Đoạn 2 Diện tích hình bình hành của một tam giác và hình thang. “Diện tích hình bình hành, hình tam giác, hình thang

1) Lời chào

2) Động cơ của bài học Giáo viên kiểm tra sự sẵn sàng của lớp đối với bài học; thúc đẩy học sinh hình thành chủ đề.

Đọc định nghĩa trên bảng (trang chủ đề) và chèn khái niệm được đề cập:

Kích thước của phần mặt phẳng bị đa giác chiếm giữ là ... (diện tích)

Một tứ giác có các cặp cạnh đối song song - ....(hình bình hành)

Một hình gồm ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và có ba đoạn thẳng nối chúng được gọi là .... (tam giác)

Hình có hai cạnh song song, hai cạnh kia không song song được gọi là ... (hình thang)

Từ những từ thu được, hãy cố gắng tạo ra chủ đề của bài học hôm nay.

Vì vậy, chủ đề của bài học….Diện tích hình bình hành, hình tam giác, hình thang.

    Các khu vực, chúng ta có thể tìm thấy những số liệu nào và bằng cách nào?

    Tính diện tích các hình ở hình 2.

Có những giải pháp khác?

Chuyện gì đã xảy ra thế?

Những nỗ lực nào đã được thực hiện để tìm ra khu vực?

Ai đã cố gắng tìm diện tích hình bình hành? Nói cho tôi.

Dẫn xuất công thức tính diện tích hình bình hành.

Nhiệm vụ.

Làm thế nào để “vẽ lại” hình bình hành để có được hình chữ nhật có cùng diện tích?

Hình bình hành được vẽ lại thành hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật.

Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đối với hình bình hành là bao nhiêu?

Diện tích của hình bình hành bằng tích của đáy và chiều cao của nó.

Trong hình bình hành, đáy có thể là bất kỳ cạnh nào. Và để áp dụng được công thức tính diện tích thì chiều cao phải được tính bằng đáy.

Hãy tính diện tích của hình bình hành này.

Dẫn xuất công thức tính diện tích hình tam giác.

Làm thế nào bạn có thể vẽ lại hoặc hoàn thành một hình tam giác?

Diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao của nó.

Nếu tam giác vuông thì sao?

Nhìn vào hình.


Nó có thể được “vẽ lại” thành một hình chữ nhật.

Và chúng ta tìm diện tích của nó bằng công thức

S =a *b . Chiều dài của hình chữ nhật là một nửa chân và chiều rộng là chân còn lại.

Diện tích của một tam giác vuông bằng một nửa tích hai chân của nó.

Dẫn xuất công thức tính diện tích hình thang.


Hãy xem cây treapecia đã được “vẽ lại” như thế nào - thành một hình tam giác. Và chúng ta tìm diện tích của tam giác bằng công thức:

Đáy của tam giác là tổng độ dài của đáy trên và đáy dưới, và chiều cao của tam giác là chiều cao của hình thang.

Diện tích của hình thang bằng tích của một nửa tổng hai đáy và chiều cao của nó.

1) Tìm S hơi nước. , Nếu như MỘT=5, h =4.

2) Tìm tam giác S. , Nếu như MỘT=3,5; h =2.

3) Tìm thang S. , Nếu như MỘT=4,5; b = 2,5; h =3.

Hoàn thành nhiệm vụ kiểm tra (xem phụ lục)

Đánh giá ngang hàng của công việc độc lập.

Giải quyết vấn đề về một chủ đề mới:

Số 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

Đối với những học sinh yếu và kém thành tích, bài tập cá nhân trên thẻ đã được chuẩn bị, trong đó bao gồm các nhiệm vụ trong đó có ví dụ ghi lại cách giải.

Giáo viên đề nghị trả lời các câu hỏi về một chủ đề mới.

Các bạn ơi, hãy tóm tắt lại nhé!

Hôm nay bạn đã học được gì ở lớp?

Bạn đã học để làm gì?

Điều gì đã khó quyết định?

Giáo viên nhận xét bài tập về nhà.

đoạn 23 Số 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Làm tốt lắm mọi người!

Bài học đã kết thúc. Tạm biệt!

