Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.
Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.
Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.
Vì bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.
Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.
Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn kèm theo là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc đơn mở nên dễ dàng lập công thức Quy tắc mở ngoặc:
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.
Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức
Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.
Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.
Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.
Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.
Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức
Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.
Thông thường quy tắc sau được sử dụng.
Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.
Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương
Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.
Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã từng gặp phải nhiệm vụ như vậy khi nhân các đa thức; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng bình phương và tích kép.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích kép.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.
Ba danh tính này cho phép các phép biến đổi thay thế phần bên trái của chúng bằng phần bên phải và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.
Cấp độ đầu vào
Chuyển đổi biểu thức. Lý Thuyết Chi Tiết (2019)
Chuyển đổi biểu thức
Chúng ta thường nghe thấy cụm từ khó chịu này: “đơn giản hóa cách diễn đạt”. Thông thường chúng ta thấy một số loại quái vật như thế này:
“Nó đơn giản hơn nhiều,” chúng tôi nói, nhưng câu trả lời như vậy thường không hiệu quả.
Bây giờ tôi sẽ dạy bạn đừng sợ bất kỳ nhiệm vụ nào như vậy. Hơn nữa, vào cuối bài học, chính bạn sẽ đơn giản hóa ví dụ này thành (chỉ!) một số bình thường (vâng, chết tiệt với những chữ cái này).
Nhưng trước khi bắt đầu bài học này, bạn cần có khả năng xử lý phân số và nhân tử đa thức. Vì vậy, trước tiên, nếu bạn chưa từng làm việc này trước đây, hãy nhớ nắm vững chủ đề “” và “”.
Bạn đã đọc nó chưa? Nếu có thì bây giờ bạn đã sẵn sàng.
Các thao tác đơn giản hóa cơ bản
Bây giờ chúng ta hãy xem xét các kỹ thuật cơ bản được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức.
Đơn giản nhất là
1. Mang theo tương tự
Tương tự là gì? Bạn học điều này vào năm lớp 7, khi các chữ cái thay vì số lần đầu tiên xuất hiện trong toán học. Tương tự là các thuật ngữ (đơn thức) có cùng một phần chữ cái. Ví dụ, trong tổng, các số hạng tương tự là và.
Bạn có nhớ không?
Mang các phương tiện tương tự để thêm một số thuật ngữ tương tự với nhau và nhận được một thuật ngữ.
Làm thế nào chúng ta có thể ghép các chữ cái lại với nhau? - bạn hỏi.
Điều này rất dễ hiểu nếu bạn tưởng tượng rằng các chữ cái là một loại đồ vật nào đó. Ví dụ, một lá thư là một cái ghế. Khi đó biểu thức bằng là gì? Hai cái ghế cộng với ba cái ghế thì sẽ bằng bao nhiêu? Đúng rồi ghế: .
Bây giờ hãy thử biểu thức này: .
Để tránh nhầm lẫn, hãy để các chữ cái khác nhau đại diện cho các đối tượng khác nhau. Ví dụ: - (như thường lệ) là một cái ghế và - là một cái bàn. Sau đó:
ghế bàn ghế bàn ghế ghế bàn
Các số mà các chữ cái trong những thuật ngữ đó được nhân với nhau được gọi là hệ số. Ví dụ, trong một đơn thức thì hệ số bằng nhau. Và trong đó là bình đẳng.
Vì vậy, quy tắc mang theo những thứ tương tự là:
Ví dụ:
Cho những cái tương tự:
Câu trả lời:
2. (và tương tự, vì các thuật ngữ này có phần chữ cái giống nhau).
2. Phân tích nhân tử
Đây thường là phần quan trọng nhất trong việc đơn giản hóa các biểu thức. Sau khi bạn đưa ra những cái tương tự, thông thường, biểu thức kết quả cần phải được phân tích thành thừa số, nghĩa là được trình bày dưới dạng tích. Điều này đặc biệt quan trọng trong phân số: để có thể rút gọn một phân số, tử số và mẫu số phải được biểu diễn dưới dạng tích.
Các bạn đã tìm hiểu chi tiết các phương pháp phân tích nhân tử trong chủ đề “”, đến đây các bạn chỉ cần nhớ lại những gì đã học. Để làm điều này, hãy quyết định một số ví dụ(cần được nhân tử hóa):
Giải pháp:
3. Rút gọn một phân số.
Chà, còn gì dễ chịu hơn việc gạch bỏ một phần tử số và mẫu số và ném chúng ra khỏi cuộc sống của bạn?
Đó là vẻ đẹp của việc thu nhỏ.
Thật đơn giản:
Nếu tử số và mẫu số chứa các thừa số giống nhau thì chúng có thể được rút gọn, nghĩa là loại bỏ khỏi phân số.
Quy tắc này tuân theo tính chất cơ bản của phân số:
Nghĩa là, bản chất của hoạt động rút gọn là Chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số cho cùng một số (hoặc cho cùng một biểu thức).
Để giảm một phần bạn cần:
1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số
2) nếu tử số và mẫu số chứa yếu tố chung, chúng có thể bị gạch bỏ.
Nguyên tắc, tôi nghĩ, là rõ ràng?
Tôi muốn bạn chú ý đến một lỗi điển hình khi viết tắt. Chủ đề này tuy đơn giản nhưng nhiều người làm sai mà không hiểu giảm bớt- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số đều bằng nhau.
Không viết tắt nếu tử số hoặc mẫu số là tổng.
Ví dụ: chúng ta cần đơn giản hóa.
Một số người làm điều này: điều này hoàn toàn sai.
Một ví dụ khác: giảm.
Người “thông minh nhất” sẽ làm điều này: .
Nói cho tôi biết có chuyện gì ở đây vậy? Có vẻ như: - đây là một số nhân, có nghĩa là nó có thể giảm đi.
Nhưng không: - đây chỉ là thừa số của một số hạng trong tử số, nhưng bản thân tử số nói chung không được phân tích thành thừa số.
