Mục tiêu: thảo luận về định nghĩa của hàm và cách định nghĩa nó.
I. Truyền đạt chủ đề và mục đích bài học
II. Ôn tập tài liệu lớp 9
Các khía cạnh khác nhau của chủ đề này đã được đề cập ở lớp 7-9. Bây giờ chúng ta cần mở rộng và tóm tắt thông tin về các chức năng. Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng chủ đề này là một trong những chủ đề quan trọng nhất đối với toàn bộ khóa học toán học. Các chức năng khác nhau sẽ được nghiên cứu cho đến khi tốt nghiệp và hơn thế nữa trong các cơ sở giáo dục đại học. Chủ đề này liên quan chặt chẽ đến việc giải phương trình, bất phương trình, bài toán có lời văn, cấp số cộng, v.v.
Định nghĩa 1. Cho hai bộ số thực D và E và luật được chỉ định f theo đó mỗi số x∈ D trùng với số ít y ∈ E (xem hình). Sau đó họ nói rằng hàm y = f(x ) hoặc y(x) với miền định nghĩa (O.O.) D và diện tích thay đổi (O.I.) E. Trong trường hợp này, giá trị x được gọi là biến độc lập (hoặc đối số của hàm), giá trị y được gọi là biến phụ thuộc (hoặc giá trị của hàm).
Miền chức năng f biểu thị D(f ). Bộ gồm tất cả các số f(x ) (phạm vi chức năng f), ký hiệu là E(f).
Ví dụ 1
Hãy xem xét chức năng
Để tìm y cho mỗi giá trị của x, bạn phải thực hiện các thao tác sau: trừ số 2 (x - 2) từ giá trị của x, trích căn bậc hai của biểu thức nàyvà cuối cùng thêm số 3Tập hợp các phép toán này (hoặc định luật theo đó giá trị y được tìm kiếm cho mỗi giá trị của x) được gọi là hàm y(x). Ví dụ, với x = 6 ta tìm đượcVì vậy, để tính hàm y tại một điểm x cho trước, cần thay giá trị x này vào hàm y(x) đã cho.
Rõ ràng, đối với một hàm cho trước, với bất kỳ số x chấp nhận được nào, chỉ có thể tìm thấy một giá trị của y (nghĩa là với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị của y).
Bây giờ chúng ta hãy xem xét phạm vi định nghĩa và phạm vi biến đổi của hàm này. Chỉ có thể trích căn bậc hai của biểu thức (x - 2) nếu giá trị này không âm, tức là x - 2 ≥ 0 hoặc x ≥ 2. Tìm
Vì theo định nghĩa của căn số học
sau đó chúng ta cộng số 3 vào tất cả các phần của bất đẳng thức này, chúng ta nhận được:
hoặc 3 ≤ y< +∞. Находим
Các hàm hữu tỷ thường được sử dụng trong toán học. Trong trường hợp này, các hàm có dạng f(x ) = p(x) (trong đó p(x) là đa thức) được gọi là hàm hữu tỷ toàn bộ. Chức năng của biểu mẫu(trong đó p(x) và q(x ) - đa thức) được gọi là hàm phân số hữu tỉ. Rõ ràng là một phân sốđược xác định nếu mẫu số q(x ) không biến mất. Do đó, miền định nghĩa của hàm hữu tỉ phân số- tập hợp tất cả các số thực mà các nghiệm của đa thức bị loại trừ q(x).
Ví dụ 2
Hàm hữu tỉ
được xác định cho x - 2 ≠ 0, tức là x ≠ 2. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là tập hợp tất cả các số thực không bằng 2, tức là hợp của các khoảng (-∞; 2) và (2; ∞).
Nhớ lại rằng hợp của các tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp A hoặc B. Hợp của các tập hợp A và B được ký hiệu là ký hiệu A bạn B. Như vậy, hợp các đoạn thẳng và (3; 9) là một khoảng (các khoảng không giao nhau) được ký hiệu là .
Trở lại ví dụ, chúng ta có thể viết:Vì với mọi giá trị chấp nhận được của x thì phân sốkhông biến mất thì hàm số f(x ) nhận tất cả các giá trị ngoại trừ 3. Do đó
Ví dụ 3
Hãy tìm miền định nghĩa của hàm hữu tỉ phân số
Mẫu số của phân số biến mất tại x = 2, x = 1 và x = -3. Do đó, miền định nghĩa của hàm này
Ví dụ 4
Nghiện 
không còn là một chức năng nữa. Thật vậy, nếu chúng ta muốn tính giá trị của y, chẳng hạn như với x = 1, thì sử dụng công thức trên, chúng ta tìm thấy: y = 2 1 - 3 = -1, và sử dụng công thức dưới, chúng ta nhận được: y = 12 + 1 = 2. Như vậy, một giá trị x(x = 1) tương ứng với hai giá trị của y (y = -1 và y = 2). Do đó, sự phụ thuộc này (theo định nghĩa) không phải là một hàm.
