Phân số định kỳ và không định kỳ. Chuyển từ phân số thập phân tuần hoàn sang phân số thường

Như đã biết, tập hợp số hữu tỷ (Q) bao gồm tập hợp các số nguyên (Z), từ đó bao gồm tập hợp các số tự nhiên (N). Ngoài số nguyên, số hữu tỉ còn có phân số.

Tại sao toàn bộ tập hợp số hữu tỷ đôi khi được coi là phân số thập phân tuần hoàn vô hạn? Thật vậy, ngoài phân số, chúng còn bao gồm các số nguyên, cũng như các phân số không tuần hoàn.

Thực tế là tất cả các số nguyên, cũng như bất kỳ phân số nào, đều có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Nghĩa là, đối với tất cả các số hữu tỷ, bạn có thể sử dụng cùng một phương pháp ghi.

Một số thập phân tuần hoàn vô hạn được biểu diễn như thế nào? Trong đó, một nhóm số lặp lại sau dấu thập phân được đặt trong ngoặc. Ví dụ: 1,56(12) là một phân số trong đó nhóm chữ số 12 được lặp lại, tức là phân số đó có giá trị 1,561212121212... và cứ thế tiếp tục như vậy. Một nhóm số lặp lại được gọi là một khoảng thời gian.

Tuy nhiên, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ số nào ở dạng này nếu coi chu kỳ của nó là số 0, số này cũng lặp lại vô tận. Ví dụ: số 2 giống như 2,00000.... Do đó, nó có thể được viết dưới dạng phân số tuần hoàn vô hạn, tức là 2,(0).

Điều tương tự có thể được thực hiện với bất kỳ phân số hữu hạn nào. Ví dụ:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Tuy nhiên, trong thực tế họ không sử dụng phép biến đổi một phân số hữu hạn thành một phân số tuần hoàn vô hạn. Do đó, họ tách các phân số hữu hạn và các phân số tuần hoàn vô hạn. Vì vậy, sẽ đúng hơn khi nói rằng các số hữu tỷ bao gồm

  • tất cả các số nguyên
  • phân số cuối cùng,
  • phân số tuần hoàn vô hạn.

Đồng thời, chỉ cần nhớ rằng các số nguyên và phân số hữu hạn về mặt lý thuyết có thể biểu diễn dưới dạng phân số tuần hoàn vô hạn.

Mặt khác, các khái niệm về phân số hữu hạn và vô hạn có thể áp dụng cho phân số thập phân. Khi nói đến phân số, cả số thập phân hữu hạn và vô hạn đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng phân số. Điều này có nghĩa là theo quan điểm của phân số thông thường, phân số tuần hoàn và phân số hữu hạn là như nhau. Ngoài ra, các số nguyên cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số bằng cách tưởng tượng rằng chúng ta đang chia số đó cho 1.

Làm thế nào để biểu diễn một phân số tuần hoàn vô hạn thập phân dưới dạng phân số thông thường? Thuật toán được sử dụng phổ biến nhất là như thế này:

  1. Rút gọn phân số sao cho sau dấu thập phân chỉ còn dấu chấm.
  2. Nhân một phân số tuần hoàn vô hạn với 10 hoặc 100 hoặc ... sao cho dấu thập phân di chuyển sang phải với một dấu chấm (tức là một dấu chấm kết thúc bằng toàn bộ phần).
  3. Đánh đồng phân số ban đầu (a) với biến x và phân số (b) thu được bằng cách nhân với số N với Nx.
  4. Trừ x từ Nx. Từ b tôi trừ a. Tức là chúng tạo nên phương trình Nx – x = b – a.
  5. Khi giải một phương trình, kết quả là một phân số thông thường.

Một ví dụ về chuyển đổi một phân số thập phân tuần hoàn vô hạn thành một phân số thông thường:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =

Bạn có nhớ trong bài học đầu tiên về số thập phân tôi đã nói rằng có những phân số không thể biểu diễn dưới dạng số thập phân (xem bài “Số thập phân”)? Chúng ta cũng đã học cách phân tích mẫu số của phân số để xem có số nào khác ngoài 2 và 5 hay không.

Vì vậy: Tôi đã nói dối. Và hôm nay chúng ta sẽ học cách chuyển đổi hoàn toàn bất kỳ phân số nào thành số thập phân. Đồng thời, chúng ta sẽ làm quen với cả một lớp phân số có phần có ý nghĩa vô hạn.

Số thập phân tuần hoàn là số thập phân bất kỳ:

  1. Phần có nghĩa bao gồm vô số chữ số;
  2. Tại những khoảng thời gian nhất định, các số trong phần quan trọng được lặp lại.

Tập hợp các chữ số lặp lại tạo nên phần có nghĩa được gọi là phần tuần hoàn của một phân số và số chữ số trong tập hợp này được gọi là chu kỳ của phân số. Đoạn còn lại của phần quan trọng không lặp lại được gọi là phần không tuần hoàn.

Vì có nhiều định nghĩa nên cần xem xét chi tiết một số phân số sau:

Phân số này xuất hiện thường xuyên nhất trong các bài toán. Phần không định kỳ: 0; phần định kỳ: 3; độ dài thời gian: 1.

Phần không định kỳ: 0,58; phần định kỳ: 3; độ dài khoảng thời gian: lại 1.

Phần không định kỳ: 1; phần định kỳ: 54; độ dài thời gian: 2.

Phần không định kỳ: 0; phần định kỳ: 641025; độ dài khoảng thời gian: 6. Để thuận tiện, các phần lặp lại được phân cách nhau bằng dấu cách - điều này là không cần thiết trong giải pháp này.

Phần không định kỳ: 3066; phần định kỳ: 6; độ dài thời gian: 1.

Như bạn có thể thấy, định nghĩa của phân số tuần hoàn dựa trên khái niệm phần quan trọng của một số. Vì vậy, nếu bạn quên nó là gì, tôi khuyên bạn nên lặp lại nó - xem bài học “”.

