng. Những vấn đề như vậy bao gồm, ví dụ, phương trình tuyến tính và bậc hai, bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai, phương trình phân số và phương trình rút gọn thành phương trình bậc hai. Nguyên tắc giải quyết thành công từng vấn đề nêu trên như sau: bạn cần xác định loại vấn đề bạn đang giải quyết, ghi nhớ chuỗi hành động cần thiết sẽ dẫn đến kết quả mong muốn, tức là. trả lời và làm theo các bước sau.
Rõ ràng là thành công hay thất bại trong việc giải một bài toán cụ thể phụ thuộc chủ yếu vào mức độ xác định chính xác của loại phương trình đang được giải, trình tự của tất cả các giai đoạn của lời giải của nó được tái tạo chính xác như thế nào. Tất nhiên, trong trường hợp này cần phải có kỹ năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán giống hệt nhau.
Tình hình lại khác với phương trình lượng giác. Hoàn toàn không khó để chứng minh rằng phương trình này là lượng giác. Khó khăn nảy sinh khi xác định chuỗi hành động sẽ dẫn đến câu trả lời đúng.
Đôi khi rất khó để xác định loại của nó dựa trên sự xuất hiện của một phương trình. Và nếu không biết loại phương trình thì gần như không thể chọn được phương trình đúng trong số hàng chục công thức lượng giác.
Để giải một phương trình lượng giác, bạn cần thử:
1. đưa tất cả các hàm có trong phương trình về “các góc giống nhau”;
2. đưa phương trình về “các hàm giống nhau”;
3. phân tích vế trái của phương trình, v.v.
Hãy xem xét các phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác.
I. Rút gọn về phương trình lượng giác đơn giản nhất
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Biểu diễn hàm lượng giác theo các thành phần đã biết.
Bước 2. Tìm đối số của hàm bằng các công thức:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n cungsin a + πn, n Є Z.
tân x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Bước 3. Tìm biến chưa biết.
Ví dụ.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Giải pháp.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Đáp án: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Thay thế biến
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Chuyển phương trình về dạng đại số đối với một trong các hàm lượng giác.
Bước 2. Biểu thị hàm kết quả bằng biến t (nếu cần, đưa ra các hạn chế đối với t).
Bước 3. Viết và giải phương trình đại số thu được.
Bước 4. Thực hiện thay thế ngược lại.
Bước 5. Giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Ví dụ.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Giải pháp.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Đặt sin (x/2) = t, trong đó |t| 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 hoặc e = -3/2, không thỏa mãn điều kiện |t| 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Đáp án: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Phương pháp giảm bậc phương trình
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Thay thế phương trình này bằng phương trình tuyến tính, sử dụng công thức giảm độ:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Bước 2. Giải phương trình thu được bằng phương pháp I và II.
Ví dụ.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Giải pháp.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Đáp án: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. phương trình đồng nhất
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Rút gọn phương trình này về dạng
a) a sin x + b cos x = 0 (phương trình thuần nhất bậc một)
hoặc để xem
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (phương trình thuần nhất bậc hai).
Bước 2. Chia cả hai vế của phương trình cho
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
và nhận được phương trình tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Bước 3. Giải phương trình bằng các phương pháp đã biết.
Ví dụ.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Giải pháp.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Cho tg x = t thì
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 hoặc t = -4, nghĩa là
tg x = 1 hoặc tg x = -4.
Từ phương trình đầu tiên x = π/4 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Đáp án: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Phương pháp biến đổi phương trình bằng công thức lượng giác
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Sử dụng tất cả các công thức lượng giác có thể, rút gọn phương trình này thành phương trình giải được bằng các phương pháp I, II, III, IV.
Bước 2. Giải phương trình thu được bằng các phương pháp đã biết.
Ví dụ.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Giải pháp.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) tội lỗi 2x(2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 hoặc 2cos x + 1 = 0;
Từ phương trình đầu tiên 2x = π/2 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai cos x = -1/2.
Ta có x = π/4 + πn/2, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Kết quả là x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Đáp án: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Khả năng và kỹ năng giải các phương trình lượng giác là rất 
quan trọng là sự phát triển của các em đòi hỏi nỗ lực đáng kể của cả học sinh và giáo viên.
