Quy tắc chuyển giao trong phương trình. Mục tiêu giáo dục của bài học

Và khi tính toán các giá trị của biểu thức, hành động được thực hiện theo một thứ tự nhất định, hay nói cách khác là bạn phải quan sát thứ tự hành động.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm ra hành động nào nên được thực hiện trước và hành động nào sau chúng. Hãy bắt đầu với những trường hợp đơn giản nhất, khi biểu thức chỉ chứa các số hoặc biến được kết nối bằng dấu cộng, trừ, nhân và chia. Tiếp theo, chúng tôi sẽ giải thích thứ tự hành động cần tuân theo trong các biểu thức có dấu ngoặc. Cuối cùng, chúng ta hãy xem thứ tự thực hiện các hành động trong các biểu thức chứa lũy thừa, căn và các hàm khác.

Điều hướng trang.

Đầu tiên là phép nhân và chia, sau đó là phép cộng và phép trừ

Nhà trường đưa ra thông tin sau quy tắc xác định thứ tự thực hiện các hành động trong biểu thức không có dấu ngoặc đơn:

• các thao tác được thực hiện theo thứ tự từ trái qua phải,
• Hơn nữa, phép nhân và chia được thực hiện trước, sau đó là phép cộng và phép trừ.

Quy tắc đã nêu được nhìn nhận khá tự nhiên. Việc thực hiện các hành động theo thứ tự từ trái sang phải được giải thích là do chúng ta có thông lệ ghi chép từ trái sang phải. Và việc nhân và chia được thực hiện trước phép cộng và phép trừ được giải thích là do ý nghĩa của những hành động này.

Hãy xem xét một vài ví dụ về cách áp dụng quy tắc này. Ví dụ: chúng tôi sẽ sử dụng các biểu thức số đơn giản nhất để không bị phân tâm bởi các phép tính mà tập trung cụ thể vào thứ tự các hành động.

Ví dụ.

Thực hiện theo các bước 7−3+6.

Giải pháp.

Biểu thức ban đầu không chứa dấu ngoặc đơn và không chứa phép nhân hoặc phép chia. Do đó, chúng ta nên thực hiện tất cả các hành động theo thứ tự từ trái sang phải, tức là đầu tiên chúng ta trừ 3 từ 7, chúng ta nhận được 4, sau đó chúng ta cộng 6 vào hiệu kết quả là 4, chúng ta nhận được 10.

Tóm lại, nghiệm có thể được viết như sau: 7−3+6=4+6=10.

Trả lời:

7−3+6=10 .

Ví dụ.

Hãy chỉ ra thứ tự các hành động trong biểu thức 6:2·8:3.

Giải pháp.

Để trả lời câu hỏi của bài toán, chúng ta hãy chuyển sang quy tắc chỉ ra thứ tự thực hiện các hành động trong biểu thức không có dấu ngoặc đơn. Biểu thức ban đầu chỉ chứa các phép tính nhân và chia và theo quy tắc, chúng phải được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.

Trả lời:

Lúc đầu Chúng ta chia 6 cho 2, nhân thương số này với 8 và cuối cùng chia kết quả cho 3.

Ví dụ.

Tính giá trị của biểu thức 17−5·6:3−2+4:2.

Giải pháp.

Trước tiên, hãy xác định thứ tự các hành động trong biểu thức ban đầu sẽ được thực hiện. Nó chứa cả phép nhân và phép chia, phép cộng và phép trừ. Đầu tiên, từ trái sang phải, bạn cần thực hiện phép nhân và chia. Vậy chúng ta nhân 5 với 6, chúng ta được 30, chúng ta chia số này cho 3, chúng ta được 10. Bây giờ chúng ta chia 4 cho 2, chúng ta được 2. Chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy 10 vào biểu thức ban đầu thay vì 5·6:3 và thay vì 4:2 - giá trị 2, chúng tôi có 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Biểu thức thu được không còn chứa phép nhân và phép chia nữa, do đó, nó vẫn thực hiện các hành động còn lại theo thứ tự từ trái sang phải: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

Trả lời:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Đầu tiên, để không nhầm lẫn thứ tự thực hiện các hành động khi tính giá trị của biểu thức, nên đặt các số phía trên các dấu hiệu hành động tương ứng với thứ tự thực hiện chúng. Đối với ví dụ trước, nó sẽ trông như thế này: .

Thứ tự thực hiện tương tự - đầu tiên là phép nhân và chia, sau đó là phép cộng và phép trừ - phải được tuân theo khi làm việc với các biểu thức bằng chữ.

Hành động của giai đoạn thứ nhất và thứ hai

Trong một số sách giáo khoa toán có sự phân chia các phép tính số học thành các phép toán bậc một và bậc hai. Hãy tìm hiểu điều này.

Sự định nghĩa.

Hành động của giai đoạn đầu tiên phép cộng và phép trừ được gọi, phép nhân và phép chia được gọi là hành động giai đoạn hai.

Trong các điều khoản này, quy tắc từ đoạn trước, xác định thứ tự thực hiện các hành động, sẽ được viết như sau: nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc đơn thì theo thứ tự từ trái sang phải, các hành động của giai đoạn thứ hai (phép nhân và chia) được thực hiện trước, sau đó là các hành động của giai đoạn đầu tiên (cộng và trừ).

Thứ tự các phép tính số học trong biểu thức có dấu ngoặc đơn

Biểu thức thường chứa dấu ngoặc đơn để chỉ ra thứ tự thực hiện các hành động. Trong trường hợp này quy tắc chỉ định thứ tự thực hiện các hành động trong biểu thức có dấu ngoặc đơn, được xây dựng như sau: đầu tiên, các hành động trong ngoặc được thực hiện, đồng thời phép nhân và chia cũng được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải, sau đó là phép cộng và phép trừ.

Vì vậy, các biểu thức trong ngoặc được coi là thành phần của biểu thức ban đầu và chúng giữ nguyên thứ tự các hành động mà chúng ta đã biết. Chúng ta hãy xem xét các giải pháp cho các ví dụ để rõ ràng hơn.

Ví dụ.

Thực hiện theo các bước sau 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Giải pháp.

Biểu thức chứa các dấu ngoặc đơn, vì vậy trước tiên chúng ta hãy thực hiện các hành động trong các biểu thức nằm trong các dấu ngoặc đơn này. Hãy bắt đầu với biểu thức 7−2·3. Trong đó, trước tiên bạn phải thực hiện phép nhân, sau đó mới thực hiện phép trừ, chúng ta có 7−2·3=7−6=1. Hãy chuyển sang biểu thức thứ hai trong ngoặc 6−4. Ở đây chỉ có một hành động duy nhất - phép trừ, chúng tôi thực hiện nó 6−4 = 2.

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào biểu thức ban đầu: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Trong biểu thức thu được, trước tiên chúng ta thực hiện phép nhân và chia từ trái sang phải, sau đó trừ, chúng ta được 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Tại thời điểm này, tất cả các hành động đã hoàn thành, chúng tôi tuân theo thứ tự thực hiện sau: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Hãy viết ra một giải pháp ngắn gọn: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Trả lời:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Điều đó xảy ra là một biểu thức có chứa dấu ngoặc đơn bên trong dấu ngoặc đơn. Không cần phải lo lắng về điều này; bạn chỉ cần áp dụng nhất quán quy tắc đã nêu để thực hiện các hành động trong biểu thức có dấu ngoặc. Hãy chỉ ra giải pháp của ví dụ.

Ví dụ.

Thực hiện các phép tính trong biểu thức 4+(3+1+4·(2+3)) .

Giải pháp.

Đây là biểu thức có dấu ngoặc, có nghĩa là việc thực thi các hành động phải bắt đầu bằng biểu thức trong ngoặc, nghĩa là bằng 3+1+4·(2+3) . Biểu thức này cũng chứa dấu ngoặc đơn, vì vậy trước tiên bạn phải thực hiện các hành động trong đó. Hãy làm điều này: 2+3=5. Thay giá trị tìm được, ta được 3+1+4·5. Trong biểu thức này, trước tiên chúng ta thực hiện phép nhân, sau đó thực hiện phép cộng, chúng ta có 3+1+4·5=3+1+20=24. Giá trị ban đầu, sau khi thay thế giá trị này, có dạng 4+24 và tất cả những gì còn lại là hoàn thành các hành động: 4+24=28.

Trả lời:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Nói chung, khi một biểu thức chứa dấu ngoặc đơn bên trong dấu ngoặc đơn, việc thực hiện các hành động bắt đầu bằng dấu ngoặc đơn bên trong và di chuyển ra các dấu ngoặc đơn bên ngoài thường rất thuận tiện.

Ví dụ: giả sử chúng ta cần thực hiện các hành động trong biểu thức (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Đầu tiên, chúng ta thực hiện các hành động trong ngoặc bên trong, vì 4−6:2=4−3=1, sau đó biểu thức ban đầu sẽ có dạng (4+(4+1)−1)−1. Chúng ta lại thực hiện hành động trong ngoặc bên trong, vì 4+1=5 nên chúng ta thu được biểu thức sau (4+5−1)−1. Một lần nữa, chúng ta thực hiện các hành động trong ngoặc: 4+5−1=8 và chúng ta đạt được hiệu 8−1, bằng 7.

Vì giải phương trình tuyến tính sử dụng hai quy tắc cơ bản (thuộc tính).

Bất động sản số 1
hoặc
quy tắc chuyển nhượng

Khi chuyển từ phần này sang phần khác của phương trình, một phần tử của phương trình sẽ đổi dấu sang ngược lại.

Hãy xem xét quy tắc chuyển bằng một ví dụ. Giả sử chúng ta cần giải một phương trình tuyến tính.

Hãy nhớ rằng bất kỳ phương trình nào cũng có bên trái và bên phải.

Hãy di chuyển số "3" từ vế trái của phương trình sang phải.

Vì số “3” có dấu “+” ở vế trái của phương trình nên có nghĩa là “3” sẽ được chuyển sang vế phải của phương trình có dấu “-”.

Giá trị số thu được “x = 2” được gọi là nghiệm của phương trình.

Đừng quên viết ra câu trả lời sau khi giải bất kỳ phương trình nào.

Hãy xem xét một phương trình khác.

Theo quy tắc chuyển đổi, chúng ta di chuyển “4x” từ vế trái của phương trình sang phải, đổi dấu sang ngược lại.

Mặc dù không có dấu hiệu nào ở phía trước "4x" nhưng chúng tôi hiểu rằng có dấu "+" ở phía trước "4x".

Bây giờ hãy đưa ra những cái tương tự và giải phương trình đến cùng.

Bất động sản số 2
hoặc
quy tắc chia

Trong bất kỳ phương trình nào, bạn có thể chia bên trái và bên phải cho cùng một số.

Nhưng bạn không thể chia thành những điều chưa biết!

Hãy xem một ví dụ về cách sử dụng quy tắc chia khi giải phương trình tuyến tính.

Số “4” viết tắt của “x” được gọi là hệ số của ẩn số.

Giữa hệ số và ẩn số luôn có phép nhân.

Để giải phương trình, bạn cần đảm bảo rằng “x” có hệ số là “1”.

Chúng ta hãy tự hỏi mình câu hỏi: “Chúng ta nên chia số 4 cho bao nhiêu để có
nhận được "1"? Câu trả lời rất rõ ràng, bạn cần chia cho “4”.

Chúng ta sử dụng quy tắc chia và chia vế trái và vế phải của phương trình cho “4”. Đừng quên rằng bạn cần chia cả phần bên trái và bên phải.

Hãy sử dụng phép giảm phân số và giải phương trình tuyến tính đến cùng.

Cách giải phương trình nếu "x" âm

Thông thường trong các phương trình có trường hợp “x” có hệ số âm. Giống như trong phương trình dưới đây.

Để giải phương trình như vậy, chúng ta lại tự đặt câu hỏi: “Chúng ta cần chia “−2” cho bao nhiêu để được “1”? Bạn cần chia cho “−2”.

Phương trình tuyến tính. Cấp độ đầu vào.

Bạn có muốn kiểm tra sức mạnh của mình và tìm hiểu kết quả xem bạn đã sẵn sàng như thế nào cho Kỳ thi Thống nhất hoặc Kỳ thi Thống nhất?

1. Phương trình tuyến tính

Đây là một phương trình đại số trong đó tổng bậc của các đa thức thành phần của nó bằng nhau.

2. Phương trình tuyến tính một biến có dạng:

Ở đâu và có bất kỳ số nào;

3. Phương trình tuyến tính hai biến có dạng:

Ở đâu và – bất kỳ số nào.

4. Chuyển đổi nhận dạng

Để xác định xem một phương trình có tuyến tính hay không, cần thực hiện các phép biến đổi giống nhau:

di chuyển các thuật ngữ tương tự sang trái/phải, không quên đổi dấu;

nhân/chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số.