Diện tích của một hình hình học- đặc tính số của hình hình học biểu thị kích thước của hình này (phần bề mặt được giới hạn bởi đường viền khép kín của hình này). Kích thước của khu vực được biểu thị bằng số đơn vị hình vuông chứa trong đó.

Công thức tính diện tích tam giác

  1. Công thức tính diện tích hình tam giác theo cạnh và chiều cao
    Diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của chiều dài một cạnh của một tam giác và chiều dài đường cao vẽ về cạnh này
  2. Công thức tính diện tích hình tam giác dựa trên ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp
  3. Công thức tính diện tích hình tam giác dựa trên ba cạnh và bán kính của hình tròn nội tiếp
    Diện tích của một hình tam giác bằng tích của nửa chu vi của tam giác và bán kính của đường tròn nội tiếp.
    4. trong đó S là diện tích của tam giác,
    - độ dài các cạnh của tam giác,
    - chiều cao của hình tam giác,
    - góc giữa các cạnh và,
    - bán kính của đường tròn nội tiếp,
    R - bán kính của đường tròn ngoại tiếp,

Công thức tính diện tích hình vuông

  1. Công thức tính diện tích hình vuông theo chiều dài cạnh
    Diện tích hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh của nó.
  2. Công thức tính diện tích hình vuông theo chiều dài đường chéo
    Diện tích hình vuông bằng nửa bình phương độ dài đường chéo của nó.
    S=1 2
    2
    3. trong đó S là diện tích hình vuông,
    - độ dài cạnh hình vuông,
    - Độ dài đường chéo của hình vuông.

Công thức diện tích hình chữ nhật

    Diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài hai cạnh kề của nó

    trong đó S là diện tích của hình chữ nhật,
    - Độ dài các cạnh của hình chữ nhật.

Công thức tính diện tích hình bình hành

  1. Công thức tính diện tích hình bình hành dựa trên chiều dài cạnh và chiều cao
    Diện tích hình bình hành
  2. Công thức tính diện tích hình bình hành dựa trên hai cạnh và góc giữa chúng
    Diện tích hình bình hành bằng tích độ dài các cạnh của nó nhân với sin của góc giữa chúng.

    a b sin α

    3. trong đó S là diện tích của hình bình hành,
    - độ dài các cạnh của hình bình hành,
    - chiều dài của chiều cao hình bình hành,
    - góc giữa các cạnh của hình bình hành.

Công thức tính diện tích hình thoi

  1. Công thức tính diện tích hình thoi dựa trên chiều dài cạnh và chiều cao
    Diện tích của một hình thoi bằng tích của chiều dài cạnh của nó và chiều dài của chiều cao hạ xuống cạnh này.
  2. Công thức tính diện tích hình thoi dựa trên độ dài cạnh và góc
    Diện tích của một hình thoi bằng tích của bình phương độ dài cạnh của nó và sin của góc giữa hai cạnh của hình thoi.
  3. Công thức tính diện tích hình thoi dựa trên độ dài các đường chéo của nó
    Diện tích của một hình thoi bằng một nửa tích độ dài các đường chéo của nó.
    4. trong đó S là diện tích của hình thoi,
    - độ dài cạnh của hình thoi,
    - chiều cao của hình thoi,
    - góc giữa các cạnh của hình thoi,
    1, 2 - độ dài đường chéo.

Công thức tính diện tích hình thang

  1. Công thức Heron cho hình thang

    Trong đó S là diện tích hình thang,
    - độ dài các đáy của hình thang,
    - độ dài các cạnh của hình thang,

Diện tích hình bình hành

Định lý 1

Diện tích của hình bình hành được định nghĩa là tích của chiều dài cạnh của nó và chiều cao được vẽ bởi nó.

trong đó $a$ là một cạnh của hình bình hành, $h$ là chiều cao được vẽ về cạnh này.

Bằng chứng.

Cho một hình bình hành $ABCD$ có $AD=BC=a$. Chúng ta hãy vẽ các đường cao $DF$ và $AE$ (Hình 1).

Bức tranh 1.