Chuyển sang phân số thập phân định kỳ

Xét một phân số thông thường có dạng a /b. Hãy phân tích mẫu số của nó thành thừa số nguyên tố. Có hai lựa chọn:

  1. Khai triển chỉ chứa thừa số 2 và 5. Các phân số này dễ dàng chuyển thành số thập phân - xem bài “Số thập phân”. Chúng tôi không quan tâm đến những người như vậy;
  2. Có một số khác trong khai triển ngoài 2 và 5. Trong trường hợp này, phân số không thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân, nhưng nó có thể được chuyển đổi thành số thập phân tuần hoàn.

Để xác định một phân số thập phân tuần hoàn, bạn cần tìm phần tuần hoàn và không tuần hoàn của nó. Làm sao? Chuyển phân số thành phân số không chính xác, sau đó chia tử số cho mẫu số bằng một góc.

Điều sau đây sẽ xảy ra:

  1. Sẽ chia tay trước toàn bộ phần, nếu nó tồn tại;
  2. Có thể có nhiều số sau dấu thập phân;
  3. Sau một thời gian các con số sẽ bắt đầu lặp lại.

Thế thôi! Các số lặp lại sau dấu thập phân được biểu thị bằng phần tuần hoàn và các số ở phía trước được biểu thị bằng phần không tuần hoàn.

Nhiệm vụ. Chuyển các phân số thông thường thành số thập phân tuần hoàn:

Tất cả các phân số không có phần nguyên, vì vậy chúng ta chỉ cần chia tử số cho mẫu số bằng một “góc”:

Như bạn có thể thấy, phần còn lại được lặp lại. Hãy viết phân số ở dạng “đúng”: 1,733 ... = 1,7(3).

Kết quả là một phân số: 0,5833 ... = 0,58(3).

Chúng ta viết nó ở dạng chuẩn: 4.0909 ... = 4,(09).

Ta được phân số: 0,4141 ... = 0,(41).

Chuyển từ phân số thập phân tuần hoàn sang phân số thường

Xét phân số thập phân tuần hoàn X = abc (a 1 b 1 c 1). Cần phải chuyển nó thành một “hai tầng” cổ điển. Để thực hiện việc này, hãy làm theo bốn bước đơn giản:

  1. Tìm chu kì của phân số, tức là đếm xem phần tuần hoàn có bao nhiêu chữ số. Gọi đây là số k;
  2. Tìm giá trị của biểu thức X · 10 k. Điều này tương đương với việc dịch dấu thập phân sang phải cả một dấu chấm - xem bài “Nhân chia số thập phân”;
  3. Biểu thức ban đầu phải được trừ khỏi số kết quả. Trong trường hợp này, phần tuần hoàn bị “cháy” và vẫn còn phân số chung;
  4. Tìm X trong phương trình thu được. Chúng tôi chuyển đổi tất cả các phân số thập phân thành phân số thông thường.

Nhiệm vụ. Chuyển đổi số thành phân số không chính xác thông thường:

  • 9,(6);
  • 32,(39);
  • 0,30(5);
  • 0,(2475).

Chúng tôi làm việc với phân số đầu tiên: X = 9,(6) = 9,666 ...

Dấu ngoặc đơn chỉ chứa một chữ số, vì vậy dấu chấm là k = 1. Tiếp theo, chúng ta nhân phân số này với 10 k = 10 1 = 10. Ta có:

10X = 10 9,6666... ​​​= 96,666...

Trừ phân số ban đầu và giải phương trình:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phân số thứ hai. Vậy X = 32,(39) = 32,393939...

Khoảng thời gian k = 2, nên nhân mọi thứ với 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Trừ phân số ban đầu một lần nữa và giải phương trình:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Hãy chuyển sang phân số thứ ba: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Sơ đồ giống nhau nên tôi chỉ đưa ra phép tính:

Giai đoạn k = 1 ⇒ nhân mọi thứ với 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Cuối cùng, phân số cuối cùng: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Một lần nữa, để thuận tiện, các phần tuần hoàn được phân cách nhau bằng dấu cách. Chúng tôi có:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.


Bài viết này là về số thập phân. Sau đây chúng ta sẽ hiểu ký hiệu thập phân của số phân số, giới thiệu khái niệm phân số thập phân và cho ví dụ về phân số thập phân. Tiếp theo chúng ta sẽ nói về các chữ số của phân số thập phân và gọi tên các chữ số. Sau phần này, chúng ta sẽ tập trung vào phân số thập phân vô hạn, hãy nói về phân số tuần hoàn và không tuần hoàn. Tiếp theo chúng tôi liệt kê các phép toán cơ bản với phân số thập phân. Để kết luận, chúng ta hãy thiết lập vị trí của các phân số thập phân trên chùm tọa độ.

Điều hướng trang.

Ký hiệu thập phân của số phân số

Đọc số thập phân

Hãy nói một vài lời về quy tắc đọc phân số thập phân.

Các phân số thập phân tương ứng với các phân số thông thường thực sự được đọc theo cách tương tự như các phân số thông thường này, chỉ có “số nguyên 0” được thêm vào đầu tiên. Ví dụ: phân số thập phân 0,12 tương ứng với phân số chung 12/100 (đọc là “mười hai phần trăm”), do đó, 0,12 được đọc là “điểm 0, mười hai phần trăm”.

Phân số thập phân tương ứng với hỗn số được đọc giống hệt như các hỗn số này. Ví dụ: phân số thập phân 56,002 tương ứng với một số hỗn hợp, do đó phân số thập phân 56,002 được đọc là “năm mươi sáu phẩy hai phần nghìn”.

Vị trí trong số thập phân

Khi viết phân số thập phân cũng như khi viết số tự nhiên, ý nghĩa của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó. Thật vậy, số 3 trong phân số thập phân 0,3 có nghĩa là ba phần mười, trong phân số thập phân 0,0003 - ba phần mười nghìn và trong phân số thập phân 30.000,152 - ba chục nghìn. Vì vậy chúng ta có thể nói về chữ số thập phân, cũng như về các chữ số trong số tự nhiên.

Tên các chữ số trong phân số thập phân đến dấu thập phân hoàn toàn trùng khớp với tên các chữ số trong số tự nhiên. Và tên của các vị trí thập phân sau dấu thập phân có thể được nhìn thấy từ bảng sau.

Ví dụ, trong phân số thập phân 37.051, chữ số 3 ở hàng chục, 7 ở hàng đơn vị, 0 ở hàng phần mười, 5 ở hàng trăm và 1 ở hàng nghìn.

Các vị trí trong phân số thập phân cũng có độ ưu tiên khác nhau. Nếu khi viết một phân số thập phân chúng ta chuyển từ chữ số này sang chữ số khác từ trái qua phải thì chúng ta sẽ chuyển từ người cao tuổiĐẾN cấp bậc cơ sở. Ví dụ, hàng trăm thì lớn hơn hàng chục, hàng triệu thì nhỏ hơn hàng trăm. Trong một phân số thập phân cuối cùng nhất định, chúng ta có thể nói về chữ số chính và chữ số phụ. Ví dụ: trong phân số thập phân 604,9387 cao cấp (cao nhất) nơi đó là nơi hàng trăm, và cấp dưới (thấp nhất)- chữ số của phần mười nghìn.

Đối với phân số thập phân, việc mở rộng thành chữ số diễn ra. Nó tương tự như việc mở rộng thành các chữ số của số tự nhiên. Ví dụ: việc mở rộng sang vị trí thập phân của 45,6072 như sau: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Và các thuộc tính của phép cộng từ việc phân tách một phần thập phân thành các chữ số cho phép bạn chuyển sang các cách biểu diễn khác của phần thập phân này, ví dụ: 45,6072=45+0,6072 hoặc 45,6072=40,6+5,007+0,0002 hoặc 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Kết thúc số thập phân

Cho đến thời điểm này, chúng ta mới chỉ nói về phân số thập phân, trong ký hiệu của nó có hữu hạn chữ số sau dấu thập phân. Những phân số như vậy được gọi là số thập phân hữu hạn.

Sự định nghĩa.

Kết thúc số thập phân- Đây là các phân số thập phân, các bản ghi chứa số lượng ký tự (chữ số) hữu hạn.

Dưới đây là một số ví dụ về phân số thập phân cuối cùng: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Tuy nhiên, không phải mọi phân số đều có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân cuối cùng. Ví dụ: phân số 5/13 không thể thay thế bằng phân số bằng nhau có một trong các mẫu số 10, 100,..., do đó không thể chuyển thành phân số thập phân cuối cùng. Chúng ta sẽ nói nhiều hơn về điều này trong phần lý thuyết, chuyển phân số thông thường thành số thập phân.

Số thập phân vô hạn: Phân số tuần hoàn và phân số không tuần hoàn

Khi viết một phân số thập phân sau dấu thập phân, bạn có thể giả sử khả năng có vô số chữ số. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ xem xét cái gọi là phân số thập phân vô hạn.

Sự định nghĩa.

Số thập phân vô hạn- Là phân số thập phân có vô số chữ số.

Rõ ràng là chúng ta không thể viết các phân số thập phân vô hạn ở dạng đầy đủ, vì vậy khi ghi chúng, chúng ta chỉ giới hạn ở một số hữu hạn các chữ số sau dấu thập phân và đặt dấu chấm lửng biểu thị một chuỗi các chữ số liên tục vô hạn. Dưới đây là một số ví dụ về phân số thập phân vô hạn: 0,143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Nếu bạn nhìn kỹ vào hai phân số thập phân vô hạn cuối cùng, thì trong phân số 2.111111111... có thể thấy rõ số 1 lặp lại không ngừng, và trong phân số 69.74152152152..., bắt đầu từ chữ số thập phân thứ ba, một nhóm số lặp lại 1, 5 và 2 có thể nhìn thấy rõ ràng. Phân số thập phân vô hạn như vậy được gọi là tuần hoàn.

Sự định nghĩa.

số thập phân định kỳ(hoặc chỉ phân số định kỳ) là các phân số thập phân vô tận, trong quá trình ghi, bắt đầu từ một vị trí thập phân nhất định, một số hoặc nhóm số nào đó được lặp lại không ngừng, được gọi là chu kì của phân số.

Ví dụ: Dấu chấm của phân số tuần hoàn 2.111111111... là chữ số 1, còn dấu chấm của phân số 69.74152152152... là một nhóm các chữ số có dạng 152.

Đối với các phân số thập phân tuần hoàn vô hạn, một dạng ký hiệu đặc biệt được áp dụng. Để cho ngắn gọn, chúng tôi đồng ý viết ra khoảng thời gian này một lần, đặt nó trong ngoặc đơn. Ví dụ: phân số tuần hoàn 2.111111111... được viết là 2,(1) , và phân số tuần hoàn 69.74152152152... được viết là 69.74(152) .

Cần lưu ý rằng các khoảng thời gian khác nhau có thể được xác định cho cùng một phân số thập phân định kỳ. Ví dụ: phân số thập phân tuần hoàn 0,73333... có thể được coi là phân số 0,7(3) với chu kỳ là 3, và cũng là phân số 0,7(33) với chu kỳ là 33, v.v. 0,7(333), 0,7 (3333), ... Bạn cũng có thể xem phân số tuần hoàn 0,73333 ... như thế này: 0,733(3), hoặc như thế này 0,73(333), v.v. Ở đây, để tránh sự mơ hồ và khác biệt, chúng tôi đồng ý coi khoảng thời gian của phân số thập phân là ngắn nhất trong tất cả các chuỗi chữ số lặp lại có thể có và bắt đầu từ vị trí gần nhất đến dấu thập phân. Nghĩa là, chu kỳ của phân số thập phân 0,73333... sẽ được coi là dãy có một chữ số 3 và chu kỳ bắt đầu từ vị trí thứ hai sau dấu thập phân, tức là 0,73333...=0,7(3). Một ví dụ khác: phân số tuần hoàn 4,7412121212... có chu kỳ là 12, tuần hoàn bắt đầu từ chữ số thứ ba sau dấu thập phân, tức là 4,7412121212...=4,74(12).

Phân số thập phân tuần hoàn vô hạn thu được bằng cách chuyển đổi thành phân số thập phân các phân số thông thường có mẫu số chứa các thừa số nguyên tố khác 2 và 5.

Ở đây điều đáng nói là các phân số định kỳ có chu kỳ là 9. Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về các phân số như vậy: 6.43(9) , 27,(9) . Các phân số này là một ký hiệu khác cho các phân số tuần hoàn có chu kỳ 0 và chúng thường được thay thế bằng phân số tuần hoàn có chu kỳ 0. Để làm điều này, giai đoạn 9 được thay thế bằng giai đoạn 0 và giá trị của chữ số cao nhất tiếp theo được tăng thêm một. Ví dụ: một phân số có chu kỳ 9 của dạng 7.24(9) được thay thế bằng một phân số tuần hoàn có chu kỳ 0 của dạng 7.25(0) hoặc một phân số thập phân cuối cùng bằng 7.25. Một ví dụ khác: 4,(9)=5,(0)=5. Sự bằng nhau của một phân số có chu kỳ 9 và phân số tương ứng của nó với chu kỳ 0 dễ dàng được thiết lập sau khi thay thế các phân số thập phân này bằng các phân số thường bằng nhau.

Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các phân số thập phân vô hạn, không chứa dãy chữ số lặp lại vô tận. Chúng được gọi là không định kỳ.

Sự định nghĩa.

Số thập phân không tuần hoàn(hoặc chỉ phân số không định kỳ) là các phân số thập phân vô hạn không có dấu chấm.

Đôi khi các phân số không tuần hoàn có dạng tương tự như phân số tuần hoàn, ví dụ 8,02002000200002... là phân số không tuần hoàn. Trong những trường hợp này, bạn nên đặc biệt cẩn thận để nhận thấy sự khác biệt.

Lưu ý rằng các phân số không tuần hoàn không chuyển thành phân số thông thường; các phân số thập phân không tuần hoàn vô hạn biểu thị các số vô tỷ.

Các thao tác với số thập phân

Một trong những phép toán với phân số thập phân là so sánh và bốn hàm số học cơ bản cũng được xác định các thao tác với số thập phân: cộng, trừ, nhân, chia. Chúng ta hãy xem xét riêng từng hành động với phân số thập phân.

So sánh số thập phân về cơ bản dựa trên việc so sánh các phân số thông thường tương ứng với các phân số thập phân được so sánh. Tuy nhiên, chuyển đổi phân số thập phân thành phân số thông thường là một quá trình tốn nhiều công sức và các phân số không tuần hoàn vô hạn không thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường, vì vậy sẽ thuận tiện khi sử dụng phép so sánh theo vị trí của các phân số thập phân. So sánh các phân số thập phân theo vị trí cũng tương tự như so sánh các số tự nhiên. Để biết thêm thông tin chi tiết, chúng tôi khuyên bạn nên nghiên cứu bài viết: so sánh phân số thập phân, quy tắc, ví dụ, cách giải.

Hãy chuyển sang bước tiếp theo - nhân số thập phân. Phép nhân phân số thập phân hữu hạn được thực hiện tương tự như phép trừ phân số thập phân, quy tắc, ví dụ, lời giải nhân với một cột số tự nhiên. Trong trường hợp các phân số tuần hoàn, phép nhân có thể được rút gọn thành phép nhân các phân số thông thường. Đổi lại, phép nhân các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn sau khi làm tròn chúng được rút gọn thành phép nhân các phân số thập phân hữu hạn. Chúng tôi khuyên bạn nên nghiên cứu thêm tài liệu trong bài: nhân phân số thập phân, quy tắc, ví dụ, giải pháp.

Số thập phân trên tia tọa độ

Có sự tương ứng một-một giữa điểm và số thập phân.

Hãy tìm hiểu cách xây dựng các điểm trên tia tọa độ tương ứng với một phân số thập phân nhất định.

Chúng ta có thể thay thế các phân số thập phân hữu hạn và các phân số thập phân tuần hoàn vô hạn bằng các phân số thường bằng nhau, rồi xây dựng các phân số thường tương ứng trên tia tọa độ. Ví dụ: phân số thập phân 1.4 tương ứng với phân số chung 14/10 nên điểm có tọa độ 1.4 bị bỏ khỏi gốc theo hướng dương 14 đoạn bằng 1/10 đoạn đơn vị.

Phân số thập phân có thể được đánh dấu trên tia tọa độ, bắt đầu từ việc phân tách một phân số thập phân đã cho thành các chữ số. Ví dụ: chúng ta cần xây dựng một điểm có tọa độ 16.3007, vì 16.3007=16+0.3+0.0007, thì chúng ta có thể đạt được điểm này bằng cách sắp xếp tuần tự 16 đoạn đơn vị từ điểm gốc, 3 đoạn có chiều dài bằng 1/10 của một đơn vị và 7 đoạn có chiều dài bằng một phần mười nghìn của đoạn đơn vị.

Phương pháp xây dựng số thập phân trên tia tọa độ này cho phép bạn tiến gần đến điểm tương ứng với phân số thập phân vô hạn tùy thích.

Đôi khi có thể vẽ chính xác điểm tương ứng với một phân số thập phân vô hạn. Ví dụ, , thì phân số thập phân vô hạn 1,41421... này tương ứng với một điểm trên tia tọa độ, cách gốc tọa độ một đoạn bằng độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 đoạn đơn vị.

Quá trình ngược lại để thu được phân số thập phân tương ứng với một điểm cho trước trên tia tọa độ được gọi là phép đo thập phân của một đoạn. Hãy tìm hiểu làm thế nào nó được thực hiện.

Nhiệm vụ của chúng ta là đi từ gốc tọa độ đến một điểm nhất định trên đường tọa độ (hoặc tiếp cận nó một cách vô hạn nếu chúng ta không thể đến được điểm đó). Với phép đo thập phân của một đoạn, chúng ta có thể tuần tự loại bỏ bất kỳ số lượng đoạn đơn vị nào từ gốc, sau đó là các đoạn có độ dài bằng một phần mười đơn vị, sau đó là các đoạn có độ dài bằng một phần trăm đơn vị, v.v. Bằng cách ghi lại số đoạn của mỗi độ dài đặt sang một bên, chúng ta thu được phân số thập phân tương ứng với một điểm cho trước trên tia tọa độ.

Ví dụ: để đến điểm M trong hình trên, bạn cần dành 1 đoạn đơn vị và 4 đoạn có độ dài bằng 1/10 đơn vị. Như vậy điểm M ứng với phân số thập phân 1.4.

Rõ ràng là các điểm của tia tọa độ không thể đạt tới trong quá trình đo thập phân, tương ứng với các phân số thập phân vô hạn.

Tài liệu tham khảo.

  • Toán học: sách giáo khoa cho lớp 5. giáo dục phổ thông tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Tái bản lần thứ 21, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 trang.: ốm. ISBN 5-346-00699-0.
  • Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.

Ở trường tiểu học, học sinh đã được tiếp xúc với phân số. Và sau đó chúng xuất hiện trong mọi chủ đề. Bạn không thể quên hành động với những con số này. Vì vậy, bạn cần biết tất cả thông tin về phân số thường và phân số thập phân. Những khái niệm này không phức tạp, điều chính là phải hiểu mọi thứ theo thứ tự.

Tại sao cần có phân số?

Thế giới xung quanh chúng ta bao gồm toàn bộ các vật thể. Vì vậy, không cần phải chia sẻ. Nhưng cuộc sống hàng ngày không ngừng thúc đẩy con người làm việc với các bộ phận của đồ vật, đồ vật.

Ví dụ, sô cô la bao gồm nhiều miếng. Hãy xem xét tình huống trong đó viên gạch của anh ta được tạo thành từ 12 hình chữ nhật. Nếu bạn chia nó thành hai, bạn sẽ có được 6 phần. Nó có thể dễ dàng được chia thành ba. Nhưng sẽ không thể đưa cho năm người đủ số lát sô cô la.

Nhân tiện, những lát cắt này đã là phân số rồi. Và sự phân chia tiếp theo của chúng dẫn đến sự xuất hiện của các số phức tạp hơn.

"phân số" là gì?

Đây là một số được tạo thành từ các phần của một. Nhìn bề ngoài, nó trông giống như hai số cách nhau bằng dấu gạch ngang hoặc dấu gạch chéo. Tính năng này được gọi là phân số. Số viết ở trên cùng (trái) được gọi là tử số. Những gì ở phía dưới (bên phải) là mẫu số.

Về cơ bản, dấu gạch chéo hóa ra là dấu hiệu chia. Nghĩa là, tử số có thể được gọi là số bị chia và mẫu số có thể được gọi là số chia.

Có những phân số nào?

Trong toán học chỉ có hai loại: phân số thông thường và phân số thập phân. Học sinh làm quen với những phân số đầu tiên ở trường tiểu học, gọi chúng đơn giản là “phân số”. Phần sau sẽ được học ở lớp 5. Đó là lúc những cái tên này xuất hiện.

Phân số phổ biến là tất cả những phân số được viết dưới dạng hai số cách nhau một dòng. Ví dụ: 7/4. Số thập phân là số trong đó phần phân số có ký hiệu vị trí và được phân tách khỏi số nguyên bằng dấu phẩy. Ví dụ: 4.7. Học sinh cần hiểu rõ hai ví dụ đưa ra là những con số hoàn toàn khác nhau.

Mọi phân số đơn giản đều có thể viết được dưới dạng số thập phân. Tuyên bố này hầu như luôn đúng theo chiều ngược lại. Có những quy tắc cho phép bạn viết một phân số thập phân dưới dạng phân số thông thường.

Những loại phân số này có những kiểu con nào?

Tốt hơn là nên bắt đầu theo thứ tự thời gian khi chúng được nghiên cứu. Các phân số phổ biến đứng đầu. Trong số đó, có thể phân biệt 5 phân loài.

    Chính xác. Tử số của nó luôn nhỏ hơn mẫu số của nó.

    Sai. Tử số của nó lớn hơn hoặc bằng mẫu số của nó.

    Có thể giảm/không thể giảm. Nó có thể đúng hoặc sai. Một điều quan trọng nữa là tử số và mẫu số có nhân tử chung hay không. Nếu có thì cần phải chia cả hai phần của phân số cho chúng, tức là giảm bớt.

    Hỗn hợp. Một số nguyên được gán cho phần phân số đều đặn (không đều) thông thường của nó. Hơn nữa, nó luôn ở bên trái.

    Tổng hợp. Nó được hình thành từ hai phân số chia cho nhau. Tức là nó chứa ba dòng phân số cùng một lúc.

Phân số thập phân chỉ có hai kiểu con:

    hữu hạn, tức là phần có phần phân số bị giới hạn (có phần cuối);

    vô hạn - một số có chữ số sau dấu thập phân không kết thúc (chúng có thể được viết vô tận).

Làm thế nào để chuyển một phân số thập phân thành phân số chung?

Nếu đây là một số hữu hạn, thì một liên kết dựa trên quy tắc sẽ được áp dụng - như tôi nghe, nên tôi viết. Tức là bạn cần đọc chính xác và viết ra giấy nhưng không có dấu phẩy mà có dấu phân số.

Để gợi ý về mẫu số cần thiết, bạn cần nhớ rằng nó luôn là một và nhiều số không. Bạn cần viết càng nhiều số sau càng tốt bằng số chữ số trong phần phân số của số được đề cập.

Làm cách nào để chuyển đổi phân số thập phân thành phân số thông thường nếu thiếu phần nguyên, nghĩa là bằng 0? Ví dụ: 0,9 hoặc 0,05. Sau khi áp dụng quy tắc đã chỉ định, hóa ra bạn cần phải viết số nguyên bằng 0. Nhưng nó không được chỉ định. Tất cả những gì còn lại là viết ra các phần phân số. Số thứ nhất sẽ có mẫu số là 10, số thứ hai sẽ có mẫu số là 100. Tức là các ví dụ đã cho sẽ có đáp án là các số sau: 9/10, 5/100. Hơn nữa, hóa ra giá trị sau có thể giảm đi 5. Do đó, kết quả của nó cần phải được viết là 1/20.

Làm thế nào bạn có thể chuyển một phân số thập phân thành một phân số thông thường nếu phần nguyên của nó khác 0? Ví dụ: 5,23 hoặc 13,00108. Trong cả hai ví dụ, toàn bộ phần được đọc và giá trị của nó được ghi. Trong trường hợp đầu tiên là 5, trong trường hợp thứ hai là 13. Sau đó, bạn cần chuyển sang phần phân số. Hoạt động tương tự được cho là sẽ được thực hiện với họ. Số đầu tiên xuất hiện 23/100, số thứ hai - 108/100000. Giá trị thứ hai cần phải giảm lại. Câu trả lời cho các phân số hỗn hợp sau: 5 23/100 và 13 27/25000.

Làm thế nào để chuyển một phân số thập phân vô hạn thành một phân số thông thường?

Nếu nó không định kỳ thì thao tác như vậy sẽ không thể thực hiện được. Thực tế này là do mỗi phân số thập phân luôn được chuyển đổi thành phân số hữu hạn hoặc phân số tuần hoàn.

Điều duy nhất bạn có thể làm với một phân số như vậy là làm tròn nó. Nhưng khi đó số thập phân sẽ xấp xỉ bằng số vô hạn đó. Nó đã có thể được biến thành một cái bình thường. Nhưng quá trình ngược lại: chuyển đổi sang số thập phân sẽ không bao giờ cho giá trị ban đầu. Nghĩa là, các phân số vô hạn không tuần hoàn không được chuyển thành phân số thông thường. Điều này cần phải được ghi nhớ.

Làm thế nào để viết một phân số tuần hoàn vô hạn dưới dạng phân số thường?

Trong những số này, luôn có một hoặc nhiều chữ số sau dấu thập phân được lặp lại. Chúng được gọi là một khoảng thời gian. Ví dụ: 0,3(3). Ở đây "3" là trong khoảng thời gian. Chúng được phân loại là hợp lý vì chúng có thể được chuyển đổi thành các phân số thông thường.

Những ai đã từng gặp các phân số tuần hoàn đều biết rằng chúng có thể ở dạng nguyên chất hoặc hỗn hợp. Trong trường hợp đầu tiên, dấu chấm bắt đầu ngay từ dấu phẩy. Trong phần thứ hai, phần phân số bắt đầu bằng một số số và sau đó bắt đầu lặp lại.

Quy tắc mà bạn cần viết số thập phân vô hạn dưới dạng phân số thông thường sẽ khác nhau đối với hai loại số được chỉ định. Khá dễ dàng để viết các phân số tuần hoàn thuần túy dưới dạng phân số thông thường. Đối với những số hữu hạn, chúng cần được chuyển đổi: viết dấu chấm vào tử số và mẫu số sẽ là số 9, được lặp lại nhiều lần bằng số chữ số mà dấu chấm chứa.

Ví dụ: 0,(5). Số không có phần nguyên nên bạn cần bắt đầu ngay với phần phân số. Viết 5 làm tử số và 9 làm mẫu số Tức là đáp án sẽ là phân số 5/9.

Quy tắc viết phân số thập phân thường tuần hoàn hỗn hợp.

    Nhìn vào độ dài của thời kỳ. Đó là số 9 mà mẫu số sẽ có.

    Viết mẫu số: số chín đầu tiên, sau đó là số không.

    Để xác định tử số, bạn cần viết hiệu của hai số. Tất cả các số sau dấu thập phân sẽ được rút gọn, cùng với dấu chấm. Khoản khấu trừ - nó không có thời gian.

Ví dụ: 0,5(8) - viết phân số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số chung. Phần phân số trước dấu chấm chứa một chữ số. Vì vậy sẽ có một số không. Trong kỳ cũng chỉ có một số - 8. Tức là chỉ có một số chín. Tức là bạn cần viết 90 vào mẫu số.

Để xác định tử số, bạn cần trừ 5 từ 58. Kết quả là 53. Ví dụ: bạn sẽ phải viết đáp án là 53/90.

Phân số được chuyển thành số thập phân như thế nào?

Tùy chọn đơn giản nhất là một số có mẫu số là số 10, 100, v.v. Sau đó, mẫu số sẽ bị loại bỏ và dấu phẩy được đặt giữa phần phân số và phần nguyên.

Có những tình huống khi mẫu số dễ dàng biến thành 10, 100, v.v. Ví dụ: các số 5, 20, 25. Chỉ cần nhân chúng lần lượt với 2, 5 và 4 là đủ. Bạn chỉ cần nhân không chỉ mẫu số mà cả tử số với cùng một số.

Đối với tất cả các trường hợp khác, một quy tắc đơn giản rất hữu ích: chia tử số cho mẫu số. Trong trường hợp này, bạn có thể nhận được hai câu trả lời: phân số thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn.

Các phép toán với phân số thông thường

Cộng và trừ

Học sinh làm quen với chúng sớm hơn những học sinh khác. Hơn nữa, lúc đầu các phân số có cùng mẫu số, sau đó chúng có mẫu số khác nhau. Các quy tắc chung có thể được giảm xuống trong kế hoạch này.

    Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số.

    Viết các thừa số bổ sung cho mọi phân số thông thường.

    Nhân các tử số và mẫu số với các thừa số được chỉ định cho chúng.

    Cộng (trừ) tử số của các phân số và giữ nguyên mẫu số chung.

    Nếu tử số của số bị trừ nhỏ hơn số bị trừ thì chúng ta cần tìm hiểu xem chúng ta có hỗn số hay phân số thích hợp.

    Trong trường hợp đầu tiên, bạn cần mượn toàn bộ một phần. Thêm mẫu số vào tử số của phân số. Và sau đó thực hiện phép trừ.

    Trong trường hợp thứ hai, cần áp dụng quy tắc trừ số lớn hơn cho số nhỏ hơn. Nghĩa là, từ mô-đun của số trừ, hãy trừ mô-đun của số bị trừ và để đáp lại, hãy đặt dấu “-”.

    Hãy xem xét kỹ kết quả của phép cộng (trừ). Nếu bạn nhận được một phần không chính xác, thì bạn phải chọn toàn bộ phần. Tức là chia tử số cho mẫu số.

    Nhân và chia

    Để thực hiện chúng, các phân số không cần phải rút gọn về mẫu số chung. Điều này làm cho việc thực hiện các hành động trở nên dễ dàng hơn. Nhưng họ vẫn yêu cầu bạn phải tuân theo các quy tắc.

      Khi nhân các phân số, bạn cần nhìn vào các số ở tử số và mẫu số. Nếu bất kỳ tử số và mẫu số nào có thừa số chung thì chúng có thể được rút gọn.

      Nhân các tử số.

      Nhân các mẫu số.

      Nếu kết quả là một phân số có thể rút gọn thì nó phải được đơn giản hóa lại.

      Khi chia, trước tiên bạn phải thay phép chia bằng phép nhân và chia số (phân số thứ hai) bằng phân số nghịch đảo (hoán đổi tử số và mẫu số).

      Sau đó tiến hành như phép nhân (bắt đầu từ điểm 1).

      Trong các nhiệm vụ mà bạn cần nhân (chia) cho một số nguyên, số nguyên phải được viết dưới dạng phân số không chính xác. Nghĩa là, với mẫu số là 1. Sau đó hành động như mô tả ở trên.

    Các thao tác với số thập phân

    Cộng và trừ

    Tất nhiên, bạn luôn có thể chuyển đổi số thập phân thành phân số. Và hành động theo kế hoạch đã được mô tả. Nhưng đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu hành động mà không có bản dịch này. Khi đó các quy tắc cộng và trừ của chúng sẽ giống hệt nhau.

      Cân bằng số chữ số trong phần phân số của số, nghĩa là sau dấu thập phân. Thêm số không còn thiếu vào nó.

      Viết các phân số sao cho dấu phẩy ở dưới dấu phẩy.

      Cộng (trừ) như số tự nhiên.

      Xóa dấu phẩy.

    Nhân và chia

    Điều quan trọng là bạn không cần thêm số không vào đây. Phân số nên được giữ nguyên như trong ví dụ. Và sau đó đi theo kế hoạch.

      Để nhân, bạn cần viết các phân số xếp chồng lên nhau, bỏ qua dấu phẩy.

      Nhân như số tự nhiên.

      Đặt dấu phẩy vào câu trả lời, tính từ đầu bên phải của câu trả lời có bao nhiêu chữ số nằm trong phần phân số của cả hai thừa số.

      Để chia, trước tiên bạn phải biến đổi số chia: biến nó thành số tự nhiên. Nghĩa là nhân nó với 10, 100, v.v., tùy thuộc vào số chữ số trong phần phân số của số chia.

      Nhân cổ tức với cùng một số.

      Chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên.

      Đặt dấu phẩy vào câu trả lời của bạn tại thời điểm việc chia toàn bộ phần kết thúc.

    Điều gì sẽ xảy ra nếu một ví dụ chứa cả hai loại phân số?

    Đúng, trong toán học thường có những ví dụ trong đó bạn cần thực hiện các phép tính trên phân số thường và phân số thập phân. Trong những nhiệm vụ như vậy có hai giải pháp khả thi. Bạn cần cân nhắc khách quan các con số và chọn con số tối ưu.

    Cách thứ nhất: biểu diễn số thập phân thông thường

    Nó phù hợp nếu phép chia hoặc phép dịch dẫn đến phân số hữu hạn. Nếu ít nhất một số mang tính tuần hoàn thì kỹ thuật này bị cấm. Vì vậy, ngay cả khi bạn không thích làm việc với các phân số thông thường, bạn vẫn phải đếm chúng.

    Cách thứ hai: viết phân số thập phân thông thường

    Kỹ thuật này tỏ ra thuận tiện nếu phần sau dấu thập phân chứa 1-2 chữ số. Nếu có nhiều hơn, bạn có thể thu được một phân số chung rất lớn và ký hiệu thập phân sẽ giúp việc tính toán nhanh hơn và dễ dàng hơn. Vì vậy, bạn luôn cần tỉnh táo đánh giá nhiệm vụ và chọn phương pháp giải quyết đơn giản nhất.

Biết rằng nếu mẫu số N phân số tối giản trong khai triển chính tắc của nó có thừa số nguyên tố không bằng 2 và 5 thì phân số này không thể biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn. Trong trường hợp này, nếu chúng ta cố gắng viết phân số tối giản ban đầu dưới dạng số thập phân, chia tử số cho mẫu số, thì quá trình chia không thể kết thúc, bởi vì nếu nó được hoàn thành sau hữu hạn bước, chúng ta sẽ nhận được một phân số thập phân hữu hạn, mâu thuẫn với định lý đã được chứng minh trước đó. Vì vậy, trong trường hợp này ký hiệu thập phân của số hữu tỷ dương là MỘT= dường như là một phân số vô hạn.

Ví dụ, phân số = 0,3636.... . Dễ dàng nhận thấy số dư khi chia 4 cho 11 được lặp lại định kỳ, do đó các chữ số thập phân sẽ được lặp lại định kỳ, tức là. hóa ra phân số thập phân tuần hoàn vô hạn, có thể được viết là 0,(36).

Định kỳ lặp lại số 3 và 6 tạo thành một dấu chấm. Có thể có một số chữ số nằm giữa dấu thập phân và phần đầu của tiết đầu tiên. Những con số này tạo thành giai đoạn tiền kỳ. Ví dụ,

0.1931818... Quá trình chia 17 cho 88 là vô tận. Các số 1, 9, 3 tạo thành tiền kỳ; 1, 8 – tiết. Các ví dụ chúng ta đã xem xét phản ánh một khuôn mẫu, tức là bất kỳ số hữu tỷ dương nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn hữu hạn hoặc vô hạn.

Định lý 1.Đặt phân số thông thường là tối giản trong khai triển chính tắc của mẫu số N là thừa số nguyên tố khác 2 và 5. Khi đó phân số chung có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Bằng chứng. Chúng ta đã biết rằng phép chia một số tự nhiên tôiđến một số tự nhiên N sẽ là vô tận. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nó sẽ có tính định kỳ. Trên thực tế, khi chia tôi TRÊN N số dư kết quả sẽ nhỏ hơn N, những thứ kia. các số có dạng 1, 2, ..., ( N– 1), từ đó rõ ràng rằng số phần dư khác nhau là hữu hạn và do đó, bắt đầu từ một bước nhất định, một số phần dư sẽ được lặp lại, dẫn đến sự lặp lại các vị trí thập phân của thương và phần thập phân vô hạn trở nên định kỳ.

Hai định lý nữa được giữ vững.

Định lý 2. Nếu việc khai triển mẫu số của một phân số tối giản thành thừa số nguyên tố không bao gồm các số 2 và 5, thì khi chuyển phân số này thành phân số thập phân vô hạn, sẽ thu được một phân số tuần hoàn thuần túy, tức là. một phân số có dấu chấm bắt đầu ngay sau dấu thập phân.

Định lý 3. Nếu việc khai triển mẫu số bao gồm thừa số 2 (hoặc 5) hoặc cả hai, thì phân số tuần hoàn vô hạn sẽ bị trộn lẫn, tức là. giữa dấu thập phân và đầu dấu chấm sẽ có một số chữ số (trước dấu chấm), cụ thể là số mũ lớn nhất của thừa số 2 và 5.

Định lý 2 và 3 được đề xuất để người đọc chứng minh một cách độc lập.

28. Phương pháp chuyển từ vô hạn tuần hoàn
phân số thập phân thành phân số chung

Cho một phân số tuần hoàn MỘT= 0,(4), tức là 0,4444... .

Hãy nhân lên MỘTđến 10, chúng tôi nhận được

10MỘT= 4.444…4…Þ 10 MỘT = 4 + 0,444….

Những thứ kia. 10 MỘT = 4 + MỘT, chúng tôi thu được một phương trình cho MỘT, giải ra ta được: 9 MỘT= 4Þ MỘT = .

Chúng ta lưu ý rằng 4 vừa là tử số của phân số vừa là tử số của phân số 0,(4).

Luật lệ Việc chuyển đổi một phân số tuần hoàn thuần túy thành một phân số thông thường được xây dựng như sau: tử số của phân số bằng dấu chấm và mẫu số có cùng số chín với các chữ số trong dấu chấm của phân số.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh quy tắc này cho một phân số có chu kỳ bao gồm N

MỘT= . Hãy nhân lên MỘTđến 10 N, chúng tôi nhận được:

10N × MỘT = = + 0, ;

10N × MỘT = + Một;

(10N – 1) MỘT = Þ một = = .

Vì vậy, quy tắc được xây dựng trước đó đã được chứng minh cho bất kỳ phân số tuần hoàn thuần túy nào.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một phân số MỘT= 0,605(43) – hỗn hợp tuần hoàn. Hãy nhân lên MỘT bằng 10 với cùng một chỉ số, có bao nhiêu chữ số trong dấu chấm trước, tức là. đến 10 3, chúng tôi nhận được

10 3 × MỘT= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × MỘT = 605 + = 605 + = = ,

những thứ kia. 10 3 × MỘT= .

Luật lệ Chuyển một phân số tuần hoàn hỗn hợp thành phân số thường được thực hiện như sau: Tử số của phân số bằng hiệu của số viết bằng chữ số trước đầu tiết thứ hai và số viết bằng chữ số trước đầu tiết thứ nhất , mẫu số bao gồm số chín bằng số chữ số trong dấu chấm và số số 0 đó có bao nhiêu chữ số trước khi bắt đầu dấu chấm đầu tiên.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh quy tắc này cho một phân số có tiền kỳ bao gồm N số và khoảng thời gian là từ ĐẾN con số Cho một phân số tuần hoàn

Hãy biểu thị V.= ; r= ,

Với= ; Sau đó Với=trong × 10k + r.

Hãy nhân lên MỘT bằng 10 với số mũ như vậy có bao nhiêu chữ số trong giai đoạn đầu, tức là đến 10 N, chúng tôi nhận được:

MỘT×10 N = + .

Có tính đến các ký hiệu được giới thiệu ở trên, chúng tôi viết:

một× 10N= V.+ .

Vì vậy, quy tắc được xây dựng ở trên đã được chứng minh cho bất kỳ phân số tuần hoàn hỗn hợp nào.

Mọi phân số thập phân tuần hoàn vô hạn đều là một dạng viết số hữu tỉ.

Để nhất quán, đôi khi số thập phân hữu hạn cũng được coi là số thập phân tuần hoàn vô hạn có dấu chấm "không". Ví dụ: 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3.000.... .

Bây giờ tuyên bố sau đây trở thành đúng: mọi số hữu tỷ có thể (và theo một cách duy nhất) được biểu thị bằng một phân số thập phân tuần hoàn vô hạn và mọi phân số thập phân tuần hoàn vô hạn biểu thị chính xác một số hữu tỷ (các phân số thập phân tuần hoàn có chu kỳ bằng 9 không được xem xét ).