"phương trình tuyến tính" là gì?

hoặc bằng miệng - ba người bạn được tặng táo dựa trên số táo mà Vasya có trong kho.

Và bây giờ bạn đã quyết định phương trình tuyến tính
Bây giờ hãy đưa ra thuật ngữ này một định nghĩa toán học.

phương trình tuyến tính – là một phương trình đại số có tổng bậc của các đa thức thành phần của nó bằng. Nó trông như thế này:

Ở đâu và có bất kỳ số nào và

Đối với trường hợp của chúng tôi với Vasya và táo, chúng tôi sẽ viết:

- “nếu Vasya đưa số táo như nhau cho cả ba người bạn thì anh ta sẽ không còn quả táo nào”

Các phương trình tuyến tính “ẩn” hay tầm quan trọng của phép biến đổi nhận dạng

Mặc dù thực tế là thoạt nhìn mọi thứ cực kỳ đơn giản, nhưng khi giải phương trình, bạn cần phải cẩn thận, bởi vì phương trình tuyến tính không chỉ được gọi là phương trình loại này mà còn bất kỳ phương trình nào có thể được rút gọn thành loại này bằng các phép biến đổi và đơn giản hóa. Ví dụ:

Chúng ta thấy những gì ở bên phải, về mặt lý thuyết, đã chỉ ra rằng phương trình không tuyến tính. Hơn nữa, nếu chúng ta mở ngoặc, chúng ta sẽ nhận được thêm hai thuật ngữ nữa, trong đó nó sẽ là, nhưng đừng vội kết luận! Trước khi đánh giá liệu một phương trình có tuyến tính hay không, cần phải thực hiện tất cả các phép biến đổi và do đó đơn giản hóa ví dụ ban đầu. Trong trường hợp này, các phép biến đổi có thể thay đổi hình thức nhưng không thay đổi bản chất của phương trình.

Nói cách khác, dữ liệu chuyển đổi phải được giống hệt nhau hoặc tương đương. Chỉ có hai phép biến đổi như vậy, nhưng chúng đóng vai trò RẤT quan trọng trong việc giải quyết vấn đề. Chúng ta hãy xem xét cả hai phép biến đổi bằng các ví dụ cụ thể.

Chuyển trái - phải.

Giả sử chúng ta cần giải phương trình sau:

Ngay cả ở trường tiểu học, chúng tôi đã được dạy: “có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải”. Biểu thức nào có dấu X ở bên phải? Đúng vậy, nhưng không phải thế nào cũng được. Và điều này rất quan trọng, bởi vì nếu câu hỏi tưởng chừng đơn giản này bị hiểu sai, câu trả lời sai sẽ xuất hiện. Biểu thức nào có dấu X ở bên trái? Phải, .

Bây giờ chúng ta đã tìm ra điều này, chúng ta di chuyển tất cả các thuật ngữ chưa biết sang bên trái và mọi thứ đã biết ở bên phải, hãy nhớ rằng nếu không có dấu ở phía trước số, thì số đó là dương , tức là phía trước nó có một tấm biển “ "

Đã chuyển? Bạn đã nhận được gì?

Tất cả những gì còn lại phải làm là đưa ra những điều khoản tương tự. Chúng tôi trình bày:

Vì vậy, chúng tôi đã phân tích thành công phép biến đổi giống hệt đầu tiên, mặc dù tôi chắc chắn rằng bạn biết nó và tích cực sử dụng nó mà không cần tôi. Điều chính là không quên các dấu của số và thay đổi chúng thành các số ngược lại khi chuyển qua dấu bằng!

Nhân-chia.

Hãy bắt đầu ngay với một ví dụ

Hãy cùng xem và suy nghĩ: chúng ta không thích điều gì ở ví dụ này? Cái chưa biết nằm trong một phần, cái đã biết nằm trong phần khác, nhưng có điều gì đó đang ngăn cản chúng ta... Và cái gì đó này là số bốn, bởi vì nếu không có nó thì mọi thứ sẽ hoàn hảo - x bằng một con số - chính xác như chúng ta cần!

Làm thế nào bạn có thể thoát khỏi nó? Chúng ta không thể di chuyển nó sang bên phải, vì khi đó chúng ta cần di chuyển toàn bộ số nhân (chúng ta không thể lấy nó ra và xé nó ra), và việc di chuyển toàn bộ số nhân cũng không có ý nghĩa gì...

Đã đến lúc nhớ về phép chia, vì vậy hãy chia mọi thứ cho! Mọi thứ – điều này có nghĩa là cả bên trái và bên phải. Bằng cách này và chỉ bằng cách này! Chúng ta đang làm gì vậy?

Bây giờ chúng ta hãy xem một ví dụ khác:

Bạn có đoán được cần phải làm gì trong trường hợp này không? Đúng rồi, nhân bên trái và bên phải với! Bạn đã nhận được câu trả lời gì? Phải. .

Chắc chắn bạn đã biết mọi thứ về chuyển đổi danh tính. Hãy xem xét rằng chúng tôi chỉ đơn giản là làm mới kiến ​​​​thức này trong trí nhớ của bạn và đã đến lúc làm điều gì đó khác - Ví dụ: để giải ví dụ lớn của chúng tôi:

Như chúng tôi đã nói trước đó, nhìn vào nó, bạn không thể nói rằng phương trình này là tuyến tính, nhưng chúng ta cần mở dấu ngoặc và thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau. Vì vậy, hãy bắt đầu!

Để bắt đầu, chúng ta nhớ lại các công thức nhân rút gọn, đặc biệt là bình phương của tổng và bình phương của hiệu. Nếu bạn không nhớ nó là gì và cách mở dấu ngoặc đơn, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc chủ đề “Công thức nhân viết tắt”, vì những kỹ năng này sẽ hữu ích cho bạn khi giải hầu hết các ví dụ gặp phải trong kỳ thi.
Tiết lộ? Hãy so sánh:

Bây giờ là lúc đưa ra những điều khoản tương tự. Bạn có nhớ hồi lớp tiểu học đó người ta đã nói với chúng ta rằng “đừng để ruồi và thịt cốt lết cạnh nhau” không? Ở đây tôi nhắc nhở bạn điều này. Chúng tôi thêm mọi thứ một cách riêng biệt - các yếu tố có, các yếu tố có và các yếu tố còn lại không có ẩn số. Khi bạn đưa ra các thuật ngữ tương tự, hãy chuyển tất cả những điều chưa biết sang trái và tất cả những gì đã biết sang bên phải. Bạn đã nhận được gì?

Như bạn có thể thấy, dấu X trong hình vuông đã biến mất và chúng ta thấy điều gì đó hoàn toàn bình thường. phương trình tuyến tính. Tất cả những gì còn lại là tìm thấy nó!

Và cuối cùng, tôi sẽ nói một điều rất quan trọng nữa về các phép biến đổi đồng nhất - các phép biến đổi đồng nhất không chỉ áp dụng được cho các phương trình tuyến tính mà còn cho các phương trình bậc hai, phân số và các phương trình khác. Bạn chỉ cần nhớ rằng khi chuyển thừa số qua dấu bằng, chúng ta đổi dấu sang dấu ngược lại, còn khi chia hoặc nhân cho một số nào đó, chúng ta nhân/chia cả hai vế của phương trình cho CÙNG một số.

Bạn còn rút ra được điều gì khác từ ví dụ này? Rằng bằng cách nhìn vào một phương trình, không phải lúc nào cũng có thể xác định trực tiếp và chính xác liệu nó có tuyến tính hay không. Trước tiên, cần phải đơn giản hóa hoàn toàn biểu thức và chỉ sau đó mới đánh giá nó là gì.

Phương trình tuyến tính. Ví dụ.

Dưới đây là một số ví dụ khác để bạn tự thực hành - xác định xem phương trình có tuyến tính hay không và nếu có, hãy tìm nghiệm của nó:

Câu trả lời:

1. Là.

2. Không phải vậy.

Hãy mở ngoặc và trình bày các thuật ngữ tương tự:

Hãy thực hiện một phép biến đổi giống hệt nhau - chia bên trái và bên phải thành:

Chúng ta thấy rằng phương trình không tuyến tính nên không cần phải tìm nghiệm của nó.

3. Là.

Hãy thực hiện một phép biến đổi giống hệt nhau - nhân vế trái và vế phải để loại bỏ mẫu số.

Hãy suy nghĩ xem tại sao nó lại quan trọng đến thế? Nếu bạn biết câu trả lời cho câu hỏi này, hãy chuyển sang giải phương trình sâu hơn; nếu không, hãy nhớ xem chủ đề “ODZ” để không mắc lỗi trong các ví dụ phức tạp hơn. Nhân tiện, như bạn có thể thấy, tình huống này là không thể. Tại sao?
Vì vậy, hãy tiếp tục và sắp xếp lại phương trình:

Nếu bạn quản lý mọi thứ mà không gặp khó khăn gì, hãy nói về phương trình tuyến tính với hai biến.

Phương trình tuyến tính hai biến

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phức tạp hơn một chút - phương trình tuyến tính với hai biến.

Phương trình tuyến tính với hai biến có dạng:

Ở đâu, và – bất kỳ số và.

Như bạn có thể thấy, sự khác biệt duy nhất là một biến khác được thêm vào phương trình. Và vì vậy mọi thứ đều giống nhau - không có x bình phương, không có phép chia cho một biến, v.v. vân vân.

Tôi có thể cho bạn loại ví dụ cuộc sống nào? Hãy lấy Vasya tương tự. Giả sử anh ấy quyết định sẽ cho mỗi người trong số 3 người bạn số táo như nhau và giữ số táo đó cho riêng mình. Vasya cần mua bao nhiêu quả táo nếu anh ấy đưa cho mỗi người bạn một quả táo? Thế còn? Nếu bằng thì sao?

Mối quan hệ giữa số táo mà mỗi người sẽ nhận được và tổng số táo cần mua sẽ được biểu thị bằng phương trình:

• – số lượng táo mà một người sẽ nhận được (, hoặc, hoặc);
• – số táo mà Vasya sẽ lấy cho mình;
• – Vasya cần mua bao nhiêu quả táo, có tính đến số táo mỗi người?

Giải quyết vấn đề này, chúng ta hiểu rằng nếu Vasya tặng một người bạn một quả táo, thì anh ta cần phải mua từng miếng, nếu anh ta đưa táo, v.v.

Và nói chung. Chúng tôi có hai biến. Tại sao không vẽ mối quan hệ này trên biểu đồ? Chúng tôi xây dựng và đánh dấu giá trị của chúng tôi, nghĩa là các điểm, bằng tọa độ và!

Như bạn có thể thấy, chúng phụ thuộc vào nhau tuyến tính, do đó có tên của phương trình – “ tuyến tính».

Hãy trừu tượng từ những quả táo và xem xét các phương trình khác nhau bằng đồ họa. Hãy xem xét kỹ hai đồ thị được xây dựng - một đường thẳng và một parabol, được xác định bởi các hàm tùy ý:

Tìm và đánh dấu các điểm tương ứng trong cả hai bức tranh.
Bạn đã nhận được gì?

Bạn thấy điều đó trên đồ thị của hàm số đầu tiên một mình tương ứng một, tức là chúng cũng phụ thuộc tuyến tính vào nhau, điều này không thể nói được về hàm số thứ hai. Tất nhiên, bạn có thể lập luận rằng trong biểu đồ thứ hai, x - cũng tương ứng, nhưng đây chỉ là một điểm, tức là một trường hợp đặc biệt, vì bạn vẫn có thể tìm thấy một điểm tương ứng với nhiều hơn một điểm. Và đồ thị được xây dựng không giống một đường thẳng nào cả mà là một parabol.

Tôi nhắc lại, một lần nữa: đồ thị của phương trình tuyến tính phải là đường thẳng.

Với thực tế là phương trình sẽ không tuyến tính nếu chúng ta đi đến bất kỳ mức độ nào - điều này rõ ràng khi sử dụng ví dụ về parabol, mặc dù bạn có thể xây dựng một vài biểu đồ đơn giản hơn cho chính mình, chẳng hạn như hoặc. Nhưng tôi đảm bảo với bạn - không có đường nào trong số đó là ĐƯỜNG THẲNG.

Không tin tôi? Xây dựng nó và sau đó so sánh nó với những gì tôi nhận được:

Điều gì xảy ra nếu chúng ta chia một cái gì đó cho một số chẳng hạn? Sẽ có một mối quan hệ tuyến tính và? Chúng ta đừng tranh cãi mà hãy xây dựng! Ví dụ: hãy xây dựng biểu đồ của hàm.

