Quy tắc giải bất đẳng thức một biến. Giải bất đẳng thức bằng một biến – Siêu thị tri thức

Bây giờ bạn có thể hiểu cách giải bất đẳng thức tuyến tính a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Cách chính để giải chúng là sử dụng các phép biến đổi tương đương cho phép đạt đến a≠0 đến bất đẳng thức cơ bản gõ x

, ≥), p - một số nhất định, là nghiệm mong muốn và với a=0 - đối với các bất đẳng thức số có dạng a

, ≥), từ đó rút ra kết luận về nghiệm của bất đẳng thức ban đầu. Chúng tôi sẽ phân tích nó đầu tiên.

Cũng không có hại gì khi xem xét việc giải các bất đẳng thức tuyến tính ở một biến từ các góc độ khác. Do đó, chúng tôi cũng sẽ chỉ ra cách giải bất đẳng thức tuyến tính bằng đồ thị và sử dụng phương pháp khoảng.

Sử dụng các phép biến đổi tương đương

Chúng ta cần giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (≤, >, ≥). Hãy chỉ ra cách thực hiện điều này bằng cách sử dụng các phép biến đổi bất đẳng thức tương đương.

Các cách tiếp cận khác nhau tùy thuộc vào hệ số a của biến x bằng hay không bằng 0. Chúng ta hãy nhìn vào chúng từng cái một. Hơn nữa, khi xem xét, chúng tôi sẽ tuân theo sơ đồ ba điểm: đầu tiên chúng tôi sẽ đưa ra bản chất của quá trình, sau đó chúng tôi sẽ đưa ra thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính và cuối cùng, chúng tôi sẽ đưa ra giải pháp cho các ví dụ điển hình.

Hãy bắt đầu với thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (≤, >, ≥) với a≠0.

  • Đầu tiên, số b được chuyển sang vế phải của bất đẳng thức ngược dấu. Điều này cho phép chúng ta chuyển đến bất đẳng thức tương đương a x<−b (≤, >, ≥).
  • Thứ hai, cả hai vế của bất đẳng thức thu được đều được chia cho một số khác 0 a. Hơn nữa, nếu a là số dương thì dấu bất đẳng thức được giữ nguyên, còn nếu a là số âm thì dấu bất đẳng thức bị đảo ngược. Kết quả là một bất đẳng thức cơ bản tương đương với bất đẳng thức tuyến tính ban đầu và đây là câu trả lời.

Vẫn còn phải hiểu ứng dụng của thuật toán đã công bố bằng cách sử dụng các ví dụ. Hãy xem xét cách nó có thể được sử dụng để giải các bất đẳng thức tuyến tính với a≠0.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức 3·x+12<0.

Giải pháp.

Với một bất đẳng thức tuyến tính cho trước, chúng ta có a=3 và b=12. Rõ ràng, hệ số a của biến x khác 0. Hãy sử dụng thuật toán giải tương ứng được đưa ra ở trên.

Đầu tiên, ta chuyển số hạng 12 sang vế phải của bất đẳng thức, không quên đổi dấu, tức là −12 sẽ xuất hiện ở vế phải. Kết quả là chúng ta đi đến bất đẳng thức tương đương 3·x≤−12.

Và thứ hai, chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho 3, vì 3 là số dương nên chúng ta không đổi dấu của bất đẳng thức. Chúng ta có (3 x):3<(−12):3, tương đương với x<−4.

Bất đẳng thức cơ bản thu được x<−4 tương đương với bất đẳng thức tuyến tính ban đầu và là nghiệm mong muốn của nó.

Vì vậy, nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính 3 x + 12≤0 là bất kỳ số thực nào nhỏ hơn hoặc bằng âm bốn. Câu trả lời cũng có thể được viết dưới dạng một khoảng số tương ứng với bất đẳng thức x≤−4, nghĩa là (−∞, −4] .

Có được kỹ năng làm việc với các bất đẳng thức tuyến tính, nghiệm của chúng có thể được viết ra một cách ngắn gọn mà không cần giải thích. Trong trường hợp này, trước tiên hãy viết ra bất đẳng thức tuyến tính ban đầu và bên dưới - các bất đẳng thức tương đương thu được ở mỗi bước giải:
3 x+12<0 ;
3 x<−12 ;
x<−4 .

Trả lời:

x≤−4 hoặc (−∞, −4] .

Ví dụ.

Liệt kê tất cả nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính −2.7·z>0.

Giải pháp.

Ở đây hệ số a của biến z bằng −2,7. Và hệ số b không tồn tại ở dạng tường minh, tức là nó bằng 0. Do đó, không cần thực hiện bước đầu tiên của thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính với một biến, vì việc di chuyển số 0 từ trái sang phải sẽ không làm thay đổi dạng của bất đẳng thức ban đầu.

Vẫn còn phải chia cả hai vế của bất đẳng thức cho −2,7, không quên đổi dấu của bất đẳng thức thành dấu đối diện, vì −2,7 là một số âm. Chúng tôi có (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , và sau đó z<0 .

Và bây giờ ngắn gọn:
−2,7·z>0 ;
z<0 .

Trả lời:

z<0 или (−∞, 0) .

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức .

Giải pháp.

Chúng ta cần giải bất đẳng thức tuyến tính với hệ số a cho biến x bằng −5 và với hệ số b, tương ứng với phân số −15/22. Chúng ta tiến hành theo sơ đồ nổi tiếng: đầu tiên chúng ta chuyển −15/22 sang vế phải với dấu ngược lại, sau đó chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số âm −5, đồng thời đổi dấu của bất đẳng thức:

Quá trình chuyển đổi cuối cùng ở phía bên phải sử dụng , sau đó thực hiện .

Trả lời:

Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp a=0. Nguyên lý giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Điều này dựa trên cái gì? Rất đơn giản: về việc xác định nghiệm của bất đẳng thức. Làm sao? Có, đây là cách thực hiện: bất kể giá trị của biến x là bao nhiêu, chúng ta thay thế vào bất đẳng thức tuyến tính ban đầu, chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức số có dạng b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Chúng ta hãy xây dựng các lập luận trên dưới dạng thuật toán giải bất phương trình tuyến tính 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

  • Xét bất đẳng thức số b<0 (≤, >, ≥) và
    • nếu nó đúng thì nghiệm của bất đẳng thức ban đầu là số bất kỳ;
    • nếu nó sai thì bất đẳng thức tuyến tính ban đầu không có nghiệm.

