Hình thang cân là gì? Đây là một hình hình học có các cạnh đối diện, không song song bằng nhau. Có một số công thức khác nhau để tìm diện tích hình thang với các điều kiện khác nhau được đưa ra trong các bài toán. Nghĩa là, diện tích có thể được tìm thấy nếu biết chiều cao, cạnh, góc, đường chéo, v.v. Cũng không thể không nhắc đến rằng đối với các hình thang cân cũng có một số “ngoại lệ”, nhờ đó việc tìm kiếm diện tích và bản thân công thức được đơn giản hóa đáng kể. Dưới đây là giải pháp chi tiết cho từng trường hợp kèm theo ví dụ.
Các tính chất cần thiết để tìm diện tích hình thang cân
Chúng ta đã phát hiện ra rằng một hình hình học có các cạnh đối diện, không song song nhưng bằng nhau là hình thang và hình cân. Có những trường hợp đặc biệt khi hình thang được coi là hình cân.
- Đây là điều kiện để các góc bằng nhau. Vì vậy, một điểm bắt buộc: các góc ở đáy (chụp ảnh bên dưới) phải bằng nhau. Trong trường hợp này, góc BAD = góc CDA và góc ABC = góc BCD
- Nguyên tắc quan trọng thứ hai là trong hình thang như vậy, các đường chéo phải bằng nhau. Do đó AC = BD.
- Khía cạnh thứ ba: các góc đối diện của hình thang phải cộng lại bằng 180 độ. Vậy góc ABC + góc CDA = 180 độ. Điều tương tự cũng áp dụng cho các góc BCD và BAD.
- Thứ tư, nếu một hình thang cho phép mô tả một hình tròn xung quanh nó thì đó là hình cân.
Cách tìm diện tích hình thang cân - công thức và mô tả của chúng
- S = (a+b)h/2 là công thức phổ biến nhất để tìm diện tích, trong đó MỘT - đế dưới, b là đáy trên, h là chiều cao.
- Nếu không xác định được chiều cao thì bạn có thể tìm kiếm nó bằng công thức tương tự: h = c*sin(x), trong đó c là AB hoặc CD. sin(x) là sin của góc ở một đáy bất kỳ, nghĩa là góc DAB = góc CDA = x. Cuối cùng, công thức có dạng này: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
- Chiều cao cũng có thể được tìm thấy bằng công thức này:
- Công thức cuối cùng trông như thế này:
- Diện tích của một hình thang cân có thể được tìm thấy thông qua đường giữa và chiều cao. Công thức là: S = mh.
Chúng ta xét điều kiện khi một đường tròn nội tiếp trong một hình thang.
Trong trường hợp hiển thị trong hình ảnh,
QN = D = H – đường kính hình tròn, đồng thời là chiều cao của hình thang;
LO, ON, OQ = R – bán kính đường tròn;
DC = a – đáy trên;
AB = b – đáy dưới;
DAB, ABC, BCD, CDA – alpha, beta – các góc của đáy hình thang.
Một trường hợp tương tự cho phép tìm diện tích bằng các công thức sau:
- Bây giờ chúng ta hãy thử tìm diện tích thông qua các đường chéo và các góc giữa chúng.
Trong hình chúng ta biểu thị AC, DB – các đường chéo – d. Các góc COB, DOB – alpha; DOC, AOB-beta. Công thức tính diện tích hình thang cân bằng cách sử dụng các đường chéo và góc giữa chúng, ( S ) là:
Thực tiễn của Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi cấp Bang năm ngoái cho thấy các bài toán hình học gây khó khăn cho nhiều học sinh. Bạn có thể dễ dàng đối phó với chúng nếu bạn ghi nhớ tất cả các công thức cần thiết và thực hành giải quyết vấn đề.
