Bến du thuyền Erdnigoyaeva
Tác phẩm này là kết quả của việc nghiên cứu một chủ đề thuộc môn tự chọn ở lớp 8. Các phép biến đổi hình học của đồ thị và ứng dụng của chúng để xây dựng đồ thị với các mô-đun được trình bày ở đây. Khái niệm về mô-đun và các thuộc tính của nó được giới thiệu. Nó trình bày cách xây dựng đồ thị với các mô-đun theo nhiều cách khác nhau: sử dụng các phép biến đổi và dựa trên khái niệm về mô-đun. Chủ đề của dự án là một trong những chủ đề khó nhất trong môn toán, nó liên quan đến các vấn đề được xem xét trong các môn tự chọn. học trong các lớp có môn toán nâng cao. Tuy nhiên, những nhiệm vụ như vậy được đưa ra trong phần thứ hai của GIA, trong Kỳ thi Thống nhất. Công việc này sẽ giúp bạn hiểu cách xây dựng đồ thị với các mô-đun không chỉ tuyến tính mà còn các hàm khác (bậc hai, tỷ lệ nghịch, v.v.). Công việc này sẽ giúp chuẩn bị cho Kỳ thi cấp Bang và Kỳ thi cấp Bang thống nhất.
Tải xuống:
Xem trước:
Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo tài khoản Google và đăng nhập vào tài khoản đó: https://accounts.google.com
Chú thích slide:
Đồ thị của hàm tuyến tính với các mô-đun Tác phẩm của Erdnigoryaeva Marina, học sinh lớp 8 MCOU "trường trung học cơ sở Kamyshovskaya" Giám thị Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, giáo viên toán của MCOU "trường trung học Kamyshovskaya" tr. Kamyshevo, 2013
Mục tiêu của dự án: Trả lời câu hỏi làm thế nào để xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính bằng mô-đun. Mục tiêu dự án: Nghiên cứu tài liệu về vấn đề này. Nghiên cứu các phép biến đổi hình học của đồ thị và ứng dụng của chúng trong việc xây dựng đồ thị bằng mô đun. Nghiên cứu khái niệm về mô-đun và các thuộc tính của nó. Tìm hiểu cách xây dựng biểu đồ với các mô-đun theo nhiều cách khác nhau.
Tỷ lệ trực tiếp Tỷ lệ trực tiếp là một hàm có thể được xác định bằng công thức có dạng y=kx, trong đó x là biến độc lập, k là số khác 0.
Hãy vẽ đồ thị hàm số y = x x 0 2 y 0 2
Phép biến đổi hình học của đồ thị Quy tắc số 1 Đồ thị của hàm số y = f(x) + k - là hàm tuyến tính - thu được bằng cách truyền song song đồ thị của hàm số y = f(x) theo + k đơn vị lên O trục y đối với k> 0 hoặc |- k| đơn vị dọc theo trục O y tại k
Hãy xây dựng đồ thị y=x+3 y=x-2
Quy tắc số 2 Đồ thị của hàm số y=kf(x) thu được bằng cách kéo dài đồ thị của hàm số y = f (x) dọc theo trục O y một lần tại a>1 và nén nó dọc theo trục O y a lần tại 0Trượt 9
Hãy vẽ đồ thị y=x y= 2 x
Quy tắc số 3 Đồ thị của hàm số y = - f(x) thu được bằng cách biểu diễn đối xứng đồ thị y = f(x) so với trục O x
Quy tắc số 4 Đồ thị của hàm số y = f (- x) thu được bằng cách biểu diễn đối xứng đồ thị của hàm số y = f(x) so với trục O y
Quy tắc số 5 Đồ thị của hàm số y=f(x+c) thu được bằng cách truyền song song đồ thị của hàm y=f(x) dọc theo trục O x sang phải, nếu c 0.
Hãy xây dựng đồ thị y=f(x) y=f(x+2)
Định nghĩa mô đun Mô đun của số không âm a bằng chính số a; Mô đun của số âm a bằng số dương đối diện của nó -a. Hoặc, |a|=a, nếu a ≥0 |a|=-a, nếu a
Xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính mô đun: sử dụng các phép biến đổi hình học bằng cách mở rộng định nghĩa của mô đun.