Bây giờ hãy hiểu điều này với các ví dụ.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức 0·x+7>0.

Giải pháp.

Với bất kỳ giá trị nào của biến x, bất đẳng thức tuyến tính 0 x+7>0 sẽ chuyển thành bất đẳng thức số 7>0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên mọi số đều là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu.

Trả lời:

nghiệm là số bất kỳ hoặc (−∞, +∞) .

Ví dụ.

Bất đẳng thức tuyến tính 0·x−12,7 ≥0 có nghiệm không?

Giải pháp.

Nếu chúng ta thay thế bất kỳ số nào thay cho biến x thì bất đẳng thức ban đầu chuyển thành bất đẳng thức số −12,7 ≥0, tức là sai. Điều này có nghĩa là không một số nào là nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính 0·x−12,7 ≥0.

Trả lời:

không, nó không.

Để kết thúc phần này, chúng ta sẽ phân tích nghiệm của hai bất đẳng thức tuyến tính, cả hai hệ số của chúng đều bằng 0.

Ví dụ.

Bất phương trình tuyến tính nào 0·x+0>0 và 0·x+0 ≥0 không có nghiệm và có vô số nghiệm?

Giải pháp.

Nếu bạn thay thế bất kỳ số nào thay cho biến x, thì bất đẳng thức thứ nhất sẽ có dạng 0>0 và bất đẳng thức thứ hai – 0 ≥0. Cái đầu tiên trong số đó là sai, và cái thứ hai là đúng. Do đó, bất đẳng thức tuyến tính 0·x+0>0 không có nghiệm và bất đẳng thức 0·x+0 ≥0 có vô số nghiệm, tức là nghiệm của nó là số bất kỳ.

Trả lời:

bất đẳng thức 0 x+0>0 không có nghiệm và bất đẳng thức 0 x+0 ≥0 có vô số nghiệm.

Phương pháp ngắt quãng

Nhìn chung, phương pháp tính khoảng được nghiên cứu trong khóa học đại số ở trường muộn hơn chủ đề giải bất phương trình tuyến tính một biến. Nhưng phương pháp khoảng cho phép bạn giải nhiều loại bất đẳng thức, bao gồm cả bất đẳng thức tuyến tính. Vì vậy, chúng ta hãy tập trung vào nó.

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng nên sử dụng phương pháp khoảng để giải các bất đẳng thức tuyến tính có hệ số khác 0 đối với biến x. Mặt khác, sẽ nhanh hơn và thuận tiện hơn khi rút ra kết luận về cách giải bất phương trình bằng phương pháp đã thảo luận ở cuối đoạn trước.

Phương pháp khoảng ngụ ý

  • giới thiệu một hàm tương ứng với vế trái của bất đẳng thức, trong trường hợp của chúng ta – hàm tuyến tính y=a x+b ,
  • tìm các số không của nó, chia miền định nghĩa thành các khoảng,
  • xác định các dấu có giá trị hàm trên các khoảng này, trên cơ sở đó đưa ra kết luận về nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính.

Hãy cùng nhau sưu tầm những khoảnh khắc này vào thuật toán, trình bày cách giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (≤, >, ≥) với a≠0 bằng phương pháp khoảng:

  • Các số 0 của hàm y=a·x+b được tìm thấy, trong đó a·x+b=0 được giải. Như đã biết, với a≠0 nó có một nghiệm duy nhất, mà chúng ta ký hiệu là x 0 .
  • Nó được xây dựng và một điểm có tọa độ x 0 được mô tả trên đó. Hơn nữa, nếu giải bất đẳng thức nghiêm ngặt (với dấu< или >), thì điểm này được đặt dấu chấm câu (có tâm trống) và nếu nó không nghiêm ngặt (có dấu ≤ hoặc ≥) thì đặt một điểm thông thường. Điểm này chia đường tọa độ thành hai khoảng (−∞, x 0) và (x 0, +∞).
  • Dấu của hàm số y=a·x+b trên các khoảng này được xác định. Để làm điều này, giá trị của hàm này được tính tại bất kỳ điểm nào trong khoảng (−∞, x 0) và dấu của giá trị này sẽ là dấu mong muốn trên khoảng (−∞, x 0). Tương tự, dấu trên khoảng (x 0 , +∞) trùng với dấu của giá trị của hàm y=a·x+b tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này. Nhưng bạn có thể thực hiện mà không cần những phép tính này và rút ra kết luận về dấu dựa trên giá trị của hệ số a: nếu a>0, thì trên các khoảng (−∞, x 0) và (x 0, +∞) sẽ có dấu − và + tương ứng, và nếu a >0 thì + và −.
  • Nếu các bất đẳng thức có dấu > hoặc ≥ đang được giải thì một cửa sập có dấu cộng sẽ được đặt trên khoảng trống và nếu các bất đẳng thức có dấu đang được giải< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Hãy xem xét một ví dụ về giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phương pháp khoảng.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức −3·x+12>0.

Giải pháp.

Vì chúng tôi đang phân tích phương pháp khoảng nên chúng tôi sẽ sử dụng nó. Theo thuật toán, đầu tiên chúng ta tìm nghiệm của phương trình −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Tiếp theo, chúng ta vẽ một đường tọa độ và đánh dấu một điểm trên đó bằng tọa độ 4, và chúng ta làm cho điểm này bị thủng vì chúng ta đang giải một bất đẳng thức nghiêm ngặt:

Bây giờ chúng tôi xác định các dấu hiệu trên các khoảng. Để xác định dấu trên khoảng (−∞, 4), bạn có thể tính giá trị của hàm y=−3·x+12, chẳng hạn tại x=3. Chúng ta có −3·3+12=3>0, nghĩa là có dấu + trên khoảng này. Để xác định dấu trên một khoảng khác (4, +∞), bạn có thể tính giá trị của hàm y=−3 x+12, chẳng hạn như tại điểm x=5. Ta có −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Vì chúng ta đang giải bất đẳng thức bằng dấu > nên chúng ta vẽ bóng lên khoảng trống bằng dấu +, hình vẽ có dạng

Dựa trên hình ảnh thu được, chúng ta kết luận rằng nghiệm mong muốn là (−∞, 4) hoặc theo ký hiệu khác x<4 .