Trong bài viết này, bạn sẽ thấy các công thức tính diện tích hình thang, cũng như các ví dụ về các bài toán có lời giải. Bạn có thể gặp những KIM tương tự trong kỳ thi chứng chỉ hoặc tại Olympic. Vì vậy, hãy đối xử với chúng một cách cẩn thận.
Những điều bạn cần biết về hình thang?
Để bắt đầu, chúng ta hãy nhớ rằng hình thangđược gọi là một tứ giác có hai cạnh đối diện, còn gọi là đáy, song song, còn hai cạnh kia thì không.
Trong hình thang, chiều cao (vuông góc với đáy) cũng có thể giảm xuống. Đường ở giữa được vẽ - đây là đường thẳng song song với các cơ sở và bằng một nửa tổng của chúng. Cũng như các đường chéo có thể giao nhau, tạo thành các góc nhọn và tù. Hoặc, trong một số trường hợp, ở một góc vuông. Ngoài ra, nếu hình thang là hình cân thì có thể nội tiếp một hình tròn trong đó. Và mô tả một vòng tròn xung quanh nó.
Công thức tính diện tích hình thang
Đầu tiên, chúng ta hãy xem các công thức tiêu chuẩn để tìm diện tích hình thang. Chúng ta sẽ xem xét các cách tính diện tích hình thang cân và hình thang cong dưới đây.
Vì vậy, hãy tưởng tượng rằng bạn có một hình thang có đáy a và b, trong đó chiều cao h được hạ xuống đáy lớn hơn. Tính diện tích của một hình trong trường hợp này dễ như bóc vỏ quả lê. Bạn chỉ cần chia tổng độ dài của các đáy cho 2 và nhân kết quả với chiều cao: S = 1/2(a + b)*h.
Xét một trường hợp khác: giả sử trong một hình thang, ngoài chiều cao còn có đường trung tuyến m. Chúng ta biết công thức tính độ dài đường giữa: m = 1/2(a + b). Do đó, chúng ta có thể đơn giản hóa một cách chính xác công thức tính diện tích hình thang về dạng sau: S = m*h. Nói cách khác, để tìm diện tích hình thang, bạn cần nhân đường tâm với chiều cao.
Hãy xem xét một phương án khác: hình thang có các đường chéo d 1 và d 2 không cắt nhau ở góc vuông α. Để tính diện tích của một hình thang như vậy, bạn cần chia tích của các đường chéo cho hai và nhân kết quả với sin của góc giữa chúng: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Bây giờ hãy xem xét công thức tính diện tích hình thang nếu không biết gì về nó ngoại trừ độ dài tất cả các cạnh của nó: a, b, c và d. Đây là một công thức rườm rà và phức tạp, nhưng sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ nó trong trường hợp: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Nhân tiện, các ví dụ trên cũng đúng cho trường hợp bạn cần công thức tính diện tích hình thang hình chữ nhật. Đây là một hình thang, cạnh của nó tiếp giáp với các đáy theo một góc vuông.
Hình thang cân
Hình thang có các cạnh bằng nhau được gọi là hình cân. Chúng ta sẽ xem xét một số phương án về công thức tính diện tích hình thang cân.
Phương án thứ nhất: trong trường hợp đường tròn có bán kính r nội tiếp bên trong một hình thang cân, cạnh và đáy lớn hơn tạo thành một góc nhọn α. Một hình tròn có thể nội tiếp trong một hình thang với điều kiện tổng độ dài hai đáy của nó bằng tổng độ dài các cạnh.
Diện tích của hình thang cân được tính như sau: nhân bình phương bán kính của hình tròn nội tiếp với 4 và chia tất cả cho sinα: S = 4r 2 /sinα. Một công thức diện tích khác là trường hợp đặc biệt cho phương án khi góc giữa đáy lớn và cạnh bên là 30 0: S = 8r2.
