Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm thấy câu trả lời cho các câu hỏi về cách tạo hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng và cách xác định tọa độ của hình chiếu này. Trong phần lý thuyết chúng ta sẽ dựa vào khái niệm phép chiếu. Chúng tôi sẽ xác định các điều khoản và cung cấp thông tin kèm theo hình ảnh minh họa. Hãy củng cố kiến thức đã học bằng cách giải các ví dụ.
Phép chiếu, các loại phép chiếu
Để thuận tiện cho việc xem các hình không gian, các bản vẽ mô tả các hình này được sử dụng.
Định nghĩa 1
Chiếu một hình lên mặt phẳng- Vẽ hình không gian.
Rõ ràng, có một số quy tắc được sử dụng để xây dựng một phép chiếu.
Định nghĩa 2
Chiếu– quá trình xây dựng bản vẽ hình không gian trên mặt phẳng bằng các quy tắc xây dựng.
Mặt phẳng chiếu- đây là mặt phẳng trong đó hình ảnh được xây dựng.
Việc sử dụng các quy tắc nhất định sẽ xác định loại hình chiếu: trung tâm hoặc song song.
Trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song là phép chiếu vuông góc hoặc trực giao: trong hình học nó được sử dụng chủ yếu. Vì lý do này, bản thân tính từ “vuông góc” thường bị bỏ qua trong lời nói: trong hình học, người ta chỉ nói đơn giản là “hình chiếu của một hình” và điều này có nghĩa là xây dựng một hình chiếu bằng phương pháp phép chiếu vuông góc. Tất nhiên, trong những trường hợp đặc biệt, có thể thỏa thuận một điều gì đó khác.
Chúng ta hãy lưu ý rằng hình chiếu của một hình lên một mặt phẳng về cơ bản là hình chiếu của tất cả các điểm của hình này. Vì vậy, để có thể nghiên cứu hình không gian trong hình vẽ, cần phải có kỹ năng cơ bản là chiếu một điểm lên mặt phẳng. Những gì chúng ta sẽ nói về dưới đây.
Chúng ta hãy nhớ lại rằng thông thường nhất trong hình học, khi nói về hình chiếu lên một mặt phẳng, chúng có nghĩa là việc sử dụng hình chiếu vuông góc.
Chúng ta hãy xây dựng các công trình giúp chúng ta có cơ hội đạt được định nghĩa về hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
Giả sử một không gian ba chiều được cho và trong đó có một mặt phẳng α và một điểm M 1 không thuộc mặt phẳng α. Vẽ đường thẳng đi qua điểm M MỘT vuông góc với mặt phẳng α cho trước. Ta ký hiệu giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α là H 1; theo cách xây dựng, nó sẽ đóng vai trò là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm M 1 xuống mặt phẳng α.
Nếu cho một điểm M 2 thuộc mặt phẳng α cho trước thì M 2 sẽ đóng vai trò là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng α.
Định nghĩa 3
- đây có thể là điểm đó (nếu nó thuộc một mặt phẳng nhất định) hoặc đáy của đường vuông góc hạ từ một điểm nhất định xuống một mặt phẳng nhất định.
Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, ví dụ
Cho các biểu thức sau trong không gian ba chiều: hệ tọa độ chữ nhật O x y z, mặt phẳng α, điểm M 1 (x 1, y 1, z 1). Cần tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 1 lên một mặt phẳng cho trước.
Lời giải rõ ràng được suy ra từ định nghĩa ở trên về hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
Hãy ký hiệu hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng α là H 1 . Theo định nghĩa, H 1 là giao điểm của mặt phẳng cho trước α và đường thẳng a vẽ qua điểm M 1 (vuông góc với mặt phẳng). Những thứ kia. Tọa độ hình chiếu của điểm M 1 ta cần là tọa độ giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α.
Vì vậy, để tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng cần:
Lấy phương trình của mặt phẳng α (nếu không xác định). Một bài viết về các loại phương trình mặt phẳng sẽ giúp bạn ở đây;
Xác định phương trình đường thẳng a đi qua điểm M 1 và vuông góc với mặt phẳng α (học bài về phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước);
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α (bài - Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng). Dữ liệu thu được sẽ là tọa độ chúng ta cần để chiếu điểm M 1 lên mặt phẳng α.