Trả lời:

(−∞, 4) hoặc x<4 .

Về mặt đồ họa

Sẽ rất hữu ích nếu hiểu được cách giải thích hình học của việc giải các bất đẳng thức tuyến tính theo một biến. Để hiểu nó, hãy xem xét bốn bất đẳng thức tuyến tính có cùng vế trái: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 và 0,5 x−1 ≥0 , nghiệm của chúng là x<2 , x≤2 , x>2 và x ≥2, đồng thời vẽ đồ thị của hàm tuyến tính y=0,5 x−1.

Thật dễ dàng để nhận thấy rằng

  • nghiệm của bất đẳng thức 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
  • nghiệm của bất đẳng thức 0,5 x−1<0 biểu thị khoảng trong đó đồ thị của hàm y=0,5 x−1 nằm dưới trục Ox hoặc trùng với trục Ox (nói cách khác, không nằm trên trục abscissa),
  • tương tự, nghiệm của bất đẳng thức 0,5 x−1>0 là khoảng trong đó đồ thị của hàm số nằm trên trục Ox (phần này của đồ thị được hiển thị bằng màu đỏ),
  • và nghiệm của bất đẳng thức 0,5·x−1 ≥0 là khoảng mà đồ thị của hàm số cao hơn hoặc trùng với trục hoành.

Phương pháp đồ họa để giải bất đẳng thức, đặc biệt là tuyến tính, và ngụ ý tìm các khoảng trong đó đồ thị của hàm tương ứng với vế trái của bất đẳng thức nằm ở trên, dưới, không ở dưới hoặc không ở trên đồ thị của hàm tương ứng với vế phải của bất đẳng thức. Trong trường hợp bất đẳng thức tuyến tính của chúng ta, hàm tương ứng với vế trái là y=a·x+b, vế phải là y=0, trùng với trục Ox.

Với những thông tin đã cho, có thể dễ dàng hình thành thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính bằng đồ họa:

  • Một đồ thị của hàm y=a x+b được xây dựng (có thể có sơ đồ) và
    • khi giải bất đẳng thức a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
    • khi giải bất đẳng thức a x+b<0, xác định khoảng trong đó đồ thị nhỏ hơn hoặc trùng với trục Ox,
    • khi giải bất đẳng thức a x+b>0 xác định khoảng mà đồ thị nằm trên trục Ox,
    • khi giải bất đẳng thức a·x+b ≥0 xác định được khoảng mà đồ thị cao hơn hoặc trùng với trục Ox.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức về mặt đồ họa.

Giải pháp.

Hãy vẽ đồ thị của hàm tuyến tính . Đây là một đường thẳng giảm dần vì hệ số của x âm. Chúng ta cũng cần tọa độ giao điểm của nó với trục x, nó là nghiệm của phương trình , bằng với . Đối với nhu cầu của mình, chúng tôi thậm chí không cần mô tả trục Oy. Vì vậy, bản vẽ sơ đồ của chúng ta sẽ trông như thế này

Vì chúng ta đang giải bất đẳng thức bằng dấu >, nên chúng ta quan tâm đến khoảng mà đồ thị của hàm số nằm trên trục Ox. Để rõ ràng, hãy đánh dấu phần này của biểu đồ bằng màu đỏ và để dễ dàng xác định khoảng tương ứng với phần này, hãy đánh dấu màu đỏ phần của mặt phẳng tọa độ chứa phần đã chọn của biểu đồ, như trong hình dưới đây:

Khoảng trống mà chúng ta quan tâm là phần trục Ox được tô màu đỏ. Rõ ràng đây là chùm số mở . Đây là giải pháp chúng tôi đang tìm kiếm. Lưu ý rằng nếu chúng ta giải bất đẳng thức không phải bằng dấu > mà bằng dấu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt ≥, thì chúng ta sẽ phải cộng vào đáp án, vì tại thời điểm này đồ thị của hàm số trùng với trục Ox .y=0·x+7, giống y=7, xác định một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ song song với trục Ox và nằm phía trên nó. Do đó, bất đẳng thức 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Và đồ thị của hàm số y=0·x+0 cũng giống như y=0, là một đường thẳng trùng với trục Ox. Do đó, nghiệm của bất đẳng thức 0·x+0 ≥0 là tập hợp tất cả các số thực.

Trả lời:

bất đẳng thức thứ hai, nghiệm của nó là số thực bất kỳ.

Bất bình đẳng giảm xuống tuyến tính

Một số lượng lớn các bất đẳng thức có thể được thay thế bằng các bất đẳng thức tuyến tính tương đương bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương, hay nói cách khác là rút gọn thành bất đẳng thức tuyến tính. Những bất đẳng thức như vậy được gọi là bất đẳng thức giảm về tuyến tính.

Ở trường, gần như đồng thời với việc giải các bất đẳng thức tuyến tính, các bất đẳng thức đơn giản quy về tuyến tính cũng được xem xét. Đó là những trường hợp đặc biệt toàn bộ bất đẳng thức, cụ thể là ở phần bên trái và bên phải của chúng có toàn bộ biểu thức đại diện hoặc nhị thức tuyến tính, hoặc được chuyển đổi thành chúng bởi và . Để rõ ràng, chúng tôi đưa ra một số ví dụ về những bất đẳng thức như vậy: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Những bất đẳng thức có hình thức tương tự như những bất đẳng thức được chỉ ra ở trên luôn có thể được quy về dạng tuyến tính. Điều này có thể được thực hiện bằng cách mở dấu ngoặc đơn, đưa các số hạng tương tự, sắp xếp lại các số hạng và chuyển các số hạng từ vế này của bất đẳng thức sang vế khác có dấu ngược lại.