Bằng cách nào đó, nó trông không giống như một đường thẳng... do đó, phương trình không phải là tuyến tính.
Hãy tóm tắt:

1. Phương trình tuyến tính - là một phương trình đại số trong đó tổng bậc của các đa thức thành phần của nó bằng nhau.
2. phương trình tuyến tính với một biến có dạng:
   , ở đâu và có bất kỳ số nào;
   phương trình tuyến tính với hai biến:
   , ở đâu và là bất kỳ số nào.
3. Không phải lúc nào cũng có thể xác định ngay được liệu một phương trình có tuyến tính hay không. Đôi khi, để hiểu điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, di chuyển các số hạng tương tự sang trái/phải, không quên đổi dấu hoặc nhân/chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số.

Bình luận

Được phép phân phối tài liệu mà không cần sự chấp thuận nếu có liên kết dofollow tới trang nguồn.

Chính sách bảo mật

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

4. Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

5. Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
6. Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
7. Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
8. Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

9. Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
10. Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Cảm ơn vì tin nhắn!

Nhận xét của bạn đã được chấp nhận và sau khi kiểm duyệt, nó sẽ được xuất bản trên trang này.

Bạn có muốn tìm hiểu những gì ẩn giấu dưới vết cắt và nhận tài liệu độc quyền về việc chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất không? Để lại email của bạn

Phương trình là một đẳng thức chứa một chữ cái cần tìm được dấu. Lời giải của một phương trình là tập hợp các giá trị chữ cái biến phương trình thành một đẳng thức thực sự:

Nhắc lại để giải quyết phương trình bạn cần chuyển các số hạng chưa biết sang một phần của đẳng thức và các số hạng sang phần còn lại, mang các số hạng tương tự và có được đẳng thức sau:

Từ đẳng thức cuối cùng, chúng ta xác định ẩn số theo quy tắc: “một trong các thừa số bằng thương chia cho thừa số thứ hai”.

Vì các số hữu tỉ a và b có thể có cùng dấu hoặc khác nhau nên dấu của ẩn số được xác định bằng quy tắc chia các số hữu tỉ.

Quy trình giải phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính phải được đơn giản hóa bằng cách mở dấu ngoặc và thực hiện các phép tính ở bước thứ hai (nhân và chia).

Di chuyển các ẩn số sang một bên của dấu bằng và các số sang phía bên kia của dấu bằng, thu được đẳng thức giống với giá trị đã cho,

Đưa những cái tương tự về bên trái và bên phải của dấu bằng, thu được sự đẳng thức về dạng rìu = b.

Tính nghiệm của phương trình (tìm ẩn số X từ sự bình đẳng x = b : Một),

Kiểm tra bằng cách thay số chưa biết vào phương trình đã cho.

Nếu chúng ta thu được đẳng thức trong một đẳng thức số thì phương trình được giải đúng.

Các trường hợp đặc biệt của việc giải phương trình

1. Nếu như phương trình cho một tích bằng 0, thì để giải nó, chúng ta sử dụng tính chất nhân: “tích bằng 0 nếu một trong các thừa số hoặc cả hai thừa số đều bằng 0”.

27 (x - 3) = 0
27 không bằng 0, nghĩa là x - 3 = 0

Ví dụ thứ hai có hai nghiệm của phương trình, vì
đây là phương trình bậc hai:

Nếu các hệ số của phương trình là phân số thông thường thì trước hết bạn cần loại bỏ mẫu số. Để làm điều này:

Tìm mẫu số chung;

Xác định các thừa số bổ sung cho từng số hạng của phương trình;

Nhân tử số của phân số và số nguyên với thừa số bổ sung và viết tất cả các số hạng của phương trình không có mẫu số (có thể bỏ mẫu số chung);

Di chuyển các số hạng chưa biết sang một bên của phương trình và các số hạng sang bên kia từ dấu bằng, thu được đẳng thức tương đương;

Mang theo các thành viên tương tự;

Các tính chất cơ bản của phương trình

Trong bất kỳ phần nào của phương trình, bạn có thể thêm các số hạng tương tự hoặc mở dấu ngoặc đơn.

Bất kỳ số hạng nào của phương trình đều có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của phương trình bằng cách đổi dấu của nó sang phần ngược lại.

Cả hai vế của phương trình có thể được nhân (chia) cho cùng một số, ngoại trừ 0.

Trong ví dụ trên, tất cả các thuộc tính của nó đã được sử dụng để giải phương trình.

Phương trình tuyến tính. Giải phương trình tuyến tính. Quy tắc chuyển một thuật ngữ.

Quy tắc chuyển một thuật ngữ.

Khi giải và biến đổi phương trình, người ta thường phải chuyển một số hạng sang vế bên kia của phương trình. Lưu ý rằng một thuật ngữ có thể có dấu cộng hoặc dấu trừ. Theo quy tắc, khi chuyển một số hạng sang phần khác của phương trình, bạn cần đổi dấu sang ngược lại. Ngoài ra, quy tắc này còn có tác dụng đối với sự bất bình đẳng.

Ví dụ thời hạn thực hiện:

Đầu tiên chúng tôi chuyển 5x

Lưu ý rằng dấu "+" đã đổi thành "-" và dấu "-" thành "+". Trong trường hợp này, việc thuật ngữ được truyền là số, biến hay biểu thức không quan trọng.

Chúng ta di chuyển số hạng thứ nhất sang vế phải của phương trình. Chúng tôi nhận được:

Xin lưu ý rằng trong ví dụ của chúng tôi thuật ngữ này là biểu thức (−3x 2 (2+7x)). Vì vậy, nó không thể được chuyển giao riêng lẻ (−3x2) Và (2+7x), vì đây là các thành phần của triệu hồi. Đó là lý do tại sao họ không thể chịu đựng được (−3x 2 ⋅ 2) Và (7x). Tuy nhiên, chúng ta có thể mở ngoặc và nhận được 2 số hạng: (−3x‑⋅ 2) Và (−3×2⋅ 7x). 2 thuật ngữ này có thể được thực hiện riêng biệt với nhau.

Bất đẳng thức được biến đổi theo cách tương tự:

Chúng tôi thu thập từng số ở một bên. Chúng tôi nhận được:

Theo định nghĩa, 2 vế của phương trình giống nhau, vì vậy chúng ta có thể trừ các biểu thức giống nhau từ cả hai vế của phương trình và đẳng thức sẽ vẫn đúng. Bạn cần trừ một biểu thức mà cuối cùng cần được chuyển sang phía bên kia. Sau đó, ở một bên của dấu “=”, nó sẽ co lại như cũ. Và ở phía bên kia của đẳng thức, biểu thức mà chúng ta trừ sẽ xuất hiện với dấu “-”.

Quy tắc này thường được sử dụng để giải các phương trình tuyến tính. Các phương pháp khác được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính.

Nguyên tắc cơ bản của đại số/Quy tắc chuyển đổi

Hãy chuyển số hạng đầu tiên sang vế phải của phương trình. Chúng tôi nhận được:

Hãy di chuyển tất cả các số sang một bên. Kết quả là chúng ta có:

Ví dụ minh họa chứng minh Chỉnh sửa

Đối với phương trình Chỉnh sửa

Giả sử chúng ta muốn di chuyển tất cả các chữ X từ bên trái của phương trình sang bên phải. Trừ 5 x từ cả hai vế

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem vế trái và vế phải của phương trình có giống nhau hay không. Hãy thay thế biến chưa biết bằng kết quả thu được:

Bây giờ chúng ta có thể trình bày các thuật ngữ tương tự:

Hãy di chuyển 5 trước x từ vế trái sang phải của phương trình:

Bây giờ hãy di chuyển số (−6) từ bên phải sang bên trái:

Lưu ý rằng dấu cộng đã đổi thành dấu trừ và dấu trừ đã đổi thành dấu cộng. Hơn nữa, việc thuật ngữ được truyền là số, biến hay toàn bộ biểu thức không quan trọng.

Hai vế của một phương trình bằng nhau theo định nghĩa, vì vậy bạn có thể trừ cùng một biểu thức từ cả hai vế của phương trình và đẳng thức vẫn đúng. Ở một bên của dấu bằng, nó sẽ co lại với những gì nó vốn có. Ở vế bên kia của phương trình, biểu thức chúng ta trừ sẽ xuất hiện với dấu trừ.

Quy tắc của phương trình đã được chứng minh.

Đối với sự bất bình đẳng Chỉnh sửa

Do đó, 4 là nghiệm của phương trình 5x+2=7x-6. Vì danh tính đã được chứng minh cho anh ta, nên theo định nghĩa, các bất đẳng thức cũng vậy.

Giải phương trình, quy tắc chuyển số hạng

Mục đích của bài học

Mục tiêu giáo dục của bài học:

- Biết vận dụng quy tắc chuyển số hạng khi giải phương trình;

Mục tiêu phát triển của bài học:

- phát triển các hoạt động độc lập của học sinh;

- phát triển lời nói (đưa ra câu trả lời đầy đủ bằng ngôn ngữ toán học, chữ viết);

Mục tiêu giáo dục của bài học:

- Phát triển khả năng ghi chép vào vở và bảng một cách chính xác;

?Thiết bị:

11. đa phương tiện
12. Bảng trắng tương tác

Xem nội dung tài liệu
"Bài Giải phương trình lớp 6"

BÀI TOÁN LỚP 6

Giáo viên: Timofeeva M. A.

Mục đích của bài học: học quy tắc chuyển số hạng từ vế này sang vế khác của phương trình.

Mục tiêu giáo dục của bài học:

Biết vận dụng quy tắc chuyển số hạng khi giải phương trình;

Mục tiêu phát triển của bài học:

phát triển hoạt động độc lập của học sinh;

phát triển lời nói (đưa ra câu trả lời đầy đủ bằng ngôn ngữ toán học, chữ viết);

Mục tiêu giáo dục của bài học:

phát triển khả năng ghi chép vào vở và bảng một cách chính xác;

Các giai đoạn chính của bài học

1. Thời điểm tổ chức, truyền đạt mục đích của bài học và hình thức làm việc

"Nếu bạn muốn học bơi,

rồi mạnh dạn xuống nước,

và nếu bạn muốn học cách giải phương trình,

2. Hôm nay chúng ta bắt đầu học chuyên đề: “Giải phương trình” (Slide 1)

Nhưng bạn đã học được cách giải phương trình! Sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu những gì?

- Những cách mới để giải phương trình.

3. Cùng ôn lại nội dung đã học (Bài tập miệng) (Slide 2)

3). 7m + 8n – 5m – 3n

4). – 6a + 12 b – 5a – 12b

5). 9x – 0,6y – 14x + 1,2y

Phương trình đã đến
mang theo rất nhiều bí mật

Những biểu thức nào là phương trình?(Trang trình bày 3)

4. Phương trình được gọi là gì?

Phương trình là một đẳng thức chứa một số chưa biết. (Trang trình bày 4)

Việc giải một phương trình có ý nghĩa gì?

Giải phương trình- có nghĩa là tìm ra cội nguồn của nó hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại.

Hãy giải các phương trình bằng miệng. (Trang trình bày 5)

Ta dùng quy tắc nào để giải?

- Tìm yếu tố chưa biết.

Hãy viết một số phương trình vào vở và giải chúng bằng cách sử dụng các quy tắc tìm số hạng chưa biết và số trừ: (Trang trình bày 7)

Làm thế nào để giải một phương trình như vậy?

x + 5 = - 2x - 7 (Trang 8)

Chúng ta không thể đơn giản hóa, vì các số hạng tương tự nằm ở các phần khác nhau của phương trình, do đó cần phải di chuyển chúng.

Màu sắc đang cháy rực tuyệt vời,
Và cho dù cái đầu có khôn ngoan đến đâu,
Bạn có còn tin vào truyện cổ tích không?
Chuyện cổ tích luôn luôn đúng.

Ngày xửa ngày xưa, có hai vị vua: một vị vua da đen và một vị vua da trắng. Vua Đen sống ở Vương quốc Đen ở hữu ngạn sông và Vua Trắng sống ở Vương quốc Trắng ở bờ trái. Một dòng sông đầy giông bão và nguy hiểm chảy giữa các vương quốc. Không thể vượt qua con sông này bằng cách bơi lội hoặc bằng thuyền. Chúng tôi cần một cây cầu! Việc xây dựng cây cầu mất rất nhiều thời gian và cuối cùng cây cầu cũng được xây dựng. Mọi người sẽ vui vẻ và giao tiếp với nhau, nhưng vấn đề ở đây: Vua Trắng không thích màu đen, tất cả cư dân trong vương quốc của ông đều mặc quần áo sáng màu, còn Vua đen không thích màu trắng và cư dân của vương quốc của ông mặc quần áo tối màu. Nếu ai đó từ Vương quốc Đen chuyển đến Vương quốc Trắng, anh ta ngay lập tức không có thiện cảm với Vua Trắng, và nếu ai đó từ Vương quốc Trắng chuyển đến Vương quốc Đen, anh ta ngay lập tức không có thiện cảm với Vua Đen. Cư dân của các vương quốc phải nghĩ ra điều gì đó để không chọc giận vua của họ. Bạn nghĩ họ đã nghĩ ra điều gì?