Hãy xem xét lý thuyết với các ví dụ thực tế.
Ví dụ 1
Xác định tọa độ hình chiếu của điểm M 1 (- 2, 4, 4) lên mặt phẳng 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Giải pháp
Như chúng ta thấy, phương trình của mặt phẳng được đưa ra cho chúng ta, tức là. không cần phải biên dịch nó.
Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng a đi qua điểm M 1 và vuông góc với mặt phẳng đã cho. Với mục đích này, chúng ta xác định tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng a. Vì đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng cho trước nên vectơ chỉ phương của đường thẳng a là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Như vậy, a → = (2, - 3, 1) – vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
Bây giờ chúng ta sẽ soạn các phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian đi qua điểm M 1 (- 2, 4, 4) và có vectơ chỉ phương a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Để tìm tọa độ cần tìm, bước tiếp theo là xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 và mặt phẳng 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Với những mục đích này, chúng ta chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình của hai mặt phẳng cắt nhau:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Hãy lập hệ phương trình:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
Và hãy giải nó bằng phương pháp Cramer:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5
Do đó, tọa độ cần tìm của điểm M 1 cho trước trên mặt phẳng α cho trước sẽ là: (0, 1, 5).
Trả lời: (0 , 1 , 5) .
Ví dụ 2
Trong hệ tọa độ chữ nhật O x y z của không gian ba chiều cho các điểm A (0, 0, 2); B(2, - 1, 0); C (4, 1, 1) và M 1 (-1, -2, 5). Cần tìm tọa độ của hình chiếu M 1 lên mặt phẳng A B C
Giải pháp
Trước hết ta viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Ta viết phương trình tham số của đường thẳng a đi qua điểm M 1 vuông góc với mặt phẳng A B C. Mặt phẳng x – 2 y + 2 z – 4 = 0 có vectơ pháp tuyến có tọa độ (1, - 2, 2), tức là vectơ a → = (1, - 2, 2) – vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
Bây giờ, có tọa độ điểm của đường thẳng M 1 và tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng này, chúng ta viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian:
Khi đó ta xác định tọa độ giao điểm của mặt phẳng x – 2 y + 2 z – 4 = 0 và đường thẳng
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Để làm điều này, chúng ta thay thế vào phương trình của mặt phẳng:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Bây giờ, sử dụng phương trình tham số x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, ta tìm được giá trị của các biến x, y và z cho λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Như vậy, hình chiếu điểm M 1 lên mặt phẳng A B C sẽ có tọa độ (- 2, 0, 3).
Trả lời: (- 2 , 0 , 3) .
Chúng ta hãy tập trung riêng vào vấn đề tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên các mặt phẳng tọa độ và các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ.
Cho các điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và các mặt phẳng tọa độ O x y, O x z và O y z. Tọa độ hình chiếu của điểm này lên các mặt phẳng này sẽ lần lượt là: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) và (0, y 1, z 1). Chúng ta cũng xét các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ đã cho:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
Và các hình chiếu của điểm M 1 cho trước lên các mặt phẳng này sẽ là các điểm có tọa độ x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 và - D A, y 1, z 1.
Hãy để chúng tôi chứng minh kết quả này đã đạt được như thế nào.
Ví dụ, hãy định nghĩa hình chiếu của điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) lên mặt phẳng A x + D = 0. Các trường hợp còn lại tương tự.
Mặt phẳng đã cho song song với mặt phẳng tọa độ O y z và i → = (1, 0, 0) là vectơ pháp tuyến của nó. Vectơ tương tự đóng vai trò là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng O y z. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 1 và vuông góc với một mặt phẳng cho trước sẽ có dạng:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Hãy tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng này và mặt phẳng đã cho. Trước tiên chúng ta thay các đẳng thức vào phương trình A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 và nhận được: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Sau đó, ta tính tọa độ cần tìm bằng phương trình tham số của đường thẳng với λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Tức là hình chiếu của điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) lên mặt phẳng sẽ là một điểm có tọa độ - D A, y 1, z 1.