Rõ ràng, hình $FDAE$ là một hình chữ nhật.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\góc A=\góc BAE\]

Do đó, vì $CD=AB,\ DF=AE=h$, theo tiêu chuẩn $I$ cho sự bằng nhau của các tam giác $\tam giác BAE=\tam giác CDF$. Sau đó

Vì vậy, theo định lý về diện tích hình chữ nhật:

Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2

Diện tích của hình bình hành được định nghĩa là tích của chiều dài các cạnh liền kề của nó và sin của góc giữa các cạnh này.

Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

trong đó $a,\ b$ là các cạnh của hình bình hành, $\alpha $ là góc giữa chúng.

Bằng chứng.

Cho một hình bình hành $ABCD$ có $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Chúng ta hãy vẽ chiều cao $DF=h$ (Hình 2).

Hình 2.

Theo định nghĩa của sin, ta có

Kể từ đây

Vì vậy, theo Định lý $1$:

Định lý đã được chứng minh.

Diện tích của một hình tam giác

Định lý 3

Diện tích của một hình tam giác được xác định bằng một nửa tích của chiều dài cạnh của nó và chiều cao vẽ lên nó.

Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

trong đó $a$ là một cạnh của tam giác, $h$ là chiều cao được vẽ về phía này.

Bằng chứng.

Hình 3.

Vì vậy, theo Định lý $1$:

Định lý đã được chứng minh.

Định lý 4

Diện tích của một hình tam giác được định nghĩa bằng một nửa tích của chiều dài các cạnh liền kề của nó và sin của góc giữa các cạnh này.

Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

trong đó $a,\b$ là các cạnh của tam giác, $\alpha$ là góc giữa chúng.

Bằng chứng.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=a$. Hãy tìm độ cao $CH=h$. Hãy dựng nó thành hình bình hành $ABCD$ (Hình 3).

Rõ ràng, theo tiêu chuẩn $I$ về sự bằng nhau của các tam giác, $\tam giác ACB=\tam giác CDB$. Sau đó

Vì vậy, theo Định lý $1$:

Định lý đã được chứng minh.

Diện tích hình thang

Định lý 5

Diện tích của hình thang được xác định bằng một nửa tích của tổng chiều dài hai đáy và chiều cao của nó.

Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

Bằng chứng.

Cho ta một hình thang $ABCK$, trong đó $AK=a,\ BC=b$. Chúng ta hãy vẽ vào đó các đường cao $BM=h$ và $KP=h$, cũng như đường chéo $BK$ (Hình 4).

Hinh 4.

Theo Định lý $3$, ta có

Định lý đã được chứng minh.

Nhiệm vụ mẫu

ví dụ 1

Tìm diện tích của một tam giác đều nếu độ dài cạnh của nó là $a.$

Giải pháp.

Vì tam giác đều nên tất cả các góc của nó bằng $(60)^0$.

Khi đó, theo Định lý $4$, ta có

Trả lời:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Lưu ý rằng kết quả của bài toán này có thể được sử dụng để tìm diện tích của bất kỳ tam giác đều nào có cạnh cho trước.

Chúng ta hãy đồng ý gọi một trong các cạnh của hình bình hành nền tảng, và đường vuông góc kẻ từ bất kỳ điểm nào ở phía đối diện với đường thẳng chứa đáy là chiều cao hình bình hành.

Định lý

Bằng chứng

Xét hình bình hành ABCD có diện tích S. Lấy cạnh AD làm đáy và vẽ các đường cao ВН và СК (Hình 182). Hãy chứng minh S = AD VN.

Cơm. 182

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh diện tích hình chữ nhật ABCD cũng bằng S. Hình thang ABCD gồm có hình bình hành ABCD và tam giác DCK. Mặt khác, nó gồm có hình chữ nhật НВСК và hình tam giác АВН. Nhưng các tam giác vuông DCK và ABH bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn (các cạnh huyền AB và CD bằng nhau như các cạnh đối diện của hình bình hành, và các góc 1 và 2 bằng nhau khi các đường thẳng song song AB và CD cắt đường cát tuyến AD) , nên diện tích của chúng bằng nhau.

Do đó, diện tích của hình bình hành ABCD và hình chữ nhật NVSK cũng bằng nhau, tức là diện tích hình chữ nhật NVSK bằng S. Theo định lý về diện tích hình chữ nhật, S = BC BN, và vì BC = AD thì S = AD BN. Định lý đã được chứng minh.