Ví dụ, để rút gọn bất đẳng thức 5−2 x>0 thành tuyến tính, chỉ cần sắp xếp lại các số hạng ở vế trái của nó là đủ, chúng ta có −2 x+5>0. Để giảm bất đẳng thức thứ hai 7·(x−1)+3≤4·x−2+x thành tuyến tính, bạn cần thực hiện thêm một chút bước: ở phía bên trái, chúng ta mở ngoặc 7·x−7+3≤4· x−2+x , sau Để đạt được điều này, chúng tôi trình bày các số hạng tương tự ở cả hai vế 7 x−4<5 x−2 , sau đó chúng tôi chuyển các số hạng từ vế phải sang vế trái 7 x−4−5 x+2 ≤0 , cuối cùng, chúng tôi trình bày các số hạng tương tự ở vế trái 2 ·x−2<0 . Tương tự, bất đẳng thức thứ ba có thể được rút gọn thành bất đẳng thức tuyến tính.

Do thực tế là những bất đẳng thức như vậy luôn có thể quy về dạng tuyến tính nên một số tác giả thậm chí còn gọi chúng là tuyến tính. Nhưng chúng ta vẫn sẽ coi chúng có thể quy giản thành tuyến tính.

Bây giờ đã rõ tại sao những bất đẳng thức như vậy lại được xem xét cùng với những bất đẳng thức tuyến tính. Và nguyên tắc giải của chúng hoàn toàn giống nhau: bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương, chúng có thể được quy giản thành các bất đẳng thức cơ bản biểu thị nghiệm mong muốn.

Để giải bất đẳng thức loại này, trước tiên bạn có thể quy nó thành bất đẳng thức tuyến tính, sau đó giải bất đẳng thức tuyến tính này. Nhưng sẽ hợp lý và thuận tiện hơn khi làm điều này:

  • sau khi mở ngoặc, thu thập tất cả các số hạng có biến ở bên trái của bất đẳng thức và tất cả các số ở bên phải,
  • sau đó đưa ra những điều khoản tương tự,
  • rồi chia cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho hệ số của x (tất nhiên nếu nó khác 0). Điều này sẽ đưa ra câu trả lời.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức 5·(x+3)+x<6·(x−3)+1.

Giải pháp.

Đầu tiên, hãy mở ngoặc, kết quả là chúng ta thu được bất đẳng thức 5 x + 15 + x 6 x − 18 + 1 . Bây giờ hãy đưa ra các số hạng tương tự: 6 x+15≤6 x−17 . Sau đó, chúng ta di chuyển các số hạng từ phía bên trái, chúng ta nhận được 6 x+15−6 x+17<0, và một lần nữa chúng ta đưa ra các số hạng tương tự (dẫn đến bất đẳng thức tuyến tính 0 x+32<0) và chúng ta có 32< 0. Đây là cách chúng ta đi đến một bất đẳng thức số không chính xác, từ đó chúng ta kết luận rằng bất đẳng thức ban đầu không có nghiệm.

Trả lời:

không có giải pháp.

Tóm lại, chúng ta lưu ý rằng có rất nhiều bất đẳng thức khác có thể quy về bất đẳng thức tuyến tính hoặc thành bất đẳng thức thuộc loại đã xét ở trên. Ví dụ, giải pháp bất đẳng thức hàm mũ 5 2 x−1 ≥1 rút gọn thành giải bất đẳng thức tuyến tính 2 x−1 ≥0 . Nhưng chúng ta sẽ nói về điều này khi phân tích nghiệm của các bất đẳng thức có dạng tương ứng.

Tài liệu tham khảo.

  • Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Mordkovich A. G.Đại số. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Mordkovich A. G.Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 13, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học. lớp 11. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông (cấp độ hồ sơ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần 2, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01027-2.

Romanishina Dina Solomonovna, giáo viên toán tại nhà thi đấu số 2 ở Khabarovsk

1. Phương trình một biến.

Phương trình chứa một biến được gọi là phương trình có một biến hoặc phương trình có một biến chưa biết. Ví dụ: phương trình có một biến là 3(2x+7)=4x-1.

Căn nguyên hoặc nghiệm của một phương trình là giá trị của một biến mà tại đó phương trình trở thành một đẳng thức số thực sự. Ví dụ, số 1 là nghiệm của phương trình 2x+5=8x-1. Phương trình x2+1=0 vô nghiệm vì vế trái của phương trình luôn lớn hơn 0. Phương trình (x+3)(x-4) =0 có hai nghiệm: x1= -3, x2=4.

Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào.

Các phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai và ngược lại, mọi nghiệm của phương trình thứ hai đều là nghiệm của phương trình thứ nhất hoặc nếu cả hai phương trình đều không có nghiệm. Ví dụ: các phương trình x-8=2 và x+10=20 là tương đương, bởi vì nghiệm của phương trình thứ nhất x=10 cũng là nghiệm của phương trình thứ hai và cả hai phương trình đều có cùng nghiệm.

Khi giải phương trình, các tính chất sau được sử dụng:

Nếu bạn di chuyển một số hạng trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Nếu cả hai vế của một phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Phương trình ax=b, trong đó x là một biến và a và b là một số số, được gọi là phương trình tuyến tính một biến.

Nếu a¹0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

.

Nếu a=0, b=0 thì bất kỳ giá trị nào của x đều thỏa mãn phương trình.

Nếu a=0, b¹0 thì phương trình vô nghiệm vì 0x=b không được thực thi cho bất kỳ giá trị nào của biến.

Ví dụ 1. Giải phương trình: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Mở dấu ngoặc đơn ở cả hai vế của phương trình, chuyển tất cả các số hạng có x sang vế trái của phương trình, và các số hạng không chứa x sang vế phải, ta được:

16x-15x=88-40-12

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

x3-2x2-98x+18=0;

Những phương trình này không phải là tuyến tính, nhưng chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải những phương trình như vậy.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Tích bằng 0, nếu một trong các thừa số bằng 0 thì ta được x1=0; x2=

. .

Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tức là (x-2)(x-3)(x+3)=0. Điều này cho thấy nghiệm của phương trình này là các số x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Tưởng tượng 7x là 3x+4x, khi đó ta có: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, do đó x1=-3, x2=-4.

Trả lời: -3; - 4.

Ví dụ 3. Giải phương trình: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về mô đun của một số:

Ví dụ: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Trong phương trình này, dưới dấu mô đun là các số x-1 và x+1. Nếu x nhỏ hơn –1 thì số x+1 âm, thì ½x+1½=-x-1. Và nếu x>-1 thì ½x+1½=x+1. Tại x=-1 ½x+1½=0.