Ví dụ 5
Đồ thị của hai phụ thuộc được hiển thị y(x ). Hãy xác định xem cái nào trong số chúng là một hàm.
Trong hình. và đồ thị của hàm số đã cho, vì tại bất kỳ điểm nào x 0 chỉ có một giá trị y0 tương ứng. Trong hình. b là đồ thị của sự phụ thuộc nào đó (nhưng không phải là hàm số), vì các điểm đó tồn tại (ví dụ: x 0 ), tương ứng với nhiều hơn một giá trị y (ví dụ: y1 và y2).
Bây giờ chúng ta hãy xem xét những cách chính để xác định hàm.
1) Phân tích (dùng công thức hoặc các công thức).
Ví dụ 6
Chúng ta hãy nhìn vào các chức năng:
Mặc dù có hình thức khác thường nhưng mối quan hệ này cũng xác định một hàm. Với mọi giá trị của x, dễ dàng tìm được giá trị của y. Ví dụ: với x = -0,37 (vì x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, thì chúng ta sử dụng biểu thức thấp hơn) chúng ta có:
Từ phương pháp tìm y, rõ ràng là bất kỳ giá trị x nào cũng chỉ tương ứng với một giá trị y.
c) 3x + y = 2y - x2. Chúng ta hãy biểu thị giá trị y từ mối quan hệ này: 3x + x2 = 2y - y hoặc x2 + 3x = y. Như vậy, mối quan hệ này cũng xác định hàm y = x2 + 3x.
2) dạng bảng
Ví dụ 7
Hãy viết một bảng bình phương y cho các số x.
2,25 | 6,25 |
Dữ liệu bảng cũng xác định một hàm - với mỗi giá trị (cho trong bảng) của x, có thể tìm thấy một giá trị duy nhất của y. Ví dụ: y(1,5) = 2,25, y(5) = 25, v.v.
3) Đồ họa
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật, để mô tả sự phụ thuộc hàm y(x), sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một bản vẽ đặc biệt - đồ thị của hàm số.
Định nghĩa 2. Đồ thị của hàm số y(x ) là tập hợp tất cả các điểm của hệ tọa độ, hoành độ của nó bằng giá trị của biến độc lập x và tọa độ bằng giá trị tương ứng của biến phụ thuộc y.
Theo định nghĩa này, tất cả các cặp điểm (x0, y0) thỏa mãn sự phụ thuộc hàm y(x) đều nằm trên đồ thị của hàm số. Bất kỳ cặp điểm nào khác không thỏa mãn sự phụ thuộc y(x ), các hàm số không nằm trên đồ thị.
Ví dụ 8
Cho một hàm 
Điểm có tọa độ có thuộc đồ thị của hàm số này không: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?
1. Tìm giá trị của hàm y tạiVì y(-2) = -6 nên điểm A (-2; -6) thuộc đồ thị của hàm số này.
2. Xác định giá trị của hàm y tại Vì y (-3) = -11 thì điểm B (-3; -10) không thuộc đồ thị của hàm số này.
Theo đồ thị này của hàm số y = f(x ) dễ dàng tìm được miền định nghĩa D(f ) và phạm vi E(f ) các hàm. Để làm điều này, các điểm đồ thị được chiếu lên các trục tọa độ. Khi đó hoành độ của các điểm này tạo thành miền định nghĩa D(f ), tọa độ - phạm vi giá trị E(f).
Hãy so sánh các cách khác nhau để định nghĩa một hàm. Phương pháp phân tích nên được coi là đầy đủ nhất. Nó cho phép bạn tạo bảng giá trị hàm cho một số giá trị đối số, xây dựng biểu đồ của hàm và tiến hành các nghiên cứu cần thiết về hàm. Đồng thời, phương pháp dạng bảng cho phép bạn nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy giá trị của hàm đối với một số giá trị đối số. Đồ thị của một hàm thể hiện rõ ràng hành vi của nó. Vì vậy, người ta không nên phản đối các phương pháp xác định chức năng khác nhau; mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng. Trong thực tế, cả ba cách xác định hàm đều được sử dụng.
Ví dụ 9
Cho hàm số y = 2x2 - 3x +1.
Hãy tìm: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).
Để tìm giá trị của hàm cho một giá trị nào đó của đối số, cần phải thay giá trị này của đối số vào dạng phân tích của hàm. Vì vậy chúng tôi nhận được:
Ví dụ 10
Biết rằng y(3 - x) = 2x2 - 4. Hãy tìm: a) y(x); b) y(-2).
a) Chúng ta hãy biểu thị nó bằng chữ cái z = 3 thì x = 3 - z . Hãy thay giá trị x này vào dạng phân tích của hàm y(3 - x) = 2x2 - 4 và nhận được: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, hoặc y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, hoặc y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, hoặc y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Vì không quan trọng chữ cái nào nên đối số của hàm được biểu thị - z, x, t hoặc bất kỳ giá trị nào khác, chúng ta nhận được ngay: y(x) = 2x2 - 12x + 14;
b) Bây giờ dễ dàng tìm được y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.