Ví dụ 2
Cần xác định tọa độ hình chiếu của điểm M 1 (- 6, 0, 1 2) lên mặt phẳng tọa độ O x y và lên mặt phẳng 2 y - 3 = 0.
Giải pháp
Mặt phẳng tọa độ O x y sẽ tương ứng với phương trình tổng quát không đầy đủ của mặt phẳng z = 0. Hình chiếu của điểm M 1 lên mặt phẳng z = 0 sẽ có tọa độ (- 6, 0, 0).
Phương trình mặt phẳng 2 y - 3 = 0 có thể viết là y = 3 2 2. Bây giờ chỉ cần viết tọa độ hình chiếu của điểm M 1 (- 6, 0, 1 2) lên mặt phẳng y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Trả lời:(- 6 , 0 , 0) và - 6 , 3 2 2 , 1 2
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Định lý về hình chiếu riêng phần của góc vuông
Nếu mặt phẳng của một góc vuông không vuông góc và không song song với mặt phẳng hình chiếu và có ít nhất một cạnh của nó song song với mặt phẳng này thì góc vuông được chiếu lên nó mà không bị biến dạng.
Để góc ABC– thẳng (Hình 65) và bên Mặt trời|| N, do đó, phép chiếu bc|| BC. bên AB tiếp tục cho đến khi nó giao nhau với mặt phẳng N và qua điểm ĐẾN chúng tôi tiến hành trực tiếp KN|| bc. Kể từ đây, KN || BC.
Theo đó, góc BKN- thẳng. Theo định lý ba đường vuông góc thì góc bKN- thẳng, do đó, góc Kbc= 90°.
Cơm. 65. Mô hình không gian của phép chiếu góc vuông
Ghi chú. Định lý về hình chiếu của một góc vuông này tương ứng với hai định lý ngược lại (không đưa ra chứng minh).
1. Nếu hình chiếu của một góc phẳng là một góc vuông thì góc chiếu chỉ vuông nếu có ít nhất một trong các cạnh của góc này song song với mặt phẳng hình chiếu.
2. Nếu hình chiếu của một góc nào đó có một cạnh song song với mặt phẳng chiếu là góc vuông thì góc chiếu đó cũng là góc vuông.
Dựa trên các định lý này, có thể xác định rằng các góc được thể hiện trong Hình. 66, trong không gian - đường thẳng.
|
|
Cơm. 66. Chiếu góc vuông trên sơ đồ Monge:
MỘT- một cạnh của góc nằm ngang; b– một trong các cạnh của góc – phía trước
Hãy xem xét góc TRONG(Hình 66 MỘT).
Góc trong không gian TRONG thẳng, vì đồ thị cho thấy đường thẳng AB nằm ngang ( h′|| X) và ∠ Một= 90° (theo định lý ngược thứ nhất).
Hãy xem xét góc TRONG(Hình 66 b).
Góc trong không gian TRONG thẳng, vì một trong các cạnh của nó là mặt trước ( AB|| V.;bụng|| X) và hình chiếu chính diện ∠ b′ = 90°.
Định lý này rút ra một kết luận đơn giản - đường vuông góc có thể được vẽ thành một đường thẳng trong đó đường thẳng đó được chiếu theo kích thước tự nhiên.
Khi giải các bài toán vị trí và số liệu của hình học mô tả, dựa vào các định lý này, có thể dựng hai đường thẳng vuông góc với nhau, từ đó cuối cùng có thể xác định khoảng cách và dựng các mặt phẳng vuông góc với nhau.
Hãy xem xét một số vấn đề về chủ đề của tài liệu này.
Nhiệm vụ 1. Thông qua điểm MỘT vẽ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng M(Hình 67).
Phân tích tình trạng đồ họa của vấn đề, chúng tôi lưu ý rằng tôi|| X, có nghĩa là đường thẳng M là mặt trước ( M|| V.).