Như vậy,

Tương tự như vậy

a) Xét phương trình này½x+1½+½x-1½=3 với x £-1, nó tương đương với phương trình -x-1-x+1=3, -2x=3, x=

, số này thuộc tập x £ -1.

b) Đặt -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Xét trường hợp x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x=

. Số này thuộc tập x>1.

Đáp án: x1=-1,5; x2=1,5.

Ví dụ 4. Giải phương trình:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Chúng ta hãy trình bày một bản ghi ngắn về nghiệm của phương trình, cho thấy dấu của mô đun “trong các khoảng”.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Trả lời: [-2; 0]

Ví dụ 5. Giải phương trình: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), với mọi giá trị của tham số a.

Thực tế có hai biến trong phương trình này, nhưng coi x là ẩn số và a là tham số. Cần phải giải phương trình biến x với bất kỳ giá trị nào của tham số a.

Nếu a=1 thì phương trình có dạng 0×x=0;

Nếu a=-1 thì phương trình có dạng 0×x=-2; không có một số nào thỏa mãn phương trình này.

Nếu a¹1, a¹-1 thì phương trình có nghiệm duy nhất

.

Trả lời: nếu a=1 thì x là số bất kỳ;

nếu a=-1 thì không có nghiệm;

nếu a¹±1 thì

.

2. Hệ phương trình hai biến.

Giải hệ phương trình hai biến là một cặp giá trị biến biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức đúng. Giải một hệ thống có nghĩa là tìm ra tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của hệ thứ nhất là nghiệm của hệ thứ hai và mỗi nghiệm của hệ thứ hai là nghiệm của hệ thứ nhất hoặc cả hai đều không có nghiệm.

Khi giải hệ tuyến tính, người ta sử dụng phương pháp thay thế và phương pháp cộng.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

Để giải hệ này ta áp dụng phương pháp thay thế. Hãy biểu thị x từ phương trình đầu tiên và thay thế giá trị này

vào phương trình thứ hai của hệ, ta được ,

Trả lời: (2; 3).

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:

Để giải hệ này người ta áp dụng phương pháp cộng phương trình. 8x=16, x=2. Thay giá trị x=2 vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được 10-y=9, y=1.

Trả lời: (2; 1).

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

Hệ này tương đương với một phương trình 2x+y=5, vì phương trình thứ hai thu được từ phương trình thứ nhất bằng cách nhân với 3. Do đó, bất kỳ cặp số nào (x; 5-2x) đều thỏa mãn nó. Hệ có vô số nghiệm.

Đáp án: (x; 5-2x), x – bất kỳ.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:

Hãy nhân phương trình đầu tiên với –2 và cộng nó với phương trình thứ hai, chúng ta được 0×x+0×y=-6. Phương trình này không được thỏa mãn bởi bất kỳ cặp số nào. Vì vậy, hệ thống này không có giải pháp.

Trả lời: hệ thống không có giải pháp.

Ví dụ 5. Giải hệ:

Từ phương trình thứ hai, ta biểu thị x = y + 2a + 1 và thay giá trị x này vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được

. Khi a=-2, phương trình không có nghiệm, nhưng nếu a¹-2 thì .

Trả lời: Khi a=-2 thì hệ vô nghiệm

tại a¹-2 hệ thống có nghiệm

.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:

Chúng ta được cho một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số. Chúng ta hãy áp dụng phương pháp Gaussian, bao gồm các phép biến đổi tương đương đưa hệ thống đã cho về dạng tam giác. Hãy cộng phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, nhân với –2.

2х-2у-2z=-12

3х-3у-3z=-18

Cuối cùng, chúng ta thêm vào phương trình này phương trình y-z=-1, nhân với 2, chúng ta nhận được - 4z=-12, z=3. Vậy ta được hệ phương trình:

x+y+z=6

z=3, tương đương với cái này.

Một hệ thống loại này được gọi là tam giác.

Trả lời: (1; 2; 3).

3. Giải các bài toán bằng phương trình và hệ phương trình.

Chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ về cách bạn có thể giải các bài toán bằng cách sử dụng các phương trình và hệ phương trình.

Ví dụ 1. Một hợp kim thiếc và đồng nặng 32 kg chứa 55% thiếc. Phải thêm bao nhiêu thiếc nguyên chất vào hợp kim để hợp kim mới chứa 60% thiếc?

Giải pháp. Gọi khối lượng thiếc thêm vào hợp kim ban đầu là x kg. Khi đó một hợp kim nặng (32+x) kg sẽ chứa 60% thiếc và 40% đồng. Hợp kim ban đầu chứa 55% thiếc và 45% đồng, tức là có 32·0,45 kg đồng trong đó. Vì khối lượng đồng trong hợp kim ban đầu và hợp kim mới là như nhau nên chúng ta thu được phương trình 0,45·32=0,4(32+x).

Sau khi giải quyết nó, chúng tôi tìm thấy x=4, tức là Phải thêm 4 kg thiếc vào hợp kim.

Ví dụ 2. Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị 2 đơn vị. Nếu số này chia cho tổng các chữ số của nó thì thương sẽ là 4 và dư 6. Số đó là bao nhiêu?

Giải pháp. Gọi chữ số hàng đơn vị là x thì chữ số hàng chục là x-2 (x>2), số cần tìm là 10(x-2)+x=11x-20. Tổng các chữ số của số x-2+x=2x-2. Do đó, chia 11x-20 cho 2x-2, chúng ta nhận được 4 là thương số và 6 là số dư. Chúng ta tạo ra phương trình: 11x-20=4(2x-2)+6, bởi vì. Số bị chia bằng số chia nhân với thương cộng với số dư. Giải phương trình này, ta được x=6. Vì vậy, số 46 đã được hình thành.

X và phạm vi X. Khi đó bất đẳng thức có dạng f(x) > g(x) hoặc f(x) < g(x) được gọi là bất đẳng thức một biến . Nhiều X gọi điện phạm vi định nghĩa của nó.

Giá trị biến X từ nhiều người X, tại đó bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức số thực sự, nó được gọi là phán quyết. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm ra nhiều nghiệm để giải nó.


Cơ sở để giải bất đẳng thức một biến là khái niệm về sự tương đương.