Ví dụ 11
Người ta biết rằng 
Hãy tìm x(y).
Hãy biểu thị bằng chữ cái z = x - 2 thì x = z + 2 và ghi điều kiện của bài toán: hoặc 
ĐẾN chúng ta sẽ viết điều kiện tương tự cho đối số (- z ): 
Để thuận tiện, chúng tôi giới thiệu các biến mới a = y (z) và b = y (- z ). Với các biến như vậy ta thu được hệ phương trình tuyến tính
Chúng tôi quan tâm đến những điều chưa biết Một.
Để tìm nó, chúng ta sử dụng phương pháp cộng đại số. Do đó, hãy nhân phương trình thứ nhất với số (-2), phương trình thứ hai với số 3. Ta được:
Hãy thêm các phương trình sau:
Ở đâu 
Vì đối số của hàm có thể được biểu thị bằng bất kỳ chữ cái nào, nên chúng ta có:
Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng vào cuối lớp 9, các tính chất và đồ thị sau đã được nghiên cứu:
a) hàm tuyến tính y = kx + tôi (đồ thị là một đường thẳng);
b) hàm bậc hai y = ax2 + b x + c (đồ thị - parabol);
c) hàm tuyến tính phân số(đồ thị - hyperbol), cụ thể là các hàm
d) hàm lũy thừa y = xa (cụ thể là hàm
e) hàm y = |x|.
Để nghiên cứu sâu hơn về tài liệu, chúng tôi khuyên bạn nên lặp lại các thuộc tính và đồ thị của các hàm này. Các bài học sau đây sẽ đề cập đến các phương pháp cơ bản để chuyển đổi đồ thị.
1. Định nghĩa hàm số.
2. Giải thích cách xác định hàm số.
3. Cái gọi là hợp của tập A và B?
4. Những hàm nào được gọi là số nguyên hữu tỷ?
5. Những hàm số nào được gọi là phân số hữu tỉ? Miền định nghĩa của các chức năng như vậy là gì?
6. Cái gọi là đồ thị của hàm số f(x)?
7. Nêu tính chất và đồ thị của các hàm số chính.
IV. Giao bài học
§ 1, số 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( Một ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.
V. Bài tập về nhà
§ 1, số 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a,b); 16 (c, d); 19.
VI. Nhiệm vụ sáng tạo
1. Tìm hàm số y = f(x), nếu:
Câu trả lời:
2. Tìm hàm số y = f(x) nếu:
Câu trả lời:
VII. Tổng hợp các bài học
một chức năng là gì? Sự định nghĩa. Các sự tương ứng trong đó mỗi phần tử của một tập hợp được liên kết với một phần tử của một tập hợp khác được gọi là hàm. Họ viết: y = f(x), x Є X. Biến x được gọi là biến hoặc đối số độc lập. Tập hợp tất cả các giá trị cho phép của biến độc lập là miền xác định của hàm và được ký hiệu là D(y). Biến y là biến phụ thuộc. Tập hợp tất cả các giá trị của biến phụ thuộc là phạm vi giá trị của hàm và được ký hiệu là E(y).
Các phương pháp xác định hàm Có 4 cách xác định hàm. 1. Phương pháp bảng. Nó thuận tiện vì nó cho phép bạn tìm các giá trị hàm của các giá trị đối số có sẵn trong bảng mà không cần tính toán. Х2345 У Phương pháp phân tích. Hàm được chỉ định bởi một hoặc nhiều công thức. Phương pháp này là không thể thiếu để nghiên cứu một hàm số và thiết lập các tính chất của nó. Y=2 x+5, y= x² -5 x+1, y= |x+5|. 3. Phương pháp đồ họa. Hàm được xác định bằng mô hình hình học của nó trên mặt phẳng tọa độ. 4. Phương pháp miêu tả. Nó thuận tiện để sử dụng khi nhiệm vụ khó khăn theo những cách khác.