Đây là một ví dụ khác: .
Biểu thức này được phân tích thành thừa số, có nghĩa là bạn có thể rút gọn nó, nghĩa là chia tử số và mẫu số cho rồi chia cho:
Bạn có thể ngay lập tức chia nó thành:
Để tránh những sai lầm như vậy, hãy nhớ một cách dễ dàng để xác định xem một biểu thức có được phân tích thành thừa số hay không:
Phép toán số học được thực hiện cuối cùng khi tính giá trị của một biểu thức là phép toán “chính”. Nghĩa là, nếu bạn thay thế một số (bất kỳ) số nào thay vì các chữ cái và cố gắng tính giá trị của biểu thức, thì nếu hành động cuối cùng là phép nhân, thì chúng ta có một tích (biểu thức được phân tích thành thừa số). Nếu hành động cuối cùng là cộng hoặc trừ, điều này có nghĩa là biểu thức không được phân tích thành thừa số (và do đó không thể rút gọn).
Để củng cố, tự mình giải quyết một số vấn đề ví dụ:
Câu trả lời:
1. Tôi hy vọng bạn không vội cắt ngay lập tức và? “Giảm” đơn vị như thế này vẫn chưa đủ:
Bước đầu tiên phải là nhân tố hóa:
4. Cộng và trừ các phân số. Rút gọn phân số về mẫu số chung.
Cộng và trừ các phân số thông thường là một thao tác quen thuộc: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân mỗi phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số. Chúng ta hãy nhớ:
Câu trả lời:
1. Các mẫu số và nguyên tố cùng nhau, nghĩa là chúng không có ước chung. Do đó, LCM của những số này bằng tích của chúng. Đây sẽ là mẫu số chung:
2. Mẫu số chung ở đây là:
3. Ở đây, trước hết, chúng ta chuyển các phân số hỗn hợp thành các phân số không đúng, sau đó theo sơ đồ thông thường:
Đó là một vấn đề hoàn toàn khác nếu phân số chứa các chữ cái, ví dụ:
Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:
a) Mẫu số không chứa chữ cái
Ở đây mọi thứ đều giống như với các phân số thông thường: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân từng phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số:
Bây giờ trong tử số, bạn có thể đưa ra những số tương tự, nếu có, và phân tích chúng:
Hãy tự mình thử:
b) Mẫu số chứa các chữ cái
Chúng ta hãy nhớ nguyên tắc tìm mẫu số chung không có chữ cái:
· trước hết xác định các nhân tố chung;
· sau đó chúng ta lần lượt viết ra tất cả các thừa số chung;
· và nhân chúng với tất cả các thừa số không phổ biến khác.
Để xác định các thừa số chung của các mẫu số, trước tiên chúng ta phân tích chúng thành thừa số nguyên tố:
Hãy nhấn mạnh những yếu tố chung:
Bây giờ chúng ta hãy viết ra từng thừa số chung và thêm vào đó tất cả các thừa số không phổ biến (không được gạch chân):
Đây là mẫu số chung.
Hãy quay lại với những lá thư. Các mẫu số được đưa ra theo cùng một cách:
· Phân tích mẫu số;
· xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau);
· viết ra tất cả các thừa số chung một lần;
· nhân chúng với tất cả các yếu tố không phổ biến khác.
Vì vậy, theo thứ tự:
1) nhân tử mẫu số:
2) xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau):
3) viết ra tất cả các thừa số chung một lần và nhân chúng với tất cả các thừa số khác (không được nhấn mạnh):
Vậy có một mẫu số chung ở đây. Phân số thứ nhất phải được nhân với, phân số thứ hai - với:
Nhân tiện, có một mẹo:
Ví dụ: .
Chúng ta thấy các yếu tố giống nhau ở mẫu số, chỉ có điều tất cả đều có các chỉ số khác nhau. Mẫu số chung sẽ là:
ở một mức độ nào đó
ở một mức độ nào đó
ở một mức độ nào đó
đến một mức độ.
Hãy làm phức tạp nhiệm vụ:
Làm thế nào để phân số có cùng mẫu số?
Hãy nhớ tính chất cơ bản của phân số:
Không nơi nào nói rằng cùng một số có thể được trừ (hoặc cộng) từ tử số và mẫu số của một phân số. Bởi vì nó không đúng sự thật!
Hãy tự mình xem: lấy bất kỳ phân số nào, ví dụ, và thêm một số số vào tử số và mẫu số, ví dụ: . Bạn đã học được gì?
Vì vậy, một quy tắc không thể lay chuyển khác:
Khi bạn rút gọn phân số về mẫu số chung, chỉ sử dụng phép nhân!
Nhưng bạn cần nhân với bao nhiêu để có được?
Vì vậy, hãy nhân lên. Và nhân với:
Chúng ta sẽ gọi những biểu thức không thể phân tích thành nhân tử là “các thừa số cơ bản”. Ví dụ: - đây là một yếu tố cơ bản. - Như nhau. Nhưng không: nó có thể được nhân tử hóa.
Còn cách diễn đạt thì sao? Nó có phải là tiểu học không?
Không, bởi vì nó có thể được phân tích thành nhân tử:
(bạn đã đọc về phân tích nhân tử trong chủ đề “”).
Vì vậy, các thừa số cơ bản mà bạn phân tách một biểu thức bằng các chữ cái cũng tương tự như các thừa số đơn giản mà bạn phân tách các số. Và chúng ta sẽ giải quyết chúng theo cách tương tự.
Chúng ta thấy rằng cả hai mẫu số đều có một số nhân. Nó sẽ đi đến mẫu số chung ở mức độ nào đó (bạn nhớ tại sao không?).