Hai bất đẳng thức đó được gọi là tương đương, nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau.


Các định lý về sự tương đương của các bất đẳng thức và hệ quả của chúng cũng tương tự như các định lý tương ứng về sự tương đương của các phương trình. Chứng minh của họ sử dụng các tính chất của bất đẳng thức số thực.


Định lý 1.Để bất đẳng thức f(x) > g(x) được xác định trên tập hợp X Và h(x) là một biểu thức được xác định trên cùng một tập hợp. Khi đó các bất đẳng thức f(x) > g(x) Và f(x) + h(x) > g(x)+h(x) tương đương trên tập hợp X.


Từ định lý này suy ra hậu quả, thường được sử dụng khi giải bất đẳng thức:


1) Nếu theo cả hai vế của bất đẳng thức f(x) > g(x) cộng cùng một số d, thì ta thu được bất đẳng thức f(x) + d > g(x)+d, tương đương với bản gốc.


2) Nếu bất kỳ số hạng nào (hoặc biểu thức có biến) được chuyển từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức, thay đổi dấu của số hạng đó sang ngược lại, thì chúng ta thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đã cho.


Định lý 2.Để bất đẳng thức f(x) > g(x) được xác định trên tập hợp X Và h(x X từ nhiều người X sự biểu lộ h(x) nhận giá trị dương. Khi đó các bất đẳng thức f(x) > g(x) Và f(x) × h(x) > g(x) × h(x) tương đương trên tập hợp X.


Một hệ quả tất yếu rút ra từ định lý này: nếu cả hai vế của bất đẳng thức f(x) > g(x) nhân với cùng một số dương d, thì ta thu được bất đẳng thức f(x) × d > g(x) × d, tương đương với cái này


Định lý 3.Để bất đẳng thức f(x) > g(x) được xác định trên tập hợp X Và h(x) - một biểu thức được xác định trên cùng một tập hợp và với tất cả X từ nhiều người X sự biểu lộ h(x) nhận giá trị âm. Khi đó các bất đẳng thức f(x) > g(x) Và f(x) × h(x) < g(x) × h(x) tương đương trên tập hợp X.


Từ định lý này suy ra kết quả: nếu cả hai vế của bất đẳng thức f(x) > g(x) nhân với cùng một số âm d và đổi dấu bất đẳng thức sang dấu ngược lại, ta được bất đẳng thức f(x) × d < g(x) × d, tương đương với cái này


Nhiệm vụ. là số X= 5 nghiệm bất đẳng thức 2 X+ 7 > 10 - x, xО R? Tìm nhiều giải pháp cho sự bất bình đẳng này.


Giải pháp. Con số X= 5 là nghiệm của bất đẳng thức
2X + 7 > 10 - X, vì 2×5 + 7 > 10 - 5 là một bất đẳng thức số thực sự. Và tập nghiệm của nó là khoảng (1; ¥), được tìm thấy bằng cách thực hiện phép biến đổi bất đẳng thức 2 X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3 Þ X > 1.


Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức 5 X- 5 < 2X+ 16 và chứng minh tất cả các phép biến đổi sẽ được thực hiện trong quá trình giải.


Giải pháp.



















chuyển đổi



Cơ sở lý luận của các phép biến đổi



1. Hãy di chuyển biểu thức 2 Xở bên trái và số -5 ở bên phải, đổi dấu thành ngược lại: 5 X- 2X < 16 + 5.



Chúng ta sử dụng Hệ quả 2 từ Định lý 3 và thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ban đầu.



2. Hãy trình bày các số hạng tương tự ở vế trái và vế phải của bất đẳng thức: 3 X < 21.



Chúng tôi đã thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức ở vế trái và phải của bất đẳng thức - chúng không vi phạm tính tương đương của các bất đẳng thức: đã cho và ban đầu.



3. Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 3: X < 7.



Chúng ta đã sử dụng hệ quả của Định lý 4 và thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ban đầu.

Làm thế nào để giải bất đẳng thức tuyến tính với một biến có dạng ax+b>cx+d?

Để làm điều này, chúng tôi chỉ sử dụng hai quy tắc.

1) Các số hạng có thể được chuyển từ phần này của bất đẳng thức sang phần khác có dấu ngược lại. Dấu của bất đẳng thức không thay đổi.

2) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể là (hoặc một biến khác). Khi chia cho một số dương thì dấu của bất đẳng thức không đổi. Khi chia cho số âm, dấu bất đẳng thức bị đảo ngược.

Nói chung, nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính một biến

Cx + d\]" title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

có thể được miêu tả như thế này:

1) Chúng ta chuyển những cái chưa biết sang một bên, những cái đã biết sang bên kia với dấu hiệu trái ngược nhau:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

2) Nếu số đứng trước X không bằng 0 (a-c≠0), chia cả hai vế của bất đẳng thức cho a-c.

Nếu a-c>0 thì dấu bất đẳng thức không thay đổi:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Nếu a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Nếu a-c=0 thì đây là trường hợp đặc biệt. Chúng ta sẽ xem xét riêng các trường hợp đặc biệt của việc giải bất đẳng thức tuyến tính.

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Đây là một bất đẳng thức tuyến tính. Chúng ta di chuyển những điều chưa biết theo một hướng, những điều đã biết theo hướng khác với những dấu hiệu ngược lại:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số đứng trước X. Kể từ -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Vì , số 10 trên trục số được đánh dấu bằng dấu chấm. , đến âm vô cùng.

Vì bất đẳng thức nghiêm ngặt và thiếu điểm nên chúng ta viết 10 vào câu trả lời bằng dấu ngoặc đơn.

Đây là một bất đẳng thức tuyến tính. Những điều chưa biết - theo một hướng, đã biết - theo hướng khác với những dấu hiệu ngược lại:

Ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số đứng trước X. Từ 10>

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Vì bất đẳng thức không nghiêm ngặt nên chúng ta đánh dấu -2,3 trên trục số bằng một dấu chấm đầy. Bóng từ -2,3 chuyển sang bên phải, đến cộng vô cùng.

Vì bất đẳng thức nghiêm ngặt và điểm được tô bóng nên chúng ta viết -2,3 trong câu trả lời bằng dấu ngoặc vuông.