Nhiều bài toán lập thể, vật lý, v.v. gắn liền với việc giải các phương trình lượng giác. Quá trình giải các bài toán đó bao gồm nhiều kiến thức và kỹ năng thu được khi nghiên cứu các phần tử lượng giác.
Các phương trình lượng giác chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình học toán và phát triển nhân cách nói chung.
Vẫn còn thắc mắc? Bạn không biết cách giải phương trình lượng giác?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư, hãy đăng ký.
Bài học đầu tiên là miễn phí!
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác
Giới thiệu 2
Các phương pháp giải phương trình lượng giác 5
Đại số 5
Giải phương trình sử dụng điều kiện đẳng thức của hàm lượng giác cùng tên 7
Phân tích nhân tử 8
Rút gọn về phương trình đồng nhất 10
Giới thiệu góc phụ 11
Chuyển tích thành tổng 14
Thay thế phổ quát 14
Kết luận 17
Giới thiệu
Cho đến lớp 10, thứ tự hành động của nhiều bài tập dẫn đến mục tiêu thường được xác định rõ ràng. Ví dụ, các phương trình tuyến tính và bậc hai và các bất đẳng thức, các phương trình phân số và các phương trình rút gọn về phương trình bậc hai, v.v. Không xem xét chi tiết nguyên tắc giải từng ví dụ đã đề cập, chúng tôi lưu ý những điều chung cần thiết để giải quyết thành công các ví dụ đó.
Trong hầu hết các trường hợp, bạn cần xác định loại nhiệm vụ đó là gì, ghi nhớ trình tự các hành động dẫn đến mục tiêu và thực hiện các hành động này. Rõ ràng, sự thành công hay thất bại của một học sinh trong việc nắm vững các kỹ thuật giải phương trình phụ thuộc chủ yếu vào việc học sinh có thể xác định chính xác loại phương trình và ghi nhớ trình tự tất cả các giai đoạn giải phương trình đó đến mức nào. Tất nhiên, người ta cho rằng học sinh có kỹ năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán giống hệt nhau.
Một tình huống hoàn toàn khác nảy sinh khi một học sinh gặp phải các phương trình lượng giác. Hơn nữa, không khó để chứng minh rằng phương trình này là lượng giác. Khó khăn nảy sinh khi tìm ra một phương án hành động có thể dẫn đến kết quả tích cực. Và ở đây học sinh phải đối mặt với hai vấn đề. Rất khó để xác định loại bằng sự xuất hiện của phương trình. Và nếu không biết loại thì gần như không thể chọn được công thức mong muốn trong số hàng tá công thức có sẵn.
Để giúp học sinh tìm đường vượt qua mê cung phức tạp của các phương trình lượng giác, trước tiên các em được làm quen với các phương trình được rút gọn thành phương trình bậc hai khi giới thiệu một biến mới. Sau đó, họ giải các phương trình đồng nhất và những phương trình rút gọn được. Mọi thứ đều kết thúc, như một quy luật, bằng các phương trình, để giải được phương trình nào cần phải phân tích vế trái, sau đó đánh đồng từng thừa số bằng 0.
Nhận thấy rằng hàng tá phương trình rưỡi được thảo luận trong bài học rõ ràng là không đủ để đưa học sinh vào một chuyến hành trình độc lập băng qua “biển” lượng giác, giáo viên bổ sung thêm một số khuyến nghị.
Để giải một phương trình lượng giác, bạn cần thử:
Đưa tất cả các hàm có trong phương trình về “các góc giống nhau”;
Rút gọn phương trình thành “các hàm giống hệt nhau”;
Phân tích vế trái của phương trình, v.v.
Nhưng mặc dù biết các loại phương trình lượng giác cơ bản và một số nguyên tắc tìm nghiệm, nhiều học sinh vẫn thấy mình bối rối trước mọi phương trình hơi khác so với những phương trình được giải trước đó. Vẫn chưa rõ người ta nên cố gắng đạt được điều gì khi có phương trình này hay phương trình kia, tại sao trong một trường hợp lại cần sử dụng công thức góc đôi, ở nửa góc khác và trong công thức cộng thứ ba, v.v.
Định nghĩa 1. Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số dưới dấu của hàm lượng giác.
Định nghĩa 2. Một phương trình lượng giác được cho là có các góc bằng nhau nếu tất cả các hàm lượng giác trong nó có các đối số bằng nhau. Một phương trình lượng giác được gọi là có các hàm giống nhau nếu nó chỉ chứa một trong các hàm lượng giác.