Quy tắc số 6 Đồ thị hàm số y=|f(x)| thu được như sau: phần đồ thị y=f(x) nằm phía trên trục O x được giữ nguyên; phần nằm dưới trục O x được hiển thị đối xứng so với trục O x.
Vẽ đồ thị hàm số y=-2| x-3|+4 Xây dựng y ₁=| x | Chúng tôi xây dựng y₂= |x - 3 | → dịch song song +3 đơn vị dọc theo trục Ox (dịch chuyển sang phải) Ta xây dựng y ₃ =+2|x-3| → kéo dài dọc theo trục O y 2 lần = 2 y₂ Chúng ta xây dựng y ₄ =-2|x-3| → tính đối xứng quanh trục x = - y₃ Ta xây dựng y₅ =-2|x-3|+4 → dịch song song theo +4 đơn vị dọc theo trục O y (dịch chuyển lên trên) = y ₄ +4
Đồ thị của hàm số y =-2|x-3|+4
Đồ thị của hàm số y= 3|x|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → kéo dài 3 lần y₃=3|x| +2= y₄+2 → dịch chuyển lên 2 đơn vị
Quy tắc số 7 Đồ thị của hàm số y=f(| x |) được lấy từ đồ thị của hàm số y=f(x) như sau: Với x > 0, đồ thị của hàm số được bảo toàn và tương tự một phần của đồ thị được hiển thị đối xứng so với trục O y
Vẽ đồ thị hàm số y = || x-1 | -2 |
Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|
Thuật toán xây dựng đồ thị của hàm y=│f(│x│)│ xây dựng đồ thị của hàm y=f(│x│) . sau đó giữ nguyên tất cả các phần của đồ thị đã xây dựng nằm phía trên trục x. các phần nằm bên dưới trục x được hiển thị đối xứng qua trục này.
Y=|2|x|-3| Cách xây dựng: a) y=2x-3 với x>0, b) y=-2x-3 với x Trang chiếu 26
Biểu đồ phụ thuộc quy tắc số 8 | y|=f(x) thu được từ đồ thị của hàm y=f(x) nếu tất cả các điểm mà f(x) > 0 được bảo toàn và chúng cũng được chuyển đối xứng so với trục hoành.
Xây dựng một tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tọa độ Descartes x và y thỏa mãn phương trình |y|=||x-1|-1|.
| y|=||x-1| -1| chúng tôi xây dựng hai đồ thị 1) y=||x-1|-1| và 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → dịch chuyển dọc theo trục Ox sang phải 1 đơn vị y₃ = | x -1 |- 1= → dịch xuống 1 đơn vị y ₄ = || x-1|- 1| → tính đối xứng của các điểm đồ thị mà y₃ 0 so với O x
Đồ thị của phương trình |y|=||x-1|-1| chúng ta thu được như sau: 1) xây dựng đồ thị của hàm y=f(x) và giữ nguyên phần của nó trong đó y ≥0 2) sử dụng tính đối xứng quanh trục Ox, xây dựng một phần khác của đồ thị tương ứng với y
Vẽ đồ thị hàm số y =|x | − | 2 − x | . Giải pháp. Ở đây dấu mô đun xuất hiện dưới hai thuật ngữ khác nhau và phải được loại bỏ. 1) Tìm nghiệm của các biểu thức mô đun con: x=0, 2-x=0, x=2 2) Đặt dấu trên các khoảng:
Đồ thị của hàm số
Kết luận Đề tài là một trong những đề tài khó của môn Toán, liên quan đến những vấn đề được xem xét trong các môn tự chọn và được nghiên cứu trong các tiết học chuyên sâu của môn Toán. Tuy nhiên, những nhiệm vụ như vậy được đưa ra trong phần thứ hai của GIA. Công việc này sẽ giúp bạn hiểu cách xây dựng đồ thị với các mô đun không chỉ của các hàm tuyến tính mà còn của các hàm khác (bậc hai, tỷ lệ nghịch, v.v.). Công việc sẽ giúp chuẩn bị cho Kỳ thi cấp Bang và Kỳ thi cấp Bang thống nhất và sẽ cho phép bạn đạt điểm cao trong môn toán.