Bài học này thảo luận chi tiết về thủ tục thực hiện các phép tính số học trong các biểu thức không có dấu ngoặc đơn và có dấu ngoặc đơn. Trong khi hoàn thành bài tập, học sinh có cơ hội xác định xem ý nghĩa của các biểu thức có phụ thuộc vào thứ tự thực hiện các phép tính số học hay không, tìm hiểu xem thứ tự của các phép tính số học trong các biểu thức không có dấu ngoặc đơn và có dấu ngoặc đơn có khác nhau hay không, để thực hành áp dụng quy tắc đã học, tìm và sửa các lỗi mắc phải khi xác định thứ tự các hành động.

Trong cuộc sống, chúng ta liên tục thực hiện một số hành động: đi bộ, học tập, đọc, viết, đếm, mỉm cười, cãi vã và làm hòa. Chúng tôi thực hiện những hành động này theo các thứ tự khác nhau. Đôi khi chúng có thể được hoán đổi, đôi khi không. Ví dụ, khi chuẩn bị đi học vào buổi sáng, trước tiên bạn có thể tập thể dục, sau đó dọn giường hoặc ngược lại. Nhưng bạn không thể đến trường trước rồi mặc quần áo vào.

Trong toán học, có nhất thiết phải thực hiện các phép tính số học theo một thứ tự nhất định không?

Hãy kiểm tra

Hãy so sánh các biểu thức:
8-3+4 và 8-3+4

Chúng tôi thấy rằng cả hai biểu thức đều giống hệt nhau.

Hãy thực hiện các hành động trong một biểu thức từ trái sang phải và biểu thức còn lại từ phải sang trái. Bạn có thể sử dụng các con số để biểu thị thứ tự hành động (Hình 1).

Cơm. 1. Thủ tục

Trong biểu thức đầu tiên, trước tiên chúng ta sẽ thực hiện phép trừ rồi cộng số 4 vào kết quả.

Trong biểu thức thứ hai, trước tiên chúng ta tìm giá trị của tổng, sau đó trừ kết quả thu được 7 từ 8.

Chúng ta thấy rằng ý nghĩa của các biểu thức là khác nhau.

Hãy kết luận: Thứ tự thực hiện các phép tính số học không thể thay đổi.

Hãy cùng tìm hiểu quy tắc thực hiện các phép tính số học trong biểu thức không có dấu ngoặc đơn.

Nếu một biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ bao gồm phép cộng và phép trừ hoặc chỉ nhân và chia thì các hành động được thực hiện theo thứ tự chúng được viết.

Hãy luyện tập.

Hãy xem xét biểu thức

Biểu thức này chỉ chứa các phép tính cộng và trừ. Những hành động này được gọi hành động giai đoạn đầu.

Chúng ta thực hiện các thao tác từ trái sang phải theo thứ tự (Hình 2).



Cơm. 2. Thủ tục

Hãy xem xét biểu thức thứ hai

Biểu thức này chỉ chứa các phép tính nhân và chia - Đây là những hành động của giai đoạn thứ hai.

Chúng ta thực hiện các thao tác theo thứ tự từ trái sang phải (Hình 3).



Cơm. 3. Thủ tục

Các phép tính số học được thực hiện theo thứ tự nào nếu biểu thức không chỉ chứa phép cộng và phép trừ mà còn cả phép nhân và phép chia?

Nếu một biểu thức không có dấu ngoặc đơn không chỉ bao gồm các phép tính cộng và trừ mà còn bao gồm phép nhân và chia hoặc cả hai phép toán này, thì trước tiên hãy thực hiện theo thứ tự (từ trái sang phải) phép nhân và chia, sau đó là phép cộng và phép trừ.

Chúng ta hãy nhìn vào biểu thức.

Chúng ta hãy suy nghĩ như thế này. Biểu thức này chứa các phép tính cộng và trừ, nhân và chia. Chúng tôi hành động theo quy tắc. Đầu tiên, chúng ta thực hiện theo thứ tự (từ trái sang phải) phép nhân và chia, sau đó là phép cộng và phép trừ. Hãy sắp xếp thứ tự các hành động.

Hãy tính giá trị của biểu thức.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Các phép tính số học được thực hiện theo thứ tự nào nếu có dấu ngoặc đơn trong biểu thức?

Nếu một biểu thức chứa dấu ngoặc đơn thì giá trị của biểu thức trong dấu ngoặc đơn sẽ được đánh giá trước tiên.

Chúng ta hãy nhìn vào biểu thức.

30 + 6 * (13 - 9)

Chúng ta thấy rằng trong biểu thức này có một hành động trong ngoặc đơn, nghĩa là chúng ta sẽ thực hiện hành động này trước, sau đó mới thực hiện phép nhân và phép cộng theo thứ tự. Hãy sắp xếp thứ tự các hành động.

30 + 6 * (13 - 9)

Hãy tính giá trị của biểu thức.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Người ta nên lập luận như thế nào để thiết lập chính xác thứ tự của các phép tính số học trong một biểu thức số?

Trước khi bắt đầu tính toán, bạn cần xem biểu thức (tìm hiểu xem nó có chứa dấu ngoặc đơn hay không, nó chứa hành động gì) và chỉ sau đó thực hiện các hành động theo thứ tự sau:

1. hành động được viết trong ngoặc;

2. nhân và chia;

3. phép cộng và phép trừ.

Sơ đồ sẽ giúp bạn ghi nhớ quy tắc đơn giản này (Hình 4).



Cơm. 4. Thủ tục

Hãy luyện tập.

Hãy xem xét các biểu thức, thiết lập thứ tự các hành động và thực hiện các phép tính.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Chúng tôi sẽ hành động theo quy định. Biểu thức 43 - (20 - 7) +15 chứa các phép toán trong ngoặc đơn, cũng như các phép tính cộng và trừ. Hãy thiết lập một thủ tục. Hành động đầu tiên là thực hiện thao tác trong ngoặc đơn, sau đó thực hiện phép trừ và phép cộng theo thứ tự từ trái sang phải.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Biểu thức 32 + 9 * (19 - 16) chứa các phép toán trong ngoặc đơn, cũng như các phép tính nhân và cộng. Theo quy tắc, trước tiên chúng ta thực hiện hành động trong ngoặc đơn, sau đó là phép nhân (chúng ta nhân số 9 với kết quả thu được bằng phép trừ) và phép cộng.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Trong biểu thức 2*9-18:3 không có dấu ngoặc đơn nhưng có các phép tính nhân, chia và trừ. Chúng tôi hành động theo quy tắc. Đầu tiên, chúng ta thực hiện phép nhân và chia từ trái sang phải, sau đó trừ kết quả thu được của phép chia khỏi kết quả thu được của phép nhân. Nghĩa là, hành động đầu tiên là phép nhân, hành động thứ hai là phép chia và hành động thứ ba là phép trừ.

2*9-18:3=18-6=12

Hãy cùng tìm hiểu xem thứ tự các hành động trong các biểu thức sau có được xác định chính xác hay không.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Chúng ta hãy suy nghĩ như thế này.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Không có dấu ngoặc đơn trong biểu thức này, có nghĩa là trước tiên chúng ta thực hiện phép nhân hoặc chia từ trái sang phải, sau đó là phép cộng hoặc phép trừ. Trong biểu thức này, hành động đầu tiên là chia, hành động thứ hai là nhân. Hành động thứ ba là phép cộng, hành động thứ tư là phép trừ. Kết luận: quy trình được xác định chính xác.

Hãy tìm giá trị của biểu thức này.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Hãy tiếp tục nói chuyện.

Biểu thức thứ hai chứa dấu ngoặc đơn, có nghĩa là trước tiên chúng ta thực hiện hành động trong dấu ngoặc đơn, sau đó thực hiện phép nhân hoặc chia từ trái sang phải, phép cộng hoặc phép trừ. Chúng tôi kiểm tra: hành động đầu tiên nằm trong ngoặc đơn, hành động thứ hai là phép chia, hành động thứ ba là phép cộng. Kết luận: thủ tục được xác định không chính xác. Hãy sửa lỗi và tìm giá trị của biểu thức.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Biểu thức này cũng chứa dấu ngoặc đơn, có nghĩa là trước tiên chúng ta thực hiện hành động trong dấu ngoặc đơn, sau đó từ trái sang phải nhân hoặc chia, cộng hoặc trừ. Hãy kiểm tra: hành động đầu tiên nằm trong ngoặc đơn, hành động thứ hai là phép nhân, hành động thứ ba là phép trừ. Kết luận: thủ tục được xác định không chính xác. Hãy sửa lỗi và tìm giá trị của biểu thức.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Hãy hoàn thành nhiệm vụ.

Hãy sắp xếp thứ tự các hành động trong biểu thức bằng quy tắc đã học (Hình 5).



Cơm. 5. Thủ tục

Chúng ta không nhìn thấy các giá trị bằng số nên sẽ không thể tìm ra ý nghĩa của các biểu thức nhưng chúng ta sẽ thực hành áp dụng quy tắc đã học.

Chúng tôi hành động theo thuật toán.

Biểu thức đầu tiên chứa dấu ngoặc đơn, có nghĩa là hành động đầu tiên nằm trong dấu ngoặc đơn. Sau đó từ trái sang phải nhân và chia, rồi từ trái sang phải trừ và cộng.

Biểu thức thứ hai cũng chứa dấu ngoặc đơn, nghĩa là chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trong dấu ngoặc đơn. Sau đó, từ trái sang phải, nhân và chia, sau đó là phép trừ.

Hãy tự kiểm tra (Hình 6).



Cơm. 6. Thủ tục

Hôm nay trong lớp chúng ta đã học về quy tắc sắp xếp thứ tự các hành động trong các biểu thức không có và có dấu ngoặc.

Tài liệu tham khảo

1. M.I. Moreau, MA Bantova và những người khác Toán học: Sách giáo khoa. Lớp 3: gồm 2 phần, phần 1. - M.: “Khai sáng”, 2012.
2. M.I. Moreau, MA Bantova và những người khác Toán học: Sách giáo khoa. Lớp 3: gồm 2 phần, phần 2. - M.: “Khai sáng”, 2012.
3. M.I. Moro. Bài học toán: Khuyến nghị về phương pháp cho giáo viên. lớp 3. - M.: Giáo dục, 2012.
4. Văn bản quy định. Giám sát và đánh giá kết quả học tập. - M.: “Khai sáng”, 2011.
5. “Trường học Nga”: Các chương trình dành cho bậc tiểu học. - M.: “Khai sáng”, 2011.
6. S.I. Volkova. Toán: Bài kiểm tra. lớp 3. - M.: Giáo dục, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Kiểm tra. - M.: “Bài thi”, 2012.
1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

bài tập về nhà

1. Xác định thứ tự các hành động trong các biểu thức này. Tìm ý nghĩa của các biểu thức.

2. Xác định biểu thức nào mà thứ tự hành động này được thực hiện:

1. phép nhân; 2. chia;. 3. bổ sung; 4. phép trừ; 5. bổ sung. Tìm ý nghĩa của biểu thức này.

3. Tạo ba biểu thức trong đó thực hiện thứ tự hành động sau:

1. phép nhân; 2. bổ sung; 3. phép trừ

1. bổ sung; 2. phép trừ; 3. phép cộng

1. phép nhân; 2. phân chia; 3. phép cộng

Tìm ý nghĩa của các biểu thức này.

Phương trình là một trong những chủ đề khó nắm vững nhất nhưng chúng cũng là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết hầu hết các vấn đề.

Sử dụng các phương trình, các quá trình khác nhau xảy ra trong tự nhiên được mô tả. Phương trình được sử dụng rộng rãi trong các ngành khoa học khác: kinh tế, vật lý, sinh học và hóa học.

Trong bài học này, chúng ta sẽ cố gắng hiểu bản chất của các phương trình đơn giản nhất, học cách biểu diễn các ẩn số và giải một số phương trình. Khi bạn học những tài liệu mới, các phương trình sẽ trở nên phức tạp hơn, vì vậy việc hiểu những kiến ​​thức cơ bản là rất quan trọng.

Kỹ năng sơ bộ Nội dung bài học

Phương trình là gì?

Phương trình là một đẳng thức chứa một biến có giá trị mà bạn muốn tìm. Giá trị này phải sao cho khi thay vào phương trình ban đầu sẽ thu được đẳng thức số chính xác.

Ví dụ: biểu thức 2 + 2 = 4 là một đẳng thức. Khi tính vế trái, đẳng thức số đúng thu được là 4 = 4.

Nhưng đẳng thức là 2 + x= 4 là một phương trình vì nó chứa một biến x, giá trị của nó có thể được tìm thấy. Giá trị phải sao cho khi thay giá trị này vào phương trình ban đầu sẽ thu được đẳng thức số chính xác.