Vì vậy, việc xây dựng đường thẳng mong muốn phải bắt đầu bằng hình chiếu chính diện, vẽ nó vuông góc với hình chiếu tôi׳, vì trên mặt phẳng trước của hình chiếu có một đường thẳng Mđược chiếu mà không bị biến dạng và lên mặt phẳng phía trước của các hình chiếu V. góc vuông giữa đường thẳng đã cho và đường thẳng mới dựng sẽ được chiếu mà không bị biến dạng.
1. Xây dựng hình chiếu trực diện của đoạn mong muốn a′b′⊥ tôi′.
2. Xác định vị trí của điểm b׳ trên hình chiếu tôi׳ và bằng kết nối phép chiếu ta xác định được phép chiếu ngang b trên hình chiếu m.
3. Xây dựng hình chiếu ngang của đoạn mong muốn bụng.
Cơm. 67. Vẽ đường vuông góc với đường thẳng M Cơm. 68. Xây dựng chiều cao trong ∆ ABC
Nhiệm vụ 2. Qua đỉnh VỚI vẽ chiều cao của hình tam giác ABC(Hình 68).
Giải pháp. Chúng tôi phân tích sơ đồ và lưu ý rằng cạnh của tam giác AB|| H, trong khi hình chiếu ngang của nó được hiển thị ở kích thước tự nhiên.
Vì vậy, việc xây dựng chiều cao phải bắt đầu bằng hình chiếu ngang.
Trình tự thực hiện phần đồ họa của tác vụ:
1. Từ một điểm Với vẽ một đoạn vuông góc với cạnh bụng.
2. Điểm d- chiều cao đáy, đĩa CD- Hình chiếu chiều cao theo phương ngang.
3. Chiếu một điểm dđến hình chiếu phía trước của bên a′b′ và chúng ta có được hình chiếu trực diện của điểm d′ và xây dựng một hình chiếu chiều cao phía trước đĩa CD'.
Nhiệm vụ 3. Xác định khoảng cách từ một điểm ĐẾNđến một đường thẳng N(Hình 69).
Giải pháp. Cần lưu ý rằng khi giải bài toán xác định khoảng cách, không chỉ cần xây dựng hình chiếu của khoảng cách mà còn phải xác định giá trị tự nhiên của nó.
Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng là giá trị đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng đó. Phân tích hình vẽ, ta thấy đường thẳng N là phía trước và được hiển thị trên hình chiếu phía trước mà không bị biến dạng.
Vì vậy, việc xây dựng hình chiếu vuông góc phải bắt đầu bằng hình chiếu chính diện của nó.
Trình tự thực hiện phần đồ họa của tác vụ:
1. Từ một điểm k′ hạ đường vuông góc với hình chiếu của đường thẳng N', chúng ta hiểu ý đ’. Hình chiếu phía trước của đường vuông góc – k′ e′.
2. Chiếu điểm thu được lên hình chiếu ngang của đường thẳng N, chúng ta có được một điểm e và hình chiếu ngang của đường vuông góc ke.
3. Xét theo hình chiếu, thẳng KE vị trí chung. Sử dụng phương pháp tam giác vuông, chúng tôi xác định kích thước tự nhiên của nó | KE|.
Khoảng cách từ điểm ĐẾNđến một đường thẳng N bằng độ dài của đoạn - ĐẾNÔ đ’.
KE, N = Kồ e′= 30mm.
3.5. Đường bay đặc biệt
Các đường thẳng chiếm một vị trí đặc biệt trong mặt phẳng:
1. Đường mức mặt phẳng.
2. Đường nghiêng lớn nhất của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu.
Đường cấp máy bay
Đường cấp máy bay– các đường thẳng nằm trong mặt phẳng cho trước và song song với các mặt phẳng chiếu: đường ngang, mặt trước, đường thẳng biên.
Mặt phẳng ngang – một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng cho trước và song song với mặt phẳng chiếu N. Cần nhớ rằng tất cả các đường nằm ngang của cùng một mặt phẳng đều song song với nhau.