Tùy chọn thứ hai: lần này chúng ta lấy một hình thang cân, ngoài ra còn vẽ các đường chéo d 1 và d 2, cũng như chiều cao h. Nếu các đường chéo của hình thang vuông góc với nhau thì chiều cao bằng nửa tổng hai đáy: h = 1/2(a + b). Biết được điều này, bạn có thể dễ dàng chuyển công thức tính diện tích hình thang đã quen thuộc sang dạng này: S = h 2.
Công thức tính diện tích hình thang cong
Hãy bắt đầu bằng việc tìm hiểu hình thang cong là gì. Hãy tưởng tượng một trục tọa độ và đồ thị của hàm f liên tục và không âm không đổi dấu trong một đoạn cho trước trên trục x. Một hình thang cong được tạo bởi đồ thị của hàm y = f(x) - ở trên cùng, trục x ở dưới cùng (đoạn) và ở hai bên - các đường thẳng được vẽ giữa các điểm a và b và đồ thị của chức năng.
Không thể tính diện tích của một hình không chuẩn như vậy bằng các phương pháp trên. Ở đây bạn cần áp dụng phân tích toán học và sử dụng tích phân. Cụ thể: công thức Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Trong công thức này, F là nguyên hàm của hàm trên đoạn đã chọn. Và diện tích của hình thang cong tương ứng với sự tăng dần của nguyên hàm trên một đoạn đã cho.
Vấn đề mẫu
Để làm cho tất cả các công thức này dễ hiểu hơn trong đầu bạn, đây là một số ví dụ về các bài toán tìm diện tích hình thang. Sẽ tốt nhất nếu trước tiên bạn cố gắng tự mình giải quyết vấn đề và chỉ sau đó so sánh câu trả lời bạn nhận được với giải pháp làm sẵn.
Nhiệm vụ số 1: Cho một hình thang. Đế lớn của nó là 11 cm, đế nhỏ hơn là 4 cm. Hình thang có hai đường chéo, một hình dài 12 cm, hình thứ hai dài 9 cm.
Giải: Dựng hình thang AMRS. Vẽ đường thẳng РХ đi qua đỉnh P sao cho song song với đường chéo MC và cắt đường thẳng AC tại điểm X. Ta được tam giác APХ.
Chúng ta sẽ xem xét hai hình thu được nhờ các thao tác này: tam giác APX và hình bình hành CMRX.
Nhờ hình bình hành ta biết PX = MC = 12 cm và CX = MR = 4 cm. Từ đó tính được cạnh AX của tam giác ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Chúng ta cũng có thể chứng minh tam giác APX vuông (để làm được điều này, hãy áp dụng định lý Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Và tính diện tích của nó: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Tiếp theo bạn cần chứng minh rằng các tam giác AMP và PCX có diện tích bằng nhau. Cơ sở sẽ là sự bình đẳng của các bên MR và CX (đã được chứng minh ở trên). Và cả chiều cao mà bạn hạ xuống ở các cạnh này - chúng bằng chiều cao của hình thang AMRS.
Tất cả điều này sẽ cho phép bạn nói rằng S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Nhiệm vụ số 2: KRMS hình thang đã cho. Trên các cạnh của nó có các điểm O và E, trong khi OE và KS song song. Người ta cũng biết rằng diện tích của hình thang ORME và OKSE có tỉ lệ 1:5. RM = a và KS = b. Bạn cần tìm OE.
Lời giải: Vẽ đường thẳng song song với RK đi qua điểm M và gọi giao điểm của nó với OE là T. A là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm E song song với RK với đáy KS.
Hãy giới thiệu thêm một ký hiệu nữa - OE = x. Và cả chiều cao h 1 của tam giác TME và chiều cao h 2 của tam giác AEC (bạn có thể chứng minh độc lập sự giống nhau của các tam giác này).