Yếu tố này là cơ bản và chúng không có yếu tố chung, điều đó có nghĩa là phân số đầu tiên sẽ chỉ cần được nhân với nó:
Một ví dụ khác:
Giải pháp:
Trước khi nhân các mẫu số này một cách hoảng loạn, bạn cần suy nghĩ về cách phân tích chúng? Cả hai đều đại diện:
Tuyệt vời! Sau đó:
Một ví dụ khác:
Giải pháp:
Như thường lệ, hãy phân tích các mẫu số. Trong mẫu số đầu tiên, chúng ta chỉ cần đặt nó ra khỏi ngoặc; trong phần thứ hai - sự khác biệt của hình vuông:
Có vẻ như không có yếu tố chung. Nhưng nếu bạn nhìn kỹ, chúng giống nhau... Và đó là sự thật:
Vì vậy hãy viết:
Tức là mọi chuyện diễn ra như thế này: bên trong ngoặc, chúng ta đổi chỗ các số hạng, đồng thời dấu đứng trước phân số đổi thành ngược lại. Hãy lưu ý, bạn sẽ phải làm điều này thường xuyên.
Bây giờ hãy đưa nó về mẫu số chung:
Hiểu rồi? Hãy kiểm tra nó ngay bây giờ.
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:
Câu trả lời:
Ở đây chúng ta cần nhớ một điều nữa - sự khác biệt của hình khối:
Xin lưu ý rằng mẫu số của phân số thứ hai không chứa công thức “bình phương của tổng”! Bình phương của tổng sẽ có dạng như sau: .
A được gọi là bình phương không đầy đủ của tổng: số hạng thứ hai trong đó là tích của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chứ không phải tích kép của chúng. Bình phương một phần của tổng là một trong những yếu tố làm mở rộng hiệu của các lập phương:
Phải làm gì nếu đã có ba phân số?
Vâng, điều tương tự! Trước hết, hãy đảm bảo rằng số lượng thừa số tối đa trong mẫu số là như nhau:
Xin lưu ý: nếu bạn thay đổi dấu bên trong một dấu ngoặc, dấu ở phía trước phân số sẽ thay đổi thành dấu ngược lại. Khi đổi dấu ngoặc thứ hai thì dấu đứng trước phân số lại đổi thành dấu ngược lại. Kết quả là nó (dấu đứng trước phân số) không thay đổi.
Chúng ta viết toàn bộ mẫu số thứ nhất vào mẫu số chung, sau đó thêm vào đó tất cả các thừa số chưa được viết, từ mẫu số thứ hai, rồi từ mẫu số thứ ba (v.v., nếu có nhiều phân số hơn). Tức là nó thành ra thế này:
Hmm... Rõ ràng phải làm gì với phân số. Nhưng còn hai người thì sao?
Thật đơn giản: bạn biết cách cộng phân số phải không? Vì vậy, chúng ta cần biến hai thành một phân số! Hãy nhớ: phân số là phép chia (tử số được chia cho mẫu số, trong trường hợp bạn quên). Và không có gì dễ dàng hơn việc chia một số cho. Trong trường hợp này, bản thân số đó sẽ không thay đổi mà sẽ chuyển thành phân số:
Đúng thứ bạn cần!
5. Nhân và chia phân số.
Chà, phần khó nhất bây giờ đã qua rồi. Và trước mắt chúng ta là điều đơn giản nhất nhưng đồng thời cũng là điều quan trọng nhất:
Thủ tục
Trình tự tính một biểu thức số là gì? Hãy nhớ bằng cách tính toán ý nghĩa của biểu thức này:
Bạn đã đếm chưa?
Nó sẽ hoạt động.
Vì vậy, hãy để tôi nhắc nhở bạn.
Bước đầu tiên là tính toán mức độ.
Thứ hai là phép nhân và phép chia. Nếu có nhiều phép nhân và chia cùng một lúc, chúng có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào.
Và cuối cùng, chúng tôi thực hiện phép cộng và phép trừ. Một lần nữa, theo thứ tự bất kỳ.
Nhưng: biểu thức trong ngoặc được đánh giá sai lần lượt!
Nếu nhân hoặc chia nhiều dấu ngoặc với nhau, trước tiên chúng ta tính biểu thức trong mỗi dấu ngoặc, sau đó nhân hoặc chia chúng.
Điều gì sẽ xảy ra nếu có nhiều dấu ngoặc bên trong dấu ngoặc? Chà, hãy nghĩ xem: một số biểu thức được viết bên trong dấu ngoặc. Khi tính một biểu thức, đầu tiên bạn phải làm gì? Đúng rồi, hãy tính dấu ngoặc. Chà, chúng tôi đã tìm ra điều đó: đầu tiên chúng tôi tính toán các dấu ngoặc bên trong, sau đó là mọi thứ khác.
Vì vậy, quy trình cho biểu thức trên như sau (hành động hiện tại được đánh dấu màu đỏ, nghĩa là hành động mà tôi đang thực hiện ngay bây giờ):
Được rồi, tất cả đều đơn giản.
Nhưng điều này không giống như cách diễn đạt bằng chữ cái?
Không, nó giống nhau! Chỉ thay vì thực hiện các phép tính số học, bạn cần thực hiện các phép tính đại số, tức là các hành động được mô tả trong phần trước: mang lại tương tự, cộng phân số, rút gọn phân số, v.v. Sự khác biệt duy nhất sẽ là hoạt động phân tích thành nhân tử của đa thức (chúng ta thường sử dụng điều này khi làm việc với phân số). Thông thường, để phân tích nhân tử, bạn cần sử dụng I hoặc đơn giản là đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc.
Thông thường mục tiêu của chúng ta là biểu diễn biểu thức dưới dạng tích hoặc thương.
Ví dụ:
Hãy đơn giản hóa biểu thức.
1) Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức trong ngoặc. Ở đó chúng ta có hiệu của các phân số và mục tiêu của chúng ta là biểu thị nó dưới dạng tích hoặc thương. Vì vậy, chúng ta đưa các phân số về mẫu số chung và cộng:
Không thể đơn giản hóa biểu thức này hơn nữa; tất cả các yếu tố ở đây đều là cơ bản (bạn vẫn nhớ điều này có nghĩa là gì?).