Hình chiếu ngang của phương ngang là song song với vết ngang của mặt phẳng, vết ngang của mặt phẳng là đường ngang bằng 0 của mặt phẳng. Để dựng một đường ngang trong mặt phẳng R, được cho bởi dấu vết, phải nằm trên hình chiếu chính diện P Vđánh dấu một điểm d" – hình chiếu phía trước của đường ngang (Hình 67 MỘT). Thông qua đó chúng ta vẽ một hình chiếu trực diện của phương ngang song song với trục X. Trên trục X tìm hình chiếu ngang d. Một đường thẳng vẽ từ một điểm d song song với đường mòn R N mặt phẳng, thể hiện hình chiếu ngang của phương ngang.
Trong hình. 70 b các hình chiếu ngang được vẽ thông qua các hình chiếu của điểm D và dấu chấm 1 trực tiếp EU mặt phẳng được xác định bởi một hình tam giác CDE. Việc xây dựng mặt ngang luôn bắt đầu bằng hình chiếu chính diện d"1", song song với trục X. Sử dụng tính chất thành viên, tìm hình chiếu ngang của một điểm 1 và thực hiện phép chiếu ngang của phương ngang.
|
|
Cơm. 70. Mặt phẳng ngang:
MỘT– trên máy bay R, được cho bởi dấu vết; b– trong mặt phẳng xác định bởi ∆ СDE
Mặt phẳng phía trước- đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu V.(Hình 71).
Việc xây dựng các đường mặt trước và mặt cắt được thực hiện tương tự như việc xây dựng các đường ngang, dựa vào các tính chất đã biết của hình chiếu của các đường ngang và tính chất thuộc về, chúng bắt đầu bằng hình chiếu song song với trục hình chiếu tương ứng. Tất cả các mặt trước của cùng một mặt phẳng đều song song với nhau. Điều tương tự cũng có thể nói về các đường thẳng biên dạng của mặt phẳng.
Biên dạng đường thẳng của mặt phẳng là một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nhất định và song song với mặt phẳng biên dạng của các hình chiếu (Hình 72).
|
|
Cơm. 71. Mặt phẳng phía trước:
MỘT– trên máy bay R, được cho bởi dấu vết; b– trong mặt phẳng xác định bởi ∆ СDE
Cơm. 72. Dòng hồ sơ cấp độ LÀ mặt phẳng ∆ ABC
Các phép chiếu trực tiếp.
Vẽ khả năng đảo ngược
Vẽ khả năng đảo ngược. Bằng cách chiếu lên một mặt phẳng chiếu, sẽ thu được một hình ảnh không cho phép xác định rõ ràng hình dạng và kích thước của đối tượng được mô tả. Phép chiếu A 1 (xem Hình 1.4.) không xác định vị trí của chính điểm đó trong không gian, vì không biết nó cách mặt phẳng chiếu P 1 bao xa. Trong những trường hợp như vậy chúng ta nói về tính không thể đảo ngược vẽ , vì không thể sao chép bản gốc bằng cách sử dụng bản vẽ như vậy. Để loại bỏ sự không chắc chắn, hình ảnh được bổ sung dữ liệu cần thiết. Trong thực tế, nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng để bổ sung cho bản vẽ chiếu đơn.
CHƯƠNG 2
Đường thẳng có thể coi là giao điểm của hai mặt phẳng (Hình 2.1, 2.2.).
Đường thẳng trong không gian là vô hạn. Phần giới hạn của một đường thẳng được gọi là đoạn.
Việc chiếu một đường thẳng có nghĩa là xây dựng các hình chiếu của hai điểm tùy ý trên nó, vì hai điểm hoàn toàn xác định vị trí của đường thẳng trong không gian. Bằng cách hạ các đường vuông góc từ điểm A và B (Hình 2.2) xuống giao điểm với mặt phẳng P 1, xác định được các hình chiếu ngang A 1 và B 1 của chúng. Đoạn A 1 B 1 – hình chiếu ngang của đường thẳng AB. Một kết quả tương tự thu được bằng cách vẽ các đường vuông góc với P 1 từ các điểm tùy ý của đường AB. Tổ hợp các đường vuông góc này (tia chiếu) tạo thành mặt phẳng chiếu a nằm ngang, cắt mặt phẳng P 1 dọc theo đường thẳng A 1 B 1 - hình chiếu ngang của đường thẳng AB. Dựa trên những cân nhắc tương tự, thu được hình chiếu trực diện A 2 B 2 của đường thẳng AB (Hình 2.2).