Nói cách khác, chúng ta phải tìm một giá trị mà tại đó dấu bằng sẽ chứng minh vị trí của nó - vế trái phải bằng vế phải.

Phương trình 2 + x= 4 là tiểu học. Giá trị biến x bằng số 2. Đối với bất kỳ giá trị nào khác, sự bình đẳng sẽ không được tuân thủ

Người ta nói số 2 là gốc hoặc giải phương trình 2 + x = 4

Gốc hoặc giải phương trình- đây là giá trị của biến mà tại đó phương trình trở thành một đẳng thức số thực sự.

Có thể có nhiều rễ hoặc không có rễ nào cả. Giải phương trình có nghĩa là tìm ra gốc rễ của nó hoặc chứng minh rằng không có gốc rễ nào cả.

Biến bao gồm trong phương trình được gọi là không rõ. Bạn có quyền gọi nó là gì bạn thích. Đây là những từ đồng nghĩa.

Ghi chú. Cụm từ “giải một phương trình” đã nói lên điều đó. Giải một phương trình có nghĩa là “cân bằng” phương trình—làm cho nó cân bằng sao cho vế trái bằng vế phải.

Thể hiện điều này thông qua điều khác

Việc nghiên cứu các phương trình theo truyền thống bắt đầu bằng việc học cách biểu diễn một số nằm trong một đẳng thức thông qua một số số khác. Chúng ta đừng phá vỡ truyền thống này và làm điều tương tự.

Hãy xem xét biểu thức sau:

8 + 2

Biểu thức này là tổng của các số 8 và 2. Giá trị của biểu thức này là 10

8 + 2 = 10

Chúng tôi đã có được sự bình đẳng. Bây giờ bạn có thể biểu diễn bất kỳ số nào từ đẳng thức này thông qua các số khác có trong cùng đẳng thức đó. Ví dụ: hãy thể hiện số 2.

Để thể hiện số 2, bạn cần đặt câu hỏi: “Đối với số 10 và số 8 thì phải làm gì để có được số 2”. Rõ ràng là để có được số 2, bạn cần trừ số 8 khỏi số 10.

Đó là những gì chúng tôi làm. Chúng ta viết số 2 và thông qua dấu bằng, chúng ta nói rằng để có được số 2 này, chúng ta đã trừ số 8 khỏi số 10:

2 = 10 − 8

Chúng tôi biểu thị số 2 từ đẳng thức 8 + 2 = 10. Như có thể thấy từ ví dụ, không có gì phức tạp về điều này.

Khi giải phương trình, đặc biệt khi biểu diễn một số theo các số khác, sẽ thuận tiện hơn khi thay dấu bằng bằng từ “ có" . Điều này phải được thực hiện trong tâm trí, chứ không phải trong chính biểu hiện.

Vì vậy, biểu thị số 2 từ đẳng thức 8 + 2 = 10, chúng ta có đẳng thức 2 = 10 − 8. Sự đẳng thức này có thể được đọc như sau:

2 có 10 − 8

Tức là một dấu hiệu = thay thế bằng từ "là". Hơn nữa, đẳng thức 2 = 10 − 8 có thể được dịch từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ chính thức của con người. Khi đó có thể đọc như sau:

Số 2 có sự khác biệt giữa số 10 và số 8

Số 2 có sự khác biệt giữa số 10 và số 8

Nhưng chúng tôi sẽ hạn chế chỉ thay thế dấu bằng bằng từ “là” và không phải lúc nào chúng tôi cũng làm như vậy. Các biểu thức cơ bản có thể được hiểu mà không cần dịch ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ của con người.

Chúng ta hãy đưa đẳng thức thu được 2 = 10 − 8 về trạng thái ban đầu:

8 + 2 = 10

Lần này hãy thể hiện số 8 để có số 8 cần làm gì? Đúng rồi, bạn cần trừ 2 từ số 10

8 = 10 − 2

Chúng ta hãy đưa đẳng thức thu được 8 = 10 − 2 về trạng thái ban đầu:

8 + 2 = 10

Lần này chúng ta sẽ biểu thị số 10. Nhưng hóa ra không cần biểu thị số mười vì nó đã được biểu thị rồi. Chỉ cần hoán đổi phần bên trái và bên phải là đủ, sau đó chúng ta sẽ có được thứ mình cần:

10 = 8 + 2

Ví dụ 2. Xét đẳng thức 8 − 2 = 6

Chúng ta hãy biểu thị số 8 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 8, phải cộng hai số còn lại:

8 = 6 + 2

Chúng ta hãy trả lại đẳng thức thu được 8 = 6 + 2 về trạng thái ban đầu:

8 − 2 = 6

Hãy biểu thị số 2 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 2, bạn cần trừ 6 từ 8.

2 = 8 − 6

Ví dụ 3. Xét đẳng thức 3 × 2 = 6

Hãy biểu thị số 3. Để biểu thị số 3, bạn cần 6 chia cho 2

Hãy trả lại đẳng thức kết quả về trạng thái ban đầu:

3 × 2 = 6

Hãy để chúng tôi biểu thị số 2 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 2, bạn cần 6 chia cho 3.

Ví dụ 4. Xét sự bình đẳng

Chúng ta hãy biểu thị số 15 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 15, bạn cần nhân số 3 và 5.

15 = 3 × 5

Chúng ta hãy đưa đẳng thức thu được 15 = 3 × 5 về trạng thái ban đầu:

Hãy để chúng tôi biểu thị số 5 từ đẳng thức này. Để biểu thị số 5, bạn cần 15 chia cho 3.

Quy tắc tìm ẩn số

Hãy xem xét một số quy tắc để tìm ẩn số. Chúng có thể quen thuộc với bạn, nhưng sẽ không hại gì khi lặp lại chúng. Trong tương lai, chúng có thể bị lãng quên khi chúng ta học cách giải phương trình mà không áp dụng các quy tắc này.

Hãy quay lại ví dụ đầu tiên mà chúng ta đã xem xét trong chủ đề trước, trong đó trong đẳng thức 8 + 2 = 10, chúng ta cần biểu thị số 2.

Trong đẳng thức 8 + 2 = 10, số 8 và số 2 là số hạng và số 10 là tổng.

Để thể hiện số 2, chúng ta đã làm như sau:

2 = 10 − 8

Tức là từ tổng của 10 chúng ta trừ số hạng 8.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức 8 + 2 = 10, thay vì số 2 có một biến x

8 + x = 10

Trong trường hợp này, đẳng thức 8 + 2 = 10 trở thành phương trình 8 + x= 10 và biến x thuật ngữ chưa biết



Nhiệm vụ của chúng ta là tìm số hạng chưa biết này, tức là giải phương trình 8 + x= 10 . Để tìm một thuật ngữ chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số hạng chưa biết, bạn cần trừ số hạng đã biết khỏi tổng.

Về cơ bản đó là điều chúng ta đã làm khi biểu diễn hai theo đẳng thức 8 + 2 = 10. Để biểu thị số hạng 2, chúng ta trừ số hạng 8 khác từ tổng 10

2 = 10 − 8

Bây giờ, để tìm thuật ngữ chưa biết x, chúng ta phải trừ số hạng 8 đã biết từ tổng 10:

x = 10 − 8

Nếu bạn tính vế phải của đẳng thức thu được, bạn có thể tìm ra biến đó bằng gì x

x = 2

Chúng tôi đã giải được phương trình. Giá trị biến x bằng 2. Để kiểm tra giá trị của một biến x gửi về phương trình ban đầu 8 + x= 10 và thay thế x. Bạn nên làm điều này với bất kỳ phương trình đã giải nào, vì bạn không thể chắc chắn tuyệt đối rằng phương trình đó đã được giải đúng:



Kết quả là

Quy tắc tương tự sẽ được áp dụng nếu số hạng chưa biết là số 8 đầu tiên.

x + 2 = 10

Trong phương trình này x là số hạng chưa biết, 2 là số hạng đã biết, 10 là tổng. Để tìm một thuật ngữ chưa biết x, bạn cần trừ số hạng 2 đã biết từ tổng 10

x = 10 − 2

x = 8



Hãy quay lại ví dụ thứ hai của chủ đề trước, trong đó trong đẳng thức 8 − 2 = 6 cần phải biểu thị số 8.

Trong đẳng thức 8 − 2 = 6, số 8 là số bị trừ, số 2 là số bị trừ, số 6 là hiệu

Để thể hiện số 8, chúng ta đã làm như sau:

8 = 6 + 2

Tức là chúng ta đã cộng hiệu của 6 và trừ 2.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức 8 − 2 = 6, thay vì số 8, có một biến x

x − 2 = 6

Trong trường hợp này biến xđảm nhận vai trò của cái gọi là điểm trừ chưa biết



Để tìm một số trừ chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần cộng số bị trừ vào hiệu.

Đây là điều chúng ta đã làm khi biểu diễn số 8 dưới dạng 8 − 2 = 6. Để biểu thị số trừ của 8, chúng ta đã cộng số trừ của 2 vào hiệu của 6.

Bây giờ, để tìm điểm trừ chưa biết x, chúng ta phải cộng số trừ 2 vào hiệu 6

x = 6 + 2

Nếu bạn tính vế phải, bạn có thể tìm ra biến đó bằng bao nhiêu x

x = 8

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức 8 − 2 = 6, thay vì số 2, có một biến x

8 − x = 6

Trong trường hợp này biến xđảm nhận vai trò phần trừ chưa biết

Để tìm một số trừ chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần trừ đi hiệu số của số bị trừ.

Đây là những gì chúng ta đã làm khi biểu thị số 2 theo đẳng thức 8 − 2 = 6. Để biểu thị số 2, chúng ta trừ đi hiệu 6 từ số trừ 8.

Bây giờ, để tìm ẩn số chưa biết x, một lần nữa bạn cần lấy số trừ 8 trừ đi số chênh lệch 6

x = 8 − 6

Chúng tôi tính toán phía bên phải và tìm giá trị x

x = 2

Hãy quay lại ví dụ thứ ba của chủ đề trước, trong đó trong đẳng thức 3 × 2 = 6, chúng ta đã cố gắng biểu thị số 3.

Trong đẳng thức 3×2 = 6, số 3 là số bị nhân, số 2 là số nhân, số 6 là tích

Để thể hiện số 3 chúng ta đã làm như sau:

Tức là chúng ta chia tích của 6 cho hệ số 2.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức 3 × 2 = 6, thay vì số 3 có một biến x

x× 2 = 6

Trong trường hợp này biến xđảm nhận vai trò bội số chưa biết.

Để tìm số nhân chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm một số nhân chưa biết, bạn cần chia tích cho hệ số.

Đây là điều chúng ta đã làm khi biểu diễn số 3 từ đẳng thức 3 × 2 = 6. Chúng tôi chia sản phẩm 6 cho hệ số 2.

Bây giờ để tìm số nhân chưa biết x, bạn cần chia tích 6 cho hệ số 2.

Tính vế phải cho phép chúng ta tìm giá trị của một biến x

x = 3

Quy tắc tương tự được áp dụng nếu biến xđược đặt thay cho số nhân, không phải số nhân. Hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức 3 × 2 = 6, thay vì số 2 có một biến x.

Trong trường hợp này biến xđảm nhận vai trò số nhân chưa biết. Để tìm một thừa số chưa biết, quy trình tương tự được thực hiện như khi tìm một số nhân chưa biết, cụ thể là chia tích cho một thừa số đã biết:

Để tìm một yếu tố chưa biết, bạn cần chia tích cho số nhân.

Đây là điều chúng ta đã làm khi biểu diễn số 2 từ đẳng thức 3 × 2 = 6. Sau đó, để có được số 2, chúng ta chia tích của 6 cho số nhân của nó 3.

Bây giờ để tìm yếu tố chưa biết x Chúng ta chia tích của 6 cho số nhân của 3.

Tính vế phải của đẳng thức cho phép bạn tìm ra x bằng bao nhiêu

x = 2

Số nhân và số nhân cùng nhau được gọi là thừa số. Vì các quy tắc tìm số bị nhân và số nhân là như nhau nên chúng ta có thể xây dựng quy tắc chung để tìm thừa số chưa biết:

Để tìm một yếu tố chưa biết, bạn cần chia sản phẩm cho yếu tố đã biết.

Ví dụ, hãy giải phương trình 9 × x= 18. Biến x là yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích 18 cho thừa số 9 đã biết

Hãy giải phương trình x× 3 = 27. Biến x là yếu tố chưa biết. Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích 27 cho thừa số 3 đã biết

Hãy quay lại ví dụ thứ tư của chủ đề trước, trong đó trong một đẳng thức, chúng ta cần biểu thị số 15. Trong đẳng thức này, số 15 là số bị chia, số 5 là số chia và số 3 là thương.