2) Chúng tôi nhận được:
Nhân phân số: điều gì có thể đơn giản hơn.
3) Bây giờ bạn có thể rút ngắn:
Vâng, đó là tất cả. Không có gì phức tạp phải không?
Một ví dụ khác:
Đơn giản hóa biểu thức.
Đầu tiên, hãy cố gắng tự giải quyết và chỉ sau đó mới nhìn vào giải pháp.
Trước hết, hãy xác định thứ tự các hành động. Đầu tiên, hãy cộng các phân số trong ngoặc đơn để thay vì hai phân số, chúng ta có một phân số. Sau đó chúng ta sẽ thực hiện phép chia phân số. Vâng, hãy cộng kết quả với phân số cuối cùng. Tôi sẽ đánh số các bước theo sơ đồ:
Bây giờ tôi sẽ chỉ cho bạn quy trình, tô màu đỏ cho hành động hiện tại:
Cuối cùng, tôi sẽ cung cấp cho bạn hai lời khuyên hữu ích:
1. Nếu có những cái tương tự thì phải mang đi ngay. Bất cứ khi nào những vấn đề tương tự xuất hiện ở nước ta, chúng ta nên đưa chúng ra ngay lập tức.
2. Việc rút gọn phân số cũng vậy: ngay khi có cơ hội rút gọn thì phải tận dụng. Ngoại lệ dành cho các phân số mà bạn cộng hoặc trừ: nếu bây giờ chúng có cùng mẫu số thì việc rút gọn sẽ được để lại sau.
Dưới đây là một số nhiệm vụ để bạn tự giải quyết:
Và những gì đã được hứa ngay từ đầu:
Giải pháp (ngắn gọn):
Nếu bạn đã giải quyết được ít nhất ba ví dụ đầu tiên thì bạn đã nắm vững chủ đề.
Bây giờ vào việc học!
CHUYỂN ĐỔI BIỂU TƯỢNG. CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN
Các thao tác đơn giản hóa cơ bản:
- Mang tương tự: để thêm (rút gọn) các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và gán phần chữ cái.
- Nhân tố hóa:đưa yếu tố chung ra khỏi ngoặc, áp dụng nó, v.v.
- Giảm một phần: Tử số và mẫu số của một phân số có thể nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0 mà không làm thay đổi giá trị của phân số.
1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số
2) nếu tử số và mẫu số có thừa số chung thì có thể gạch bỏ.QUAN TRỌNG: chỉ có thể giảm số nhân!
- Cộng và trừ các phân số:
; - Nhân và chia phân số:
;
Ở trường loại VIII, học sinh được làm quen với các phép biến đổi phân số sau: biểu diễn phân số theo phân số lớn hơn (lớp 6), biểu diễn phân số không đúng dưới dạng một số nguyên hoặc hỗn số (lớp 6), biểu diễn phân số ở dạng phân số cùng dạng (lớp 7), biểu diễn hỗn số dưới dạng phân số không chính xác (lớp 7).
Diễn tả một phân số không chính xác bằng một số nguyênhoặc hỗn số
I Việc nghiên cứu tài liệu này nên bắt đầu bằng nhiệm vụ: lấy 2 vòng tròn đã khâu và chia mỗi vòng thành 4 phần bằng nhau, đếm số phần thứ tư (Hình 25). Tiếp theo, người ta đề xuất viết đại lượng này dưới dạng phân số (t). Sau đó, các phần thứ tư được cộng với nhau và học sinh tin rằng kết quả là.
Vòng tròn thứ 1. Kể từ đây, -t= 1. Đến bốn phần tư anh ta thêm liên tiếp một cái khác -T, và học sinh viết: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Giáo viên thu hút sự chú ý của học sinh về thực tế là trong tất cả các trường hợp được xem xét, các em đã lấy một phân số không chính xác và do phép biến đổi, các em nhận được một số nguyên hoặc một số hỗn hợp, tức là các em biểu thị phần không chính xác nói chung hoặc hỗn số. Tiếp theo, chúng ta phải cố gắng đảm bảo rằng học sinh có thể xác định một cách độc lập phép biến đổi số học nào có thể được thực hiện. Các ví dụ sinh động dẫn đến câu trả lời.
4.
8 0 5 .1 7 .3 `L " cho câu hỏi là: -2-=! và t = 2,4" = 1t và t T YV : °D
ĐẾN
Để biểu thị một phân số không chính xác dưới dạng một số nguyên hoặc hỗn số, bạn cần chia tử số của phân số cho mẫu số, viết thương dưới dạng số nguyên, viết phần còn lại vào tử số và giữ nguyên mẫu số. Vì quy tắc này rất phức tạp nên học sinh không nhất thiết phải học thuộc lòng. Họ phải có khả năng truyền đạt một cách nhất quán các bước liên quan đến việc thực hiện một chuyển đổi nhất định.
Trước khi giới thiệu cho học sinh cách diễn đạt một phân số không chính xác với một số nguyên hoặc hỗn số, nên cùng các em ôn lại cách chia một số nguyên cho một số nguyên có số dư.
Việc củng cố chuyển đổi mới cho học sinh được tạo điều kiện thuận lợi bằng cách giải quyết các vấn đề có tính chất thực tiễn, ví dụ:
“Có chín phần tư quả cam trong một chiếc bình. Skol| Có thể làm toàn bộ quả cam từ những bộ phận này không? Sẽ còn lại bao nhiêu phần tư?