Văn học Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Toán học.” Sách giáo khoa lớp 6 Matxcova. Nhà xuất bản “Mnemosyne”, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. và đại số khác. Lớp 8: giáo dục. Sách hướng dẫn dành cho học sinh và các lớp học nâng cao về toán học. - Mátxcơva. Khai sáng, 2009 Gaidukov I.I. “Giá trị tuyệt đối.” Mátxcơva. Khai sáng, 1968. Gursky I.P. “Chức năng và đồ thị.” Mátxcơva. Khai sáng, 1968. Yashchina N.V. Kỹ thuật xây dựng đồ thị chứa các mô-đun. Tạp chí “Toán học ở trường”, số 3, 1994 Bách khoa toàn thư cho trẻ em. Mátxcơva. “Sư phạm”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Vấn đề toán học. M., “Khoa học”, 1993. Petrkov I.S. Câu lạc bộ toán lớp 8-10. M., “Khai sáng”, 1987. Galitsky M.L. và các bài khác. Tuyển tập các bài toán đại số lớp 8-9: Sách giáo khoa dành cho học sinh và các lớp học nâng cao về toán. – tái bản lần thứ 12. – M.: Giáo dục, 2006. – 301 tr. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Đại số: Các chương bổ sung sách giáo khoa lớp 9: Sách giáo khoa dành cho học sinh các trường, lớp nghiên cứu chuyên sâu về toán / Dorofeev biên tập. – M.: Giáo dục, 1997. – 224 tr. Sadykina N. Xây dựng đồ thị và sự phụ thuộc có chứa dấu hiệu mô đun / Toán học. - Số 33. – 2004. – tr. 19-21 .. Kostrikina N.P. “Các bài toán về độ khó tăng dần trong chương trình đại số lớp 7-9”... Moscow: Education, 2008.
Dấu hiệu mô đun có lẽ là một trong những hiện tượng thú vị nhất trong toán học. Về vấn đề này, nhiều học sinh đặt ra câu hỏi về cách xây dựng đồ thị hàm số chứa một mô-đun. Chúng ta hãy xem xét vấn đề này một cách chi tiết.
1. Vẽ đồ thị hàm số chứa module
Ví dụ 1.
Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 – 8|x| + 12.
Giải pháp.
Hãy xác định tính chẵn lẻ của hàm số. Giá trị của y(-x) giống với giá trị của y(x), do đó hàm này là hàm chẵn. Khi đó đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy. Chúng ta vẽ hàm số y = x 2 – 8x + 12 với x ≥ 0 và hiển thị đối xứng đồ thị đối với Oy đối với x âm (Hình 1).
Ví dụ 2.
Đồ thị sau có dạng y = |x 2 – 8x + 12|.
– Khoảng giá trị của hàm đề xuất là bao nhiêu? (y ≥ 0).
– Lịch trình được sắp xếp như thế nào? (Ở trên hoặc chạm vào trục x).
Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số thu được như sau: vẽ đồ thị của hàm số y = x 2 – 8x + 12, giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox và phần đồ thị nằm dưới trục hoành độ được hiển thị đối xứng so với trục Ox (Hình 2).
Ví dụ 3.
Để vẽ đồ thị hàm số y = |x 2 – 8|x| + 12| thực hiện tổ hợp các phép biến đổi:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Trả lời: Hình 3.
Các phép biến đổi được xem xét là hợp lệ cho tất cả các loại hàm. Hãy lập một bảng:
2. Vẽ đồ thị hàm số chứa “nested module” trong công thức
Chúng ta đã làm quen với các ví dụ về hàm bậc hai chứa môđun, cũng như các quy tắc chung để xây dựng đồ thị hàm số có dạng y = f(|x|), y = |f(x)| và y = |f(|x|)|. Những phép biến đổi này sẽ giúp ích cho chúng ta khi xem xét ví dụ sau.
Ví dụ 4.
Xét hàm số có dạng y = |2 – |1 – |x|||. Biểu thức hàm chứa "các mô-đun lồng nhau".