Định nghĩa 3. Mũ của một đơn thức chứa các hàm lượng giác là tổng số mũ của lũy thừa của các hàm lượng giác có trong nó.
Định nghĩa 4. Một phương trình được gọi là đồng nhất nếu tất cả các đơn thức chứa trong nó có cùng một bậc. Mức độ này được gọi là thứ tự của phương trình.
Định nghĩa 5. Phương trình lượng giác chỉ chứa hàm số tội lỗi Và vì, được gọi là đồng nhất nếu tất cả các đơn thức đối với hàm lượng giác có cùng bậc và bản thân các hàm lượng giác có các góc bằng nhau và số đơn thức lớn hơn bậc của phương trình là 1.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Việc giải phương trình lượng giác bao gồm hai giai đoạn: biến đổi phương trình về dạng đơn giản nhất và giải phương trình lượng giác đơn giản nhất thu được. Có bảy phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác.
TÔI. Phương pháp đại số. Phương pháp này được biết đến nhiều từ đại số. (Phương pháp thay thế biến và thay thế).
Giải phương trình.
1)
Hãy giới thiệu ký hiệu x=2 tội lỗi3 t, chúng tôi nhận được
Giải phương trình này, ta được: 
hoặc 
những thứ kia. có thể được viết ra
Khi ghi dung dịch thu được do có dấu hiệu 
bằng cấp 
không có ích gì khi viết nó ra.
Trả lời: 
Hãy biểu thị 
Chúng ta thu được một phương trình bậc hai 
. Nguồn gốc của nó là những con số 
Và 
. Do đó, phương trình này rút gọn về phương trình lượng giác đơn giản nhất 
Và 
. Giải quyết chúng, chúng tôi thấy rằng 
hoặc 
.
Trả lời: 
; 
.
Hãy biểu thị 
không thỏa mãn điều kiện 
Có nghĩa 
Trả lời: 
Hãy biến đổi vế trái của phương trình:
Do đó, phương trình ban đầu này có thể được viết là:
, tức là
Đã chỉ định 
, chúng tôi nhận được 
Giải phương trình bậc hai này ta có:
không thỏa mãn điều kiện 
Ta viết nghiệm của phương trình ban đầu:
Trả lời: 
Thay thế 
rút gọn phương trình này thành phương trình bậc hai 
. Nguồn gốc của nó là những con số 
Và 
. Bởi vì 
, thì phương trình đã cho không có nghiệm.
Trả lời: không có rễ.
II. Giải phương trình sử dụng điều kiện đẳng thức của các hàm lượng giác cùng tên.
MỘT) 
, Nếu như
b) 
, Nếu như
V) 
, Nếu như 
Sử dụng các điều kiện này, hãy xem xét việc giải các phương trình sau:
6) 
Sử dụng những gì đã nói ở phần a), chúng ta thấy rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
.
Giải phương trình này, ta tìm được 
.
Chúng tôi có hai nhóm giải pháp: 
.
7) Giải phương trình: 
.
Sử dụng điều kiện ở mục b) ta suy ra rằng 
.
Giải các phương trình bậc hai này, ta được:
.
8) Giải phương trình 
.
Từ phương trình này ta suy ra rằng . Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được 
.
III. Nhân tố hóa.
Chúng tôi xem xét phương pháp này với các ví dụ.
9) Giải phương trình 
.
Giải pháp. Hãy di chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang trái: .
Hãy biến đổi và phân tích biểu thức ở vế trái của phương trình: 
.
.
.
1)
2) 
Bởi vì 
Và 
không chấp nhận giá trị 0
cùng một lúc, sau đó chúng tôi chia cả hai phần
phương trình cho 
, 
Trả lời: 
10) Giải phương trình:
Giải pháp.
hoặc 
Trả lời: 
11) Giải phương trình
Giải pháp:
1)
2)
3)
, 
Trả lời: 
IV. Rút gọn về một phương trình đồng nhất.
Để giải một phương trình đồng nhất bạn cần:
Di chuyển tất cả các thành viên của nó sang bên trái;
Đặt tất cả các thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc đơn;
Đánh đồng tất cả các thừa số và dấu ngoặc bằng 0;
Dấu ngoặc bằng 0 cho một phương trình đồng nhất ở mức độ thấp hơn, phương trình này sẽ được chia cho 
(hoặc 
) ở cấp độ cao hơn;
Giải phương trình đại số thu được cho 
.