Hình chiếu của một đường thẳng không xác định được vị trí của nó trong không gian. Thật vậy, đoạn A 1 B 1 (Hình 2.1.) có thể là hình chiếu của một đoạn tùy ý nằm trong mặt phẳng chiếu a. Vị trí của một đường thẳng trong không gian được xác định duy nhất bằng sự kết hợp của hai hình chiếu của nó. Dựng lại từ điểm nằm ngang A 1 B 1 và các mặt phẳng P 1 và P 2, ta thu được hai mặt phẳng chiếu a và b cắt nhau dọc theo một đường thẳng AB.
Hình vẽ phức tạp (Hình 2.3) thể hiện đoạn thẳng AB ở vị trí tổng quát, trong đó A 1 B 1 nằm ngang, A 2 B 2 nằm chính diện và A 3 B 3 là hình chiếu biên dạng của đoạn thẳng. Xây dựng hình chiếu thứ ba của đoạn thẳng. Để dựng hình chiếu thứ ba của một đoạn thẳng bằng hai dữ liệu, bạn có thể sử dụng các phương pháp tương tự như khi dựng hình chiếu thứ ba của một điểm: phép chiếu (Hình 2.4.), tọa độ (Hình 2.5.) và sử dụng một đường thẳng không đổi đường vẽ (Hình 2.6.).
2.2. Vị trí của đường thẳng so với mặt phẳng chiếu.
Trong hình 1.5. mô tả một hình bình hành có phần trên bị cắt và một hình chóp hình tam giác tùy ý. Các cạnh của hình bình hành và hình chóp chiếm các vị trí khác nhau trong không gian so với các mặt phẳng chiếu. Để xây dựng và đọc bản vẽ, bạn cần có khả năng phân tích vị trí của một đường thẳng. Theo vị trí của chúng trong không gian, các đường được chia thành đường riêng và đường chung.
Quy định riêng trực tiếp có thể ở mức độ xạ ảnh và trực tiếp.
Các đường chiếu là những đường vuông góc với một trong các mặt phẳng chiếu, tức là song song với hai mặt phẳng còn lại P 1, gọi là đường thẳng chiếu ngang; Hình chiếu ngang của nó A 1 B 1 là một điểm, và các hình chiếu chính diện và hình chiếu của nó là những đường thẳng song song với trục O z. Đường thẳng CD (Hình 2.7) vuông góc với mặt phẳng chiếu P 2 gọi là đường thẳng chiếu chính diện; Hình chiếu trực diện C 2 D 2 của nó là một điểm, và các hình chiếu ngang và hình chiếu của nó là những đường thẳng song song với trục Oy. Đường thẳng MN (Hình 2.8.) vuông góc với mặt phẳng chiếu P 3 được gọi là hình chiếu đường thẳng; Hình chiếu biên dạng M 3 N 3 của nó là một điểm, các hình chiếu ngang và hình chiếu chính diện của nó là những đường thẳng song song với trục Ox.
Do đó, trên một trong các mặt phẳng chiếu, đường chiếu được mô tả dưới dạng một điểm và trên hai mặt còn lại - ở dạng các đoạn chiếm vị trí nằm ngang hoặc thẳng đứng, độ lớn của nó là ngang hoặc dọc, giá trị của chúng bằng nhau theo giá trị tự nhiên của đoạn thẳng đó.
Đường mức là những đường thẳng song song với một trong các mặt phẳng chiếu. Đoạn thẳng AB (Hình 2.9.), song song với mặt phẳng ngang của hình chiếu P 1, được gọi là đường thẳng nằm ngang, hay nói ngắn gọn là nằm ngang. Hình chiếu trực diện A 2 B 2 song song với trục hình chiếu Ox, hình chiếu ngang A 1 B 1 bằng kích thước tự nhiên của đoạn thẳng (A 1 B 1 = AB). Góc b giữa hình chiếu ngang A 1 B 1 và trục Ox bằng giá trị tự nhiên góc nghiêng của đường thẳng AB với mặt phẳng chiếu P 2.