Chúng ta sẽ giả sử rằng b > a. Diện tích của hình thang ORME và OKSE có tỷ lệ 1:5, cho phép chúng ta lập phương trình sau: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Hãy biến đổi và nhận được: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Vì hai tam giác TME và AEC đồng dạng nên ta có h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Hãy kết hợp cả hai phần tử và nhận được: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Do đó, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Phần kết luận
Hình học không phải là môn khoa học dễ nhất, nhưng bạn chắc chắn có thể giải quyết được các câu hỏi thi. Chỉ cần thể hiện một chút kiên trì trong quá trình chuẩn bị là đủ. Và tất nhiên, hãy nhớ tất cả các công thức cần thiết.
Chúng tôi đã cố gắng tập hợp tất cả các công thức tính diện tích hình thang vào một chỗ để các bạn có thể sử dụng khi chuẩn bị cho kỳ thi và ôn tập tài liệu.
Hãy nhớ nói với bạn cùng lớp và bạn bè trên mạng xã hội về bài viết này. Hãy để có nhiều điểm tốt hơn cho Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi cấp Bang!
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.
Có nhiều cách để tìm diện tích hình thang. Thông thường một gia sư toán biết một số phương pháp tính toán, chúng ta hãy xem xét chúng chi tiết hơn:
1) 
, trong đó AD và BC là đáy, BH là chiều cao của hình thang. Chứng minh: Vẽ đường chéo BD và biểu thị diện tích các tam giác ABD và CDB bằng nửa tích hai đáy và chiều cao:
, trong đó DP là chiều cao bên ngoài trong
Chúng ta hãy cộng các đẳng thức này theo từng số hạng và tính đến việc độ cao BH và DP bằng nhau, chúng ta thu được:
Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc
Q.E.D.
Hệ quả của công thức tính diện tích hình thang:
Vì tổng nửa ba đáy bằng MN - đường trung bình của hình thang nên
2) Áp dụng công thức tổng quát về diện tích tứ giác.
Diện tích của một hình tứ giác bằng một nửa tích của các đường chéo nhân với sin của góc giữa chúng
Để chứng minh, chỉ cần chia hình thang thành 4 hình tam giác, biểu thị diện tích mỗi hình thông qua “một nửa tích của hai đường chéo và sin của góc giữa chúng” (lấy làm góc, cộng các biểu thức thu được, đưa chúng ra khỏi dấu ngoặc và phân tích dấu ngoặc này bằng cách sử dụng phương pháp nhóm để đạt được sự bằng nhau của biểu thức Do đó.
3) Phương pháp dịch chuyển đường chéo
Đây là tên của tôi. Gia sư toán sẽ không bắt gặp tiêu đề như vậy trong sách giáo khoa ở trường. Mô tả về kỹ thuật này chỉ có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa bổ sung như một ví dụ về cách giải quyết vấn đề. Tôi xin lưu ý rằng hầu hết những điều thú vị và hữu ích về phép đo phẳng đều được các gia sư toán tiết lộ cho học sinh trong quá trình làm bài tập thực tế. Điều này cực kỳ kém tối ưu, vì học sinh cần tách chúng thành các định lý riêng biệt và gọi chúng là “những tên tuổi lớn”. Một trong số đó là "sự dịch chuyển theo đường chéo". Chúng ta đang nói về cái gì vậy? Chúng ta vẽ một đường thẳng song song với AC qua đỉnh B cho đến khi nó cắt đáy dưới tại điểm E. Trong trường hợp này, tứ giác EBCA sẽ là hình bình hành (theo định nghĩa) và do đó BC=EA và EB=AC. Sự bình đẳng đầu tiên rất quan trọng đối với chúng tôi bây giờ. Chúng tôi có:
Lưu ý rằng tam giác BED, có diện tích bằng diện tích hình thang, có một số tính chất đáng chú ý hơn:
1) Diện tích của nó bằng diện tích hình thang
2) Các đường cân của nó xuất hiện đồng thời với các đường cân của hình thang
3) Góc trên tại đỉnh B bằng góc giữa hai đường chéo của hình thang (rất thường được sử dụng trong các bài toán) 
4) Trung tuyến BK của nó bằng khoảng cách QS giữa trung điểm các đáy của hình thang. Gần đây tôi đã biết cách sử dụng tính chất này khi chuẩn bị cho một sinh viên ngành Cơ học và Toán học tại Đại học Tổng hợp Moscow sử dụng sách giáo khoa của Tkachuk, phiên bản 1973 (bài toán được đưa ra ở cuối trang).