Hãy xem xét các ví dụ:
12) Giải phương trình:
Giải pháp.
Hãy chia cả hai vế của phương trình cho 
, 
Giới thiệu tên gọi 
, tên
nghiệm của phương trình này: 
do đó 1) 
2) 
Trả lời: 
13) Giải phương trình:
Giải pháp. Sử dụng các công thức góc đôi và đồng nhất thức lượng giác cơ bản, chúng ta rút gọn phương trình này thành một nửa đối số:
Sau khi rút gọn các số hạng tương tự ta có:
Chia phương trình đồng nhất cuối cùng cho 
, chúng tôi nhận được
Tôi sẽ chỉ ra 
, ta được phương trình bậc hai 
, có gốc là số 
Như vậy 
Sự biểu lộ 
tiến tới 0 tại 
, tức là Tại 
, 
.
Lời giải của phương trình chúng ta thu được không bao gồm những con số này.
Trả lời: 
, .
V.. Giới thiệu góc phụ.
Xét một phương trình có dạng
Ở đâu a, b, c- hệ số, x- không rõ.
Hãy chia cả hai vế của phương trình này cho 
Bây giờ các hệ số của phương trình có các tính chất của sin và cosin, cụ thể là: mô đun của mỗi hệ số không vượt quá một và tổng bình phương của chúng bằng 1.
Sau đó chúng ta có thể chỉ định chúng cho phù hợp 
(Đây 
- góc phụ) và phương trình của chúng ta có dạng: .
Sau đó 
Và quyết định của anh ấy
Lưu ý rằng các ký hiệu được giới thiệu có thể thay thế cho nhau.
14) Giải phương trình: 
Giải pháp. Đây 
, vì vậy chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 
Trả lời: 
15) Giải phương trình
Giải pháp. Bởi vì 
, thì phương trình này tương đương với phương trình
Bởi vì 
, khi đó tồn tại một góc sao cho 
, 
(những thứ kia. 
).
chúng tôi có 
Bởi vì 
, thì cuối cùng chúng tôi nhận được:
.
Lưu ý rằng các phương trình dạng có nghiệm khi và chỉ khi 
16) Giải phương trình:
Để giải phương trình này, ta nhóm các hàm lượng giác có cùng đối số
Chia cả hai vế của phương trình cho hai
Hãy biến đổi tổng các hàm lượng giác thành tích:
Trả lời: 
VI. Chuyển đổi một sản phẩm thành một tổng.
Các công thức tương ứng được sử dụng ở đây.
17) Giải phương trình:
Giải pháp. Hãy biến đổi vế trái thành tổng:
VII.Sự thay thế phổ quát.
, 
những công thức này đúng với tất cả mọi người 
Thay thế 
gọi là phổ quát.
18) Giải phương trình: 
Giải pháp: Thay thế và 
đến sự thể hiện của họ thông qua 
và biểu thị 
.
Chúng ta nhận được một phương trình hợp lý 
, chuyển thành hình vuông 
.
Gốc của phương trình này là các số 
.
Do đó, bài toán được rút gọn thành việc giải hai phương trình 
.
Chúng tôi thấy rằng 
.
Xem giá trị 
không thỏa mãn phương trình ban đầu, được xác nhận bằng cách kiểm tra - thay thế giá trị đã cho t vào phương trình ban đầu.
Trả lời: 
.
Bình luận. Phương trình 18 có thể giải theo cách khác.
Hãy chia cả hai vế của phương trình này cho 5 (tức là cho 
): 
.
Bởi vì 
, thì có một số như vậy 
, Cái gì 
Và 
. Do đó phương trình có dạng: 
hoặc 
. Từ đây chúng ta tìm thấy rằng 
Ở đâu 
.
19) Giải phương trình 
.
Giải pháp. Vì các chức năng 
Và 
có giá trị lớn nhất bằng 1 thì tổng của chúng bằng 2 nếu 
Và 
, đồng thời, đó là 
.
Trả lời: 
.
Khi giải phương trình này, giới hạn của hàm số và được sử dụng.
Phần kết luận.
Khi làm bài “Giải phương trình lượng giác”, mỗi giáo viên nên thực hiện theo các khuyến nghị sau:
Hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Hãy chọn cho mình các bước để thực hiện phân tích phương trình và các dấu hiệu về tính khả thi của việc sử dụng một phương pháp giải cụ thể.