Diện tích của một hình tam giác

Một trong các cạnh của tam giác thường được gọi là nền tảng. Nếu đáy được chọn thì từ “chiều cao” có nghĩa là chiều cao của hình tam giác được vẽ vào đáy. Định lý

Bằng chứng

Gọi S là diện tích của tam giác ABC (Hình 183). Lấy cạnh AB làm đáy của tam giác và vẽ đường cao CH. Hãy chứng minh điều đó .


Cơm. 183

Hãy hoàn thiện tam giác ABC thành hình bình hành ABDC như hình 183. Tam giác ABC và DCB có ba cạnh bằng nhau (BC là cạnh chung, AB = CD và AC = BD là các cạnh đối diện của hình bình hành ABDC), vậy diện tích của chúng đều bình đẳng. Do đó, diện tích S của tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành ABDC, tức là. . Định lý đã được chứng minh.

Hệ quả 1

Hệ quả 2

Ta hãy sử dụng Hệ quả 2 để chứng minh định lý về tỉ số diện tích của các tam giác có các góc bằng nhau.

Định lý

Bằng chứng

Gọi S và S 1 là diện tích của các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1, trong đó ∠A = ∠A 1 (Hình 184, a). Hãy chứng minh điều đó .


Cơm. 184

Đặt chồng tam giác A 1 B 1 C 1 lên tam giác ABC sao cho đỉnh A 1 thẳng hàng với đỉnh A và các cạnh A 1 B 1 và A 1 C 1 lần lượt chồng lên các tia AB và AC (Hình 184, b). Tam giác ABC và AB 1 C có chung đường cao - CH, do đó .

Hai tam giác AB 1 C và AB 1 C 1 cũng có chung một chiều cao - B 1 H 1, do đó . Nhân các đẳng thức thu được, ta tìm được:

Định lý đã được chứng minh.

Diện tích hình thang

Để tính diện tích của một đa giác tùy ý, bạn thường làm như sau: chia đa giác đó thành các hình tam giác và tìm diện tích của mỗi hình tam giác. Tổng diện tích của các hình tam giác này bằng diện tích của đa giác đã cho (Hình 185, a). Sử dụng kỹ thuật này, chúng tôi rút ra công thức tính diện tích hình thang. Chúng ta hãy đồng ý gọi đường cao của hình thang là đường vuông góc kẻ từ một điểm bất kỳ của một đáy đến đường thẳng chứa đáy kia. Trong hình 185 b, đoạn BH (cũng như đoạn DH 1) là chiều cao của hình thang ABCD.


Cơm. 185

Định lý

Bằng chứng

Xét hình thang ABCD có đáy AD và BC, chiều cao BH và diện tích S (xem Hình 185, b).

Hãy chứng minh điều đó

Đường chéo BD chia hình thang thành hai tam giác ABD và BCD nên S = S ABD + S BCD.

Giả sử các đoạn thẳng AD và ВН là đáy và chiều cao của tam giác ABD, lấy các đoạn thẳng ВС và DH 1 làm đáy và chiều cao của tam giác BCD. Sau đó

.

Định lý đã được chứng minh.

Nhiệm vụ

459. Gọi a là đáy, h là chiều cao và S là diện tích của hình bình hành. Tìm: a) S, nếu a = 15 cm thì h = 12 cm; b) a, nếu S = 34 cm 2 thì h = 8,5 cm; c) a, nếu S = 162 cm 2 thì h = 1/2a; d) h, nếu h = 3a thì S = 27.

460. Đường chéo của hình bình hành bằng 13 cm, vuông góc với cạnh của hình bình hành, bằng 12 cm. Tìm diện tích của hình bình hành.

461. Các cạnh kề của hình bình hành là 12 cm và 14 cm, góc nhọn của nó là 30°. Tìm diện tích của hình bình hành.

462. Cạnh của hình thoi là 6 cm và một góc là 150°. Tìm diện tích của hình thoi.

463. Cạnh của hình bình hành là 8,1 cm và đường chéo bằng 14 cm tạo thành một góc 30° với nó. Tìm diện tích của hình bình hành.