Những kỹ thuật đặc biệt dành cho gia sư toán.
Đôi khi tôi đề xuất các bài toán bằng cách sử dụng một cách rất phức tạp để tìm diện tích hình thang. Tôi xếp nó vào loại kỹ thuật đặc biệt vì trong thực tế gia sư rất hiếm khi sử dụng chúng. Nếu bạn chỉ cần chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất môn toán ở Phần B, thì bạn không cần phải đọc về chúng. Đối với những người khác, tôi sẽ nói với bạn thêm. Hóa ra diện tích của hình thang gấp đôi diện tích của một tam giác có các đỉnh ở cuối một cạnh và ở giữa cạnh kia, tức là tam giác ABS trong hình: 
Chứng minh: Vẽ đường cao SM và SN của các tam giác BCS và ADS và tính tổng diện tích các tam giác này:
Vì điểm S là trung điểm của CD nên (Hãy tự chứng minh tổng diện tích của các tam giác:
Vì tổng này hóa ra bằng một nửa diện tích của hình thang nên nửa sau của nó. Vân vân.
Trong bộ sưu tập các kỹ thuật đặc biệt của gia sư, tôi sẽ đưa vào dạng tính diện tích của một hình thang cân dọc theo các cạnh của nó: trong đó p là bán chu vi của hình thang. Tôi sẽ không đưa ra bằng chứng. Nếu không, gia sư toán của bạn sẽ không có việc làm :). Hãy đến lớp!
Các bài toán về diện tích hình thang:
Ghi chú của gia sư toán: Danh sách dưới đây không phải là phương pháp đi kèm với chủ đề, nó chỉ là một lựa chọn nhỏ các nhiệm vụ thú vị dựa trên các kỹ thuật đã thảo luận ở trên.
1) Đáy dưới của hình thang cân là 13, đáy trên là 5. Tìm diện tích hình thang nếu đường chéo của nó vuông góc với một cạnh.
2) Tìm diện tích hình thang nếu hai đáy của nó là 2 cm và 5 cm, các cạnh của nó là 2 cm và 3 cm.
3) Trong một hình thang cân, đáy lớn là 11, cạnh là 5 và đường chéo là Tìm diện tích của hình thang.
4) Đường chéo của hình thang cân là 5 và đường giữa là 4. Tìm diện tích.
5) Trong một hình thang cân, hai đáy là 12 và 20, hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang
6) Đường chéo của hình thang cân tạo một góc với đáy dưới. Tìm diện tích hình thang nếu chiều cao của nó là 6 cm.
7) Diện tích của hình thang là 20 và một trong các cạnh của nó là 4 cm. Tìm khoảng cách đến nó từ giữa cạnh đối diện.
8) Đường chéo của một hình thang cân chia nó thành các hình tam giác có diện tích là 6 và 14. Tìm chiều cao nếu cạnh bên là 4.
9) Trong một hình thang, các đường chéo bằng 3 và 5, đoạn nối trung điểm của các đáy bằng 2. Tìm diện tích hình thang (Mekhmat MSU, 1970).
Tôi không chọn những vấn đề khó nhất (đừng sợ kỹ thuật cơ khí!) với mong muốn rằng tôi có thể giải quyết chúng một cách độc lập. Quyết định cho sức khỏe của bạn! Nếu bạn cần chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất môn toán, thì nếu không có sự tham gia của công thức tính diện tích hình thang trong quá trình này, các vấn đề nghiêm trọng có thể phát sinh ngay cả với bài B6 và thậm chí còn hơn thế nữa với C4. Đừng bắt đầu chủ đề và trong trường hợp gặp khó khăn, hãy yêu cầu giúp đỡ. Gia sư toán luôn sẵn lòng giúp đỡ bạn.