Đây là một bất đẳng thức tuyến tính. Những điều chưa biết đi theo một hướng, những điều đã biết đi theo hướng khác với dấu hiệu ngược lại.

Ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số đứng trước X. Vì 3>0 nên dấu bất đẳng thức không thay đổi:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Vì bất đẳng thức là nghiêm ngặt nên chúng ta biểu thị x=2/3 trên trục số dưới dạng điểm bị thủng.

Vì bất đẳng thức nghiêm ngặt và thiếu điểm nên chúng ta viết 2/3 trong câu trả lời bằng dấu ngoặc đơn.

1. Khái niệm bất đẳng thức một biến

2. Bất đẳng thức tương đương. Định lý về sự tương đương của bất đẳng thức

3. Giải bất đẳng thức một biến

4. Giải bất phương trình một biến bằng đồ thị

5. Bất đẳng thức chứa biến dưới dấu mô đun

6. Kết luận chính

Bất đẳng thức một biến

Ưu đãi 2 X + 7 > 10 giây, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 được gọi là bất đẳng thức một biến.

Nói chung, khái niệm này được định nghĩa như sau:

Sự định nghĩa. Cho f(x) và g(x) là hai biểu thức có biến x và tập xác định X. Khi đó bất đẳng thức có dạng f(x) > g(x) hoặc f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Giá trị biến x từ nhiều người X, trong đó bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức số thực sự được gọi là phán quyết. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm ra nhiều nghiệm để giải nó.

Như vậy, bằng cách giải bất đẳng thức 2 x + 7 > 10 -x, x? R là số x= 5, vì 2 5 + 7 > 10 - 5 là một bất đẳng thức số thực. Và tập nghiệm của nó là khoảng (1, ∞), được tìm thấy bằng cách thực hiện phép biến đổi bất đẳng thức: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Các bất đẳng thức tương đương Định lý về sự tương đương của bất đẳng thức

Cơ sở để giải bất đẳng thức một biến là khái niệm về sự tương đương.

Sự định nghĩa. Hai bất đẳng thức được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau.

Ví dụ: bất đẳng thức 2 x+ 7 > 10 và 2 x> 3 tương đương nhau, vì tập nghiệm của chúng bằng nhau và biểu thị khoảng (2/3, ∞).

Các định lý về sự tương đương của các bất đẳng thức và hệ quả của chúng cũng tương tự như các định lý tương ứng về sự tương đương của các phương trình. Chứng minh của họ sử dụng các tính chất của bất đẳng thức số thực.

Định lý 3.Để bất đẳng thức f(x) > g(x)được xác định trên tập hợp X Và h(x) là một biểu thức được xác định trên cùng một tập hợp. Khi đó các bất đẳng thức f(x) > g(x) và f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) tương đương trên tập hợp X.

Hệ quả suy ra từ định lý này, thường được sử dụng khi giải bất đẳng thức:

1) Nếu vào cả hai vế của bất đẳng thức f(x) > g(x) thêm cùng một số d, thì chúng ta nhận được bất đẳng thức f(x) + d > g(x)+ d, tương đương với bản gốc.

2) Nếu bất kỳ thuật ngữ nào (biểu thức số hoặc biểu thức có biến) được chuyển từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức, thay đổi dấu của thuật ngữ đó sang ngược lại, thì chúng ta thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đã cho.

Định lý 4.Để bất đẳng thức f(x) > g(x)được xác định trên tập hợp X Và h(X X từ nhiều người X sự biểu lộ h(x) nhận các giá trị dương. Khi đó các bất đẳng thức f(x) > g(x) và f(x) h(x) > g(x) h(x) tương đương trên tập hợp X.

f(x) > g(x) nhân với cùng một số dương d, thì chúng ta nhận được bất đẳng thức f(x) d > g(x) d, tương đương với điều này.

Định lý 5.Để bất đẳng thức f(x) > g(x)được xác định trên tập hợp X Và h(X) - một biểu thức được xác định trên cùng một tập hợp và với tất cả X có rất nhiều trong số họ X sự biểu lộ h(X) nhận giá trị âm. Khi đó các bất đẳng thức f(x) > g(x) và f(x) h(x) > g(x) h(x) tương đương trên tập hợp X.

Một hệ quả tất yếu rút ra từ định lý này: nếu cả hai vế của bất đẳng thức f(x) > g(x) nhân với cùng một số âm d và đổi dấu bất đẳng thức sang dấu ngược lại, ta được bất đẳng thức f(x) d > g(x) d, tương đương với điều này.

Giải bất đẳng thức bằng một biến

Hãy giải bất đẳng thức 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, và chúng ta sẽ biện minh cho tất cả các phép biến đổi mà chúng ta sẽ thực hiện trong quá trình giải.

Giải quyết sự bất bình đẳng X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 là khoảng (-∞, 7).

Bài tập

1. Xác định bất đẳng thức nào sau đây là bất đẳng thức một biến:

a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);

b) 15( x+ 2)>4; đ) 17-12·8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3x-4> 0.

2. Số 3 có phải là nghiệm của bất đẳng thức không? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Còn con số 4,25 thì sao?

3. Các cặp bất đẳng thức sau có tương đương với tập số thực không:

a) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 x-1)/4 >0 và 3 X-1>0;

c) 6-5 x>-4 và X<2?

4. Phát biểu nào sau đây là đúng:

a) -7 X < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Giải bất đẳng thức 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 và chứng minh tất cả các phép biến đổi mà bạn sẽ thực hiện.

6. Chứng minh rằng bằng cách giải bất đẳng thức 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) là số thực bất kỳ.

7. Chứng minh rằng không có số thực nào là nghiệm của bất đẳng thức 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. Một cạnh của hình tam giác là 5 cm, và cạnh kia là 8 cm, chiều dài của cạnh thứ ba có thể là bao nhiêu nếu chu vi của tam giác là:

a) nhỏ hơn 22cm;

b) hơn 17 cm?

GIẢI GIẢI ĐỒ HỌA CỦA BẤT ĐẸP VỚI MỘT BIẾN.Để giải bất đẳng thức bằng đồ thị f(x) > g(x) cần xây dựng đồ thị hàm số

y = f(x) = g(x) và chọn các khoảng của trục hoành mà đồ thị của hàm số trên đó y = f(x) nằm phía trên đồ thị của hàm y = g(x).