“Làm nắp hộp, đóng từng tờ thiệp -^. 35 được chia thành 16 phần bằng nhau. Đã nhận
Có bao nhiêu cái còn nguyên vẹn!
bạn đã cắt các tấm bìa cứng chưa? Cắt được bao nhiêu phần mười sáu! từ phần tiếp theo? Vân vân.Biểu diễn số nguyên và hỗn số
phân số không chính xác
Việc giới thiệu cho học sinh về sự chuyển đổi mới này cần được bắt đầu bằng việc giải quyết các vấn đề, ví dụ: -% ]
“2 mảnh vải có chiều dài bằng nhau, hình vuông. > cắt thành 4 phần bằng nhau. Một chiếc khăn được khâu từ mỗi phần như vậy. Bạn đã nhận được bao nhiêu chiếc khăn quàng cổ? Tôi ghi: 2= - 1 4^-, 2=
bạn đã lấy được rượu chưa? Viết: trước đây có 1 * hình tròn, bây giờ có * hình tròn, nghĩa là
Vì vậy, dựa trên cơ sở trực quan và thực tế, chúng tôi xem xét một số ví dụ khác. Trong các ví dụ đang xem xét, học sinh được yêu cầu so sánh số ban đầu (hỗn hợp hoặc số nguyên) và số thu được sau khi biến đổi (một phân số không chính xác).
Để giới thiệu cho học sinh quy tắc biểu diễn số nguyên và hỗn số dưới dạng phân số không chính xác, bạn cần hướng dẫn các em chú ý so sánh mẫu số của hỗn số và phân số không chính xác, cũng như cách lấy tử số chẳng hạn. :
sẽ là -^-. Kết quả là, quy tắc được xây dựng: sao cho một hỗn số
để biểu thị nó dưới dạng một phân số không chính xác, bạn cần nhân mẫu số với một số nguyên, cộng tử số với tích và viết tổng dưới dạng tử số, giữ nguyên mẫu số.
Trước tiên, bạn cần huấn luyện học sinh cách biểu thị một dưới dạng phân số không chính xác, sau đó là bất kỳ số nguyên nào khác biểu thị mẫu số và chỉ sau đó là hỗn số:
Tính chất cơ bản của phân số 1
[khái niệm về tính bất biến của một phân số khi tăng
1 sự rút gọn của các thành viên, tức là tử số và mẫu số, sẽ rất khó để học sinh loại VIII nắm vững. Sự hiểu biết này phải được giới thiệu bằng cách sử dụng tài liệu trực quan và mô phạm,
“và điều quan trọng là học sinh không chỉ quan sát hoạt động của giáo viên mà còn phải tích cực làm việc với tài liệu giáo khoa và dựa trên những quan sát và hoạt động thực tế để đưa ra những kết luận và khái quát nhất định.
Ví dụ, giáo viên lấy cả một củ cải, chia thành 2 phần bằng nhau và hỏi: “Khi chia cả củ cải, em được gì?
một nửa? (2 nửa.) Hiển thị * củ cải. Hãy cắt (tách)
nửa củ cải thành 2 phần bằng nhau hơn. Chúng ta sẽ nhận được gì? -y. Hãy viết ra:
tt=-t- Hãy so sánh tử số và mẫu số của các phân số này. Vào lúc nào
tử số tăng lên bao nhiêu lần? Mẫu số đã tăng lên bao nhiêu lần? Cả tử số và mẫu số đều tăng lên bao nhiêu lần? Phân số có thay đổi không? Tại sao nó không thay đổi? Cổ phiếu đã trở nên như thế nào: lớn hơn hay nhỏ hơn? Số lượng tăng hay giảm
Sau đó tất cả học sinh chia hình tròn thành 2 phần bằng nhau, mỗi nửa chia thành 2 phần bằng nhau hơn, mỗi phần tư thành 1 phần tư
2 phần bằng nhau, v.v. và viết ra: "o^A^tr^tgg và m - L- Sau đó, các em xác định tử số và mẫu số của phân số đã tăng bao nhiêu lần, phân số có thay đổi hay không. Sau đó vẽ một phân số và chia tuần tự cho 3, 6, 12 phần bằng nhau và viết:
1 21 4 Khi so sánh các phân số -^ và -^, -^ và -^, người ta thấy rằng
Tử số và mẫu số của phân số tg tăng lên một số lần như nhau thì phân số này không thay đổi.
Sau khi xem xét một số ví dụ, yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: “Phân số có thay đổi nếu tử số không? Một số kiến thức về chủ đề “Phân số thông thường” được loại khỏi chương trình toán ở trường cải huấn loại VIII nhưng được truyền đạt? cho học sinh tại các trường dành cho trẻ chậm phát triển trí tuệ, tại các lớp học nâng cao dành cho trẻ gặp khó khăn trong học toán. Trong sách giáo khoa này có những đoạn trình bày phương pháp nghiên cứu tài liệu này,
được biểu thị bằng dấu hoa thị (*).
Các ví dụ tương tự được đưa ra khi xét việc giảm tử số và mẫu số cùng một số lần (tử số và mẫu số được chia cho cùng một số). Ví dụ: cr>"
( 4\ chia thành 8 phần bằng nhau, lấy 4 phần tám hình tròn I -o-]
Sau khi mở rộng cổ phần, họ lấy cái thứ tư, sẽ có 2 cái trong số đó bằng cách mở rộng cổ phần.
4 2 1 mất giây. Sẽ có 1 trong số họ : ~th = -d--%- So sánh người theo dõi!Tôi
tử số và mẫu số của các phân số này, trả lời câu hỏi: “Trong<>Tử số và mẫu số giảm bao nhiêu lần?
Phân số có thay đổi không?
Một hướng dẫn tốt là các sọc được chia thành 12, 6, 3 phần bằng nhau (Hình 26).
N
12 6 3 Hình. 26Dựa vào các ví dụ đã xem xét, học sinh có thể kết luận: phân số sẽ không thay đổi nếu chia cả tử số và mẫu số cho cùng một số (giảm cùng một số lần). Sau đó đưa ra kết luận tổng quát - tính chất chính của phân số: phân số sẽ không thay đổi nếu tử số và mẫu số của phân số tăng hoặc giảm cùng một số lần.
Các số và biểu thức tạo nên biểu thức ban đầu có thể được thay thế bằng các biểu thức giống hệt nhau. Việc chuyển đổi biểu thức ban đầu như vậy sẽ dẫn đến một biểu thức giống hệt với biểu thức đó.
Ví dụ: trong biểu thức 3+x, số 3 có thể được thay thế bằng tổng 1+2, kết quả là biểu thức (1+2)+x, giống hệt với biểu thức ban đầu. Một ví dụ khác: trong biểu thức 1+a 5, lũy thừa của a 5 có thể được thay thế bằng tích tương đương, chẳng hạn như có dạng a·a 4. Điều này sẽ cho chúng ta biểu thức 1+a·a 4 .
Sự chuyển đổi này chắc chắn là nhân tạo và thường là sự chuẩn bị cho một số chuyển đổi tiếp theo. Ví dụ, trong tổng 4 x 3 +2 x 2, có tính đến các tính chất của bậc, số hạng 4 x 3 có thể được biểu diễn dưới dạng tích 2 x 2 2 x. Sau phép biến đổi này, biểu thức ban đầu sẽ có dạng 2 x 2 2 x+2 x 2. Rõ ràng, các số hạng trong tổng thu được có hệ số chung là 2 x 2, vì vậy chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi sau - ngoặc. Sau đó chúng ta đi đến biểu thức: 2 x 2 (2 x+1) .
Cộng và trừ cùng một số
Hãy xem một ví dụ. Hãy lấy biểu thức x 2 +2·x. Nếu bạn thêm một vào nó và trừ đi một, điều này sẽ cho phép bạn thực hiện một phép biến đổi giống hệt khác trong tương lai - bình phương nhị thức: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7 giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.
Phân số
Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)
Phân số không gây nhiều phiền toái ở trường trung học. Hiện tại. Cho đến khi bạn gặp các lũy thừa với số mũ hữu tỉ và logarit. Và ở đó... Bạn nhấn và nhấn máy tính, nó sẽ hiển thị đầy đủ một số con số. Bạn phải suy nghĩ bằng đầu như hồi lớp ba.
Cuối cùng chúng ta hãy tìm ra phân số! Chà, bạn có thể nhầm lẫn chúng đến mức nào!? Hơn nữa, tất cả đều đơn giản và hợp lý. Vì thế, các loại phân số là gì?
Các loại phân số. Sự biến đổi.
Có ba loại phân số.
1. Phân số chung , Ví dụ:
Đôi khi, thay vì một đường ngang, họ đặt một dấu gạch chéo: 1/2, 3/4, 19/5, v.v. Ở đây chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng cách viết này. Số trên cùng được gọi là tử số, thấp hơn - mẫu số. Nếu bạn liên tục nhầm lẫn những cái tên này (điều đó xảy ra...), hãy tự nhủ câu: " zzzzzz nhớ! zzzzzz mẫu số - nhìn zzzzzz uh!" Nhìn này, mọi thứ sẽ được ghi nhớ zzzz.)
Dấu gạch ngang hoặc nghiêng có nghĩa là phân công số trên cùng (tử số) đến số dưới cùng (mẫu số). Thế thôi! Thay vì dấu gạch ngang, hoàn toàn có thể đặt dấu chia - hai dấu chấm.
Khi có thể phân chia hoàn toàn thì việc này phải được thực hiện. Vì vậy, thay vì phân số “32/8”, việc viết số “4” sẽ dễ chịu hơn nhiều. Những thứ kia. 32 đơn giản là chia cho 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Tôi thậm chí không nói về phân số "4/1". Đó cũng chỉ là "4". Và nếu nó không chia hết hoàn toàn, chúng ta để nó dưới dạng phân số. Đôi khi bạn phải thực hiện thao tác ngược lại. Chuyển đổi một số nguyên thành một phân số. Nhưng nhiều hơn về điều đó sau.
2. Số thập phân , Ví dụ:
Ở dạng này, bạn sẽ cần viết ra câu trả lời cho nhiệm vụ “B”.
3. Hỗn số , Ví dụ:
Hỗn số thực tế không được sử dụng ở trường trung học. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Nhưng bạn chắc chắn cần phải có khả năng làm được điều này! Nếu không, bạn sẽ gặp một con số như vậy trong một bài toán và đóng băng... Đột nhiên. Nhưng chúng tôi sẽ nhớ thủ tục này! Thấp hơn một chút.
Linh hoạt nhất phân số chung. Hãy bắt đầu với họ. Nhân tiện, nếu một phân số chứa tất cả các loại logarit, sin và các chữ cái khác, thì điều này không thay đổi gì cả. Theo nghĩa là tất cả mọi thứ các hành động có biểu thức phân số không khác gì các hành động có phân số thông thường!
Tính chất cơ bản của phân số.
Vì vậy, chúng ta hãy đi! Để bắt đầu, tôi sẽ làm bạn ngạc nhiên. Toàn bộ các phép biến đổi phân số được cung cấp bởi một thuộc tính duy nhất! Đó là những gì nó được gọi tính chất cơ bản của phân số. Nhớ: Nếu nhân (chia) cả tử số và mẫu số cho cùng một số thì phân số đó không thay đổi. Những thứ kia:
Rõ ràng là bạn có thể tiếp tục viết cho đến khi xanh mặt. Đừng để sin và logarit làm bạn bối rối, chúng ta sẽ giải quyết chúng sâu hơn. Điều quan trọng là phải hiểu rằng tất cả những cách diễn đạt khác nhau này đều cùng một phân số . 2/3.
Chúng ta có cần nó không, tất cả những sự biến đổi này? Đúng! Bây giờ bạn sẽ thấy cho chính mình. Để bắt đầu, chúng ta hãy sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số cho phân số giảm. Nó có vẻ giống như một điều cơ bản. Chia tử số và mẫu số cho cùng một số và thế là xong! Không thể nào phạm sai lầm được! Nhưng... con người là một sinh vật sáng tạo. Bạn có thể phạm sai lầm ở bất cứ đâu! Đặc biệt nếu bạn phải giảm không phải một phân số như 5/10 mà là một biểu thức phân số với đủ loại chữ cái.