§3 Tính chất của hàm Tính đơn điệu: Tăng; hàm giảm số 0 (giá trị đối số trong đó giá trị của Hàm bằng 0) tính tuần hoàn liên tục tính chẵn lẻ Extrema: điểm cực đại, điểm tối thiểu lồi Giá trị cực đại và cực tiểu của hàm Khoảng dấu hằng (khoảng trong đó hàm chỉ nhận giá trị dương hoặc chỉ âm)
A. Hàm số có dạng y=k/x, trong đó k 0, được gọi là tỉ lệ nghịch đảo. Đồ thị tỷ lệ nghịch (hyperbola) thu được từ đồ thị của hàm số y = 1/x bằng cách kéo dãn (và với k
Hàm y = |x| y=|x |= x if x 0 -x if x 
0. O. Đồ thị của hàm tuyến tính phân số là một hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch sử dụng shift." title=" Hàm tuyến tính phân số O. Một hàm có dạng được gọi là tuyến tính phân số , trong đó c>0. O. Đồ thị hàm tuyến tính phân số - một hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch đảo bằng cách sử dụng một phép dịch chuyển." class="link_thumb"> 11 !} Hàm tuyến tính phân số O. Một hàm có dạng được gọi là tuyến tính phân số, trong đó c>0. O. Đồ thị của hàm tuyến tính phân số là một hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch bằng cách sử dụng một phép dịch chuyển. 0. O. Đồ thị của hàm phân số tuyến tính - hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch sử dụng phép dịch chuyển."> 0. O. Đồ thị của hàm tuyến tính phân số - hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch sử dụng phép dịch chuyển. "> 0. O. Đồ thị của hàm tuyến tính phân số là một hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch sử dụng phép dịch chuyển." title="Hàm tuyến tính phân số O. Một hàm có dạng được gọi là phân số." -tuyến tính, trong đó c>0. O. Đồ thị của hàm tuyến tính phân đoạn - một hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch đảo bằng cách sử dụng một phép dịch chuyển."> title="Hàm tuyến tính phân số O. Một hàm có dạng được gọi là tuyến tính phân số, trong đó c>0. O. Đồ thị của hàm tuyến tính phân số là một hyperbol thu được từ đồ thị tỷ lệ nghịch bằng cách sử dụng một phép dịch chuyển."> !}
Tìm miền của một hàm
Tập hợp các giá trị của hàm 1.у= 2sin²x-cos2x Giải: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 Đáp án: -1 y 3 2 . y = |cosx| Lời giải: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1, |cosx| 1 1 Đáp án: -1 y 1 3. Hàm số được cho bởi đồ thị. Cung cấp nhiều giá trị cho hàm này. E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]
Hàm số là một hàm có miền định nghĩa (đối số) và phạm vi giá trị của hàm là các tập hợp số. , trong đó , là các tập hợp số.
Một ví dụ về hàm số là sự phụ thuộc của mức tăng trưởng (giá trị hàm) vào thời gian (đối số) (Hình 1).
Cơm. 1. Đồ thị hàm tăng trưởng
Hàm gán cho mỗi người cỡ giày của họ không phải là số vì các đối số của nó không phải là số.
Giống như bất kỳ đối tượng nào khác, các chức năng thường được phân loại để thuận tiện hơn cho việc nghiên cứu. Bạn đã quen thuộc với các loại hàm khác nhau: tuyến tính, bậc hai, logarit, v.v. Hãy xem xét các hàm đơn giản nhất - các hàm tuyến tính.
Phương trình của hàm tuyến tính: , và là một số số. Đồ thị là đường thẳng (Hình 2).
Cơm. 2. Ví dụ về đồ thị của hàm tuyến tính
Tại sao một hàm tuyến tính có thể được gọi là đơn giản? Vì đồ thị của nó là một đường thẳng. Bất kỳ đường thẳng không thẳng đứng nào trên mặt phẳng tọa độ đều xác định hàm tuyến tính và ngược lại. Trong hình học, đường thẳng là một trong những đối tượng đơn giản nhất.
Ngoài ra, chúng ta cũng thường xuyên gặp và sử dụng hàm tuyến tính trong cuộc sống. Ví dụ: khi chúng ta nói rằng một chiếc ô tô đang chuyển động với tốc độ km/h. Điều này có nghĩa là trong giờ đầu tiên anh ta sẽ đi được km, trong giờ thứ hai - km, v.v. Nghĩa là, những thay đổi giống nhau trong đối số (thời gian) sẽ dẫn đến sự thay đổi giống nhau trong hàm số (quãng đường ô tô đã đi được).
Chúng ta hãy mô tả chuyển động của ô tô: đặt vị trí ban đầu là , và trong vài giờ với tốc độ không đổi, nó sẽ đi được một quãng đường . Khi đó vị trí của ô tô tại một thời điểm nhất định sẽ được xác định như sau: , đâu là đối số của hàm.
Phương trình này mô tả một hàm tuyến tính. Chúng ta hãy dành hai khoảnh khắc và:
Chúng ta thấy rằng sự thay đổi giá trị của hàm tỷ lệ thuận với sự thay đổi giá trị của đối số của nó.
Hàm tuyến tính cũng rất quan trọng vì nó có thể được sử dụng để gần đúng cục bộ (mô tả) các hàm khác. Ví dụ: nếu lấy một phần nhỏ của đồ thị (Hình 3) (Hình 4), chúng ta sẽ thấy nó gần với một đường thẳng.
Cơm. 3. Đồ thị hàm số
Cơm. 4. Một phần của đồ thị trong hình. 3.
Sau khi thực hiện điều này cho toàn bộ hàm, chúng ta thu được hàm tuyến tính từng phần (Hình 5). Bây giờ chúng ta có thể mô tả hành vi của nó trên từng phần tuyến tính.