Để thể hiện số 15 chúng ta đã làm như sau:

15 = 3 × 5

Tức là chúng ta nhân thương của 3 với ước của 5.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức, thay vì số 15, có một biến x

Trong trường hợp này biến xđảm nhận vai trò cổ tức không xác định.



Để tìm một cổ tức chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia.

Đây là điều chúng ta đã làm khi biểu diễn số 15 từ đẳng thức. Để biểu thị số 15, chúng ta nhân thương của 3 với ước của 5.

Bây giờ, để tìm cổ tức chưa biết x, bạn cần nhân thương số 3 với số chia 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong đẳng thức, thay vì số 5, có một biến x .

Trong trường hợp này biến xđảm nhận vai trò ước số chưa biết.



Để tìm ước số chưa biết, quy tắc sau được cung cấp:

Đây là điều chúng ta đã làm khi biểu diễn số 5 trong đẳng thức. Để biểu thị số 5, chúng ta chia số bị chia 15 cho thương số 3.

Bây giờ để tìm ước số chưa biết x, bạn cần chia số bị chia 15 cho thương số 3

Hãy tính vế phải của đẳng thức thu được. Bằng cách này, chúng ta tìm ra biến bằng gì x .

x = 5

Vì vậy, để tìm ẩn số, chúng tôi đã nghiên cứu các quy tắc sau:

• Để tìm số hạng chưa biết, bạn cần lấy tổng trừ số hạng đã biết;
• Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần cộng số bị trừ vào hiệu;
• Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần lấy số bị trừ;
• Để tìm một số nhân chưa biết, bạn cần chia tích cho hệ số;
• Để tìm thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho số bị nhân;
• Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia;
• Để tìm ước số chưa biết, bạn cần chia số bị chia cho thương.

Linh kiện

Chúng ta sẽ gọi các thành phần là các số và các biến có trong đẳng thức

Vậy các thành phần của phép cộng là điều khoản Và tổng hợp



Các thành phần trừ là sự giảm thiểu, trừ đi Và sự khác biệt

Các thành phần của phép nhân là phép nhân, nhân tố Và công việc

Các thành phần của phép chia là số bị chia, số chia và thương.

Tùy thuộc vào thành phần nào chúng ta đang xử lý, các quy tắc tương ứng để tìm ẩn số sẽ được áp dụng. Chúng tôi đã nghiên cứu các quy tắc này trong chủ đề trước. Khi giải phương trình, nên thuộc lòng các quy tắc này.

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của phương trình 45 + x = 60

45 - nhiệm kỳ, x- số hạng chưa biết, 60 - tổng. Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép cộng. Chúng tôi nhớ lại rằng để tìm một số hạng chưa biết, bạn cần trừ số hạng đã biết khỏi tổng:

x = 60 − 45

Hãy tính vế phải và nhận giá trị x bằng 15

x = 15

Vậy nghiệm của phương trình là 45 + x= 60 bằng 15.

Thông thường, một thuật ngữ chưa biết phải được rút gọn thành một dạng mà nó có thể được diễn đạt.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Ở đây, không giống như ví dụ trước, số hạng chưa biết không thể được biểu thị ngay lập tức vì nó chứa hệ số 2. Nhiệm vụ của chúng ta là đưa phương trình này về dạng có thể biểu thị được x

Trong ví dụ này, chúng ta đang xử lý các thành phần của phép cộng—các số hạng và tổng. 2 x là số hạng thứ nhất, 4 là số hạng thứ hai, 8 là tổng.

Trong trường hợp này, thuật ngữ 2 x chứa một biến x. Sau khi tìm được giá trị của biến x học kỳ 2 x sẽ có một cái nhìn khác. Vì vậy, kỳ 2 x hoàn toàn có thể được coi là một thuật ngữ chưa biết:



Bây giờ chúng ta áp dụng quy tắc tìm số hạng chưa biết. Trừ số hạng đã biết khỏi tổng:

Hãy tính vế phải của phương trình thu được:

Chúng ta có một phương trình mới. Bây giờ chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân: số nhân, số nhân và tích. 2 - số nhân, x- số nhân, 4 - tích

Trong trường hợp này, biến x không chỉ là một số nhân mà còn là một số nhân chưa biết

Để tìm thừa số chưa biết này, bạn cần chia tích cho số nhân:

Hãy tính vế phải và lấy giá trị của biến x

Để kiểm tra, gửi nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu và thay thế x



Ví dụ 3. Giải phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56

Thể hiện điều chưa biết ngay lập tức x nó bị cấm. Trước tiên, bạn cần đưa phương trình này về dạng có thể biểu diễn được.

Chúng tôi trình bày ở phía bên trái của phương trình này:



Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân. 28 - số nhân, x- số nhân, 56 - tích. Đồng thời x là yếu tố chưa biết. Để tìm một thừa số chưa biết, bạn cần chia tích cho số nhân:

Từ đây x bằng 2

phương trình tương đương

Trong ví dụ trước, khi giải phương trình 3x + 9x + 16x = 56 , chúng ta đã đưa ra các số hạng tương tự ở vế trái của phương trình. Kết quả là chúng ta thu được phương trình mới 28 x= 56 . Phương trình cũ 3x + 9x + 16x = 56 và thu được phương trình mới 28 x= 56 được gọi là phương trình tương đương, vì gốc của chúng trùng nhau.

Các phương trình được gọi là tương đương nếu gốc của chúng trùng nhau.

Hãy kiểm tra xem nó ra. Đối với phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 chúng tôi đã tìm thấy gốc bằng 2. Trước tiên chúng ta hãy thay thế gốc này vào phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 , rồi vào phương trình 28 x= 56, thu được bằng cách đưa các số hạng tương tự vào vế trái của phương trình trước đó. Chúng ta phải có được các đẳng thức số chính xác



Theo thứ tự thực hiện, phép nhân được thực hiện trước:



Hãy thay căn bậc 2 vào phương trình thứ hai 28 x= 56



Chúng ta thấy rằng cả hai phương trình đều có cùng gốc. Vậy các phương trình 3x+ 9x+ 16x= 6 và 28 x= 56 thực sự tương đương.

Để giải phương trình 3x+ 9x+ 16x= 56 Chúng tôi đã sử dụng một trong số đó - giảm các thuật ngữ tương tự. Phép biến đổi nhận dạng đúng của phương trình cho phép ta thu được phương trình tương đương 28 x= 56, dễ giải hơn.

Trong số các phép biến đổi giống hệt nhau, hiện tại chúng ta chỉ biết rút gọn phân số, đưa các số hạng tương tự, chuyển nhân tử chung ra khỏi ngoặc và mở ngoặc. Có những chuyển đổi khác mà bạn nên biết. Nhưng đối với ý tưởng chung về các phép biến đổi phương trình giống hệt nhau, các chủ đề chúng tôi đã nghiên cứu là khá đầy đủ.

Hãy xem xét một số phép biến đổi cho phép chúng ta thu được phương trình tương đương

Nếu bạn thêm cùng một số vào cả hai vế của phương trình, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

và tương tự:

Nếu bạn trừ cùng một số ở cả hai vế của một phương trình, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Nói cách khác, nghiệm của phương trình sẽ không thay đổi nếu cùng một số được cộng vào (hoặc trừ cả hai vế) cùng một số.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Trừ 10 từ cả hai vế của phương trình



Ta được phương trình 5 x= 10 . Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm một yếu tố chưa biết x, bạn cần chia tích 10 cho thừa số đã biết 5.

và thay thế x tìm thấy giá trị 2



Chúng ta đã có được đẳng thức số chính xác. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Giải phương trình chúng ta đã trừ số 10 từ cả hai vế của phương trình. Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tương đương. Căn nguyên của phương trình này, giống như phương trình cũng bằng 2

Ví dụ 2. Giải phương trình 4( x+ 3) = 16

Trừ số 12 từ cả hai vế của phương trình

Sẽ còn 4 cái ở bên trái x, và bên phải là số 4

Ta được phương trình 4 x= 4 . Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm một yếu tố chưa biết x, bạn cần chia tích 4 cho thừa số 4 đã biết

Hãy quay lại phương trình ban đầu 4( x+ 3) = 16 và thay thế x tìm thấy giá trị 1



Chúng ta đã có được đẳng thức số chính xác. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Giải phương trình 4( x+ 3) = 16 ta trừ số 12 ở cả hai vế của phương trình. Kết quả ta thu được phương trình tương đương 4 x= 4 . Căn nguyên của phương trình này, giống như phương trình 4( x+ 3) = 16 cũng bằng 1

Ví dụ 3. Giải phương trình

Hãy mở rộng dấu ngoặc ở vế trái của phương trình:

Thêm số 8 vào cả hai vế của phương trình

Chúng ta hãy trình bày các số hạng tương tự ở cả hai vế của phương trình:

Sẽ còn lại 2 cái ở bên trái x, và bên phải là số 9

Trong phương trình kết quả 2 x= 9 chúng ta diễn đạt số hạng chưa biết x

Hãy quay trở lại phương trình ban đầu và thay thế x giá trị tìm thấy 4,5



Chúng ta đã có được đẳng thức số chính xác. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Giải phương trình chúng ta đã thêm số 8 vào cả hai vế của phương trình và kết quả là chúng ta có một phương trình tương đương. Căn nguyên của phương trình này, giống như phương trình cũng bằng 4,5

Quy tắc tiếp theo cho phép chúng ta thu được phương trình tương đương như sau

Nếu bạn di chuyển một số hạng trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Nghĩa là, nghiệm của phương trình sẽ không thay đổi nếu chúng ta di chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình, làm thay đổi dấu của nó. Tính chất này là một trong những tính chất quan trọng và thường được sử dụng khi giải phương trình.

Hãy xem xét phương trình sau:

Căn nguyên của phương trình này bằng 2. Chúng ta hãy thay thế x gốc này và kiểm tra xem đẳng thức số có đúng không



Kết quả là một đẳng thức đúng. Điều này có nghĩa là số 2 thực sự là nghiệm của phương trình.

Bây giờ chúng ta hãy thử thử nghiệm các số hạng của phương trình này, di chuyển chúng từ phần này sang phần khác, đổi dấu.

Ví dụ: học kỳ 3 x nằm ở vế trái của phương trình. Hãy di chuyển nó sang bên phải, đổi dấu thành ngược lại:



Kết quả là một phương trình 12 = 9x − 3x . ở vế phải của phương trình này:



x là yếu tố chưa biết. Hãy tìm yếu tố nổi tiếng này:

Từ đây x= 2 . Như bạn có thể thấy, nghiệm của phương trình không thay đổi. Vậy phương trình là 12 + 3 x = 9x Và 12 = 9x − 3x là tương đương.

Trên thực tế, phép biến đổi này là một phương pháp đơn giản của phép biến đổi trước đó, trong đó cùng một số được cộng (hoặc trừ) cho cả hai vế của phương trình.

Chúng ta đã nói rằng trong phương trình 12 + 3 x = 9x học kỳ 3 xđược chuyển sang bên phải, đổi dấu. Trong thực tế, điều sau đây đã xảy ra: số hạng 3 bị trừ cả hai vế của phương trình x



Sau đó, các số hạng tương tự được đưa ra ở vế trái và thu được phương trình 12 = 9x − 3x. Sau đó, các số hạng tương tự lại được đưa ra, nhưng ở vế phải và thu được phương trình 12 = 6 x.

Nhưng cái gọi là “bản dịch” thuận tiện hơn cho những phương trình như vậy, đó là lý do tại sao nó trở nên phổ biến đến vậy. Khi giải phương trình, chúng ta thường sử dụng phép biến đổi đặc biệt này.

Các phương trình 12 + 3 cũng tương đương x= 9x Và 3x− 9x= −12 . Lần này phương trình là 12 + 3 x= 9x số 12 được chuyển sang bên phải, còn số 9 x sang trái. Chúng ta không nên quên rằng dấu hiệu của các điều khoản này đã được thay đổi trong quá trình chuyển giao



Quy tắc tiếp theo cho phép chúng ta có được phương trình tương đương như sau:

Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số, không bằng 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Nói cách khác, nghiệm của một phương trình sẽ không thay đổi nếu cả hai vế được nhân hoặc chia cho cùng một số. Hành động này thường được sử dụng khi bạn cần giải một phương trình chứa biểu thức phân số.

Trước tiên, hãy xem các ví dụ trong đó cả hai vế của phương trình sẽ được nhân với cùng một số.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Khi giải các phương trình chứa biểu thức phân số, trước tiên người ta thường đơn giản hóa phương trình.