Kolpak A.N.
Gia sư toán học ở Moskva, chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất ở Strogino.
Trong toán học, người ta biết một số loại tứ giác: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành. Trong số đó có hình thang - một loại tứ giác lồi có hai cạnh song song còn hai cạnh kia thì không. Các cạnh đối diện song song được gọi là các đáy, và hai cạnh còn lại được gọi là các cạnh bên của hình thang. Đoạn nối trung điểm của các cạnh gọi là đường giữa. Có một số loại hình thang: cân, hình chữ nhật, đường cong. Đối với mỗi loại hình thang đều có công thức tính diện tích.
Diện tích hình thang
Để tìm diện tích hình thang, bạn cần biết chiều dài đáy và chiều cao của nó. Chiều cao của hình thang là đoạn thẳng vuông góc với hai đáy. Gọi đáy trên là a, đáy dưới là b, chiều cao là h. Sau đó, bạn có thể tính diện tích S bằng công thức:
S = ½ * (a+b) * h
những thứ kia. lấy một nửa tổng số đáy nhân với chiều cao.
Cũng có thể tính diện tích của hình thang nếu biết chiều cao và đường tâm. Hãy biểu thị đường giữa - m. Sau đó
Hãy giải một bài toán phức tạp hơn: đã biết độ dài bốn cạnh của hình thang - a, b, c, d. Khi đó diện tích sẽ được tìm thấy bằng công thức:
Nếu biết độ dài các đường chéo và góc giữa chúng thì diện tích được tìm kiếm như sau:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
trong đó d với chỉ số 1 và 2 là các đường chéo. Trong công thức này, sin của góc được đưa ra trong phép tính.
Cho độ dài đã biết của các đáy a và b và hai góc ở đáy dưới, diện tích được tính như sau:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Diện tích hình thang cân
Hình thang cân là trường hợp đặc biệt của hình thang. Điểm khác biệt của nó là hình thang đó là một tứ giác lồi có trục đối xứng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện. Các cạnh của nó bằng nhau.
Có một số cách để tìm diện tích hình thang cân.
- Qua độ dài của ba cạnh. Trong trường hợp này, độ dài của các cạnh sẽ trùng nhau, do đó chúng được biểu thị bằng một giá trị - c, và a và b - độ dài của các đáy:
- Nếu biết chiều dài đáy trên, cạnh và góc đáy dưới thì diện tích được tính như sau:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
trong đó a là đáy trên, c là cạnh.
- Nếu thay vì chiều dài của đáy trên, chiều dài của đáy dưới - b, thì diện tích được tính bằng công thức:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Nếu khi biết hai đáy và góc ở đáy dưới thì diện tích được tính qua tiếp tuyến của góc:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Diện tích cũng được tính thông qua các đường chéo và góc giữa chúng. Trong trường hợp này, các đường chéo có độ dài bằng nhau, vì vậy chúng ta biểu thị mỗi đường chéo bằng chữ d mà không có chỉ số dưới:
S = ½ * d2 * sin α
- Hãy tính diện tích hình thang khi biết độ dài cạnh, đường tâm và góc ở đáy.
Gọi cạnh bên là c, đường giữa là m và góc là a, khi đó:
S = m * c * sin α
Đôi khi bạn có thể nội tiếp một hình tròn trong một hình thang đều, bán kính của nó sẽ là r.