464. Cho a và b là hai cạnh kề nhau của hình bình hành, S là diện tích, a h 1 và h 2 chiều cao của nó. Tìm: a) h 2 nếu a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, nếu a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 và h 2, nếu S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 cm.

465. Góc nhọn của hình bình hành là 30° và các đường cao vẽ từ đỉnh của góc tù là 2 cm và 3 cm. Tìm diện tích của hình bình hành.

466. Đường chéo của hình bình hành bằng cạnh của nó. Tìm diện tích hình bình hành nếu cạnh dài nhất của nó là 15,2 cm và một trong các góc của nó là 45°.

467. Một hình vuông và một hình thoi không phải hình vuông thì có cùng chu vi. So sánh diện tích của các hình này.

468. Gọi a là đáy, h là chiều cao và S là diện tích của tam giác. Tìm: a) S, nếu a = 7 cm thì h = 11 cm; b) S nếu a = 2√3 cm thì h = 5 cm; c) h nếu S = 37,8 cm 2 thì a - 14 cm; d) a, nếu S = 12 cm 2 thì h = 3√2 cm.

469. Cạnh AB và BC của tam giác ABC lần lượt bằng 16 cm và 22 cm, chiều cao vẽ trên cạnh AB bằng 11 cm.

470. Hai cạnh của một tam giác bằng 7,5 cm và 3,2 cm. Chiều cao vẽ theo cạnh lớn hơn là 2,4 cm.

471. D Tìm diện tích của một tam giác vuông nếu hai chân của nó bằng nhau: a) 4 cm và 11 cm; b) 1,2 dm và 3 dm.

472. Diện tích của một tam giác vuông là 168 cm 2. Tìm hai chân của nó nếu tỉ số chiều dài của chúng là 7/12.

473. Qua đỉnh C của tam giác ABC vẽ đường thẳng m song song với cạnh AB. Chứng minh rằng mọi tam giác có đỉnh thuộc đường thẳng m và đáy AB đều có diện tích bằng nhau.

474. So sánh diện tích của hai tam giác mà tam giác đó chia cho đường trung tuyến của nó.

475. Vẽ tam giác ABC. Vẽ hai đường thẳng đi qua đỉnh A sao cho chúng chia tam giác này thành ba tam giác có diện tích bằng nhau.

476. Chứng minh rằng diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo của nó. Tính diện tích hình thoi nếu các đường chéo của nó bằng: a) 3,2 dm và 14 cm; b) 4,6 dm và 2 dm.

477. Tìm các đường chéo của một hình thoi nếu một trong số chúng lớn hơn hình kia 1,5 lần và diện tích của hình thoi là 27 cm 2.

478. Trong một tứ giác lồi, các đường chéo vuông góc với nhau. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng một nửa tích hai đường chéo của nó.

479. Điểm D và E nằm trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC. Tìm: a) S ADE, nếu AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; b) AD, nếu AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Tìm diện tích hình thang ABCD có đáy AB và CD nếu:

    a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, chiều cao BH là 7 cm;
    b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
    c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Tìm diện tích hình thang hình chữ nhật có hai cạnh nhỏ hơn là 6 cm và góc lớn hơn là 135°.

482. Góc tù của một hình thang cân là 135°, và đường cao vẽ từ đỉnh của góc này chia đáy lớn hơn thành các đoạn có kích thước 1,4 cm và 3,4 cm. Tìm diện tích của hình thang.

Câu trả lời cho vấn đề

    459. a) 180cm2; b) 4cm; c) 18cm; đ) 9.

    460. 156cm2.

    461,84cm2.

    462. 18cm2.

    463,56,7 cm2.

    464. a) 10 cm; b) 4cm; c) 12 cm và 9 cm.

    465. 12cm2.

    466. 115,52cm2.

    467. Diện tích hình vuông lớn hơn.

    468. a) 38,5cm2; b) 5√3cm2; c) d) 4√2 cm.

    470,5,625 cm.

    471. a) 22cm2; b) 1,8 dm 2.

    472. 14 cm và 24 cm.

    473. Chỉ dẫn. Sử dụng Định lý 38.

    474. Diện tích của các hình tam giác bằng nhau.

    475. Chỉ dẫn. Đầu tiên chia cạnh BC thành 3 phần bằng nhau.

    476. a) 224cm2; b) 4,6 dm 2. Ghi chú. Lưu ý rằng các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.

    477,6 cm và 9 cm.

    479. a) 2 cm 2; b) Hướng dẫn 2,4 cm. Sử dụng định lý thứ hai trong đoạn 53.

    480. a) 133cm2; b) 24cm2; c) 72cm2.

    481,54cm2.

    Diện tích hình bình hành

    Định lý 1

    Diện tích của hình bình hành được định nghĩa là tích của chiều dài cạnh của nó và chiều cao được vẽ bởi nó.

    trong đó $a$ là một cạnh của hình bình hành, $h$ là chiều cao được vẽ về cạnh này.

    Bằng chứng.

    Cho một hình bình hành $ABCD$ có $AD=BC=a$. Chúng ta hãy vẽ các đường cao $DF$ và $AE$ (Hình 1).

    Bức tranh 1.

    Rõ ràng, hình $FDAE$ là một hình chữ nhật.

    \[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\góc A=\góc BAE\]

    Do đó, vì $CD=AB,\ DF=AE=h$, theo tiêu chuẩn $I$ cho sự bằng nhau của các tam giác $\tam giác BAE=\tam giác CDF$. Sau đó

    Vì vậy, theo định lý về diện tích hình chữ nhật:

    Định lý đã được chứng minh.

    Định lý 2

    Diện tích của hình bình hành được định nghĩa là tích của chiều dài các cạnh liền kề của nó và sin của góc giữa các cạnh này.

    Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

    trong đó $a,\ b$ là các cạnh của hình bình hành, $\alpha $ là góc giữa chúng.

    Bằng chứng.

    Cho một hình bình hành $ABCD$ có $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Chúng ta hãy vẽ chiều cao $DF=h$ (Hình 2).

    Hình 2.

    Theo định nghĩa của sin, ta có

    Kể từ đây

    Vì vậy, theo Định lý $1$:

    Định lý đã được chứng minh.

    Diện tích của một hình tam giác

    Định lý 3

    Diện tích của một hình tam giác được xác định bằng một nửa tích của chiều dài cạnh của nó và chiều cao vẽ lên nó.

    Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

    trong đó $a$ là một cạnh của tam giác, $h$ là chiều cao được vẽ về phía này.

    Bằng chứng.

    Hình 3.

    Vì vậy, theo Định lý $1$:

    Định lý đã được chứng minh.

    Định lý 4

    Diện tích của một hình tam giác được định nghĩa bằng một nửa tích của chiều dài các cạnh liền kề của nó và sin của góc giữa các cạnh này.

    Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

    trong đó $a,\b$ là các cạnh của tam giác, $\alpha$ là góc giữa chúng.

    Bằng chứng.

    Cho tam giác $ABC$ có $AB=a$. Hãy tìm độ cao $CH=h$. Hãy dựng nó thành hình bình hành $ABCD$ (Hình 3).

    Rõ ràng, theo tiêu chuẩn $I$ về sự bằng nhau của các tam giác, $\tam giác ACB=\tam giác CDB$. Sau đó

    Vì vậy, theo Định lý $1$:

    Định lý đã được chứng minh.

    Diện tích hình thang

    Định lý 5

    Diện tích của hình thang được xác định bằng một nửa tích của tổng chiều dài hai đáy và chiều cao của nó.

    Về mặt toán học điều này có thể được viết như sau

    Bằng chứng.

    Cho ta một hình thang $ABCK$, trong đó $AK=a,\ BC=b$. Chúng ta hãy vẽ vào đó các đường cao $BM=h$ và $KP=h$, cũng như đường chéo $BK$ (Hình 4).

    Hinh 4.

    Theo Định lý $3$, ta có

    Định lý đã được chứng minh.

    Nhiệm vụ mẫu

    ví dụ 1

    Tìm diện tích của một tam giác đều nếu độ dài cạnh của nó là $a.$

    Giải pháp.

    Vì tam giác đều nên tất cả các góc của nó bằng $(60)^0$.

    Khi đó, theo Định lý $4$, ta có

    Trả lời:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

    Lưu ý rằng kết quả của bài toán này có thể được sử dụng để tìm diện tích của bất kỳ tam giác đều nào có cạnh cho trước.