Giải pháp.
Hãy sử dụng phương pháp biến đổi hình học.
Hãy viết ra một chuỗi các phép biến đổi tuần tự và tạo một bản vẽ tương ứng (Hình 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Hãy xem xét các trường hợp khi phép biến đổi đối xứng và dịch song song không phải là kỹ thuật chính khi xây dựng đồ thị.
Ví dụ 5.
Xây dựng đồ thị hàm số có dạng y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.
Giải pháp.
Trước khi xây dựng biểu đồ, chúng ta biến đổi công thức xác định hàm và nhận được một phép gán phân tích khác của hàm (Hình 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Hãy mở rộng mô-đun ở mẫu số:
Với x > -2, y = x – 2 và với x< -2, y = -(x – 2).
Miền D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Phạm vi giá trị E(y) = (-4; +∞).
Các điểm mà đồ thị cắt trục tọa độ: (0; -2) và (2; 0).
Hàm giảm đối với tất cả x từ khoảng (-∞; -2), tăng đối với x từ -2 đến +∞.
Ở đây chúng ta phải tìm dấu môđun và vẽ đồ thị hàm số cho từng trường hợp.
Ví dụ 6.
Xét hàm số y = |x + 1| – |x – 2|.
Giải pháp.
Mở rộng dấu của một môđun, cần xem xét mọi tổ hợp dấu của các biểu thức môđun con có thể có.
Có bốn trường hợp có thể xảy ra:
(x + 1 – x + 2 = 3, với x ≥ -1 và x ≥ 2;
(-x – 1 + x – 2 = -3, tại x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, với x ≥ -1 và x< 2;
(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, tại x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Sau đó, hàm ban đầu sẽ trông như sau:
(3, với x ≥ 2;
y = (-3, tại x< -1;
(2x – 1, với -1 ≤ x< 2.
Chúng tôi đã thu được một hàm đã cho từng phần, đồ thị của hàm này được hiển thị trong Hình 6.
3. Thuật toán xây dựng đồ thị hàm số dạng
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + rìu + b.
Trong ví dụ trước, việc tìm ra dấu hiệu mô đun là khá dễ dàng. Nếu có nhiều tổng môđun hơn thì việc xem xét tất cả các tổ hợp dấu của biểu thức môđun con sẽ có vấn đề. Trong trường hợp này, làm thế nào để xây dựng đồ thị của hàm số?
Lưu ý rằng đồ thị là một đường đứt nét, với các đỉnh tại các điểm có hoành độ -1 và 2. Tại x = -1 và x = 2, các biểu thức mô đun con bằng 0. Trong thực tế, chúng ta đã tiến gần hơn đến quy tắc xây dựng các đồ thị như vậy:
Đồ thị hàm số có dạng y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b là đường đứt nét với vô số liên kết cực trị. Để xây dựng một đường đứt đoạn như vậy, chỉ cần biết tất cả các đỉnh của nó là đủ (trục hoành của các đỉnh là số 0 của biểu thức mô đun con) và một điểm điều khiển ở các liên kết vô hạn bên trái và bên phải. 
Nhiệm vụ.
Vẽ đồ thị hàm số y = |x| + |x – 1| + |x + 1| và tìm giá trị nhỏ nhất của nó.
Giải pháp:
Số không của biểu thức mô đun con: 0; -1; 1. Các đỉnh của đường đứt nét (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Điểm kiểm soát ở bên phải (2; 6), ở bên trái (-2; 6). Chúng tôi xây dựng một biểu đồ (Hình 7). tối thiểu f(x) = 2.
Vẫn còn thắc mắc? Bạn không biết cách vẽ đồ thị hàm số bằng mô đun?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư, hãy đăng ký.
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.
Hộp cát
Barack Adama Ngày 3 tháng 3 năm 2013 lúc 7:43 chiềuGIA - vẽ đồ thị hàm số với dấu mô đun
Xin chào tất cả! Hôm nay tôi muốn giải thích một chủ đề như biểu đồ. Hầu hết mọi người có thể biết cách vẽ đồ thị đơn giản của các hàm số như y=x^2 hoặc y=1/x. Làm thế nào để xây dựng đồ thị với dấu hiệu mô đun?