Trong trường hợp này, chúng ta đang giải quyết một phương trình như vậy. Để đơn giản hóa phương trình này, cả hai vế có thể được nhân với 8:



Chúng ta nhớ rằng với , chúng ta cần nhân tử số của một phân số đã cho với số này. Chúng ta có hai phân số và mỗi phân số được nhân với số 8. Nhiệm vụ của chúng ta là nhân tử số của các phân số với số 8 này



Bây giờ phần thú vị sẽ xảy ra. Tử số và mẫu số của cả hai phân số đều chứa hệ số 8, hệ số này có thể giảm đi 8. Điều này sẽ cho phép chúng ta loại bỏ biểu thức phân số:



Kết quả là, phương trình đơn giản nhất vẫn còn

Chà, không khó để đoán rằng nghiệm của phương trình này là 4

x tìm thấy giá trị 4



Kết quả là một đẳng thức số đúng. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Khi giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với 8. Kết quả là ta được phương trình. Căn nguyên của phương trình này, giống như phương trình, là 4. Điều này có nghĩa là các phương trình này tương đương nhau.

Hệ số nhân cả hai vế của phương trình thường được viết trước phần của phương trình chứ không phải sau phần đó. Vì vậy, khi giải phương trình, chúng tôi nhân cả hai vế với hệ số 8 và nhận được kết quả sau:



Điều này không làm thay đổi gốc của phương trình, nhưng nếu chúng tôi làm điều này khi còn ở trường, chúng tôi sẽ bị khiển trách, vì trong đại số, người ta thường viết hệ số trước biểu thức mà nó được nhân. Vì vậy, nên viết lại phép nhân cả hai vế của phương trình với hệ số 8 như sau:



Ví dụ 2. Giải phương trình



Ở bên trái, các thừa số của 15 có thể giảm đi 15, và ở bên phải, các thừa số của 15 và 5 có thể giảm đi 5



Hãy mở dấu ngoặc ở vế phải của phương trình:

Hãy di chuyển thuật ngữ x từ vế trái của phương trình sang vế phải, đổi dấu. Và chúng ta di chuyển số hạng 15 từ vế phải của phương trình sang vế trái, một lần nữa đổi dấu:

Chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự ở cả hai bên, chúng tôi nhận được

Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Biến x

Hãy quay trở lại phương trình ban đầu và thay thế x tìm thấy giá trị 5



Kết quả là một đẳng thức số đúng. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng. Khi giải phương trình này, chúng ta nhân cả hai vế với 15. Tiếp tục thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta thu được phương trình 10 = 2 x. Căn nguyên của phương trình này, giống như phương trình bằng 5. Điều này có nghĩa là các phương trình này là tương đương.

Ví dụ 3. Giải phương trình



Ở bên trái, bạn có thể giảm hai phần ba và bên phải sẽ bằng 18



Phương trình đơn giản nhất vẫn còn. Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Biến x là yếu tố chưa biết. Hãy tìm yếu tố nổi tiếng này:

Hãy quay lại phương trình ban đầu và thay thế x tìm thấy giá trị 9

Kết quả là một đẳng thức số đúng. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Ví dụ 4. Giải phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình với 6



Hãy mở dấu ngoặc ở vế trái của phương trình. Ở vế phải, hệ số 6 có thể được nâng lên tử số:



Hãy giảm những gì có thể giảm ở cả hai vế của phương trình:



Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Hãy sử dụng phép chuyển giao các điều khoản. Thuật ngữ có chứa ẩn số x, chúng tôi nhóm ở bên trái của phương trình và các thuật ngữ không có ẩn số - ở bên phải:

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong cả hai phần:



Bây giờ hãy tìm giá trị của biến x. Để làm điều này, hãy chia kết quả 28 cho hệ số 7 đã biết

Từ đây x= 4.

Hãy quay trở lại phương trình ban đầu và thay thế x tìm thấy giá trị 4



Kết quả là một phương trình số đúng. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Ví dụ 5. Giải phương trình

Hãy mở dấu ngoặc đơn ở cả hai vế của phương trình nếu có thể:

Nhân cả hai vế của phương trình với 15

Hãy mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình:

Hãy giảm những gì có thể giảm ở cả hai vế của phương trình:



Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Hãy mở rộng dấu ngoặc nếu có thể:

Hãy sử dụng phép chuyển giao các điều khoản. Chúng tôi nhóm các thuật ngữ chứa ẩn số ở bên trái của phương trình và các thuật ngữ không chứa ẩn số ở bên phải. Đừng quên rằng trong quá trình chuyển đổi, các số hạng sẽ đổi dấu ngược lại:

Chúng ta hãy trình bày các số hạng tương tự ở cả hai vế của phương trình:



Hãy tìm giá trị x

Câu trả lời kết quả chứa toàn bộ một phần:



Hãy quay lại phương trình ban đầu và thay thế x giá trị tìm thấy



Nó hóa ra là một biểu hiện khá cồng kềnh. Hãy sử dụng các biến. Hãy đặt vế trái của đẳng thức vào một biến MỘT và vế phải của đẳng thức thành một biến B



Nhiệm vụ của chúng ta là đảm bảo rằng bên trái có bằng bên phải hay không. Nói cách khác, chứng minh đẳng thức A = B

Hãy tìm giá trị của biểu thức ở biến A.



Giá trị biến MỘT bằng . Bây giờ hãy tìm giá trị của biến B. Đó là giá trị của vế phải của sự bình đẳng của chúng ta. Nếu nó cũng bằng thì phương trình sẽ được giải đúng



Ta thấy giá trị của biến B, đồng thời giá trị của biến A là . Điều này có nghĩa là bên trái bằng bên phải. Từ đó ta kết luận rằng phương trình đã được giải đúng.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng không nhân cả hai vế của phương trình với cùng một số mà hãy chia.

Xét phương trình 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Hãy giải nó bằng phương pháp thông thường: chúng ta nhóm các thuật ngữ chứa ẩn số ở bên trái của phương trình và các thuật ngữ không chứa ẩn số ở bên phải. Tiếp theo, thực hiện các phép biến đổi nhận dạng đã biết, chúng ta tìm thấy giá trị x



Thay vào đó hãy thay thế giá trị tìm thấy 2 x vào phương trình ban đầu:



Bây giờ chúng ta hãy thử tách tất cả các số hạng của phương trình 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 bằng một số nào đó. Chúng ta lưu ý rằng tất cả các số hạng của phương trình này đều có thừa số chung là 2. Chúng ta chia mỗi số hạng cho nó:

Hãy thực hiện rút gọn trong mỗi số hạng:



Hãy viết lại những gì chúng ta còn lại:

Hãy giải phương trình này bằng cách sử dụng các phép biến đổi nhận dạng nổi tiếng:



Chúng tôi đã có root 2. Vậy các phương trình 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Và 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 là tương đương.

Chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số cho phép bạn loại bỏ ẩn số khỏi hệ số. Trong ví dụ trước khi chúng ta có phương trình 7 x= 14, chúng ta cần chia tích 14 cho thừa số 7 đã biết. Nhưng nếu chúng ta giải phóng ẩn số khỏi thừa số 7 ở vế trái thì nghiệm sẽ được tìm thấy ngay lập tức. Để làm được điều này, chỉ cần chia cả hai vế cho 7 là đủ

Chúng tôi cũng sẽ sử dụng phương pháp này thường xuyên.

Nhân với trừ một

Nếu nhân cả hai vế của phương trình với âm một, bạn sẽ có được một phương trình tương đương với phương trình này.

Quy tắc này xuất phát từ thực tế là nhân (hoặc chia) cả hai vế của một phương trình với cùng một số không làm thay đổi nghiệm của phương trình đã cho. Điều này có nghĩa là nghiệm sẽ không thay đổi nếu cả hai phần của nó được nhân với −1.

Quy tắc này cho phép bạn thay đổi dấu của tất cả các thành phần có trong phương trình. Cái này dùng để làm gì? Một lần nữa, để có được một phương trình tương đương dễ giải hơn.

Hãy xem xét phương trình. Gốc của phương trình này là gì?

Thêm số 5 vào cả hai vế của phương trình

Hãy xem xét các thuật ngữ tương tự:



Bây giờ chúng ta hãy nhớ về. Vế trái của phương trình là gì? Đây là tích của trừ một và một biến x

Tức là dấu trừ đứng trước biến x không đề cập đến chính biến đó x, nhưng bằng một, cái mà chúng ta không thấy, vì hệ số 1 thường không được viết ra. Điều này có nghĩa là phương trình thực sự trông như thế này:

Chúng ta đang giải quyết các thành phần của phép nhân. Để tìm X, bạn cần chia tích −5 cho thừa số đã biết −1.

hoặc chia cả hai vế của phương trình cho −1, cách này thậm chí còn đơn giản hơn



Vậy nghiệm của phương trình là 5. Để kiểm tra, hãy thay thế nó vào phương trình ban đầu. Đừng quên rằng trong phương trình ban đầu dấu trừ đứng trước biến xđề cập đến một đơn vị vô hình



Kết quả là một phương trình số đúng. Điều này có nghĩa là phương trình được giải đúng.

Bây giờ hãy thử nhân cả hai vế của phương trình với âm một:

Sau khi mở ngoặc, biểu thức được hình thành ở vế trái và vế phải sẽ bằng 10

Căn nguyên của phương trình này, giống như phương trình, là 5



Điều này có nghĩa là các phương trình là tương đương.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Trong phương trình này, tất cả các thành phần đều âm. Sẽ thuận tiện hơn khi làm việc với các thành phần dương hơn là với các thành phần âm, vì vậy hãy đổi dấu của tất cả các thành phần có trong phương trình. Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình này với −1.

Rõ ràng là khi nhân với −1, bất kỳ số nào cũng sẽ đổi dấu sang số ngược lại. Do đó, quy trình nhân với −1 và mở ngoặc không được mô tả chi tiết, nhưng các thành phần của phương trình có dấu ngược lại được viết ra ngay.

Do đó, nhân một phương trình với −1 có thể được viết chi tiết như sau:



hoặc đơn giản là bạn có thể thay đổi dấu của tất cả các thành phần:



Kết quả sẽ giống nhau, nhưng điểm khác biệt là chúng ta sẽ tiết kiệm được thời gian cho mình.

Vì vậy, nhân cả hai vế của phương trình với −1, chúng ta thu được phương trình. Hãy giải phương trình này. Trừ 4 ở cả hai vế và chia cả hai vế cho 3



Khi tìm thấy gốc, biến thường được viết ở bên trái và giá trị của nó ở bên phải, đó là những gì chúng ta đã làm.

Ví dụ 3. Giải phương trình

Hãy nhân cả hai vế của phương trình với −1. Khi đó tất cả các thành phần sẽ đổi dấu sang dấu ngược lại:



Trừ 2 từ cả hai vế của phương trình kết quả x và đưa ra các điều khoản tương tự:



Hãy thêm một vào cả hai vế của phương trình và đưa ra các số hạng tương tự:

Tương đương với số không

Gần đây chúng ta đã biết rằng nếu chúng ta di chuyển một số hạng trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, chúng ta sẽ thu được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Điều gì xảy ra nếu bạn chuyển từ phần này sang phần khác không chỉ một thuật ngữ mà là tất cả các thuật ngữ? Đúng vậy, ở phần mà tất cả các số hạng bị loại bỏ sẽ không còn lại gì. Nói cách khác, sẽ không còn gì cả.

Ví dụ, hãy xem xét phương trình. Hãy giải phương trình này như thường lệ - chúng ta sẽ nhóm các thuật ngữ chứa ẩn số trong một phần và để lại các thuật ngữ số không chứa ẩn số trong phần còn lại. Tiếp theo, thực hiện các phép biến đổi nhận dạng đã biết, chúng ta tìm giá trị của biến x



Bây giờ chúng ta hãy thử giải phương trình tương tự bằng cách đánh đồng tất cả các thành phần của nó bằng 0. Để làm điều này, chúng tôi di chuyển tất cả các thuật ngữ từ bên phải sang bên trái, thay đổi các dấu hiệu:



Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự ở phía bên trái:



Thêm 77 vào cả hai bên và chia cả hai bên cho 7

Một sự thay thế cho các quy tắc tìm ẩn số

Rõ ràng, khi biết về các phép biến đổi giống hệt nhau của các phương trình, bạn không cần phải ghi nhớ các quy tắc tìm ẩn số.

Ví dụ, để tìm ẩn số trong phương trình, ta chia tích 10 cho thừa số đã biết 2

Nhưng nếu bạn chia cả hai vế của phương trình cho 2 thì nghiệm sẽ được tìm ra ngay lập tức. Ở vế trái của phương trình ở tử số hệ số 2 và ở mẫu số hệ số 2 sẽ giảm đi 2. Còn vế phải sẽ bằng 5

Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng bằng cách biểu thị số hạng chưa biết:

Nhưng bạn có thể sử dụng các phép biến đổi giống như chúng ta đã học hôm nay. Trong phương trình, số hạng 4 có thể chuyển sang vế phải bằng cách đổi dấu:

Ở vế trái của phương trình, hai số 2 sẽ triệt tiêu nhau. Vế phải sẽ bằng 2. Do đó .