Cơm. 5. Hàm tuyến tính từng phần
Một ví dụ đơn giản về việc tính gần đúng một đường cong bằng cách sử dụng các đoạn thẳng ngắn được nghiên cứu trong khoa học máy tính ở trường: một con rùa vẽ một vòng tròn theo cách này trong chương trình LOGO. Rõ ràng là không thể vẽ một vòng tròn lý tưởng trên màn hình: màn hình có một ô (pixel) tối thiểu. Chúng ta gọi nó là một điểm, nhưng nó vẫn có chiều rộng và chiều dài nhất định. Và rõ ràng là không thể vẽ một vòng tròn trơn - trên thực tế, kết quả sẽ rất, rất chính xác, nhưng vẫn gần đúng.
Nếu chúng ta nhìn vào một bức ảnh trên màn hình, các đường nét có vẻ mượt mà. Nhưng nếu bạn bắt đầu tăng nó, thì sớm hay muộn các hình vuông (pixel) sẽ hiển thị (Hình 6).
Cơm. 6. Phóng to ảnh trên màn hình
Điều tương tự cũng có thể được nhìn thấy ở vòng tròn do con rùa vẽ. Khi phóng đại, sẽ thấy rõ rằng thứ thực sự được vẽ không phải là một hình tròn mà là một n-giác thông thường có giá trị đủ lớn (Hình 7).
Cơm. 7. Hình ảnh phóng to của hình tròn
Trong cuộc sống chúng ta thường sử dụng phương pháp này. Ví dụ, khi quan sát một con chim bay, chúng ta vô thức tính toán tốc độ của nó và cho rằng nó sẽ bay xa hơn theo đường thẳng với cùng tốc độ (Hình 8). Trên thực tế, dự đoán của chúng tôi có thể khác với thực tế nhưng sau một thời gian ngắn nó sẽ khá chính xác.
Cơm. 8. Minh họa tính toán sai vị trí của chim
Chúng tôi không phải là những người duy nhất thực hiện loại phân tích này. Nhiều loài động vật cũng biết cách giải quyết những vấn đề như vậy: chẳng hạn, khi một con ếch bắt được một con muỗi, nó phải đoán trước được thời điểm sẽ đến để có thời gian thè lưỡi ra.
Để đo chính xác hơn, chúng tôi sử dụng các dụng cụ chính xác hơn. Đối với hàm, một công cụ chính xác hơn (so với hàm tuyến tính) là hàm bậc hai. Có thể nói đây là chức năng khó khăn tiếp theo.
Phương trình của hàm số bậc hai: , trong đó , và là một số số.
Đồ thị của hàm bậc hai là một parabol (Hình 9).
Cơm. 9. Ví dụ về đồ thị của hàm bậc hai
Bằng cách sử dụng hàm bậc hai, chúng ta có thể ước chừng chính xác hơn các hàm mà chúng ta chưa biết và do đó đưa ra dự đoán chính xác hơn.
Một vấn đề thường gặp khác liên quan đến hàm số: chúng ta biết giá trị của hàm tại một số điểm nhất định, nhưng chúng ta cần hiểu hàm hoạt động như thế nào giữa các điểm này. Ví dụ: chúng tôi có một số dữ liệu thử nghiệm (Hình 10).
Cơm. 10. Kết quả thực nghiệm
Để hiểu nhiệt độ không khí hoạt động như thế nào giữa các điểm được đánh dấu, chúng ta cần phải giả định bằng cách nào đó hàm số hoạt động như thế nào, vì chúng ta không thể thực hiện vô số phép đo. Bạn có thể tính gần đúng tuyến tính (Hình 11, đồ thị A) hoặc bậc hai (Hình 11, đồ thị B).
Cơm. 11. Xấp xỉ tuyến tính và bậc hai
Những quá trình như vậy được gọi là phép nội suy.
Nhiệm vụ có vẻ khó khăn: nó có vẻ giống như bói toán bằng bã cà phê. Thật vậy, chúng ta không biết hàm số sẽ hoạt động như thế nào giữa hai điểm được đánh dấu. Ví dụ: biểu đồ của nó có thể trông như thế này (Hình 12).
Cơm. 12. Hành vi “không mong muốn” của đồ thị hàm số
Trên thực tế, chúng tôi xây dựng lại đồ thị của hàm theo từng điểm bằng cách sử dụng một số mô hình: chúng tôi giả định rằng hàm này đủ trơn nếu không có bước nhảy đột ngột trong mô hình (ví dụ: trong một thử nghiệm). Khi đó với xác suất cao chúng ta có thể nói rằng đồ thị của hàm số trông như trong Hình 2. 11.
Các hàm bậc hai và tuyến tính được thống nhất bởi thực tế là chúng được xác định bởi một đa thức (có những hàm khác như vậy):
Ngoài các chức năng như vậy, còn có những chức năng khác; chúng mô tả các quá trình vật lý và sinh học khác nhau và cũng được nghiên cứu. Bạn có thể thiết lập chúng, mô tả các thuộc tính của chúng, xây dựng biểu đồ và sau đó làm việc với chúng. Các hàm như vậy bao gồm, ví dụ, hàm số mũ, hàm logarit và hàm lượng giác. Chúng ta sẽ nói về chúng trong các bài học tiếp theo.
Bài học về chủ đề “Định nghĩa và phương pháp xác định hàm số” được dạy ở lớp 10 trong giờ học đại số như một phần của nội dung giáo dục. Giống như bất kỳ bài học toán nào khác, bài học này yêu cầu lựa chọn cẩn thận các phương tiện dạy học đáp ứng các nguyên tắc rõ ràng, nhất quán và dễ tiếp cận. Bài học video này được tác giả phát triển để giúp giáo viên toán chuẩn bị cho bài học, đáp ứng tất cả các nguyên tắc này.
Bài học video giúp giáo viên không chỉ dễ dàng chuẩn bị cho bài học mà còn cả quá trình học tập dựa trên việc phát video tài liệu. Giáo viên có thể lấy những bài học video như vậy làm cơ sở, từ đó phát triển cho học sinh thói quen nghe và hiểu tài liệu ngay lần đầu tiên sau khi xem một lần trong buổi phát sóng. Đồng thời, giáo viên vẫn sẽ phải chăm chỉ tìm ra những nhiệm vụ phù hợp với chủ đề bài học và trình độ học vấn của học sinh.
Trong các bài học đại số lớp 10, học sinh tiếp tục nghiên cứu nội dung đã quen thuộc trước đó nhưng ở dạng chuyên sâu hơn, đồng thời cũng bắt đầu làm quen với những kiến thức cơ bản về phân tích toán học. Hình dung trong những bài học như vậy, đặc biệt là ở dạng bài học video, đơn giản là cần thiết. Hơn nữa, nó chỉ chứa những thứ quan trọng nhất và không có gì thừa.
Bài học kéo dài 5:03 phút, bắt đầu bằng việc ôn lại các tập hợp số, trong đó cho thấy rằng mỗi phần tử của một tập hợp được liên kết với một giá trị duy nhất của một phần tử từ một tập hợp khác. Đây là cách giới thiệu khái niệm hàm với miền định nghĩa của nó. Ở đây tác giả giải thích rằng biến x là một biến hoặc đối số độc lập và biến y theo đó là một biến phụ thuộc. Việc chỉ định miền định nghĩa của hàm và phạm vi giá trị của nó cũng được giới thiệu.
Tiếp theo, tác giả đặt một bài toán đòi hỏi câu trả lời cho câu hỏi các cách khác nhau để xác định hàm số là gì. Để có câu trả lời cho câu hỏi được đặt ra, tác giả đề nghị chú ý đến thực tế sau: một hàm được coi là đã cho nếu một quy tắc được chỉ định theo đó giá trị của hàm có thể được tính cho bất kỳ giá trị nào của biến tương ứng. Vì vậy, tác giả đi đến một phương pháp phân tích để xác định hàm số. Sau đó, các ví dụ về phép gán chức năng phân tích sẽ xuất hiện trên màn hình. Tác giả cũng lưu ý rằng đặc tả tham số của hàm cũng áp dụng cho phương pháp phân tích. Ngoài ra, người ta còn chú ý đến thực tế là phương pháp này được coi là phổ biến nhất. Sau đó, tác giả lưu ý những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp xác định hàm này.
Tiếp theo, tác giả chuyển sang phương pháp xác định hàm tiếp theo - bằng đồ họa. Cùng với định nghĩa, hình minh họa của phương pháp này xuất hiện trên màn hình trong hình. Tác giả lưu ý rằng phương pháp này cũng khá phổ biến, đặc biệt là trong khoa học công nghệ. Các công cụ được hiển thị trên màn hình, trong đó đồ thị đóng vai trò quan trọng. Tiếp theo, tác giả giải thích ý nghĩa của việc xác định hàm số bằng đồ họa. Tương tự như phương pháp trước, tác giả lưu ý ưu điểm của phương pháp đồ họa và nhược điểm của nó. Ngoài ra, cần lưu ý rằng hai phương pháp này, cụ thể là phương pháp đồ họa và phương pháp phân tích, bổ sung cho nhau.
Sau đó, phương pháp bảng được xem xét, trong đó một ví dụ được minh họa. Sau đó, những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp này được ghi nhận.
Sau khi xem xét các cách định nghĩa một hàm, nó sẽ được giải thích trong trường hợp tổng quát khi một hàm được coi là xác định.
Điều này kết thúc bài học. Nhưng điều đáng chú ý là phần giải thích của tài liệu được xây dựng bằng ngôn ngữ mà học sinh có thể tiếp cận được. Tác giả đi sâu vào chi tiết những điểm được coi là quan trọng nhất trong chủ đề này. Điều này sẽ giúp học sinh dễ hiểu hơn những gì đang được nói và áp dụng nó ở đâu.
GIẢI MÃ VĂN BẢN:
Một chút lịch sử
Con đường dẫn đến sự xuất hiện hiện đại của khái niệm chức năng đã được các nhà khoa học Pháp François Viète và René Descartes vạch ra vào thế kỷ XVII; họ đã phát triển một hệ thống ký hiệu toán học theo bảng chữ cái thống nhất và hệ thống này nhanh chóng được công nhận rộng rãi.
Trong “Phép tính vi phân” xuất bản năm 1755, Euler đưa ra định nghĩa chung về hàm số: “Khi các đại lượng nhất định phụ thuộc lẫn nhau theo cách mà khi đại lượng sau thay đổi, chúng cũng thay đổi, thì đại lượng trước được gọi là hàm số. của cái sau.”
Bản thân từ “chức năng” (từ tiếng Latin functio - hoa hồng, thực thi) lần đầu tiên được nhà toán học người Đức Leibniz sử dụng vào năm 1673 trong một bức thư gửi Huygens (theo chức năng, ông muốn nói đến một đoạn có độ dài thay đổi theo một số luật cụ thể) , trong bản in ông đã giới thiệu nó vào năm một nghìn sáu trăm chín mươi bốn. Bắt đầu từ năm 1698, Leibniz cũng đưa ra thuật ngữ “biến” và “hằng”.
Vào thế kỷ 18, một quan điểm mới về hàm số xuất hiện dưới dạng công thức liên hệ biến này với biến khác. Đây được gọi là quan điểm phân tích về khái niệm chức năng.
Cách tiếp cận với một định nghĩa như vậy lần đầu tiên được thực hiện bởi
Nhà toán học Thụy Sĩ Johann Bernoulli.
Hàm số được gọi là gì?
Nếu cho một bộ số x lớn
và quy tắc ef, điều này cho phép chúng ta so khớp
mỗi phần tử x từ tập hợp x lớn
igrek số ít,
thì họ nói rằng hàm số đã cho bằng ef(x)
với tên miền x lớn .
Biến x là một biến hoặc đối số độc lập.
Biến igrek là biến phụ thuộc.
Miền định nghĩa được ký hiệu là x lớn hoặc de từ igrek
Phạm vi giá trị - trò chơi lớn hoặc e từ igrek.
Có những cách nào để xác định một hàm?
Để trả lời câu hỏi này,
Chúng ta hãy chú ý đến thực tế sau: một hàm được coi là đã cho nếu một quy tắc được chỉ định theo đó, từ một giá trị x được chọn tùy ý thuộc de từ ef, có thể tính được giá trị tương ứng của y. Thông thường, quy tắc này được liên kết với một hoặc một số công thức.
Phương pháp xác định hàm này được gọi là phân tích. Điều này bao gồm tham số. Phương pháp giải tích là cách phổ biến nhất, chính để xác định hàm số trong toán học.
Ưu điểm của nó: bạn luôn có thể tìm thấy giá trị của hàm với độ chính xác nhất định và nhanh chóng. Nhược điểm: không thể xác định bản chất của sự thay đổi trong hàm bằng công thức.
Phương pháp đồ họa- xác định hàm số bằng đồ thị. Nó được sử dụng trong khoa học và công nghệ. Đôi khi, biểu đồ là cách duy nhất có sẵn để chỉ định một chức năng, ví dụ: khi sử dụng các công cụ tự động ghi lại những thay đổi trong một giá trị tùy thuộc vào những thay đổi trong một giá trị khác (điện tâm đồ, barograph, nhiệt kế, v.v.)
Việc chỉ định một hàm bằng đồ họa có nghĩa là gì?
Điều này có nghĩa là để chỉ ra quy tắc mà
một đường thẳng đi qua bất kỳ điểm (x) nào từ miền định nghĩa song song với trục tọa độ sẽ cắt đồ thị tại một điểm. Tọa độ của điểm em là số ef từ x, tương ứng với giá trị đã chọn của x. Do đó, trên đoạn từ a đến b, hàm igr bằng eff từ x được cho.
Ưu điểm của phương pháp đồ họa là sự rõ ràng. Biểu đồ ngay lập tức hiển thị cách thức hoạt động của hàm, nơi nó tăng lên. giảm ở đâu. Bạn cũng có thể tìm hiểu một số đặc điểm quan trọng của hàm.
Nói chung, các phương pháp phân tích và đồ họa để xác định hàm số bổ sung cho nhau. Làm việc với công thức giúp xây dựng biểu đồ. Và biểu đồ thường gợi ý các giải pháp mà bạn thậm chí không nhận thấy trong công thức...
Phương pháp bảng
Phương pháp này là một bảng đơn giản. Trong đó mỗi x tương ứng với ( được đặt phù hợp) một số ý nghĩa của trò chơi. Ở dòng đầu tiên chúng ta viết các giá trị của đối số. Ví dụ, dòng thứ hai chứa các giá trị hàm tương ứng.
Ưu điểm duy nhất của phương pháp xác định hàm dạng bảng là bạn không cần đếm bất kỳ thứ gì. Mọi thứ đã được tính toán và ghi vào bảng. Khuyết điểm:. chúng ta không biết giá trị hàm của đối số, những gì không có trong bảng. Trong phương pháp này, các giá trị đối số như vậy chỉ đơn giản là không tồn tại. Ngoài ra, chúng ta không thể biết hàm hoạt động như thế nào bên ngoài bảng.
Phương pháp bằng lời nói.
Quy tắc xác định chức năng được mô tả bằng lời. Ví dụ, chức năng một trò chơi bằng ba x có thể được xác định bằng mô tả bằng lời sau đây: Mỗi giá trị thực của đối số x được liên kết với giá trị bộ ba của nó. Quy tắc được thiết lập và do đó chức năng được xác định. Phương pháp mô tả bằng lời nói là cực kỳ hiếm.
Vì vậy, một hàm số chỉ được coi là đã cho nếu có luật tương ứng một-một giữa X Và trò chơi. Nó có thể được thể hiện bằng một trong các cách sau: công thức, bảng, đồ thị, từ ngữ. Luật này cho phép bạn xác định giá trị tương ứng của hàm từ giá trị của đối số.
Hàm số Sự tương ứng giữa một tập hợp số được gọi là X và nhiều R số thực, trong đó mỗi số trong tập hợp X khớp với một số duy nhất từ một bộ R. Nhiều X gọi điện miền của hàm
. Chức năng được biểu thị bằng chữ cái f, g, h v.v. Nếu f– hàm xác định trên tập hợp X, thì số thực vâng, tương ứng với số X có rất nhiều trong số họ X, thường được ký hiệu f(x) và viết
y = f(x). Biến Xđây được gọi là một đối số. Tập hợp số dạng f(x) gọi điện phạm vi chức năng
Hàm được chỉ định bằng công thức. Ví dụ , y = 2X - 2. Nếu khi chỉ định một hàm bằng công thức, miền định nghĩa của nó không được chỉ định thì giả định rằng miền định nghĩa của hàm là miền định nghĩa của biểu thức f(x).
1. Hàm được gọi đơn điệu trên một khoảng A nhất định, nếu nó tăng hoặc giảm trên khoảng này
2. Hàm được gọi tăng dần trên một khoảng A nhất định, nếu với bất kỳ số nào trong tập A của chúng thì điều kiện sau được thỏa mãn: .
Đồ thị hàm số tăng có đặc điểm đặc biệt là khi di chuyển dọc trục x từ trái sang phải dọc theo khoảng MỘT tọa độ của các điểm đồ thị tăng lên (Hình 4).
3. Hàm được gọi giảm dần ở một khoảng thời gian nào đó MỘT, nếu với bất kỳ số nào có nhiều số trong số đó MỘT thỏa mãn điều kiện: .
Đồ thị hàm số giảm có đặc điểm đặc biệt là khi di chuyển dọc trục x từ trái sang phải dọc theo khoảng MỘT tọa độ của các điểm đồ thị giảm (Hình 4).
4. Hàm được gọi thậm chí
trên một số bộ X, nếu điều kiện được đáp ứng: 
.
Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục tọa độ (Hình 2).
5. Hàm được gọi số lẻ
trên một số bộ X, nếu điều kiện được đáp ứng: 
.
Đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ (Hình 2).
6. Nếu chức năng y = f(x)
f(x) f(x), thì họ nói rằng hàm y = f(x) chấp nhận giá trị nhỏ nhất
Tại =f(x) Tại X= x(Hình 2, hàm lấy giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ (0;0)).
7. Nếu chức năng y = f(x)được xác định trên tập X và tồn tại sao cho với bất kỳ bất đẳng thức nào f(x) f(x), thì họ nói rằng hàm y = f(x) chấp nhận giá trị cao nhất Tại =f(x) Tại X= x(Hình 4, hàm không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất) .
Nếu vì chức năng này y = f(x) tất cả các thuộc tính được liệt kê đã được nghiên cứu, sau đó họ nói rằng học chức năng.
Giới hạn.
Một số A được gọi là giới hạn của hàm số vì x tiến tới ∞ nếu với mọi E>0, tồn tại δ (E)>0 sao cho mọi x thỏa mãn bất đẳng thức |x|>δ bất đẳng thức |F(x) -A| Một số A được gọi là giới hạn của hàm số vì X tiến tới X 0 nếu với mọi E>0, tồn tại δ (E)>0 sao cho mọi X≠X 0 thỏa mãn bất đẳng thức |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| GIỚI HẠN ĐƠN GIẢN. Khi xác định giới hạn, X tiến tới X0 một cách tùy ý, nghĩa là từ bất kỳ hướng nào. Khi X tiến tới X0 sao cho luôn nhỏ hơn X0 thì giới hạn đó được gọi là giới hạn tại X0 ở bên trái. Hoặc một giới hạn thuận tay trái. Giới hạn bên phải được xác định tương tự.