Bạn có thể đọc cách rút gọn phân số một cách chính xác và nhanh chóng mà không cần thực hiện thêm công việc nào trong Phần 555 đặc biệt.
Một học sinh bình thường không cần chia tử số và mẫu số cho cùng một số (hoặc biểu thức)! Anh ấy chỉ đơn giản gạch bỏ mọi thứ giống nhau ở trên và dưới! Đây là nơi mà một sai lầm điển hình, một sai lầm ngớ ngẩn, nếu bạn muốn, ẩn nấp.
Ví dụ: bạn cần đơn giản hóa biểu thức:
Chẳng có gì phải suy nghĩ ở đây cả, hãy gạch bỏ chữ “a” ở trên và chữ “2” ở dưới! Chúng tôi nhận được:
Mọi thứ đều đúng. Nhưng thực sự bạn đã chia rẽ tất cả tử số và tất cả mẫu số là "a". Nếu bạn đã quen với việc gạch bỏ, thì nhanh chóng, bạn có thể gạch bỏ chữ “a” trong biểu thức
và lấy lại nó
Điều đó hoàn toàn không đúng sự thật. Bởi vì ở đây tất cả tử số của "a" đã có rồi không chia sẻ! Phân số này không thể giảm được. Nhân tiện, việc giảm bớt như vậy là, ừm... một thách thức nghiêm trọng đối với giáo viên. Điều này không được tha thứ! Bạn có nhớ không? Khi giảm cần chia tất cả tử số và tất cả mẫu số!
Giảm phân số làm cho cuộc sống dễ dàng hơn rất nhiều. Bạn sẽ nhận được một phân số ở đâu đó, chẳng hạn như 375/1000. Làm sao tôi có thể tiếp tục làm việc với cô ấy bây giờ? Không có máy tính? Nhân, nói, cộng, bình phương!? Và nếu bạn không quá lười biếng, hãy cẩn thận cắt giảm nó xuống năm, rồi thêm năm nữa, và thậm chí... trong khi nó đang được rút ngắn lại, nói tóm lại. Hãy đạt được 3/8! Đẹp hơn nhiều, phải không?
Thuộc tính chính của phân số cho phép bạn chuyển phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại không có máy tính! Điều này rất quan trọng đối với Kỳ thi Thống nhất, phải không?
Cách chuyển đổi phân số từ loại này sang loại khác.
Với phân số thập phân, mọi thứ đều đơn giản. Nghe thế nào thì viết thế ấy! Giả sử là 0,25. Đây là điểm 0 hai mươi lăm phần trăm. Vì vậy chúng tôi viết: 25/100. Chúng ta giảm (chia tử số và mẫu số cho 25), chúng ta nhận được phân số thông thường: 1/4. Tất cả. Nó xảy ra và không có gì giảm bớt. Giống như 0,3. Đây là ba phần mười, tức là 3/10.
Nếu số nguyên không bằng 0 thì sao? Không sao đâu. Chúng tôi viết ra toàn bộ phân số không có dấu phẩyở tử số và ở mẫu số - những gì được nghe. Ví dụ: 3.17. Đây là ba điểm mười bảy phần trăm. Chúng ta viết 317 ở tử số và 100 ở mẫu số. Chúng ta nhận được 317/100. Không có gì giảm bớt, tức là có tất cả. Đây là câu trả lời. Sơ cấp thôi, Watson! Từ tất cả những gì đã nói, một kết luận hữu ích: bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được chuyển đổi thành phân số chung .
Nhưng một số người không thể thực hiện chuyển đổi ngược từ thường sang thập phân nếu không có máy tính. Và nó là cần thiết! Bạn sẽ viết câu trả lời trong Kỳ thi Thống nhất như thế nào!? Hãy đọc kỹ và nắm vững quy trình này.
Đặc điểm của phân số thập phân là gì? Mẫu số của cô ấy là Luôn luôn có giá 10, hoặc 100, hoặc 1000, hoặc 10000, v.v. Nếu phân số chung của bạn có mẫu số như thế này thì không có vấn đề gì. Ví dụ: 4/10 = 0,4. Hoặc 7/100 = 0,07. Hoặc 10/12 = 1,2. Điều gì sẽ xảy ra nếu đáp án ở phần “B” là 1/2? Chúng ta sẽ viết gì để đáp lại? Cần có số thập phân...
Hãy nhớ lại tính chất cơ bản của phân số ! Toán học thuận lợi cho phép bạn nhân tử số và mẫu số với cùng một số. Nhân tiện, bất cứ điều gì! Tất nhiên là ngoại trừ số không. Vì vậy, hãy sử dụng thuộc tính này để làm lợi thế cho chúng ta! Mẫu số có thể được nhân với bao nhiêu, tức là 2 để nó trở thành 10, hay 100, hay 1000 (tất nhiên là nhỏ hơn thì tốt hơn...)? Rõ ràng là vào lúc 5 giờ. Hãy nhân mẫu số (đây là chúng ta cần thiết) với 5. Nhưng tử số cũng phải nhân với 5. Đây là toán học yêu cầu! Chúng ta nhận được 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Thế thôi.
Tuy nhiên, tất cả các loại mẫu số đều đi qua. Ví dụ, bạn có thể gặp phân số 3/16. Hãy thử và tìm ra cách nhân 16 với 100 hoặc 1000... Không đúng sao? Sau đó, bạn có thể chia 3 cho 16 một cách đơn giản. Trong trường hợp không có máy tính, bạn sẽ phải chia bằng một góc, trên một tờ giấy, như người ta đã dạy ở trường tiểu học. Chúng tôi nhận được 0,1875.
Và cũng có những mẫu số rất xấu. Ví dụ, không có cách nào biến phân số 1/3 thành số thập phân chính xác. Cả trên máy tính và trên một tờ giấy, chúng ta nhận được 0,3333333... Điều này có nghĩa là 1/3 là một phân số thập phân chính xác không được dịch. Tương tự như 1/7, 5/6, v.v. Có rất nhiều trong số đó, không thể dịch được. Điều này đưa chúng ta đến một kết luận hữu ích khác. Không phải mọi phân số đều có thể chuyển thành số thập phân !
Nhân tiện, đây là thông tin hữu ích để tự kiểm tra. Ở phần "B", bạn phải viết một phân số thập phân vào câu trả lời của mình. Và bạn có, ví dụ, 4/3. Phân số này không chuyển đổi thành số thập phân. Điều này có nghĩa là bạn đã mắc sai lầm ở đâu đó trên đường đi! Quay lại và kiểm tra giải pháp.
Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra phân số thông thường và thập phân. Tất cả những gì còn lại là giải quyết các số hỗn hợp. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Làm thế nào để làm điều này? Bạn có thể bắt gặp một học sinh lớp sáu và hỏi nó. Nhưng không phải lúc nào cũng có học sinh lớp sáu... Bạn sẽ phải tự mình làm việc đó. Nó không khó. Bạn cần nhân mẫu số của phần phân số với phần nguyên và cộng tử số của phần phân số. Đây sẽ là tử số của phân số chung. Còn mẫu số thì sao? Mẫu số sẽ giữ nguyên. Nghe có vẻ phức tạp nhưng thực tế mọi thứ đều đơn giản. Hãy xem một ví dụ.
Giả sử bạn kinh hoàng khi nhìn thấy con số trong bài toán:
Chúng tôi nghĩ một cách bình tĩnh, không hoảng sợ. Toàn bộ phần là 1. Đơn vị. Phần phân số là 3/7. Do đó, mẫu số của phần phân số là 7. Mẫu số này sẽ là mẫu số của phân số thường. Chúng tôi đếm tử số. Chúng ta nhân 7 với 1 (phần nguyên) và cộng 3 (tử số của phần phân số). Chúng ta nhận được 10. Đây sẽ là tử số của một phân số chung. Thế thôi. Nó trông thậm chí còn đơn giản hơn trong ký hiệu toán học:
Nó có rõ ràng không? Sau đó đảm bảo thành công của bạn! Chuyển đổi sang phân số thông thường. Bạn sẽ nhận được 10/7, 7/2, 23/10 và 21/4.
Phép toán ngược lại - chuyển một phân số không chính xác thành hỗn số - hiếm khi được yêu cầu ở trường trung học. Chà, nếu vậy... Và nếu bạn không học trung học, bạn có thể xem xét Mục 555 đặc biệt. Nhân tiện, bạn cũng sẽ tìm hiểu về phân số không đúng ở đó.
Vâng, đó thực tế là tất cả. Bạn đã nhớ và hiểu được các loại phân số Làm sao chuyển chúng từ loại này sang loại khác. Câu hỏi vẫn còn: Để làm gì làm điều này? Áp dụng kiến thức sâu sắc này ở đâu và khi nào?
Tôi trả lời. Bản thân bất kỳ ví dụ nào cũng gợi ý những hành động cần thiết. Nếu trong ví dụ này, các phân số thông thường, số thập phân và thậm chí cả số hỗn hợp được trộn lẫn với nhau, chúng ta sẽ chuyển đổi mọi thứ thành phân số thông thường. Nó luôn có thể được thực hiện. Chà, nếu nó nói gì đó như 0,8 + 0,3, thì chúng ta đếm nó theo cách đó mà không cần dịch. Tại sao chúng ta cần làm thêm? Chúng tôi chọn giải pháp thuận tiện chúng ta !
Nếu nhiệm vụ toàn là phân số thập phân, nhưng ừm... một loại phân số xấu xa nào đó, hãy đến những phân số thông thường và thử nó! Hãy nhìn xem, mọi thứ sẽ ổn thôi. Ví dụ: bạn sẽ phải bình phương số 0,125. Sẽ không dễ dàng như vậy nếu bạn chưa quen sử dụng máy tính! Bạn không chỉ phải nhân các số trong một cột mà còn phải suy nghĩ xem nên chèn dấu phẩy vào đâu! Nó chắc chắn sẽ không hoạt động trong đầu bạn! Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chuyển sang phân số thông thường?
0,125 = 125/1000. Chúng tôi giảm nó đi 5 (cái này dành cho người mới bắt đầu). Chúng tôi nhận được 25/200. Một lần nữa bằng 5. Chúng ta có 5/40. Ồ, nó vẫn đang co lại! Trở lại 5! Chúng tôi nhận được 1/8. Chúng ta dễ dàng bình phương nó (trong tâm trí!) và nhận được 1/64. Tất cả!
Hãy tóm tắt bài học này.
1. Có ba loại phân số. Số phổ biến, số thập phân và hỗn số.
2. Số thập phân và hỗn số Luôn luôn có thể chuyển thành phân số thông thường. Chuyển ngược lại không phải lúc nào cũng vậy khả thi
3. Việc lựa chọn loại phân số để giải quyết một nhiệm vụ phụ thuộc vào chính nhiệm vụ đó. Nếu có nhiều loại phân số khác nhau trong một nhiệm vụ, điều đáng tin cậy nhất là chuyển sang phân số thông thường.
Bây giờ bạn có thể thực hành. Đầu tiên, chuyển đổi các phân số thập phân này thành phân số thông thường:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Bạn sẽ nhận được câu trả lời như thế này (một cách lộn xộn!):
Hãy kết thúc chuyện này. Trong bài học này, chúng ta ôn lại trí nhớ những điểm chính về phân số. Tuy nhiên, điều đó xảy ra là không có gì đặc biệt để làm mới...) Nếu ai đó đã quên hoàn toàn hoặc chưa thành thạo... Khi đó bạn có thể chuyển đến Mục 555 đặc biệt. Tất cả những điều cơ bản được đề cập chi tiết ở đó. Nhiều người bỗng nhiên hiểu mọi thứđang bắt đầu. Và họ giải quyết các phân số một cách nhanh chóng).
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.