Hoặc bạn có thể trừ 4 từ cả hai vế của phương trình. Khi đó bạn sẽ nhận được kết quả sau:



Trong trường hợp phương trình có dạng, sẽ thuận tiện hơn khi chia tích cho một thừa số đã biết. Hãy so sánh cả hai giải pháp:



Giải pháp đầu tiên ngắn hơn và gọn gàng hơn nhiều. Giải pháp thứ hai có thể được rút ngắn đáng kể nếu bạn thực hiện phép chia trong đầu.

Tuy nhiên, cần phải biết cả hai phương pháp và chỉ sau đó sử dụng phương pháp bạn thích.

Khi có nhiều rễ

Một phương trình có thể có nhiều nghiệm. Ví dụ như phương trình x(x+ 9) = 0 có hai nghiệm: 0 và −9.



Trong phương trình. x(x+ 9) = 0 cần tìm giá trị như vậy x tại đó vế trái sẽ bằng 0. Vế trái của phương trình này chứa các biểu thức x Và (x+9), đó là các yếu tố. Từ các luật tích, chúng ta biết rằng một tích bằng 0 nếu có ít nhất một trong các thừa số bằng 0 (yếu tố thứ nhất hoặc thừa số thứ hai).

Đó là, trong phương trình. x(x+ 9) = 0 sẽ đạt được sự bình đẳng nếu x sẽ bằng 0 hoặc (x+9) sẽ bằng không.

x= 0 hoặc x + 9 = 0

Bằng cách đặt cả hai biểu thức này về 0, chúng ta có thể tìm ra nghiệm của phương trình x(x+ 9) = 0 . Gốc đầu tiên, như có thể thấy từ ví dụ, đã được tìm thấy ngay lập tức. Để tìm căn bậc hai bạn cần giải phương trình cơ bản x+ 9 = 0 . Thật dễ dàng để đoán rằng nghiệm của phương trình này là −9. Kiểm tra cho thấy root đúng:

−9 + 9 = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình

Phương trình này có hai nghiệm: 1 và 2. Vế trái của phương trình là tích của các biểu thức ( x− 1) và ( x− 2) . Và tích bằng 0 nếu có ít nhất một trong các thừa số bằng 0 (hoặc thừa số ( x− 1) hoặc thừa số ( x − 2) ).

Chúng ta hãy tìm một cái gì đó như thế này x trong đó các biểu thức ( x− 1) hoặc ( x− 2) trở thành số 0:



Chúng ta thay thế từng giá trị tìm được vào phương trình ban đầu và đảm bảo rằng đối với các giá trị này, vế trái bằng 0:



Khi có vô số rễ

Một phương trình có thể có vô số nghiệm. Nghĩa là, bằng cách thay thế bất kỳ số nào vào phương trình như vậy, chúng ta sẽ có được đẳng thức số chính xác.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Căn nguyên của phương trình này là bất kỳ số nào. Nếu bạn mở dấu ngoặc ở bên trái của phương trình và thêm các số hạng tương tự, bạn sẽ có đẳng thức 14 = 14. Sự bình đẳng này sẽ đạt được cho bất kỳ x



Ví dụ 2. Giải phương trình

Căn nguyên của phương trình này là bất kỳ số nào. Nếu bạn mở dấu ngoặc ở vế trái của phương trình, bạn sẽ có được đẳng thức 10x + 12 = 10x + 12. Sự bình đẳng này sẽ đạt được cho bất kỳ x

Khi không có rễ

Cũng xảy ra trường hợp phương trình không có nghiệm nào cả, tức là nó không có nghiệm. Ví dụ, phương trình không có nghiệm, vì với mọi giá trị x, vế trái của phương trình sẽ không bằng vế phải. Ví dụ: hãy để . Khi đó phương trình sẽ có dạng sau



Ví dụ 2. Giải phương trình

Hãy mở rộng dấu ngoặc ở vế trái của phương trình:

Hãy xem xét các thuật ngữ tương tự:



Ta thấy vế trái không bằng vế phải. Và đây sẽ là trường hợp cho bất kỳ giá trị nào. y. Ví dụ, hãy để y = 3 .



phương trình chữ cái

Một phương trình có thể không chỉ chứa các số có biến mà còn cả các chữ cái.

Ví dụ: công thức tìm tốc độ là một phương trình chữ:

Phương trình này mô tả tốc độ của một vật trong chuyển động có gia tốc đều.

Một kỹ năng hữu ích là khả năng diễn đạt bất kỳ thành phần nào có trong phương trình chữ cái. Ví dụ, để xác định khoảng cách từ một phương trình, bạn cần biểu diễn biến S .

Nhân cả hai vế của phương trình với t



Các biến ở bên phải t hãy cắt nó đi t



Trong phương trình kết quả, chúng ta hoán đổi bên trái và bên phải:



Bây giờ chúng ta có công thức tìm khoảng cách mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó.

Hãy thử xác định thời gian từ phương trình. Để làm điều này bạn cần thể hiện biến t .

Nhân cả hai vế của phương trình với t



Các biến ở bên phải t hãy cắt nó đi t và viết lại những gì chúng ta còn lại:



Trong phương trình kết quả v×t = s chia cả hai phần thành v

Các biến bên trái v hãy cắt nó đi v và viết lại những gì chúng ta còn lại:

Chúng ta có công thức xác định thời gian mà chúng ta đã nghiên cứu trước đó.

Giả sử vận ​​tốc tàu là 50 km/h

v= 50 km/h

Và khoảng cách là 100 km

S= 100 km

Sau đó, bức thư sẽ có dạng sau

Thời gian có thể được tìm thấy từ phương trình này. Để làm được điều này bạn cần có khả năng diễn đạt biến t. Bạn có thể sử dụng quy tắc tìm ước số chưa biết bằng cách chia số bị chia cho thương và từ đó xác định giá trị của biến t

hoặc bạn có thể sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau. Đầu tiên nhân cả hai vế của phương trình với t



Sau đó chia cả hai vế cho 50



Ví dụ 2 x

Trừ cả hai vế của phương trình Một



Hãy chia cả hai vế của phương trình cho b



a + bx = c, thì chúng ta sẽ có giải pháp làm sẵn. Chỉ cần thay thế các giá trị cần thiết vào đó là đủ. Những giá trị sẽ được thay thế cho các chữ cái a, b, c thường được gọi là thông số. Và các phương trình dạng a + bx = c gọi điện phương trình với các tham số. Tùy theo thông số mà root sẽ thay đổi.

Hãy giải phương trình 2 + 4 x= 10 . Nó trông giống như một phương trình chữ cái a + bx = c. Thay vì thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta có thể sử dụng giải pháp làm sẵn. Hãy so sánh cả hai giải pháp:



Chúng tôi thấy rằng giải pháp thứ hai đơn giản và ngắn gọn hơn nhiều.

Đối với một giải pháp làm sẵn, cần phải đưa ra một nhận xét nhỏ. tham số b không được bằng 0 (b ≠ 0), vì được phép chia cho 0.

Ví dụ 3. Một phương trình theo nghĩa đen được đưa ra. Biểu diễn từ phương trình này x

Hãy mở ngoặc ở cả hai vế của phương trình

Hãy sử dụng phép chuyển giao các điều khoản. Tham số chứa một biến x, chúng tôi nhóm ở bên trái của phương trình và các tham số không có biến này - ở bên phải.

Ở phía bên trái, chúng tôi lấy hệ số ra khỏi ngoặc x

Hãy chia cả hai vế thành biểu thức a − b



Ở vế trái, tử số và mẫu số có thể giảm đi bằng a − b. Đây là cách biến cuối cùng được thể hiện x



Bây giờ, nếu chúng ta gặp một phương trình có dạng a(x − c) = b(x + d), thì chúng ta sẽ có giải pháp làm sẵn. Chỉ cần thay thế các giá trị cần thiết vào đó là đủ.

Giả sử chúng ta được cho phương trình 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Nó trông giống như một phương trình a(x − c) = b(x + d). Hãy giải quyết nó theo hai cách: sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau và sử dụng giải pháp làm sẵn:

Để thuận tiện, hãy đưa nó ra khỏi phương trình 4(x− 3) = 2(x+ 4) giá trị tham số Một, b, c, d . Điều này sẽ cho phép chúng ta không phạm sai lầm khi thay thế:



Như trong ví dụ trước, mẫu số ở đây không được bằng 0 ( a − b ≠ 0) . Nếu chúng ta gặp một phương trình có dạng a(x − c) = b(x + d) trong đó các thông số Một Và b sẽ giống nhau, chúng ta có thể nói mà không cần giải nó rằng phương trình này không có nghiệm, vì hiệu giữa các số giống nhau bằng 0.

Ví dụ, phương trình 2(x − 3) = 2(x + 4) là một phương trình có dạng a(x − c) = b(x + d). Trong phương trình. 2(x − 3) = 2(x + 4) thông số Một Và b giống hệt nhau. Nếu chúng ta bắt đầu giải nó, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng vế trái sẽ không bằng vế phải:



Ví dụ 4. Một phương trình theo nghĩa đen được đưa ra. Biểu diễn từ phương trình này x

Hãy đưa vế trái của phương trình về mẫu số chung:

Nhân cả hai vế với Một



Ở phía bên trái x hãy bỏ nó ra khỏi ngoặc



Hãy chia cả hai vế cho biểu thức (1 - Một)



Phương trình tuyến tính với một ẩn số

Các phương trình được thảo luận trong bài học này được gọi là phương trình tuyến tính bậc một với một ẩn số.

Nếu phương trình được đưa ra ở mức độ thứ nhất, không chứa phép chia cho ẩn số và cũng không chứa nghiệm của ẩn số thì nó có thể được gọi là tuyến tính. Chúng ta chưa nghiên cứu về lũy thừa và căn nguyên nên để không làm phức tạp cuộc sống, chúng ta sẽ hiểu từ “tuyến tính” là “đơn giản”.

Hầu hết các phương trình được giải trong bài học này cuối cùng đều trở thành một phương trình đơn giản trong đó bạn phải chia tích cho một thừa số đã biết. Ví dụ: đây là phương trình 2( x+ 3) = 16 . Hãy giải quyết nó.

Mở dấu ngoặc ở vế trái của phương trình, ta được 2 x+ 6 = 16. Chuyển số hạng 6 sang vế phải, đổi dấu. Sau đó chúng ta nhận được 2 x= 16 − 6. Tính vế phải ta được 2 x= 10. Để tìm x, chia tích 10 cho thừa số đã biết 2. Do đó x = 5.

Phương trình 2( x+ 3) = 16 là tuyến tính. Nó dẫn tới phương trình 2 x= 10, để tìm nghiệm của nó cần phải chia tích cho một thừa số đã biết. Phương trình đơn giản nhất này được gọi là phương trình tuyến tính bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc. Từ "chuẩn" đồng nghĩa với từ "đơn giản" hoặc "bình thường".

Một phương trình tuyến tính bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc được gọi là phương trình có dạng rìu = b.

Phương trình kết quả của chúng tôi 2 x= 10 là phương trình tuyến tính bậc một với một ẩn số ở dạng chính tắc. Phương trình này có bậc một, một ẩn số, nó không chứa phép chia cho ẩn số và không chứa các nghiệm từ ẩn số, và nó được trình bày dưới dạng chính tắc, nghĩa là ở dạng đơn giản nhất mà giá trị có thể được xác định dễ dàng x. Thay vì tham số Một Và b phương trình của chúng ta chứa các số 2 và 10. Nhưng phương trình như vậy cũng có thể chứa các số khác: dương, âm hoặc bằng 0.

Nếu trong phương trình tuyến tính Một= 0 và b= 0 thì phương trình có vô số nghiệm. Thật vậy, nếu Một bằng 0 và b bằng 0 thì phương trình tuyến tính rìu= b sẽ có dạng 0 x= 0 . Đối với bất kỳ giá trị x bên trái sẽ bằng bên phải.

Nếu trong phương trình tuyến tính Một= 0 và b≠ 0 thì phương trình không có nghiệm. Thật vậy, nếu Một bằng 0 và b bằng với một số nào đó không bằng 0, chẳng hạn như số 5, thì phương trình rìu = b sẽ có dạng 0 x= 5 . Bên trái sẽ bằng 0 và bên phải sẽ là 5. Và số không không bằng năm.

Nếu trong phương trình tuyến tính Một≠ 0, và b bằng bất kỳ số nào thì phương trình có một nghiệm. Nó được xác định bằng cách chia tham số b mỗi tham số Một

Thật vậy, nếu Một bằng một số nào đó không bằng 0, chẳng hạn như số 3, và b bằng một số nào đó, chẳng hạn như số 6, thì phương trình sẽ có dạng .
Từ đây.

Có một dạng khác để viết phương trình tuyến tính bậc một với một ẩn số. Nó trông như thế này: ax−b= 0 . Đây là phương trình tương tự như rìu = b

Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm VKontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới