Tích phân cơ bản mà mỗi học sinh nên biết
Các tích phân được liệt kê là cơ sở, cơ sở của các nguyên tắc cơ bản. Những công thức này chắc chắn nên được ghi nhớ. Khi tính các tích phân phức tạp hơn, bạn sẽ phải sử dụng chúng liên tục.
Đặc biệt chú ý đến các công thức (5), (7), (9), (12), (13), (17) và (19). Đừng quên thêm hằng số C tùy ý vào câu trả lời của bạn khi lấy tích phân!
Tích phân của một hằng số
∫ A d x = A x + C (1)Tích hợp chức năng nguồn
Trên thực tế, chúng ta có thể giới hạn bản thân chỉ ở các công thức (5) và (7), nhưng các tích phân còn lại trong nhóm này xảy ra thường xuyên đến mức cần chú ý một chút đến chúng.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Tích phân của hàm số mũ và hàm hyperbol
Tất nhiên, công thức (8) (có lẽ là thuận tiện nhất cho việc ghi nhớ) có thể coi là trường hợp đặc biệt của công thức (9). Các công thức (10) và (11) cho các tích phân của sin hyperbol và cosin hyperbol dễ dàng được suy ra từ công thức (8), nhưng tốt hơn là bạn chỉ cần nhớ các mối quan hệ này.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Tích phân cơ bản của hàm lượng giác
Một lỗi mà học sinh thường mắc phải là nhầm lẫn dấu trong công thức (12) và (13). Hãy nhớ rằng đạo hàm của sin bằng cosin, vì lý do nào đó mà nhiều người tin rằng tích phân của hàm sinx bằng cosx. Đây không phải là sự thật! Tích phân của sin bằng “trừ cosin”, nhưng tích phân của cosx bằng “chỉ sin”:
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Tích phân rút gọn về hàm lượng giác nghịch đảo
Công thức (16), dẫn đến arctang, đương nhiên là trường hợp đặc biệt của công thức (17) với a=1. Tương tự, (18) là trường hợp đặc biệt của (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arc t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Tích phân phức tạp hơn
Cũng nên nhớ những công thức này. Chúng cũng được sử dụng khá thường xuyên và kết quả của chúng khá tẻ nhạt.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Quy luật chung của hội nhập
1) Tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng của các tích phân tương ứng: ∫ (f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g(x) d x (25)
2) Tích phân của hiệu của hai hàm số bằng hiệu của các tích phân tương ứng: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Hằng số có thể được rút ra khỏi dấu tích phân: ∫ C f(x) d x = C ∫ f(x) d x (27)
Dễ dàng nhận thấy tính chất (26) đơn giản là sự kết hợp của tính chất (25) và (27).
4) Tích phân của hàm phức nếu hàm nội là tuyến tính: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Ở đây F(x) là nguyên hàm của hàm f(x). Xin lưu ý: công thức này chỉ hoạt động khi hàm bên trong là Ax + B.
Quan trọng: không có công thức chung cho tích phân của tích hai hàm, cũng như tích phân của một phân số:
∫f(x)g(x)dx = ? ∫f(x)g(x)dx = ? (ba mươi)
Tất nhiên, điều này không có nghĩa là một phần hoặc một sản phẩm không thể tích hợp được. Chỉ là mỗi khi bạn nhìn thấy một tích phân như (30), bạn sẽ phải nghĩ ra cách để “chiến đấu” với nó. Trong một số trường hợp, việc tích phân từng phần sẽ giúp ích cho bạn, trong những trường hợp khác, bạn sẽ phải thực hiện một phép đổi biến, và đôi khi ngay cả các công thức đại số hoặc lượng giác “trường học” cũng có thể hữu ích.
Một ví dụ đơn giản về tính tích phân không xác định
Ví dụ 1. Tìm tích phân: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xChúng ta hãy sử dụng công thức (25) và (26) (tích phân của tổng hoặc hiệu của các hàm số bằng tổng hoặc hiệu của các tích phân tương ứng. Ta thu được: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Chúng ta hãy nhớ rằng hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân (công thức (27)). Biểu thức được chuyển đổi thành dạng
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng bảng tích phân cơ bản. Chúng ta sẽ cần áp dụng các công thức (3), (12), (8) và (1). Hãy tích phân hàm lũy thừa, sin, hàm mũ và hằng số 1. Đừng quên thêm hằng số C tùy ý vào cuối:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Sau các phép biến đổi cơ bản, chúng ta nhận được câu trả lời cuối cùng:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Hãy tự kiểm tra bằng cách lấy vi phân: lấy đạo hàm của hàm thu được và đảm bảo rằng nó bằng tích phân ban đầu.
Bảng tổng hợp tích phân
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arc t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Tải bảng tích phân (phần II) từ liên kết này
Nếu bạn đang học đại học, nếu bạn gặp khó khăn với toán cao hơn (toán phân tích, đại số tuyến tính, lý thuyết xác suất, thống kê), nếu bạn cần sự phục vụ của một giáo viên có trình độ, hãy đến trang của gia sư toán cao hơn. Chúng tôi sẽ cùng nhau giải quyết vấn đề của bạn!
Bạn cũng có thể quan tâm đến
Xin chào lần nữa, các bạn!
Như tôi đã hứa, với bài học này, chúng ta sẽ bắt đầu khám phá những không gian vô tận của thế giới thơ ca của tích phân và bắt đầu giải rất nhiều ví dụ (đôi khi rất đẹp). :)
Để điều hướng thành thạo trong tất cả sự đa dạng toàn diện và không bị lạc lối, chúng ta chỉ cần bốn điều:
1) Bảng tích phân. Tất cả các chi tiết về cô ấy - . Đây chính xác là cách để làm việc với cô ấy.
2) Tính chất tuyến tính của tích phân không xác định (tích phân của tổng/hiệu và tích của một hằng số).
3) Bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm.
Vâng, vâng, đừng ngạc nhiên! Nếu không có khả năng tính đạo hàm thì việc tích hợp hoàn toàn không thu được gì. Đồng ý rằng, chẳng hạn, việc học phép chia mà không biết cách nhân sẽ chẳng có ý nghĩa gì. :) Và chẳng bao lâu nữa, bạn sẽ thấy rằng nếu không mài giũa kỹ năng vi phân, bạn không thể tính được một tích phân duy nhất vượt xa các tích phân bảng cơ bản.
4) Phương pháp tích hợp.
Có rất, rất nhiều trong số họ. Đối với một lớp chức năng cụ thể - của riêng bạn. Nhưng trong số tất cả sự đa dạng phong phú của chúng, có ba điều cơ bản nổi bật:
– ,
– ,
– .
Mỗi người trong số họ sẽ được thảo luận trong các bài học riêng biệt.
Và cuối cùng, bây giờ chúng ta hãy bắt tay vào giải các ví dụ đã được chờ đợi từ lâu. Để không phải chuyển từ phần này sang phần khác, tôi sẽ sao chép lại toàn bộ bộ dành cho quý ông, điều này sẽ hữu ích cho công việc tiếp theo của chúng tôi. Hãy để tất cả các công cụ trong tầm tay.)
Trước hết, điều này bảng tích phân:
Ngoài ra, chúng ta sẽ cần các tính chất cơ bản của tích phân không xác định (tính chất tuyến tính):
Vâng, các thiết bị cần thiết đã được chuẩn bị. Đến lúc phải đi! :)
Áp dụng trực tiếp bảng
Đoạn này sẽ xem xét các ví dụ đơn giản và vô hại nhất. Thuật toán ở đây cực kỳ đơn giản:
1) Nhìn vào bảng và tìm (các) công thức cần thiết;
2) Áp dụng các đặc tính tuyến tính (nếu cần);
3) Chúng tôi thực hiện phép biến đổi bằng cách sử dụng các công thức dạng bảng và thêm hằng số vào cuối VỚI (đừng quên!) ;
4) Viết ra câu trả lời.
Vì vậy, hãy đi thôi.)
ví dụ 1
Không có chức năng như vậy trong bảng của chúng tôi. Nhưng có một tích phân của hàm lũy thừa ở dạng tổng quát (nhóm thứ hai). Trong trường hợp của chúng ta n=5. Vì vậy, chúng tôi thay thế năm cho n và tính toán kết quả một cách cẩn thận:
Sẵn sàng. :)
Tất nhiên, ví dụ này hoàn toàn nguyên thủy. Hoàn toàn dành cho người làm quen.) Nhưng khả năng tích phân lũy thừa giúp bạn dễ dàng tính tích phân của bất kỳ đa thức nào và các cách xây dựng lũy thừa khác.
Ví dụ 2
Dưới tích phân là tổng. Được rồi. Chúng tôi có tính chất tuyến tính cho trường hợp này. :) Chúng ta chia tích phân của mình thành ba phần riêng biệt, lấy tất cả các hằng số ra khỏi dấu của tích phân và đếm từng hằng số theo bảng (nhóm 1-2):
Xin lưu ý: không đổi VỚI xuất hiện chính xác vào lúc TẤT CẢ dấu tích phân biến mất! Tất nhiên, sau đó bạn phải liên tục mang nó theo bên mình. Vậy lam gi…
Tất nhiên, thường không cần thiết phải mô tả chi tiết như vậy. Điều này được thực hiện hoàn toàn vì sự hiểu biết. Để có được điểm.)
Ví dụ, rất nhanh chóng, không cần suy nghĩ nhiều, bạn sẽ nhẩm trong đầu câu trả lời cho những con quái vật như:
Đa thức là hàm tự do nhất trong tích phân.) Và trong khuếch tán, vật lý, độ bền vật liệu và các môn học nghiêm túc khác, bạn sẽ phải liên tục tích phân các đa thức. Hãy làm quen với nó.)
Ví dụ tiếp theo sẽ ngầu hơn một chút.
Ví dụ 3
Tôi hy vọng mọi người hiểu rằng tích phân của chúng ta có thể được viết như thế này:
Hàm tích phân là riêng biệt và hệ số dx (biểu tượng vi phân)- riêng biệt.
Bình luận: trong bài học này phép nhân dx trong quá trình hội nhập Tạm biệt không tham gia dưới bất kỳ hình thức nào và hiện tại chúng tôi đang “quên” anh ấy về mặt tinh thần. :) Chúng tôi chỉ làm việc với hàm tích phân. Nhưng chúng ta đừng quên anh ấy. Rất sớm, theo đúng nghĩa đen, trong bài học tiếp theo dành riêng cho chúng ta, chúng ta sẽ nhớ về nó. Và chúng ta sẽ cảm nhận được tầm quan trọng và sức mạnh của biểu tượng này một cách trọn vẹn!)
Trong khi đó, cái nhìn của chúng ta bị thu hút bởi hàm tích phân
Trông không giống chức năng nguồn lắm, nhưng bản chất nó là như vậy. :) Nếu chúng ta nhớ các thuộc tính của trường là căn và lũy thừa, thì hoàn toàn có thể biến đổi hàm của chúng ta:
Và x lũy thừa trừ hai phần ba đã là một hàm dạng bảng! Nhóm thứ hai n=-2/3. Và hằng số 1/2 không phải là trở ngại đối với chúng tôi. Chúng tôi đưa nó ra ngoài, ngoài dấu tích phân và tính trực tiếp bằng công thức:
Trong ví dụ này, chúng ta đã được trợ giúp bởi các tính chất cơ bản của độ. Và điều này nên được thực hiện trong hầu hết các trường hợp khi có các nghiệm hoặc phân số đơn độc dưới tích phân. Vì vậy, một số lời khuyên thiết thực khi tích hợp các công trình điện:
Chúng ta thay thế phân số bằng lũy thừa bằng số mũ âm;
Chúng ta thay thế căn bằng lũy thừa bằng số mũ phân số.
Nhưng trong câu trả lời cuối cùng, việc chuyển từ lũy thừa trở lại phân số và căn là vấn đề sở thích. Cá nhân tôi quay lại - nó đẹp hơn về mặt thẩm mỹ hoặc thứ gì đó.
Và xin vui lòng đếm tất cả các phân số một cách cẩn thận! Chúng tôi theo dõi cẩn thận các dấu hiệu và những gì diễn ra ở đâu – tử số là gì và mẫu số là gì.
Cái gì? Bạn đã chán các chức năng nguồn nhàm chán chưa? ĐƯỢC RỒI! Chúng ta hãy lấy sừng của con bò đực!
Ví dụ 4
Nếu bây giờ chúng ta đưa mọi thứ dưới tích phân về một mẫu số chung, thì chúng ta có thể bị mắc kẹt trong ví dụ này một cách nghiêm túc và lâu dài.) Nhưng, xem xét kỹ hơn về tích phân, chúng ta có thể thấy rằng sự khác biệt của chúng ta bao gồm hai hàm dạng bảng . Vì vậy, chúng ta đừng làm sai lệch mà thay vào đó hãy phân tách tích phân của chúng ta thành hai:
Tích phân thứ nhất là hàm lũy thừa thông thường, (nhóm thứ 2, n = -1): 1/x = x -1 .
Công thức truyền thống của chúng ta về nguyên hàm của hàm lũy thừa
Không hoạt động ở đây, nhưng đối với chúng tôi n = -1 có một giải pháp thay thế xứng đáng - một công thức có logarit tự nhiên. Cái này:
Khi đó, theo công thức này, phân số thứ nhất sẽ được tích phân như sau:
Và phân số thứ hai là cũng là một chức năng bảng!Đã học? Đúng! Cái này thứ bảy công thức có logarit "cao":
Hằng số "a" trong công thức này bằng hai: a=2.
Lưu ý quan trọng: Hãy lưu ý hằng sốVỚI với sự tích hợp trung gian tôi hư không Tôi không quy kết nó! Tại sao? Vì cô ấy sẽ đi đến câu trả lời cuối cùng toàn bộ ví dụ.Điều này là khá đủ.) Nói đúng ra, hằng số phải được viết sau mỗi tích phân riêng lẻ - dù là tích phân trung gian hay tích phân cuối cùng: đó là điều mà tích phân bất định yêu cầu...)
Ví dụ: sau lần tích hợp đầu tiên tôi sẽ phải viết:
Sau lần tích hợp thứ hai:
Nhưng mẹo ở đây là tổng/hiệu của các hằng số tùy ý là cũng có một số hằng số! Trong trường hợp của chúng ta, để có câu trả lời cuối cùng, chúng ta cần lấy tích phân thứ nhất trừ đi thứ hai. Sau đó chúng ta có thể làm điều đó sự khác biệt hai hằng số trung gian:
C 1 -C 2
Và chúng ta có mọi quyền để thay thế sự khác biệt về hằng số này một hằng số! Và chỉ cần đặt tên lại nó bằng chữ cái “C” quen thuộc với chúng ta. Như thế này:
C 1 -C 2 = C
Vì vậy, chúng tôi gán cùng một hằng số này VỚIđến kết quả cuối cùng và chúng tôi nhận được câu trả lời:
Vâng, vâng, chúng là phân số! Logarit nhiều tầng khi tích hợp là điều phổ biến nhất. Chúng tôi cũng đã quen với việc đó.)
Nhớ:
Trong quá trình tích phân trung gian của một số số hạng, hằng số VỚI Sau mỗi người trong số họ bạn không cần phải viết. Chỉ cần đưa nó vào câu trả lời cuối cùng của toàn bộ ví dụ là đủ. Đến cuối cùng.
Ví dụ tiếp theo cũng là với một phân số. Để khởi động.)
Ví dụ 5
Tất nhiên, cái bàn không có chức năng như vậy. Nhưng có tương tự chức năng:
Đây là cái cuối cùng thứ tám công thức. Với arctang. :)
Cái này:
Và chính Chúa đã ra lệnh cho chúng ta điều chỉnh tích phân của mình theo công thức này! Nhưng có một vấn đề: trong công thức dạng bảng trước x 2 Không có hệ số, nhưng chúng ta có số chín. Chúng ta chưa thể sử dụng công thức một cách trực tiếp. Nhưng trong trường hợp của chúng tôi, vấn đề hoàn toàn có thể giải quyết được. Trước tiên chúng ta hãy lấy chín số này ra khỏi ngoặc, sau đó đưa nó ra ngoài phân số của chúng ta.)
Và phân số mới chính là hàm bảng mà chúng ta đã cần, số 8! Đây và 2 = 4/9. Hoặc a=2/3.
Tất cả. Chúng tôi lấy 1/9 ra khỏi dấu tích phân và sử dụng công thức thứ tám:
Đây là câu trả lời. Ví dụ này, với hệ số ở phía trước x 2, Tôi đã cố tình chọn nó theo cách đó. Để làm rõ phải làm gì trong những trường hợp như vậy. :) Nếu trước đây x 2 không có hệ số thì những phân số đó cũng sẽ được tích hợp trong đầu.
Ví dụ:
Đây một 2 = 5, nên bản thân “a” sẽ là “căn của năm”. Nói chung là bạn hiểu.)
Bây giờ chúng ta hãy sửa đổi một chút hàm số của mình: chúng ta sẽ viết mẫu số dưới gốc.) Bây giờ chúng ta sẽ lấy tích phân này:
Ví dụ 6
Mẫu số bây giờ có gốc. Đương nhiên, công thức tích phân tương ứng cũng đã thay đổi, vâng.) Một lần nữa chúng ta vào bảng và tìm một công thức phù hợp. Chúng tôi có nguồn gốc từ công thức của nhóm thứ 5 và thứ 6. Nhưng ở nhóm thứ sáu chỉ có sự khác biệt về căn nguyên. Và chúng tôi có số tiền. Vì vậy, chúng tôi đang làm việc trên công thức thứ năm, với logarit "dài":
Con số MỘT chúng tôi có năm. Thay vào công thức và nhận được:
Và đó là tất cả. Đây là câu trả lời. Vâng, vâng, thật đơn giản!)
Nếu có nghi ngờ xuất hiện, bạn có thể (và nên) luôn kiểm tra kết quả bằng phép lấy vi phân ngược. Chúng ta kiểm tra nhé? Điều gì sẽ xảy ra nếu đó là một sự cố gì đó?
Chúng tôi phân biệt (chúng tôi không chú ý đến mô-đun và coi nó như các dấu ngoặc thông thường):
Mọi thứ đều công bằng. :)
Nhân tiện, nếu trong tích phân dưới gốc bạn thay đổi dấu từ cộng sang trừ, thì công thức tích phân sẽ giữ nguyên. Không phải ngẫu nhiên mà trong bảng dưới gốc lại có cộng/trừ. :)
Ví dụ:
Quan trọng! Trong trường hợp trừ, trên Đầu tiên vị trí dưới gốc phải chính xác x 2, và hơn thế nữa thứ hai – con số. Nếu ngược lại thì ở gốc thì công thức bảng tương ứng sẽ hẹp hơn khác!
Ví dụ 7
Dưới gốc lại trừ, nhưng x 2 với năm người chúng tôi đã đổi chỗ cho nhau. Nó tương tự, nhưng không giống nhau... Trong trường hợp này, bảng của chúng tôi cũng có một công thức.) Công thức số sáu, chúng tôi chưa làm việc với nó:
Nhưng bây giờ - hãy cẩn thận. Trong ví dụ trước, chúng ta sử dụng số 5 làm số MỘT . Ở đây năm sẽ hoạt động như một số một 2!
Vì vậy, để áp dụng công thức một cách chính xác, bạn đừng quên trích xuất căn của số năm:
Và bây giờ ví dụ được giải quyết bằng một hành động. :)
Cứ như vậy đi! Chỉ các thuật ngữ bên dưới gốc đã được hoán đổi và kết quả của việc tích hợp đã thay đổi đáng kể! Logarit và arcsine... Vậy xin vui lòng đừng nhầm lẫn hai công thức này! Mặc dù các hàm tích phân rất giống nhau...
Thưởng:
Trong công thức dạng bảng 7-8 có các hệ số đứng trước logarit và arctang 1/(2a) Và 1/a tương ứng. Và trong tình hình chiến đấu đáng báo động, khi viết ra những công thức này, ngay cả những người mọt sách dày dặn nghiên cứu cũng thường bối rối, đơn giản ở chỗ nào? 1/a, Và ở đâu 1/(2a). Đây là một mẹo đơn giản để ghi nhớ.
Ở công thức số 7
Mẫu số của tích phân chứa sự khác biệt của hình vuông x 2 – a 2. Mà, theo công thức trường học đáng sợ, bị phá vỡ như (x-a)(x+a). TRÊN hai phép nhân Từ khóa - hai. Và những thứ này hai khi lấy tích phân, dấu ngoặc chuyển sang logarit: có dấu trừ lên, có dấu cộng - xuống.) Và hệ số đứng trước logarit cũng là 1/( 2 MỘT).
Nhưng ở công thức số 8
Mẫu số của phân số chứa Tổng bình phương. Nhưng tổng bình phương x 2 + a 2 không thể phân hủy thành các yếu tố đơn giản hơn. Vì vậy, dù người ta có thể nói gì, mẫu số sẽ vẫn như vậy một nhân tố. Và hệ số đứng trước arctang cũng sẽ là 1/a.
Bây giờ hãy tích hợp một số lượng giác để thay đổi.)
Ví dụ 8
Ví dụ rất đơn giản. Đơn giản đến mức mọi người, thậm chí không cần nhìn vào bảng, ngay lập tức vui vẻ viết câu trả lời và... chúng ta đã đến nơi. :)
Chúng ta hãy làm theo các dấu hiệu! Đây là lỗi phổ biến nhất khi lấy tích phân sin/cos. Đừng nhầm lẫn với các công cụ phái sinh!
Đúng, (tội x)" = vì x Và (vì x)’ = - tội x.
Nhưng!
Vì người ta thường nhớ ít nhất đạo hàm nên để không bị nhầm lẫn về dấu, kỹ thuật ghi nhớ tích phân rất đơn giản:
Tích phân của sin/cos = dấu trừ đạo hàm của cùng một sin/cosine.
Ví dụ, ở trường chúng ta biết rằng đạo hàm của sin bằng cosin:
(tội x)" = vì x.
Sau đó tích phân từ cùng một sin nó sẽ đúng:
Chỉ vậy thôi.) Cosin cũng vậy.
Bây giờ hãy sửa ví dụ của chúng tôi:
Các phép biến đổi cơ bản sơ bộ của tích phân
Cho đến thời điểm này đã có những ví dụ đơn giản nhất. Để cảm nhận cách thức hoạt động của bảng và không phạm sai lầm khi chọn công thức.)
Tất nhiên, chúng tôi đã thực hiện một số phép biến đổi đơn giản - chúng tôi đã loại bỏ các thừa số và chia chúng thành các số hạng. Nhưng câu trả lời vẫn nằm trên bề mặt theo cách này hay cách khác.) Tuy nhiên... Nếu việc tính tích phân chỉ giới hạn ở việc áp dụng trực tiếp vào bảng, thì sẽ có rất nhiều quà tặng miễn phí xung quanh và cuộc sống sẽ trở nên nhàm chán.)
Bây giờ chúng ta hãy xem xét các ví dụ ấn tượng hơn. Loại mà dường như không có gì được quyết định trực tiếp. Nhưng điều đáng ghi nhớ chỉ là một vài công thức hoặc phép biến đổi ở trường tiểu học, và con đường đi đến câu trả lời sẽ trở nên đơn giản và rõ ràng. :)
Hãy tiếp tục vui chơi với lượng giác.
Ví dụ 9
Không có chức năng như vậy trong bảng thậm chí đóng. Nhưng ở lượng giác trường học có một danh tính ít được biết đến:
Bây giờ chúng ta biểu diễn tiếp tuyến bình phương mà chúng ta cần từ nó và chèn nó vào dưới tích phân:
Tại sao điều này được thực hiện? Và sau đó, sau khi chuyển đổi như vậy, tích phân của chúng ta sẽ giảm xuống còn hai dạng bảng và sẽ được ghi nhớ!
Nhìn thấy:
Bây giờ hãy phân tích hành động của chúng tôi. Thoạt nhìn, mọi thứ dường như đơn giản hơn bao giờ hết. Nhưng chúng ta hãy nghĩ về điều này. Nếu chúng ta phải đối mặt với một nhiệm vụ phân biệt chức năng tương tự, thì chúng ta sẽ chính xác biết chính xác phải làm gì - nộp đơn công thức đạo hàm của hàm phức:
Đó là tất cả. Công nghệ đơn giản và không rắc rối. Nó luôn hoạt động và được đảm bảo sẽ dẫn đến thành công.
Còn tích phân thì sao? Nhưng ở đây chúng tôi phải lục lọi trong lượng giác, tìm ra một công thức khó hiểu nào đó với hy vọng rằng bằng cách nào đó nó sẽ giúp chúng tôi thoát ra và biến tích phân thành dạng bảng. Và thực tế không phải là nó sẽ giúp ích cho chúng ta, hoàn toàn không phải là sự thật... Đó là lý do tại sao hội nhập là một quá trình sáng tạo hơn là sự khác biệt. Nghệ thuật, tôi thậm chí sẽ nói. :) Và đây không phải là ví dụ khó nhất. Đây chỉ là sự khởi đầu!
Ví dụ 10
Nó truyền cảm hứng gì? Bảng tích phân vẫn bất lực, vâng. Tuy nhiên, nếu bạn nhìn lại kho tàng công thức lượng giác của chúng tôi, bạn có thể tìm ra một công thức rất hữu ích. công thức cosin góc kép:
Vì vậy, chúng tôi áp dụng công thức này cho hàm tích phân của mình. Trong vai trò “alpha”, chúng ta có x/2.
Chúng tôi nhận được:
Hiệu quả thật tuyệt vời phải không?
Hai ví dụ này cho thấy rõ ràng rằng việc chuyển đổi trước một hàm trước khi hội nhậpĐiều đó hoàn toàn có thể chấp nhận được và đôi khi khiến cuộc sống trở nên dễ dàng hơn rất nhiều! Và trong phép tích phân, quy trình này (chuyển đổi tích phân) là một bậc có độ lớn hợp lý hơn so với phép lấy vi phân. Bạn sẽ thấy mọi thứ sau.)
Chúng ta hãy xem xét một vài biến đổi điển hình hơn.
Các công thức nhân rút gọn, mở ngoặc, đưa tương tự và cách chia từng số hạng.
Những biến đổi trường học tầm thường thông thường. Nhưng đôi khi họ là những người duy nhất tiết kiệm, vâng.)
Ví dụ 11
Nếu chúng ta đang tính đạo hàm thì sẽ không có vấn đề gì: công thức tính đạo hàm của tích và - hãy tiếp tục. Nhưng công thức chuẩn cho tích phân không tồn tại từ tác phẩm. Và cách duy nhất ở đây là mở tất cả các dấu ngoặc để theo tích phân chúng ta thu được đa thức. Và bằng cách nào đó chúng ta sẽ tích phân đa thức.) Nhưng chúng ta cũng sẽ mở ngoặc một cách khôn ngoan: các công thức nhân rút gọn là những thứ có tác dụng mạnh mẽ!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
Bây giờ chúng ta đếm:
Và đó là tất cả.)
ví dụ 12
Một lần nữa, công thức chuẩn cho tích phân của một phân số không tồn tại. Tuy nhiên, mẫu số của tích phân chứa cô đơn X.Điều này làm thay đổi hoàn toàn tình hình.) Hãy chia tử số cho số hạng mẫu số theo số hạng, giảm phân số khủng khiếp của chúng ta thành một tổng vô hại của các hàm lũy thừa dạng bảng:
Tôi sẽ không bình luận cụ thể về quy trình tích hợp các bằng cấp: chúng không còn nhỏ nữa.)
Hãy tích hợp tổng các hàm năng lượng. Theo dấu hiệu.)
Chỉ vậy thôi.) Nhân tiện, nếu mẫu số không phải là X, nhưng, chẳng hạn, x+1, như thế này:
Thủ thuật chia theo từng học kỳ này sẽ không hiệu quả dễ dàng như vậy. Đó chính xác là do sự hiện diện của căn ở tử số và đơn vị ở mẫu số. Tôi sẽ phải loại bỏ gốc rễ. Nhưng những tích phân như vậy phức tạp hơn nhiều. Về họ - trong các bài học khác.
Nhìn thấy! Người ta chỉ cần sửa đổi một chút chức năng – cách tiếp cận tích hợp của nó sẽ thay đổi ngay lập tức. Đôi khi thật đáng kinh ngạc!) Không có sơ đồ tiêu chuẩn rõ ràng. Mỗi chức năng đều có cách tiếp cận riêng. Đôi khi thậm chí còn độc đáo.)
Trong một số trường hợp, việc chuyển đổi sang phân số thậm chí còn phức tạp hơn.
Ví dụ 13
Và ở đây, làm thế nào bạn có thể rút gọn tích phân thành một tập hợp các dạng bảng? Ở đây bạn có thể khéo léo né tránh bằng cách cộng trừ biểu thức x 2 trong tử số của phân số, theo sau là phép chia theo từng số hạng. Một thủ thuật rất thông minh trong tích phân! Xem lớp học chính! :)
Và bây giờ, nếu chúng ta thay thế phân số ban đầu bằng hiệu của hai phân số, thì tích phân của chúng ta sẽ chia thành hai dạng bảng - hàm lũy thừa đã quen thuộc với chúng ta và arctang (công thức 8):
Chà, chúng ta có thể nói gì nào? Ồ!
Thủ thuật cộng/trừ các số hạng ở tử số này rất phổ biến trong việc tích phân các phân số hữu tỉ. Rất! Tôi khuyên bạn nên lưu ý.
Ví dụ 14
Các quy tắc công nghệ tương tự ở đây cũng vậy. Bạn chỉ cần cộng/trừ một để rút ra biểu thức ở mẫu số từ tử số:
Nói chung, phân số hữu tỷ (có đa thức ở tử số và mẫu số) là một chủ đề riêng biệt và rất rộng. Vấn đề là các phân số hữu tỷ là một trong số rất ít các lớp hàm mà một phương pháp tích phân phổ quát có thể áp dụng được. tồn tại. Phương pháp phân rã thành các phân số đơn giản, kết hợp với . Nhưng phương pháp này tốn rất nhiều công sức và thường được sử dụng làm pháo hạng nặng. Nhiều hơn một bài học sẽ được dành riêng cho anh ta. Trong khi chờ đợi, chúng tôi đang đào tạo và hoàn thiện hơn các chức năng đơn giản.
Hãy tóm tắt bài học hôm nay.
Hôm nay chúng ta đã xem xét chi tiết chính xác cách sử dụng bảng, với tất cả các sắc thái, phân tích nhiều ví dụ (và không phải những ví dụ tầm thường nhất) và làm quen với các phương pháp đơn giản nhất để giảm tích phân thành dạng bảng. Và đây là cách chúng ta sẽ làm bây giờ Luôn luôn. Bất kể chức năng khủng khiếp nào có thể nằm trong tích phân, với sự trợ giúp của nhiều phép biến đổi khác nhau, chúng ta sẽ đảm bảo rằng, sớm hay muộn, tích phân của chúng ta, bằng cách này hay cách khác, sẽ được rút gọn thành một tập hợp các bảng.
Một số lời khuyên thiết thực.
1) Nếu tích phân là một phân số, tử số của nó là tổng lũy thừa (căn) và mẫu số là sức mạnh x cô đơn, thì chúng ta sử dụng phép chia tử số cho mẫu số theo từng số hạng. Thay thế căn bằng lũy thừa của c các chỉ số phân số và làm việc theo công thức 1-2.
2) Trong các công thức lượng giác, trước hết chúng ta thử các công thức lượng giác cơ bản - góc đôi/góc ba,
Bạn có thể gặp rất nhiều may mắn. Hoặc có thể không…
3) Khi cần thiết (đặc biệt trong đa thức và phân số), chúng ta sử dụngCông thức nhân rút gọn:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Khi tích phân các phân số với đa thức, chúng ta cố gắng tách biệt một cách giả tạo (các) biểu thức ở mẫu số ở tử số. Phân số rất thường được đơn giản hóa và tích phân được rút gọn thành tổ hợp của các bảng.
Vâng, bạn bè? Tôi thấy bạn bắt đầu thích tích phân. :) Sau đó, chúng ta sẽ tự giải quyết các ví dụ tốt hơn.) Tài liệu hôm nay khá đủ để giải quyết chúng thành công.
Cái gì? Không biết, ? Đúng! Chúng tôi chưa trải qua điều này.) Nhưng không cần phải tích hợp chúng trực tiếp ở đây. Và mong khóa học của trường sẽ giúp bạn!)
Câu trả lời (hỗn loạn):
Để có kết quả tốt hơn, tôi thực sự khuyên bạn nên mua bộ sưu tập các bài toán dựa trên G.N. Mathan. Berman. Những thứ tuyệt vời!
Đó là tất cả những gì tôi có cho ngày hôm nay. Chúc may mắn!
tích phân phức
Bài viết này kết thúc chủ đề về tích phân không xác định và bao gồm các tích phân mà tôi thấy khá phức tạp. Bài học được tạo ra theo yêu cầu lặp đi lặp lại của những người truy cập bày tỏ mong muốn rằng trang web sẽ phân tích những ví dụ khó hơn.
Giả định rằng người đọc bài viết này đã được chuẩn bị tốt và biết cách áp dụng các kỹ thuật tích phân cơ bản. Những bạn mới học và chưa tự tin lắm về tích phân nên tham khảo ngay bài học đầu tiên - Không xác định, không thể thiếu. Ví dụ về giải pháp, nơi bạn có thể nắm vững chủ đề gần như ngay từ đầu. Những sinh viên có kinh nghiệm hơn có thể làm quen với các kỹ thuật và phương pháp tích phân chưa được đề cập trong các bài viết của tôi.
Những tích phân nào sẽ được xem xét?
Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét tích phân có nghiệm, để nghiệm mà chúng ta lần lượt sử dụng thay thế biến Và tích hợp từng phần. Nghĩa là, trong một ví dụ, hai kỹ thuật được kết hợp cùng một lúc. Va thậm chi nhiêu hơn.
Sau đó chúng ta sẽ làm quen với những điều thú vị và độc đáo phương pháp khử tích phân về chính nó. Khá nhiều tích phân được giải theo cách này.
Vấn đề thứ ba của chương trình sẽ là tích phân của các phân số phức tạp, đã được đưa ra bàn tính tiền trong các bài viết trước.
Thứ tư, các tích phân bổ sung từ các hàm lượng giác sẽ được phân tích. Đặc biệt, có những phương pháp tránh việc thay thế lượng giác phổ quát tốn thời gian.
(2) Trong hàm tích phân, chúng ta chia tử số cho số hạng mẫu số cho số hạng.
(3) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định. Trong tích phân cuối cùng ngay lập tức đặt hàm dưới dấu vi phân.
(4) Ta lấy các tích phân còn lại. Lưu ý rằng trong logarit, bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn thay vì mô đun, vì .
(5) Chúng ta thực hiện thay thế ngược lại, thể hiện “te” từ thay thế trực tiếp:
Những học sinh khổ dâm có thể phân biệt câu trả lời và nhận được số nguyên gốc, như tôi vừa làm. Không, không, tôi đã kiểm tra đúng nghĩa =)
Như bạn có thể thấy, trong quá trình giải, chúng tôi thậm chí phải sử dụng nhiều hơn hai phương pháp giải, vì vậy để giải các tích phân như vậy, bạn cần có kỹ năng tích phân tự tin và khá nhiều kinh nghiệm.
Tất nhiên, trong thực tế, căn bậc hai phổ biến hơn; đây là ba ví dụ để bạn tự giải:
Ví dụ 2
Tìm tích phân không xác định
Ví dụ 3
Tìm tích phân không xác định
Ví dụ 4
Tìm tích phân không xác định
Các ví dụ này cùng loại nên lời giải hoàn chỉnh ở cuối bài sẽ chỉ dành cho Ví dụ 2; Ví dụ 3-4 có đáp án giống nhau. Tôi nghĩ việc sử dụng sự thay thế nào khi bắt đầu đưa ra quyết định là điều hiển nhiên. Tại sao tôi chọn những ví dụ cùng loại? Thường được tìm thấy trong vai trò của họ. Có lẽ thường xuyên hơn, chỉ là một cái gì đó như 
.
Nhưng không phải lúc nào cũng vậy, khi trong các hàm arctang, sin, cos, hàm mũ và các hàm khác có nghiệm của hàm tuyến tính, bạn phải sử dụng một số phương pháp cùng một lúc. Trong một số trường hợp, có thể “thoát ra dễ dàng”, tức là ngay sau khi thay thế, sẽ thu được một tích phân đơn giản, có thể dễ dàng lấy được. Nhiệm vụ dễ dàng nhất được đề xuất ở trên là Ví dụ 4, trong đó, sau khi thay thế, thu được một tích phân tương đối đơn giản.
Bằng cách rút gọn tích phân về chính nó
Một phương pháp dí dỏm và đẹp mắt. Chúng ta hãy xem các tác phẩm kinh điển của thể loại này:
Ví dụ 5
Tìm tích phân không xác định
Dưới gốc là một nhị thức bậc hai, và việc cố gắng tích phân ví dụ này có thể khiến ấm trà phải đau đầu hàng giờ. Tích phân như vậy được lấy thành từng phần và quy về chính nó. Về nguyên tắc, nó không khó. Nếu bạn biết cách.
Chúng ta hãy biểu thị tích phân đang được xem xét bằng một chữ cái Latinh và bắt đầu giải: 
Hãy tích phân từng phần: 
(1) Chuẩn bị hàm tích phân cho phép chia từng số hạng.
(2) Chúng ta chia số hạng của hàm số nguyên cho số hạng. Nó có thể không rõ ràng với mọi người, nhưng tôi sẽ mô tả nó chi tiết hơn:
(3) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định.
(4) Lấy tích phân cuối cùng logarit (“dài”).
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần đầu của giải pháp: 
Và cuối cùng: 
Chuyện gì đã xảy ra thế? Kết quả của sự thao tác của chúng ta là tích phân đã bị rút gọn về chính nó!
Hãy đánh đồng phần đầu và phần cuối: 
Di chuyển sang bên trái với sự thay đổi dấu hiệu: 
Và chúng tôi di chuyển cả hai sang phía bên phải. Kết quả là: 
Nói đúng ra, hằng số lẽ ra phải được thêm vào sớm hơn, nhưng tôi đã thêm nó vào cuối. Tôi thực sự khuyên bạn nên đọc sự nghiêm ngặt ở đây:
Ghi chú:
Nghiêm túc hơn, giai đoạn cuối cùng của giải pháp trông như thế này:
Như vậy:
Hằng số có thể được thiết kế lại bởi . Tại sao nó có thể được thiết kế lại? Vì anh vẫn chấp nhận bất kì các giá trị và theo nghĩa này không có sự khác biệt giữa các hằng số và.
Kết quả là:
Một thủ thuật tương tự với việc ký hiệu lại liên tục được sử dụng rộng rãi trong phương trình vi phân. Và ở đó tôi sẽ nghiêm khắc. Và ở đây tôi chỉ cho phép sự tự do đó để không làm bạn bối rối với những điều không cần thiết và tập trung sự chú ý chính xác vào chính phương pháp tích hợp.
Ví dụ 6
Tìm tích phân không xác định
Một tích phân điển hình khác cho nghiệm độc lập. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài. Sẽ có sự khác biệt với câu trả lời ở ví dụ trước!
Nếu dưới căn bậc hai có một tam thức bình phương, thì giải pháp trong mọi trường hợp là hai ví dụ được phân tích.
Ví dụ, xét tích phân 
. Tất cả những gì bạn cần làm là trước tiên chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
.
Tiếp theo, một sự thay thế tuyến tính được thực hiện “không có bất kỳ hậu quả nào”:
, dẫn đến tích phân . Một cái gì đó quen thuộc, phải không?
Hoặc ví dụ này, với nhị thức bậc hai:
Chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
Và, sau khi thay thế tuyến tính, chúng ta thu được tích phân, cũng được giải bằng thuật toán đã được thảo luận.
Chúng ta hãy xem hai ví dụ điển hình hơn về cách quy tích phân về chính nó:
– tích phân của số mũ nhân với sin;
– tích phân của số mũ nhân với cosin.
Trong các tích phân được liệt kê theo từng phần, bạn sẽ phải tích phân hai lần:
Ví dụ 7
Tìm tích phân không xác định
Số nguyên là số mũ nhân với sin.
Chúng ta lấy tích phân từng phần hai lần và rút gọn tích phân về chính nó: 
Do sự tích phân kép từng phần nên tích phân được rút gọn về chính nó. Chúng tôi đánh đồng sự bắt đầu và kết thúc của giải pháp:
Chúng ta di chuyển nó sang bên trái bằng cách đổi dấu và biểu thị tích phân của chúng ta: 
Sẵn sàng. Đồng thời, nên chải mặt phải, tức là chải sang bên phải. lấy số mũ ra khỏi ngoặc và đặt sin và cosin trong ngoặc theo thứ tự “đẹp”.
Bây giờ chúng ta hãy quay lại phần đầu của ví dụ, hay chính xác hơn là tích hợp từng phần: 
Chúng tôi đã chỉ định số mũ là. Câu hỏi đặt ra: đó có phải là số mũ luôn được biểu thị bằng ? Không cần thiết. Thật vậy, trong tích phân đang xét về cơ bản không quan trọng, ý của chúng ta là gì , chúng ta có thể đi theo cách khác: 
Tại sao điều này có thể thực hiện được? Bởi vì số mũ biến thành chính nó (cả trong quá trình lấy vi phân và tích phân), sin và cos biến đổi lẫn nhau (một lần nữa, cả trong quá trình lấy vi phân và tích phân).
Nghĩa là, chúng ta cũng có thể biểu thị một hàm lượng giác. Tuy nhiên, trong ví dụ đang xem xét, điều này kém hợp lý hơn vì các phân số sẽ xuất hiện. Nếu muốn, bạn có thể thử giải ví dụ này bằng phương pháp thứ hai; các câu trả lời phải khớp nhau.
Ví dụ 8
Tìm tích phân không xác định
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Trước khi quyết định, hãy nghĩ xem điều gì có lợi hơn trong trường hợp này khi chỉ định là hàm số mũ hay hàm lượng giác? Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Và tất nhiên, đừng quên rằng hầu hết các đáp án trong bài này đều khá dễ kiểm tra bằng phép vi phân!
Các ví dụ được xem xét không phải là phức tạp nhất. Trong thực tế, tích phân phổ biến hơn khi hằng số vừa ở số mũ vừa ở đối số của hàm lượng giác, ví dụ: . Nhiều người sẽ bối rối trong một tích phân như vậy, và bản thân tôi cũng thường bối rối. Thực tế là có khả năng cao sẽ xuất hiện các phân số trong dung dịch và rất dễ làm mất đi thứ gì đó do bất cẩn. Ngoài ra, có khả năng cao xảy ra lỗi trong các dấu; lưu ý rằng số mũ có dấu trừ và điều này gây thêm khó khăn.
Ở giai đoạn cuối, kết quả thường như thế này:
Ngay cả khi kết thúc lời giải, bạn cũng phải cực kỳ cẩn thận và hiểu chính xác các phân số: 
Tích Phân Phân Số Phức
Chúng ta đang dần dần tiếp cận đường xích đạo của bài học và bắt đầu xem xét tích phân của phân số. Một lần nữa, không phải tất cả chúng đều siêu phức tạp, chỉ vì lý do này hay lý do khác mà các ví dụ hơi “lạc đề” trong các bài viết khác.
Tiếp tục chủ đề về cội nguồn
Ví dụ 9
Tìm tích phân không xác định
Trong mẫu số dưới căn có một tam thức bậc hai cộng với một phần phụ có dạng chữ “X” bên ngoài căn. Tích phân loại này có thể được giải bằng phép thế chuẩn.
Chúng tôi quyết định: 
Việc thay thế ở đây rất đơn giản: 
Hãy nhìn vào cuộc sống sau khi thay thế: 
(1) Sau khi thay thế, chúng ta rút gọn các số hạng dưới gốc thành mẫu số chung.
(2) Chúng tôi lấy nó ra từ gốc.
(3) Tử số và mẫu số giảm đi . Đồng thời, ở phần gốc, tôi sắp xếp lại các thuật ngữ theo thứ tự thuận tiện. Với một số kinh nghiệm, các bước (1), (2) có thể được bỏ qua bằng cách thực hiện các hành động được nhận xét bằng miệng.
(4) Tích phân thu được, như bạn đã nhớ trong bài Tích phân một số phân số, đang được quyết định phương pháp trích xuất bình phương hoàn chỉnh. Chọn một hình vuông hoàn chỉnh.
(5) Bằng cách lấy tích phân, chúng ta thu được logarit “dài” thông thường.
(6) Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Nếu ban đầu , sau đó quay lại: .
(7) Hành động cuối cùng nhằm mục đích làm thẳng kết quả: dưới gốc, chúng ta lại đưa các số hạng về mẫu số chung và lấy chúng ra khỏi gốc.
Ví dụ 10
Tìm tích phân không xác định 
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ở đây, một hằng số được thêm vào chữ “X” đơn độc và cách thay thế gần như giống nhau: 
Điều duy nhất bạn cần làm thêm là thể hiện chữ “x” từ việc thay thế đang được thực hiện: 
Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Đôi khi trong một tích phân như vậy có thể có một nhị thức bậc hai dưới gốc, điều này không làm thay đổi phương pháp giải mà thậm chí còn đơn giản hơn. Cảm nhận sự khác biệt:
Ví dụ 11
Tìm tích phân không xác định
Ví dụ 12
Tìm tích phân không xác định
Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài. Cần lưu ý rằng Ví dụ 11 chính xác là tích phân nhị thức, phương pháp giải đã được thảo luận trong lớp Tích phân của hàm vô tỉ.
Tích phân của một đa thức không phân tích được bậc 2 lũy thừa
(đa thức trong mẫu số)
Một loại tích phân hiếm hơn nhưng vẫn gặp trong các ví dụ thực tế.
Ví dụ 13
Tìm tích phân không xác định
Nhưng hãy quay lại ví dụ với con số may mắn 13 (thật lòng mà nói, tôi đã đoán không chính xác). Tích phân này cũng là một trong những tích phân có thể khá khó chịu nếu bạn không biết cách giải.
Giải pháp bắt đầu bằng một phép biến đổi nhân tạo: 
Tôi nghĩ mọi người đều đã hiểu cách chia tử số cho mẫu số cho từng số hạng.
Tích phân kết quả được lấy theo từng phần: 
Đối với tích phân có dạng ( – số tự nhiên) ta suy ra tái diễn công thức rút gọn:
, Ở đâu 
- tích phân có bậc thấp hơn.
Hãy để chúng tôi kiểm tra tính đúng đắn của công thức này đối với tích phân đã giải.
Trong trường hợp này: , , chúng ta sử dụng công thức: 
Như bạn có thể thấy, các câu trả lời đều giống nhau.
Ví dụ 14
Tìm tích phân không xác định
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Dung dịch mẫu sử dụng công thức trên hai lần liên tiếp.
Nếu dưới mức độ là không thể chia cắt tam thức bình phương, thì nghiệm được rút gọn thành nhị thức bằng cách cô lập bình phương hoàn hảo, ví dụ:
Điều gì sẽ xảy ra nếu có thêm một đa thức trong tử số? Trong trường hợp này, phương pháp hệ số không xác định được sử dụng và hàm tích phân được mở rộng thành tổng các phân số. Nhưng trong thực tế của tôi có một ví dụ như vậy chưa bao giờ gặp, nên tôi đã bỏ sót trường hợp này trong bài viết Tích phân của hàm hữu tỉ phân số, Tôi sẽ bỏ qua nó ngay bây giờ. Nếu bạn vẫn gặp phải tích phân như vậy, hãy xem sách giáo khoa - mọi thứ đều đơn giản ở đó. Tôi không nghĩ nên đưa vào tài liệu (ngay cả những tài liệu đơn giản), xác suất gặp phải có xu hướng bằng không.
Tích hợp các hàm lượng giác phức tạp
Tính từ “phức tạp” trong hầu hết các ví dụ lại phần lớn mang tính chất điều kiện. Hãy bắt đầu với tiếp tuyến và cotang ở lũy thừa cao. Từ quan điểm của các phương pháp giải được sử dụng, tiếp tuyến và cotang gần như giống nhau, vì vậy tôi sẽ nói nhiều hơn về tiếp tuyến, ngụ ý rằng phương pháp đã được chứng minh để giải tích phân cũng có giá trị cho cotang.
Trong bài học trên chúng ta đã xem xét thay thế lượng giác phổ quátđể giải một dạng tích phân nhất định của hàm lượng giác. Nhược điểm của phép thay thế lượng giác phổ quát là việc sử dụng nó thường dẫn đến các tích phân cồng kềnh và các phép tính khó. Và trong một số trường hợp, có thể tránh được sự thay thế lượng giác phổ quát!
Hãy xem xét một ví dụ kinh điển khác, tích phân của một chia cho sin:
Ví dụ 17
Tìm tích phân không xác định
Ở đây bạn có thể sử dụng phép thay thế lượng giác phổ quát và nhận được câu trả lời, nhưng có một cách hợp lý hơn. Tôi sẽ cung cấp giải pháp hoàn chỉnh kèm theo nhận xét cho từng bước:
(1) Chúng ta sử dụng công thức lượng giác tính sin của một góc kép.
(2) Chúng ta thực hiện một phép biến đổi nhân tạo: Chia mẫu số và nhân với .
(3) Sử dụng công thức nổi tiếng ở mẫu số, chúng ta biến phân số thành tiếp tuyến.
(4) Ta đưa hàm số dưới dấu vi phân.
(5) Lấy tích phân.
Một vài ví dụ đơn giản để bạn tự giải quyết:
Ví dụ 18
Tìm tích phân không xác định
Lưu ý: Bước đầu tiên nên sử dụng công thức rút gọn 
và cẩn thận thực hiện các hành động tương tự như ví dụ trước.
Ví dụ 19
Tìm tích phân không xác định
Vâng, đây là một ví dụ rất đơn giản.
Hoàn thiện đáp án và đáp án ở cuối bài.
Tôi nghĩ bây giờ sẽ không còn ai gặp vấn đề với tích phân nữa: 
và như thế.
Ý tưởng của phương pháp là gì? Ý tưởng là sử dụng các phép biến đổi và công thức lượng giác để chỉ tổ chức các tiếp tuyến và đạo hàm tiếp tuyến thành tích phân. Đó là, chúng ta đang nói về việc thay thế: 
. Trong các ví dụ 17-19, chúng ta thực sự đã sử dụng phép thay thế này, nhưng tích phân quá đơn giản đến mức chúng ta thực hiện được bằng một hành động tương đương - gộp hàm số dưới dấu vi phân.
Lập luận tương tự, như tôi đã đề cập, có thể được áp dụng cho cotang.
Ngoài ra còn có một điều kiện tiên quyết chính thức để áp dụng thay thế trên:
Tổng lũy thừa của cosin và sin là số nguyên âm Số CHỈ, Ví dụ:
đối với tích phân – một số nguyên âm CHỈ.
! Ghi chú : nếu số nguyên CHỈ chứa một sin hoặc CHỈ một cosin, thì tích phân cũng được lấy cho bậc lẻ âm (các trường hợp đơn giản nhất là trong Ví dụ số 17, 18).
Hãy xem xét một vài nhiệm vụ có ý nghĩa hơn dựa trên quy tắc này:
Ví dụ 20
Tìm tích phân không xác định
Tổng lũy thừa của sin và cosin: 2 – 6 = –4 là số nguyên âm Số CHỈ, có nghĩa là tích phân có thể quy về các tiếp tuyến và đạo hàm của nó: 
(1) Hãy biến đổi mẫu số.
(2) Sử dụng công thức nổi tiếng, chúng ta thu được .
(3) Hãy biến đổi mẫu số.
(4) Chúng tôi sử dụng công thức 
.
(5) Ta đưa hàm số dưới dấu vi phân.
(6) Chúng tôi tiến hành thay thế. Những học sinh có kinh nghiệm hơn có thể không thực hiện phép thay thế, nhưng tốt hơn hết bạn nên thay tiếp tuyến bằng một chữ cái - sẽ ít nguy cơ bị nhầm lẫn hơn.
Ví dụ 21
Tìm tích phân không xác định
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.
Cố lên nhé, vòng vô địch sắp bắt đầu rồi =))
Thường thì tích phân chứa một “hodgepodge”:
Ví dụ 22
Tìm tích phân không xác định 
Tích phân này ban đầu chứa một tiếp tuyến, điều này ngay lập tức dẫn đến một suy nghĩ vốn đã quen thuộc:
Tôi sẽ để lại quá trình chuyển đổi nhân tạo ngay từ đầu và các bước còn lại mà không bình luận vì mọi thứ đã được thảo luận ở trên.
Một vài ví dụ sáng tạo cho giải pháp của riêng bạn:
Ví dụ 23
Tìm tích phân không xác định 
Ví dụ 24
Tìm tích phân không xác định 
Đúng, tất nhiên, trong chúng, bạn có thể hạ thấp lũy thừa của sin và cos, đồng thời sử dụng phép thay thế lượng giác phổ quát, nhưng giải pháp sẽ hiệu quả hơn và ngắn hơn nhiều nếu nó được thực hiện thông qua các tiếp tuyến. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài
Người ta chứng tỏ rằng tích phân của tích các hàm lũy thừa của sin x và cos x có thể quy về tích phân của một nhị thức vi phân. Đối với các giá trị nguyên của số mũ, các tích phân đó dễ dàng được tính theo từng phần hoặc sử dụng các công thức rút gọn. Đạo hàm của các công thức rút gọn được đưa ra. Một ví dụ về tính tích phân như vậy được đưa ra.
Nội dungXem thêm:
Bảng tích phân không xác định
Rút gọn về tích phân của nhị thức vi phân
Xét tích phân có dạng:
Các tích phân như vậy được rút gọn thành tích phân của nhị thức vi phân của một trong các phép thế t = tội lỗi x hoặc t = vì x.
Hãy chứng minh điều này bằng cách thực hiện thay thế
t = tội lỗi x.
Sau đó
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;
Nếu m và n là số hữu tỷ thì nên sử dụng phương pháp tích phân nhị thức vi phân.
Tích phân với số nguyên m và n
Tiếp theo, xét trường hợp m và n là số nguyên (không nhất thiết phải dương). Trong trường hợp này, số nguyên là một hàm hữu tỷ của tội lỗi x Và vì x. Vì vậy, bạn có thể áp dụng các quy tắc đã trình bày ở phần “Tích hợp hàm số hữu tỉ lượng giác”.
Tuy nhiên, có tính đến các đặc điểm cụ thể, việc sử dụng các công thức rút gọn sẽ dễ dàng hơn, dễ dàng thu được bằng cách lấy tích phân từng phần.
công thức khử
Công thức rút gọn cho tích phân
có dạng:
;
;
;
.
Không cần phải ghi nhớ chúng vì chúng có thể dễ dàng thu được bằng cách lấy tích phân từng phần.
Bằng chứng về công thức rút gọn
Hãy tích hợp từng phần.
Nhân với m + n, ta được công thức đầu tiên:
Tương tự ta thu được công thức thứ hai.
Hãy tích hợp từng phần.
Nhân với m + n, ta được công thức thứ hai:
Công thức thứ ba.
Hãy tích hợp từng phần.
nhân với n + 1
, ta được công thức thứ ba:
Tương tự với công thức thứ tư.
Hãy tích hợp từng phần.
nhân với m + 1
, ta thu được công thức thứ tư:
Ví dụ
Hãy tính tích phân:
Hãy biến đổi:
Đây tôi = 10, n = - 4.
Ta áp dụng công thức rút gọn:
Khi tôi = 10, n = - 4:
Khi tôi = 8, n = - 2:
Ta áp dụng công thức rút gọn:
Khi tôi = 6, n = - 0:
Khi tôi = 4, n = - 0:
Khi tôi = 2, n = - 0:
Ta tính tích phân còn lại:
Chúng tôi thu thập các kết quả trung gian vào một công thức.
Người giới thiệu:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán cao cấp, “Lan”, 2003.
Trên trang này bạn sẽ tìm thấy:
1. Trên thực tế, bảng nguyên hàm - có thể tải xuống ở định dạng PDF và in ra;
2. Video hướng dẫn sử dụng bảng này;
3. Một loạt ví dụ về tính nguyên hàm từ nhiều sách giáo khoa và bài kiểm tra khác nhau.
Trong video này, chúng tôi sẽ phân tích nhiều bài toán mà bạn cần tính nguyên hàm của các hàm, thường khá phức tạp nhưng quan trọng nhất là chúng không phải là hàm lũy thừa. Tất cả các hàm tóm tắt trong bảng đề xuất ở trên đều phải thuộc lòng, giống như đạo hàm. Không có chúng, việc nghiên cứu sâu hơn về tích phân và ứng dụng của chúng để giải các bài toán thực tế là không thể.
Hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu về nguyên thủy và chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn một chút. Nếu lần trước chúng ta chỉ xem xét nguyên hàm của hàm lũy thừa và các cách xây dựng phức tạp hơn một chút thì hôm nay chúng ta sẽ xem xét lượng giác và nhiều hơn thế nữa.
Như tôi đã nói trong bài học trước, nguyên hàm, không giống như đạo hàm, không bao giờ được giải “ngay lập tức” bằng cách sử dụng bất kỳ quy tắc tiêu chuẩn nào. Hơn nữa, tin xấu là, không giống như đạo hàm, nguyên hàm có thể không được xem xét chút nào. Nếu chúng ta viết một hàm hoàn toàn ngẫu nhiên và cố gắng tìm đạo hàm của nó thì khả năng thành công rất cao, nhưng nguyên hàm gần như không bao giờ được tính trong trường hợp này. Nhưng có một tin tốt: có một lớp hàm khá lớn được gọi là hàm cơ bản, các nguyên hàm của chúng rất dễ tính toán. Và trên thực tế, tất cả các cấu trúc phức tạp hơn được đưa ra trong tất cả các loại bài kiểm tra, bài kiểm tra và bài kiểm tra độc lập đều được tạo thành từ các hàm cơ bản này thông qua phép cộng, phép trừ và các hành động đơn giản khác. Nguyên mẫu của các hàm như vậy từ lâu đã được tính toán và tổng hợp thành các bảng đặc biệt. Hôm nay chúng ta sẽ làm việc với những hàm và bảng này.
Nhưng chúng ta sẽ bắt đầu, như mọi khi, bằng một sự lặp lại: hãy nhớ nguyên hàm là gì, tại sao có vô số nguyên hàm và cách xác định hình thức tổng quát của chúng. Để làm điều này, tôi đã chọn ra hai vấn đề đơn giản.
Giải các ví dụ dễ
Ví dụ 1
Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ và nói chung sự hiện diện của $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ngay lập tức gợi ý cho chúng ta rằng nguyên hàm cần thiết của hàm số có liên quan đến lượng giác. Và, thực sự, nếu nhìn vào bảng, chúng ta sẽ thấy rằng $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ không hơn gì $\text(arctg)x$. Vì vậy, hãy viết nó ra:
Để tìm được, bạn cần viết ra những điều sau:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Ví dụ số 2
Ở đây chúng ta cũng đang nói về các hàm lượng giác. Nếu chúng ta nhìn vào bảng thì quả thực đây là điều sẽ xảy ra:
Chúng ta cần tìm trong toàn bộ tập hợp các nguyên hàm đi qua điểm đã cho:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Cuối cùng chúng ta hãy viết nó ra:
Nó đơn giản mà. Vấn đề duy nhất là để tính nguyên hàm của các hàm đơn giản, bạn cần phải học bảng nguyên hàm. Tuy nhiên sau khi nghiên cứu bảng đạo hàm cho các bạn thì tôi nghĩ việc này sẽ không thành vấn đề.
Giải các bài toán chứa hàm số mũ
Để bắt đầu, hãy viết các công thức sau:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Chúng ta hãy xem tất cả điều này hoạt động như thế nào trong thực tế.
Ví dụ 1
Nếu nhìn vào nội dung trong ngoặc, chúng ta sẽ nhận thấy rằng trong bảng nguyên hàm không có biểu thức nào cho $((e)^(x))$ nằm trong một hình vuông, vì vậy hình vuông này phải được mở rộng. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các công thức nhân viết tắt:
Hãy tìm nguyên hàm của mỗi số hạng:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Bây giờ hãy tập hợp tất cả các số hạng vào một biểu thức duy nhất và lấy nguyên hàm tổng quát:
Ví dụ số 2
Lần này độ lớn hơn nên công thức nhân rút gọn sẽ khá phức tạp. Vì vậy, hãy mở ngoặc:
Bây giờ chúng ta hãy thử lấy nguyên hàm của công thức của chúng ta từ cách xây dựng này:
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp hay siêu nhiên trong nguyên hàm của hàm số mũ. Tất cả chúng đều được tính toán thông qua bảng, nhưng những sinh viên chú ý có thể sẽ nhận thấy rằng nguyên hàm $((e)^(2x))$ gần với $((e)^(x))$ hơn nhiều so với $((a )^(x ))$. Vì vậy, có thể có một số quy tắc đặc biệt hơn cho phép, khi biết nguyên hàm $((e)^(x))$, tìm được $((e)^(2x))$? Vâng, một quy tắc như vậy tồn tại. Và hơn nữa, nó là một phần không thể thiếu khi làm việc với bảng nguyên hàm. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích nó bằng cách sử dụng các biểu thức tương tự mà chúng ta vừa làm ví dụ.
Quy tắc làm việc với bảng nguyên hàm
Hãy viết lại hàm của chúng ta:
Trong trường hợp trước, chúng tôi đã sử dụng công thức sau để giải:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Nhưng bây giờ chúng ta hãy làm khác đi một chút: hãy nhớ $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ dựa trên cơ sở nào. Như tôi đã nói, vì đạo hàm $((e)^(x))$ không gì khác hơn $((e)^(x))$, do đó nguyên hàm của nó sẽ bằng $((e) ^ (x))$. Nhưng vấn đề là chúng ta có $((e)^(2x))$ và $((e)^(-2x))$. Bây giờ chúng ta hãy thử tìm đạo hàm của $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Hãy viết lại công trình của chúng ta một lần nữa:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Điều này có nghĩa là khi chúng ta tìm nguyên hàm $((e)^(2x))$, chúng ta nhận được kết quả sau:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Như bạn có thể thấy, chúng ta nhận được kết quả tương tự như trước, nhưng chúng ta không sử dụng công thức để tìm $((a)^(x))$. Bây giờ điều này có vẻ ngu ngốc: tại sao việc tính toán lại phức tạp khi có một công thức tiêu chuẩn? Tuy nhiên, trong các biểu thức phức tạp hơn một chút, bạn sẽ thấy rằng kỹ thuật này rất hiệu quả, tức là. sử dụng đạo hàm để tìm nguyên hàm.
Để khởi động, chúng ta hãy tìm nguyên hàm của $((e)^(2x))$ theo cách tương tự:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Khi tính toán, cách xây dựng của chúng tôi sẽ được viết như sau:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Chúng tôi nhận được kết quả giống hệt nhau nhưng lại đi theo một con đường khác. Chính con đường này, hiện có vẻ phức tạp hơn một chút đối với chúng ta, nhưng trong tương lai sẽ trở nên hiệu quả hơn cho việc tính các nguyên hàm phức tạp hơn và sử dụng bảng.
Ghi chú! Đây là một điểm rất quan trọng: nguyên hàm, giống như đạo hàm, có thể được tính theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, nếu tất cả các phép tính, phép tính đều bằng nhau thì đáp án sẽ giống nhau. Chúng ta vừa thấy điều này với ví dụ về $((e)^(-2x))$ - một mặt, chúng tôi đã tính nguyên hàm này “thông qua”, sử dụng định nghĩa và tính toán nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi, mặt khác, chúng tôi nhớ rằng $ ((e)^(-2x))$ có thể được biểu diễn dưới dạng $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ và chỉ sau đó chúng tôi mới sử dụng nguyên hàm của hàm $( (a)^(x))$. Tuy nhiên, sau tất cả những lần biến đổi, kết quả vẫn như mong đợi.
Và bây giờ chúng ta đã hiểu tất cả những điều này, đã đến lúc chuyển sang điều gì đó quan trọng hơn. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích hai cách xây dựng đơn giản, nhưng kỹ thuật sẽ được sử dụng khi giải chúng là một công cụ mạnh mẽ và hữu ích hơn là chỉ đơn giản “chạy” giữa các nguyên hàm lân cận trong bảng.
Giải bài toán: tìm nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 1
Hãy chia số tiền có trong tử số thành ba phân số riêng biệt:
Đây là một quá trình chuyển đổi khá tự nhiên và dễ hiểu - hầu hết học sinh không gặp vấn đề gì với nó. Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi như sau:
Bây giờ chúng ta hãy nhớ công thức này:
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi sẽ nhận được như sau:
Để loại bỏ tất cả các phân số ba tầng này, tôi khuyên bạn nên làm như sau:
Ví dụ số 2
Không giống như phân số trước, mẫu số không phải là tích mà là tổng. Trong trường hợp này, chúng ta không thể chia phân số của mình thành tổng của một số phân số đơn giản nữa, nhưng bằng cách nào đó, chúng ta phải cố gắng đảm bảo rằng tử số chứa biểu thức gần giống với mẫu số. Trong trường hợp này, việc thực hiện khá đơn giản:
Ký hiệu này, trong ngôn ngữ toán học được gọi là “cộng số 0”, sẽ cho phép chúng ta chia phân số thành hai phần một lần nữa:
Bây giờ hãy tìm những gì chúng tôi đang tìm kiếm:
Đó là tất cả các tính toán. Mặc dù rõ ràng độ phức tạp cao hơn so với bài toán trước, nhưng số lượng phép tính thậm chí còn nhỏ hơn.
Sắc thái của giải pháp
Và đây chính là khó khăn chính khi làm việc với nguyên hàm dạng bảng, điều này đặc biệt dễ nhận thấy trong nhiệm vụ thứ hai. Thực tế là để chọn một số phần tử có thể dễ dàng tính toán qua bảng, chúng ta cần biết chính xác những gì chúng ta đang tìm kiếm và chính việc tìm kiếm những phần tử này bao gồm toàn bộ phép tính nguyên hàm.
Nói cách khác, chỉ ghi nhớ bảng phản đạo hàm là chưa đủ - bạn cần có khả năng nhìn thấy thứ gì đó chưa tồn tại, nhưng tác giả và người biên soạn vấn đề này có ý nghĩa gì. Đó là lý do tại sao nhiều nhà toán học, giáo viên và giáo sư không ngừng tranh luận: “Lấy nguyên hàm hay tích phân là gì - nó chỉ là một công cụ hay là một nghệ thuật thực sự?” Thực ra, theo quan điểm cá nhân tôi, hội nhập không phải là một nghệ thuật chút nào - nó chẳng có gì cao siêu cả, nó chỉ là thực hành và thực hành nhiều hơn nữa mà thôi. Và để luyện tập, hãy giải ba ví dụ nghiêm túc hơn.
Chúng tôi đào tạo hội nhập trong thực tế
Nhiệm vụ số 1
Hãy viết các công thức sau:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Hãy viết như sau:
Vấn đề số 2
Hãy viết lại nó như sau:
Tổng nguyên hàm sẽ bằng:
Vấn đề số 3
Khó khăn của nhiệm vụ này là, không giống như các hàm trước ở trên, không có biến $x$ nào cả, tức là. Chúng tôi không rõ phải thêm hay bớt những gì để có được ít nhất thứ gì đó tương tự như những gì bên dưới. Tuy nhiên, trên thực tế, biểu thức này được coi là đơn giản hơn bất kỳ biểu thức nào trước đó, vì hàm này có thể được viết lại như sau:
Bây giờ bạn có thể hỏi: tại sao các hàm này lại bằng nhau? Hãy kiểm tra:
Hãy viết lại nó một lần nữa:
Hãy biến đổi biểu thức của chúng ta một chút:
Và khi tôi giải thích tất cả những điều này cho học sinh của mình, hầu như luôn nảy sinh cùng một vấn đề: với chức năng đầu tiên, mọi thứ ít nhiều rõ ràng, với chức năng thứ hai, bạn cũng có thể tìm ra nó nhờ may mắn hoặc thực hành, nhưng bạn có loại ý thức thay thế nào cần phải có để giải quyết ví dụ thứ ba? Thực ra, đừng sợ hãi. Kỹ thuật mà chúng tôi đã sử dụng khi tính nguyên hàm cuối cùng được gọi là "phân rã hàm thành đơn giản nhất" và đây là một kỹ thuật rất nghiêm túc và một bài học video riêng sẽ được dành cho nó.
Trong khi chờ đợi, tôi đề xuất quay lại những gì chúng ta vừa nghiên cứu, cụ thể là hàm số mũ và phần nào làm phức tạp thêm các vấn đề với nội dung của chúng.
Các bài toán phức tạp hơn để giải hàm mũ phản đạo hàm
Nhiệm vụ số 1
Chúng ta hãy lưu ý những điều sau:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Để tìm nguyên hàm của biểu thức này, chỉ cần sử dụng công thức chuẩn - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Trong trường hợp của chúng ta, nguyên hàm sẽ như thế này:
Tất nhiên, so với thiết kế mà chúng ta vừa giải quyết, thiết kế này trông đơn giản hơn.
Vấn đề số 2
Một lần nữa, dễ dàng nhận thấy rằng hàm số này có thể dễ dàng được chia thành hai số hạng riêng biệt - hai phân số riêng biệt. Hãy viết lại:
Vẫn còn phải tìm nguyên hàm của từng số hạng này bằng cách sử dụng công thức được mô tả ở trên:
Mặc dù độ phức tạp rõ ràng của hàm mũ cao hơn so với hàm lũy thừa, khối lượng tính toán tổng thể và tính toán hóa ra lại đơn giản hơn nhiều.
Tất nhiên, đối với những học sinh có kiến thức, những gì chúng ta vừa thảo luận (đặc biệt là trong bối cảnh những gì chúng ta đã thảo luận trước đây) có thể chỉ là những cách diễn đạt cơ bản. Tuy nhiên, khi chọn hai bài toán này cho video hôm nay, tôi không đặt mục tiêu nói cho các bạn một kỹ thuật phức tạp và phức tạp khác - tất cả những gì tôi muốn cho các bạn thấy là bạn không nên ngại sử dụng các kỹ thuật đại số tiêu chuẩn để biến đổi các hàm số gốc .
Sử dụng kỹ thuật "bí mật"
Để kết luận, tôi muốn xem xét một kỹ thuật thú vị khác, một mặt, vượt xa những gì chúng ta chủ yếu thảo luận hôm nay, nhưng mặt khác, trước hết, nó không phức tạp chút nào, tức là. Ngay cả những học sinh mới bắt đầu cũng có thể thành thạo nó, và thứ hai, nó thường được tìm thấy trong tất cả các loại bài kiểm tra và bài tập độc lập, tức là. kiến thức về nó sẽ rất hữu ích ngoài kiến thức về bảng nguyên hàm.
Nhiệm vụ số 1
Rõ ràng, chúng ta có một cái gì đó rất giống với hàm lũy thừa. Chúng ta nên làm gì trong trường hợp này? Hãy nghĩ về điều này: $x-5$ không khác nhiều lắm so với $x$ - họ chỉ thêm $-5$. Hãy viết nó như thế này:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Hãy thử tìm đạo hàm của $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Điều này nghĩa là:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ đúng))^(\prime ))\]
Không có giá trị nào như vậy trong bảng, vì vậy hiện tại chúng ta đã tự rút ra công thức này bằng cách sử dụng công thức nguyên hàm tiêu chuẩn cho hàm lũy thừa. Hãy viết câu trả lời như thế này:
Vấn đề số 2
Nhiều học sinh khi xem xét giải pháp đầu tiên có thể nghĩ rằng mọi thứ rất đơn giản: chỉ cần thay thế $x$ trong hàm lũy thừa bằng một biểu thức tuyến tính, và mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Thật không may, mọi thứ không đơn giản như vậy, và bây giờ chúng ta sẽ thấy điều này.
Bằng cách tương tự với biểu thức đầu tiên, chúng tôi viết như sau:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Trở lại đạo hàm, chúng ta có thể viết:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Điều này ngay sau đây:
Sắc thái của giải pháp
Xin lưu ý: nếu về cơ bản không có gì thay đổi lần trước, thì trong trường hợp thứ hai, thay vì $-10$, $-30$ đã xuất hiện. Sự khác biệt giữa $-10$ và $-30$ là gì? Rõ ràng là theo hệ số $-3$. Câu hỏi: nó đến từ đâu? Nếu quan sát kỹ, bạn có thể thấy rằng nó được lấy bằng cách tính đạo hàm của một hàm phức - hệ số $x$ xuất hiện trong nguyên hàm bên dưới. Đây là một quy tắc rất quan trọng mà ban đầu tôi không định thảo luận chút nào trong bài học video hôm nay, nhưng nếu không có nó thì việc trình bày nguyên hàm dạng bảng sẽ không đầy đủ.
Vậy hãy làm lại lần nữa. Hãy để có chức năng quyền lực chính của chúng tôi:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Bây giờ, thay vì $x$, hãy thay thế biểu thức $kx+b$. Điều gì sẽ xảy ra sau đó? Chúng ta cần tìm những điều sau đây:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
Dựa trên cơ sở nào chúng tôi khẳng định điều này? Rất đơn giản. Hãy tìm đạo hàm của cách xây dựng được viết ở trên:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Đây là biểu thức tương tự ban đầu tồn tại. Như vậy, công thức này cũng đúng, có thể dùng để bổ sung cho bảng nguyên hàm hoặc tốt hơn là chỉ cần ghi nhớ toàn bộ bảng.
Kết luận từ “bí mật: kỹ thuật:
- Trên thực tế, cả hai hàm số mà chúng ta vừa xem xét đều có thể được quy về nguyên hàm được chỉ ra trong bảng bằng cách mở rộng bậc, nhưng nếu bằng cách nào đó chúng ta có thể ít nhiều xử lý được bậc thứ tư, thì tôi thậm chí sẽ không xét đến bậc thứ chín. dám tiết lộ.
- Nếu chúng ta mở rộng độ, chúng ta sẽ có một khối lượng tính toán lớn đến mức một nhiệm vụ đơn giản sẽ tiêu tốn của chúng ta một lượng thời gian lớn không thích hợp.
- Đó là lý do tại sao những bài toán chứa các biểu thức tuyến tính như vậy không cần phải giải một cách “đầu óc”. Ngay khi bạn gặp một nguyên hàm khác với biểu thức trong bảng chỉ bởi sự có mặt của biểu thức $kx+b$ bên trong, hãy nhớ ngay công thức đã viết ở trên, thay thế nó vào nguyên hàm trong bảng của bạn và mọi thứ sẽ trở nên khác biệt hơn nhiều. nhanh hơn và dễ dàng hơn.
Đương nhiên, do tính phức tạp và nghiêm túc của kỹ thuật này, chúng ta sẽ quay lại xem xét nó nhiều lần trong các bài học video sau này, nhưng đó là tất cả cho ngày hôm nay. Tôi hy vọng bài học này sẽ thực sự giúp ích cho những học sinh muốn hiểu về nguyên hàm và tích phân.