Nhiệm vụ 1. Xây dựng đồ thị của hàm số y=|x| y=|x-1|.
Giải pháp. Hãy so sánh nó với đồ thị của hàm y=|x|. Với x dương, ta có |x|=x. Điều này có nghĩa là đối với các giá trị dương của đối số, biểu đồ y=|x| trùng với đồ thị y=x, nghĩa là phần này của đồ thị là một tia ló ra từ gốc tọa độ một góc 45 độ so với trục hoành. Tại x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Tuy nhiên, nửa sau của biểu đồ (đối với X âm) có thể dễ dàng thu được từ nửa đầu tiên nếu bạn nhận thấy rằng hàm y=|x| - chẵn, vì |-a|=|a|. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm y=|x| đối xứng qua trục Oy và nửa sau của đồ thị có thể thu được bằng cách phản chiếu về trục y phần được vẽ cho x dương. Biểu đồ kết quả trông như thế này:
Để xây dựng, chúng ta lấy các điểm (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).
Bây giờ đồ thị là y=|x-1|. Nếu A là một điểm đồ thị y=|x| với tọa độ (a;|a|), thì điểm đồ thị y=|x-1| có cùng giá trị tọa độ Y sẽ có điểm A1(a+1;|a|). (Tại sao?) Điểm này của đồ thị thứ hai có thể thu được từ điểm A(a;|a|) của đồ thị thứ nhất bằng cách dịch chuyển song song với trục Ox sang phải. Điều này có nghĩa là toàn bộ đồ thị của hàm y=|x-1| được lấy từ đồ thị của hàm y=|x| dịch chuyển song song với trục Ox sang phải 1.
Hãy xây dựng đồ thị:
Y=|x-1|
Để xây dựng, chúng ta lấy các điểm (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).
Đó là một nhiệm vụ đơn giản. Bây giờ đây là điều khiến nhiều người khiếp sợ.
Nhiệm vụ 2. Vẽ hàm số y=3*|x-4| - x + |x+1|.
Giải pháp. Chúng ta hãy tìm những điểm mà tại đó các biểu thức mô đun con biến mất, tức là cái gọi là điểm “quan trọng” của hàm số. Những điểm này sẽ là x=-1 và x=4. Tại những điểm này, biểu thức mô đun con có thể đổi dấu.
Hãy để x<-1.
Sau đó x+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Hãy để -1< = x < = 4.
Khi đó x+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Đặt x>4. Khi đó x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Do đó y= 3(x-4)-x+x+1= 3x-11.
Điều này có nghĩa là chúng ta cần xây dựng một biểu đồ của hàm (chính xác là một)
( y= -5x+11, tại x<-1
( y= -3х+13, tại -1< = x < = 4.
( y= 3x-11, với x>4
Để xây dựng cái đầu tiên, lấy điểm (1; 6) (2; 1)
Để xây dựng cái thứ hai, lấy điểm (3; 4) (4; 1)
Để xây dựng phần thứ ba, chúng ta lấy điểm (3; -2) (4; 1)
Chà, nhiệm vụ cuối cùng của ngày hôm nay mà chúng ta sẽ phân tích.
Nhiệm vụ 3. Vẽ đồ thị hàm số y= |1/4 x^2 - |x| - 3|.
Giải pháp. Hàm y= |f(|x|)| thậm chí Cần xây dựng đồ thị của hàm số cho x>=0 y= f(x), sau đó phản ánh đối xứng nó so với trục Oy (đây là đồ thị y= |1/4 x^2 - x - 3| .), và cuối cùng, phần đồ họa thu được, nằm ở nửa mặt phẳng dưới, được phản ánh đối xứng so với trục Ox (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.) .
Đây là kết quả của nó:
Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|
Vì vậy, cảm ơn tất cả mọi người! Bây giờ chúng ta đã có cơ sở kiến thức cần thiết để vẽ đồ thị với dấu mô đun! Bởi vì mọi người đều rất sợ anh ta.
Từ khóa: toán học