Người ta biết rằng một hình tròn có thể nội tiếp trong bất kỳ hình thang nào nếu tổng chiều dài các đáy bằng tổng chiều dài các cạnh của nó. Khi đó, diện tích có thể được tìm thông qua bán kính của đường tròn nội tiếp và góc ở đáy dưới:
S = 4r2 / sin α
Phép tính tương tự được thực hiện bằng cách sử dụng đường kính D của hình tròn nội tiếp (nhân tiện, nó trùng với chiều cao của hình thang):
Biết đáy và góc, diện tích hình thang cân được tính như sau:
S = a * b / sin α
(công thức này và các công thức tiếp theo chỉ đúng cho hình thang có đường tròn nội tiếp).
Sử dụng đáy và bán kính của hình tròn, diện tích được tìm thấy như sau:
Nếu chỉ biết các căn cứ thì diện tích được tính theo công thức:
Qua các đáy và đường bên, diện tích hình thang có đường tròn nội tiếp và qua các đáy và đường giữa - m được tính như sau:
Diện tích hình thang chữ nhật
Một hình thang được gọi là hình chữ nhật nếu một trong các cạnh của nó vuông góc với đáy. Trong trường hợp này, chiều dài của cạnh trùng với chiều cao của hình thang.
Một hình thang hình chữ nhật bao gồm một hình vuông và một hình tam giác. Sau khi tìm được diện tích của từng hình, hãy cộng các kết quả lại và được tổng diện tích của các hình.
Ngoài ra, các công thức chung để tính diện tích hình thang cũng phù hợp để tính diện tích hình thang hình chữ nhật.
- Nếu biết chiều dài của các đáy và chiều cao (hoặc cạnh vuông góc) thì diện tích được tính bằng công thức:
S = (a + b) * h / 2
Cạnh c có thể đóng vai trò là h (chiều cao). Sau đó, công thức trông như thế này:
S = (a + b) * c / 2
- Một cách khác để tính diện tích là nhân chiều dài của đường trung tâm với chiều cao:
hoặc theo chiều dài của cạnh vuông góc bên:
- Cách tính tiếp theo là tính bằng một nửa tích của các đường chéo và sin của góc giữa chúng:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Nếu các đường chéo vuông góc thì công thức đơn giản hóa thành:
S = ½ * d1 * d2
- Một cách tính khác là thông qua bán chu vi (tổng chiều dài của hai cạnh đối diện) và bán kính của đường tròn nội tiếp.
Công thức này đúng cho các căn cứ. Nếu chúng ta lấy độ dài của các cạnh thì một trong số chúng sẽ bằng hai lần bán kính. Công thức sẽ trông như thế này:
S = (2r + c) * r
- Nếu một hình tròn được nội tiếp trong một hình thang thì diện tích được tính theo cách tương tự:
trong đó m là chiều dài của đường trung tâm.
Diện tích hình thang cong
Hình thang cong là một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục không âm y = f(x), xác định trên đoạn thẳng, trục x và các đường thẳng x = a, x = b. Về cơ bản, hai cạnh của nó song song với nhau (các đáy), cạnh thứ ba vuông góc với các đáy và cạnh thứ tư là một đường cong tương ứng với đồ thị của hàm số.
Diện tích của hình thang cong được tìm thông qua tích phân sử dụng công thức Newton-Leibniz:
Đây là cách tính diện tích của các loại hình thang khác nhau. Nhưng, ngoài các tính chất của các cạnh, hình thang còn có các tính chất giống nhau về góc. Giống như tất cả các hình tứ giác hiện có, tổng các góc trong của hình thang là 360 độ. Và tổng các góc liền kề với cạnh đó là 180 độ.
Phần này chứa các bài toán hình học (phần phẳng) về hình thang. Nếu bạn chưa tìm ra giải pháp cho một vấn đề, hãy viết về nó trên diễn đàn. Khóa học chắc chắn sẽ được bổ sung.
Hình thang. Định nghĩa, công thức và tính chất
Hình thang (từ tiếng Hy Lạp cổ τραπέζιον - “cái bàn”; τράπεζα - “cái bàn, thức ăn”) là một hình tứ giác có đúng một cặp cạnh đối diện song song.Hình thang là một tứ giác có các cặp cạnh đối diện song song.