Ví dụ 17.8. Giải bất đẳng thức bằng đồ họa x 2- 4 > 3X.

Y - x* - 4

Giải pháp. Hãy xây dựng đồ thị của hàm số trong một hệ tọa độ

y = x 2 - 4 và y = Zx (Hình 17.5). Hình vẽ cho thấy đồ thị của hàm số Tại= x 2- 4 nằm phía trên đồ thị của hàm số y = 3 X Tại X< -1 và x > 4, tức là tập nghiệm của bất đẳng thức ban đầu là tập hợp

(- ¥; -1) È (4; + ồ) .

Đáp án: x О(- ồ; -1) và ( 4; + ồ).

Đồ thị của hàm bậc hai Tại= rìu 2 + bx + c là một parabol có các nhánh hướng lên trên nếu một > 0 và giảm nếu MỘT< 0. Trong trường hợp này có thể xảy ra ba trường hợp: parabol cắt trục Ồ(tức là phương trình à 2+ bx+ c = 0 có hai gốc khác nhau); parabol chạm trục X(tức là phương trình rìu 2 + bx+ c = 0 có một nghiệm); parabol không cắt trục Ồ(tức là phương trình à 2+ bx+ c = 0 không có gốc). Do đó, có sáu vị trí có thể có của parabol, chúng đóng vai trò là đồ thị của hàm y = à 2+b x + c(Hình 17.6). Sử dụng những hình minh họa này, bạn có thể giải các bất đẳng thức bậc hai.

Ví dụ 17.9. Giải bất phương trình: a) 2 xg+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Giải pháp, a) Phương trình 2x 2 + 5x -3 = 0 có hai nghiệm: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabol đóng vai trò là đồ thị của hàm Tại= 2x2+ 5x -3 như trên hình. MỘT. Bất bình đẳng 2x2+ 5x -3 > 0 thỏa mãn các giá trị đó X, trong đó các điểm của parabol nằm phía trên trục Ồ: nó sẽ ở X< х х hoặc khi nào X> xg> những thứ kia. Tại X< -3 hoặc tại x > 0,5. Điều này có nghĩa là tập nghiệm của bất đẳng thức ban đầu là tập hợp (- ¥; -3) và (0,5; + ¥).

b) Phương trình -Зх 2 + 2x- 6 = 0 không có nghiệm thực sự. Parabol đóng vai trò là đồ thị của hàm Tại= - 3x 2 - 2x - 6, thể hiện trong hình. 17.6 Bất bình đẳng -3x2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, trong đó các điểm của parabol nằm dưới trục Ồ. Vì toàn bộ parabol nằm dưới trục Ồ, thì tập nghiệm của bất đẳng thức ban đầu là tập R .

BẤT BÌNH ĐẲNG CHỨA MỘT BIẾN THEO DẤU MODULE. Khi giải các bất đẳng thức này cần lưu ý:

|f(x) | =

f(x), Nếu như f(x) ³ 0,

- f(x), Nếu như f(x) < 0,

Trong trường hợp này, phạm vi giá trị cho phép của bất đẳng thức phải được chia thành các khoảng, tại mỗi khoảng đó các biểu thức dưới dấu mô đun giữ nguyên dấu của chúng. Sau đó, mở rộng các mô-đun (có tính đến dấu của biểu thức), bạn cần giải bất đẳng thức trên mỗi khoảng và kết hợp các nghiệm thu được thành một tập nghiệm của bất đẳng thức ban đầu.

Ví dụ 17.10. Giải bất đẳng thức:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

Giải pháp. Điểm x = 1 và x = 2 chia trục số (ODZ của bất đẳng thức (17.9) thành ba khoảng: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Hãy giải bất đẳng thức này cho từng phương trình. Nếu x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; do đó |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Điều này có nghĩa là bất đẳng thức (17.9) có dạng: 1- x + 2 - x > 3 + x, tức là X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Nếu 1 £ x £.2 thì x - 1 ³ 0 và 2 – x ³ 0; do đó | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Điều này có nghĩa là hệ thống giữ:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Hệ thống bất bình đẳng kết quả không có giải pháp. Do đó, trên khoảng [ 1; 2] tập nghiệm của bất đẳng thức (17.9) rỗng.

Nếu x > 2 thì x - 1 >0 và 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 hoặc

Kết hợp các nghiệm tìm thấy trên tất cả các phần của bất đẳng thức ODZ (17.9), chúng ta thu được nghiệm của nó - tập hợp (-¥; 0) È (6; +oo).

Đôi khi sẽ rất hữu ích khi sử dụng cách diễn giải hình học mô đun của một số thực, theo đó | một | là khoảng cách từ điểm a của đường tọa độ đến gốc O, a | a - b | là khoảng cách giữa các điểm a và b trên đường tọa độ. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng phương pháp bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

Định lý 17.5. Nếu biểu thức f(x) và g(x) với mọi x chỉ nhận giá trị không âm thì bất đẳng thức f(x) > g(x) Và f(x) 2 > g(x) 2 là tương đương.

58. Kết luận chính § 12

Trong phần này chúng ta đã định nghĩa như sau khái niệm:

biểu thức số;

Giá trị của biểu thức số;

Một biểu thức không có ý nghĩa;

Biểu thức có (các) biến;

Phạm vi định nghĩa biểu thức;

Biểu thức bằng nhau giống hệt nhau;

Danh tính;

Chuyển đổi giống hệt nhau của một biểu thức;

Bình đẳng về số;

Bất bình đẳng về số;

Phương trình với một biến;

Căn nguyên của phương trình;

Việc giải một phương trình có ý nghĩa gì;

Phương trình tương đương;

Bất bình đẳng một biến;

Giải quyết bất bình đẳng;

Việc giải quyết bất bình đẳng có ý nghĩa gì;

Các bất đẳng thức tương đương

Ngoài ra, chúng tôi đã xem xét các định lý về sự tương đương của các phương trình và bất đẳng thức, là cơ sở cho việc giải chúng.

Kiến thức về định nghĩa của tất cả các khái niệm và định lý trên về sự tương đương của phương trình và bất đẳng thức là điều kiện cần thiết để học sinh tiểu học có thể nghiên cứu thành thạo về mặt phương pháp luận các tài liệu đại số.