Hãy suy nghĩ cách tự giám sát các hoạt động của mình trong việc thực hiện phương pháp.
Học cách soạn các phương trình “của riêng bạn” cho từng phương pháp đang được nghiên cứu.
Phụ lục số 1
Giải các phương trình đồng nhất hoặc rút gọn về đồng nhất.
1. | Trả lời. |
Trả lời. |
|
Trả lời. |
|
5. | Trả lời. |
Trả lời. |
|
7. | Trả lời. |
Trả lời. |
|
Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất môn toán với 60-65 điểm. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Kỳ thi Tiểu bang Thống nhất môn toán. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu bạn muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!
Khóa luyện thi cấp Nhà nước thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.
Tất cả các lý thuyết cần thiết. Lời giải nhanh, cạm bẫy và bí quyết của kỳ thi Thống Nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.
Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề kéo dài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.
Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất Nhà nước. Vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. Những giải pháp khó khăn, những mánh gian lận hữu ích, phát triển trí tưởng tượng về không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích rõ ràng về các khái niệm phức tạp. Đại số. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Là cơ sở để giải các bài toán phức tạp Phần 2 của Đề thi Thống nhất.
Bài học về vận dụng tích hợp kiến thức.
Mục tiêu bài học.
- Ôn lại các phương pháp khác nhau để giải phương trình lượng giác.
- Phát triển khả năng sáng tạo của học sinh thông qua giải phương trình.
- Khuyến khích học sinh tự chủ, kiểm soát lẫn nhau, tự phân tích hoạt động học tập của mình.
Thiết bị: màn hình, máy chiếu, tài liệu tham khảo.
Tiến độ bài học
Trò chuyện giới thiệu.
Phương pháp chính để giải các phương trình lượng giác là rút gọn chúng về dạng đơn giản nhất. Trong trường hợp này, các phương pháp thông thường được sử dụng, chẳng hạn như nhân tử hóa, cũng như các kỹ thuật chỉ được sử dụng để giải phương trình lượng giác. Có khá nhiều kỹ thuật như vậy, chẳng hạn như các phép thay thế lượng giác khác nhau, phép biến đổi góc, phép biến đổi hàm lượng giác. Việc áp dụng bừa bãi bất kỳ phép biến đổi lượng giác nào thường không đơn giản hóa phương trình mà còn làm nó phức tạp một cách thảm khốc. Để xây dựng phương án tổng quát giải phương trình, vạch ra cách rút gọn phương trình sao cho đơn giản nhất, trước tiên bạn phải phân tích các góc - đối số của các hàm lượng giác có trong phương trình.
Hôm nay chúng ta sẽ nói về các phương pháp giải phương trình lượng giác. Phương pháp được chọn đúng thường có thể đơn giản hóa đáng kể việc giải, vì vậy, tất cả các phương pháp chúng ta đã nghiên cứu phải luôn được ghi nhớ để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp thích hợp nhất.
II. (Sử dụng máy chiếu, chúng tôi lặp lại các phương pháp giải phương trình.)
1. Phương pháp rút gọn phương trình lượng giác về phương trình đại số.
Cần phải biểu diễn tất cả các hàm lượng giác thông qua một, với cùng một đối số. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng đồng nhất thức lượng giác cơ bản và các hệ quả của nó. Chúng ta thu được một phương trình với một hàm lượng giác. Coi nó như một ẩn số mới, chúng ta thu được một phương trình đại số. Chúng tôi tìm ra gốc rễ của nó và quay trở lại ẩn số cũ, giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.
2. Phương pháp nhân tử hóa.
Để thay đổi góc, các công thức rút gọn, tính tổng và hiệu của các đối số thường hữu ích, cũng như các công thức chuyển tổng (hiệu) của các hàm lượng giác thành tích và ngược lại.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Phương pháp giới thiệu góc bổ sung.
4. Phương pháp sử dụng phép thay thế phổ quát.
Các phương trình có dạng F(sinx, cosx, tanx) = 0 được chuyển về dạng đại số bằng cách sử dụng phép thay thế lượng giác phổ quát
Biểu diễn sin, cos và tang theo tiếp tuyến của một nửa góc. Kỹ thuật này có thể dẫn đến một phương trình bậc cao hơn. Giải pháp khó khăn.