Ghi chú. Trong trường hợp này, hình bình hành là trường hợp đặc biệt của hình thang.
Các cạnh đối diện song song được gọi là đáy của hình thang, và hai cạnh còn lại được gọi là các cạnh bên.
Hình thang là:
- linh hoạt ;
- cân;
- hình chữ nhật
.Màu đỏ và màu nâu biểu thị các cạnh, màu xanh lá cây và màu xanh lam biểu thị đáy của hình thang.
A - hình thang cân (cân, cân)
B - hình thang chữ nhật
C - hình thang thang
Một hình thang cân có tất cả các cạnh có độ dài khác nhau và các đáy song song.
Các cạnh bằng nhau và các đáy song song.
Các đáy song song, một cạnh vuông góc với các đáy, cạnh thứ hai nghiêng với các đáy.
Tính chất của hình thang
- Đường giữa của hình thang song song với hai căn cứ và bằng nửa tổng của chúng
- Đoạn nối trung điểm của các đường chéo, bằng nửa hiệu hai đáy và nằm trên đường giữa. chiều dài của nó
- Các đường thẳng song song cắt các cạnh của một góc bất kỳ của hình thang cắt các đoạn thẳng tỉ lệ với các cạnh của góc (xem Định lý Thales)
- Giao điểm của các đường chéo hình thang, giao điểm của các phần kéo dài của các cạnh và điểm giữa của các đáy nằm trên cùng một đường thẳng (xem thêm tính chất của tứ giác)
- Hình tam giác nằm trên căn cứ các hình thang có đỉnh là giao điểm các đường chéo của nó thì bằng nhau. Tỉ số diện tích của các tam giác đó bằng bình phương tỉ số hai đáy của hình thang
- Các hình tam giác nằm ở hai bên hình thang có các đỉnh là giao điểm của các đường chéo của nó có diện tích bằng nhau (bằng nhau về diện tích)
- Vào trong hình thang bạn có thể ghi một vòng tròn, nếu tổng độ dài hai đáy của hình thang bằng tổng độ dài các cạnh của nó. Đường giữa trong trường hợp này bằng tổng các cạnh chia cho 2 (vì đường giữa của hình thang bằng một nửa tổng hai đáy)
- Đoạn song song với các đáy và đi qua giao điểm của các đường chéo, được chia cho phần sau làm đôi và bằng hai lần tích của các cơ số chia cho tổng của chúng 2ab / (a + b) (Công thức của Burak)
Góc hình thang
Góc hình thang có sắc nét, thẳng và cùn.Chỉ có hai góc là đúng.
Hình thang chữ nhật có hai góc vuông, còn hai tia còn lại là nhọn và tù. Các loại hình thang khác có hai góc nhọn và hai góc tù.
Các góc tù của hình thang đều nhỏ hơn dọc theo chiều dài của đế và cay - thêm cơ sở.
Mọi hình thang đều có thể được coi là giống như một hình tam giác cắt cụt, có đường thẳng song song với đáy của tam giác.
Quan trọng. Xin lưu ý rằng bằng cách này (bằng cách dựng thêm một hình thang thành hình tam giác), một số bài toán về hình thang có thể được giải và một số định lý có thể được chứng minh.
Cách tìm các cạnh và đường chéo của hình thang
Tìm các cạnh và đường chéo của hình thang được thực hiện bằng cách sử dụng các công thức dưới đây:
Trong các công thức này, các ký hiệu được sử dụng như trong hình.
a - đáy nhỏ hơn của hình thang
b - đáy lớn hơn của hình thang
c,d - các cạnh
h 1 h 2 - đường chéo
Tổng bình phương các đường chéo của hình thang bằng hai lần tích hai đáy của hình thang cộng với tổng bình phương các cạnh bên (Công thức 2)