Đường thẳng CD (Hình 2.10.) song song với mặt phẳng phía trước của hình chiếu P 2 được gọi là đường thẳng phía trước, hay nói ngắn gọn là phía trước. Hình chiếu ngang C 1 D 1 của nó song song với trục Ox và hình chiếu trực diện C 2 D 2 của nó bằng giá trị tự nhiên của đoạn thẳng (C 2 D 2 = CD). Góc a giữa hình chiếu trực diện C 2 D 2 và trục Ox bằng góc nghiêng thực tế của đường thẳng với mặt phẳng chiếu P 1 .
Đường thẳng MN (Hình 2.11.) song song với mặt phẳng biên dạng hình chiếu P 3 được gọi là đường thẳng biên dạng. Các hình chiếu M 2 N 2 phía trước và các hình chiếu ngang M 1 N 1 của nó vuông góc với trục Ox và hình chiếu biên dạng bằng với kích thước tự nhiên của đoạn (M 3 N 3 = MN). Các góc a và b giữa hình chiếu biên dạng với trục Oy 3 và Oz bằng giá trị thực của góc nghiêng của đường thẳng với mặt phẳng của các hình chiếu P 1 và P 2.
Do đó, các đường thẳng của mức được chiếu lên một trong các mặt phẳng chiếu ở kích thước đầy đủ và lên hai mặt phẳng còn lại - ở dạng các đoạn có kích thước giảm, chiếm vị trí thẳng đứng hoặc nằm ngang trong bản vẽ. Từ hình vẽ có thể xác định được góc nghiêng của các đường thẳng này với mặt phẳng chiếu.
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng chiếu thì một trong các hình chiếu của nó (cùng tên) trùng với chính đường thẳng đó, hai hình chiếu còn lại trùng với các trục của hình chiếu. Ví dụ: đường thẳng AB (Hình 2.12) nằm trong mặt phẳng P 1. Hình chiếu ngang A 1 B 1 của nó hợp với đường thẳng AB và hình chiếu chính diện A 2 B 2 hợp với trục Ox. Một đường như vậy được gọi là đường ngang bằng 0, vì chiều cao của các điểm của nó (tọa độ z) bằng 0.
Đường trực tiếp ở vị trí chung gọi là đường thẳng nghiêng với mọi mặt phẳng chiếu. Các hình chiếu của nó tạo thành các góc nhọn hoặc tù với các trục Ox, Oy và Oz, tức là. không có hình chiếu nào của nó song song hoặc vuông góc với các trục. Kích thước hình chiếu của một đường ở vị trí chung luôn nhỏ hơn kích thước tự nhiên của đoạn đó. Trực tiếp từ bản vẽ, không có công trình bổ sung, không thể xác định kích thước thực tế của đường thẳng và góc nghiêng của nó với các mặt phẳng chiếu.
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì các hình chiếu của điểm đó nằm trên cùng các hình chiếu của đường thẳng đó và trên một đường nối chung.
Trong hình. 2.13. Điểm C nằm trên đường thẳng AB vì các hình chiếu C 1 và C 2 của nó lần lượt nằm trên các hình chiếu A 1 B 1 nằm ngang và trên các hình chiếu chính diện A 2 B 2 của đường thẳng. Điểm M và N không thuộc đường thẳng vì một trong các hình chiếu của mỗi điểm không nằm trên hình chiếu của đường thẳng cùng tên.
Các hình chiếu của một điểm chia các hình chiếu của một đường thẳng theo cùng một tỷ lệ trong đó chính điểm đó chia một đoạn của một đường thẳng, tức là Áp dụng quy tắc này để chia một đoạn thẳng cho trước theo tỉ số yêu cầu. Ví dụ, trong hình. 2.14. đường thẳng EF được chia cho điểm K theo tỉ lệ 3:5. Việc phân chia được thực hiện theo cách đã biết từ bản vẽ hình học.